2 31 polytope - 2 31 polytope
3 21 |
2 31 |
1 32 |
|||
Rektyfikowany 3 21 |
birectified 3 21 |
||||
Rektyfikowany 2 31 |
Rektyfikowany 1 32 |
||||
Rzuty ortogonalne na płaszczyźnie E 7 Coxetera |
---|
W 7-wymiarowej geometrii , 2 31 jest Polytope jednolity , wykonana z E7 grupy.
Jego Coxeter symbolu jest 2 31 , opisującym rozwidlających Coxeter-Dynkin schemat z jednego pierścienia na końcu gałęzi 2-węzła.
Usunięte 2 31 jest skonstruowany w punktach znajdujących się w połowie krawędzi 2 31 .
Te polytopes są częścią rodziny 127 (lub 2 7 1) wypukłe jednolite polytopes w 7 wymiarach , wykonany z jednolitego Polytope aspekty i postacie wierzchołków , określonej przez wszystkie permutacje pierścieni w tym schemacie Coxeter-Dynkin : .
2_31 polytope
Gosset 2 31 polytope | |
---|---|
Rodzaj | Jednolity 7-polytope |
Rodzina | 2 k1 polytope |
Symbol Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Symbol Coxetera | 2 31 |
Diagram Coxetera | |
6 twarzy | 632: 56 2 21 576 {3 5 } |
5 twarzy | 4788: 756 2 11 4032 {3 4 } |
4 twarze | 16128: 4032 2 01 12096 {3 3 } |
Komórki | 20160 {3 2 } |
Twarze | 10080 {3} |
Krawędzie | 2016 |
Wierzchołki | 126 |
Figura wierzchołka |
1 31 |
Wielokąt Petrie | Ośmiokąt |
Grupa Coxetera | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Nieruchomości | wypukły |
2 31 składa się z 126 wierzchołków 2016 krawędzi , 10080 powierzchni (trójkąty), 20160 komórek ( czworościanów ), 16128 4-powierzchni ( 3-sympleksów ) 4788 5-powierzchni (756 pentacrosses i 4032 5-sympleksów ) 632 6-ścianki (576 6-simplexów i 56 2 21 ). Jego wierzchołek to sześcian sześcian . Jego 126 wierzchołków reprezentuje wektory główne prostej grupy Liego E 7 .
Ten polytope jest figurą wierzchołkową dla jednolitej mozaikowania 7-wymiarowej przestrzeni, 3 31 .
Nazwy alternatywne
- EL Elte nazwał go V 126 (ze względu na 126 wierzchołków) w swojej liście półregularnych polytopów z 1912 roku.
- Nazwano 2 31 przez Coxeter'a do jego rozwidlających Coxeter-Dynkin wykresie z jednego pierścienia na końcu sekwencji 2-węzła.
- Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronym laq) - 56-576 fasetowany polyexon (Jonathan Bowers)
Budowa
Jest tworzony przez konstrukcję Wythoffa na zestawie 7 luster hiperpłaszczyznowych w 7-wymiarowej przestrzeni.
Informacje o aspektach można wyodrębnić z diagramu Coxetera-Dynkina , .
Usunięcie węzła na krótkiej gałęzi pozostawia 6-simplex . Jest 576 takich aspektów. Te fasety są wyśrodkowane w miejscach wierzchołków polytopu 3 21 , .
Usunięcie węzła na końcu 3-długościowej gałęzi pozostawia 2 21 . Jest 56 takich aspektów. Te fasety są wyśrodkowane w miejscach wierzchołków polytopu 1 32 , .
Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że 6-demicube , 1 31 , .
Widziane w macierzy konfiguracji , liczby elementów można wyprowadzić przez usunięcie lustra i współczynniki rzędów grup Coxetera .
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k- figury | notatki | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 6 | () | f 0 | 126 | 32 | 240 | 640 | 160 | 480 | 60 | 192 | 12 | 32 | 6-demicube | E 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126 | |
A 5 A 1 | {} | f 1 | 2 | 2016 | 15 | 60 | 20 | 60 | 15 | 30 | 6 | 6 | rektyfikowane 5-simplex | E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 2016 | |
A 3 A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 10080 | 8 | 4 | 12 | 6 | 8 | 4 | 2 | pryzmat czworościenny | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 3 A 2 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 20160 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | czworościan | E 7 / A 3 A 2 = 72x8! / 4! / 3! = 20160 | |
A 4 A 2 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 4032 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 3! = 4032 | |
A 4 A 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 12096 | 1 | 2 | 2 | 1 | Trójkąt równoramienny | E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 5 A 1 | {3,3,3,4} | f 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | 756 | * | 2 | 0 | {} | E 7 / D 5 A 1 = 72x8! / 32/5! = 756 | |
A 5 | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 0 | 6 | * | 4032 | 1 | 1 | E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 72 * 8 * 7 = 4032 | |||
E 6 | {3,3,3 2,1 } | f 6 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 216 | 432 | 27 | 72 | 56 | * | () | E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 8 * 7 = 56 | |
A 6 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 0 | 21 | 0 | 7 | * | 576 | E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 72 × 8 = 576 |
Zdjęcia
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Powiązane polytopy i plastry miodu
2 k 1 cyfr w n wymiarach | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Przestrzeń | Skończone | Euklidesa | Hiperboliczny | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupa Coxetera |
E 3 = A 2 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | E 10 = = E 8 ++ | |||
Diagram Coxetera |
|||||||||||
Symetria | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Zamówienie | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Wykres | - | - | |||||||||
Nazwa | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Rektyfikowany politop 2_31
Rektyfikowany 2 31 polytop | |
---|---|
Rodzaj | Jednolity 7-polytope |
Rodzina | 2 k1 polytope |
Symbol Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Symbol Coxetera | t 1 (2 31 ) |
Diagram Coxetera | |
6 twarzy | 758 |
5 twarzy | 10332 |
4 twarze | 47880 |
Komórki | 100800 |
Twarze | 90720 |
Krawędzie | 30240 |
Wierzchołki | 2016 |
Figura wierzchołka | 6-demicube |
Wielokąt Petrie | Ośmiokąt |
Grupa Coxetera | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Nieruchomości | wypukły |
Usunięte 2 31 jest rektyfikacyjnej o 2 31 Polytope, tworząc nowe wierzchołki na środku krawędzi 2 31 .
Nazwy alternatywne
- Rektyfikowany pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon - jako rektyfikowany 56-576 fasetowany polyexon (akronim rolaq) (Jonathan Bowers)
Budowa
Jest tworzony przez konstrukcję Wythoffa na zestawie 7 luster hiperpłaszczyznowych w 7-wymiarowej przestrzeni.
Informacje o aspektach można wyodrębnić z diagramu Coxetera-Dynkina , .
Usunięcie węzła na krótkiej gałęzi pozostawia rektyfikowany 6-simplex , .
Usunięcie węzła na końcu dwugałęziowej gałęzi pozostawia sześcian sześciokątny , .
Usunięcie węzła na końcu trójdługowej gałęzi pozostawia rektyfikowane 2 21 , .
Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł.
Zdjęcia
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Elte, EL (1912), Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , wydanie trzecie, Dover New York, 1973
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthura Sherka, Petera McMullena, Anthony'ego C. Thompsona, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Przekaz 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Klitzing, Richard. „Jednolite polytopy 7D (polyexa)” . x3o3o3o * c3o3o3o - laq, o3x3o3o * c3o3o3o - rolaq