3 21 Polytope -3 21 polytope
3 21 |
2 31 |
1 32 |
|||
Wyprostowany 3 21 |
birectified 3 21 |
||||
Rektyfikowany 2 31 |
Wyprostowany 1 32 |
||||
Rzutami w e 7 Coxeter płaszczyźnie |
---|
W 7-wymiarowej geometrii The 3 21 Polytope jest jednolita 7 Polytope , wykonane w symetrii E 7 grupy. Została odkryta przez Thorold Gosset , opublikowanej w 1900 jego papieru. Nazwał on 7-ic semi-regular postać .
Jego Coxeter symbolu jest 3 21 , opisującym rozwidlających Coxeter-Dynkin schemat z jednego pierścienia na końcu jednej z sekwencji 3-węzła.
Usunięte 3 21 jest skonstruowany w punktach znajdujących się w połowie krawędzi 3 21 . Birectified 3 21 zbudowana jest poprzez punkty w ośrodkach trójkąt oblicze 3 21 . Trirectified 3 21 jest skonstruowany w punktach na czworościennych centrów 3, 21 , i jest taka sama, jak wyprostowanego 1 32 .
Te polytopes są częścią rodziny 127 (2 7 1) wypukłych jednolitych polytopes w 7 wymiarach , wykonane z jednorodnych 6 Polytope ścianki i figur wierzchołków , określonej przez wszystkie permutacje pierścieni w tym schemacie Coxeter-Dynkin : .
Zawartość
3 21 Polytope
3 21 Polytope | |
---|---|
Rodzaj | Uniform 7-Polytope |
Rodzina | k 21 Polytope |
symbol schläfliego | {3,3,3,3 2,1 } |
Coxeter symbol | 3 21 |
Coxeter schemat | |
6-twarze | 702 Razem: 126 3 11 576 {3 5 } |
5-twarze | 6048: 4032 {3 4 } 2016 {3 4 } |
4-twarze | 12096 {3 3 } |
Komórki | 10080 {3,3} |
twarze | 4032 {3} |
Obrzeża | 756 |
wierzchołki | 56 |
Vertex figura | 2 21 Polytope |
wielokąt Petriego | osiemnastokąt foremny |
grupa Coxetera | E 7 [3 3,2,1 ] celu 2.903.040 |
Nieruchomości | wypukły |
W 7-wymiarowej geometrii The 3 21 jest jednolita Polytope . Ma 56 wierzchołków i 702 aspekty: 126 3 11 i 576 6-sympleksów .
Wizualizacji to 7-wymiarowej Polytope często w specjalnym skośny orthographic kierunku rzutowania 56, która pasuje do wewnątrz wierzchołki 18-Gonal regularnego wielokąta (zwany wielokąta Petrie ). Jego krawędzie są rysowane 756 pomiędzy pierścieniami 3 i 18 wierzchołków 2 wierzchołkami w środku. Konkretne większe elementy (powierzchnie, komórki, itd.) Może być wyodrębnione i narysowane na tej prognozy.
1- szkielet z 3 21 Polytope nazywa się wykres Gosset .
Ten Polytope wraz z 7-simplex można tessellate 7-wymiarowej, reprezentowanej przez 3 do 31 i Coxeter-Dynkin schematem: .
nazwy alternatywne
- Nazywana jest również Polytope Hess dla Edmunda Hessa , który jako pierwszy odkrył.
- To było wyliczone przez Thorold Gosset w jego 1900 papieru. Nazwał on 7-ic semi-regular postać .
- EL Elte nazwał V 56 (dla jego 56 wierzchołków) w jego 1912 notowanie semiregular polytopes.
- HSM Coxeter nazwał 3 21 ze względu na jego rozwidlających Coxeter-Dynkin schemacie , o długości 3 gałęzie 3, 2 i 1 i mającą pojedynczy pierścień na końcowym węźle 3 gałęzi.
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-eksonu (akronim Naq) - 126-576 szlifowanych polyexon (Jonathan Bowers)
współrzędne
W 56 wierzchołków można najprościej reprezentowane 8-wymiarowej przestrzeni, uzyskanej przez 28 permutacji współrzędnych i ich przeciwnie:
- ± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Budowa
Jego konstrukcja opiera się na E7 grupy. Coxeter nazwany jako 3 21 przez jego rozwidlających Coxeter-Dynkin wykresie z jednego pierścienia na końcu sekwencji 3-węzła.
Informacje aspekt może być pozyskane ze schematem Coxeter-Dynkin , .
Usuwanie węzła na krótkim oddział opuszcza 6-simplex , .
Usuwanie węzeł na końcu gałęzi 2 długości opuszcza 6-orthoplex w naprzemienny formie: 3 11 , .
Każdy aspekt simplex dotyka 6-orthoplex aspekt, natomiast alternatywne aspekty tego orthoplex dotknąć albo simplex lub inny orthoplex.
Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że 2 21 Polytope, .
Widziany w matrycy konfiguracji , liczy się element może być uzyskane poprzez usunięcie lustra i stosunki grup Coxeter zamówień.
E 7 | k -Face | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figures | noty | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
E 6 | () | f 0 | 56 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 432 | 216 | 72 | 27 | 2 21 | E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 56 | |
D 5 1 | {} | f 1 | 2 | 756 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 10 | 5-demicube | E 7 / C 5 1 = 72x8! / 16/5 /! 2 = 756 | |
4 2 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 4032 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | usunięte 5-komórka | E 7 / A 4 2 = 72x8 /! 5! / 2 = 4032 | |
3 2 1 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 10080 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | trójkątny pryzmat | E 7 / A 3 2 1 = 72x8 /! 4! / 3 /! 2 = 10080 | |
4 1 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 12096 | 2 | 1 | 1 | 2 | Trójkąt równoramienny | E 7 / A 4 1 = 72x8 /! 5! / 2 = 12096 | |
5 1 | {3,3,3,3} | f 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 4032 | * | 1 | 1 | {} | E 7 / A 5 1 = 72x8 /! 6! / 2 = 4032 | |
5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | * | 2016 | 0 | 2 | E 7 / A 5 = 72x8 /! 6! = 2016 | ||||
6 | {3,3,3,3,3} | f 6 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 10 | 0 | 576 | * | () | E 7 / A 6 = 72x8 /! 7! = 576 | |
D 6 | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 32 | 32 | * | 126 | E 7 / C 6 = 72x8! / 32/6! = 126 |
Obrazy
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Powiązane polytopes
3 21 jest piąty wymiarową serii semiregular polytopes . Każdy postępowy jednolity Polytope jest wykonana wierzchołek postać poprzedniego Polytope. Thorold Gosset zidentyfikować tę serię w 1900 roku jako zawierający wszystkie regularne Polytope aspekty, zawierający wszystkie sympleksów i orthoplexes .
k 21 dane w N wymiarowej | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Przestrzeń | Skończone | euklidesowa | Hiperboliczny | ||||||||
e n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Coxeter grupa |
E 3 = a 2 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | PL 10 = = E 8 ++ | |||
Coxeter schemat |
|||||||||||
Symetria | [3 -1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Zamówienie | 12 | 120 | 192 | 51840 | 2903040 | 696729600 | ∞ | ||||
Wykres | - | - | |||||||||
Imię | -1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Jest w szeregu wymiarowego jednolitych polytopes i plastrów, wyrażona Coxeter'a jak 3 k1 szeregowo. (Przypadek zdegenerowany 4-wymiarowych występuje w postaci płytek 3-sferycznego czworościenną hosohedron ).
Przestrzeń | Skończone | euklidesowa | Hiperboliczny | |||
---|---|---|---|---|---|---|
n | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Coxeter grupa |
3 1 | 5 | D 6 | E 7 | E = 7 + | = E 7 ++ |
Coxeter schemat |
||||||
Symetria | [3 -1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3] |
[3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Zamówienie | 48 | 720 | 46080 | 2903040 | ∞ | |
Wykres | - | - | ||||
Imię | 3 1 -1 | 3 10 | 3 11 | 3 21 | 3 31 | 3 41 |
Wyprostowany 3 21 Polytope
Wyprostowany 3 21 Polytope | |
---|---|
Rodzaj | Uniform 7-Polytope |
symbol schläfliego | t 1 {3,3,3,3 2,1 } |
Coxeter symbol | t 1 (3 21 ) |
Coxeter schemat | |
6-twarze | 758 |
5-twarze | 44352 |
4-twarze | 70560 |
Komórki | 48384 |
twarze | 11592 |
Obrzeża | 12096 |
wierzchołki | 756 |
Vertex figura | 5-demicube pryzmat |
wielokąt Petriego | osiemnastokąt foremny |
grupa Coxetera | E 7 [3 3,2,1 ] celu 2.903.040 |
Nieruchomości | wypukły |
nazwy alternatywne
- Rektyfikowany hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-eksonu jako rektyfikowanego 126-576 szlifowanych polyexon (akronim ranq) (Jonathan Bowers)
Budowa
Jego konstrukcja opiera się na E7 grupy. Coxeter nazwany jako 3 21 przez jego rozwidlających Coxeter-Dynkin schemacie , z jednym węzłem na końcu sekwencji 3-węzła.
Informacje aspekt może być pozyskane ze schematem Coxeter-Dynkin , .
Usuwanie węzła na krótkim oddział opuszcza 6-simplex , .
Usuwanie węzeł na końcu gałęzi 2 długości liści usunięte 6 orthoplex w naprzemienny postać: T 1 3 11 , .
Usuwanie węzła na końcu oddziału 3 długości opuszcza 2 21 , .
Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że 5-demicube pryzmat .
Obrazy
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Birectified 3 21 Polytope
Birectified 3 21 Polytope | |
---|---|
Rodzaj | Uniform 7-Polytope |
symbol schläfliego | T 2 {3,3,3,3 2,1 } |
Coxeter symbol | T 2 (3 21 ) |
Coxeter schemat | |
6-twarze | 758 |
5-twarze | 12348 |
4-twarze | 68040 |
Komórki | 161280 |
twarze | 161280 |
Obrzeża | 60480 |
wierzchołki | 4032 |
Vertex figura | 5 komórek -triangle duoprism |
wielokąt Petriego | osiemnastokąt foremny |
grupa Coxetera | E 7 [3 3,2,1 ] celu 2.903.040 |
Nieruchomości | wypukły |
nazwy alternatywne
- Birectified hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-eksonu jako birectified 126-576 szlifowanych polyexon (akronim branq) (Jonathan Bowers)
Budowa
Jego konstrukcja opiera się na E7 grupy. Coxeter nazwany jako 3 21 przez jego rozwidlających Coxeter-Dynkin schemacie , z jednym węzłem na końcu sekwencji 3-węzła.
Informacje aspekt może być pozyskane ze schematem Coxeter-Dynkin , .
Usuwanie węzła na krótkim oddziału pozostawia birectified 6-simplex , .
Usuwanie węzeł na końcu gałęzi 2 długości opuszcza birectified 6-orthoplex w jego przemian postaci: t : 2 (3 : 11 ) , .
Usuwanie węzeł na końcu gałęzi 3 długości liści usunięte 2 21 Polytope w naprzemienny postać: T 1 (2 21 ) , .
Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, wyprostowane 5 komórek -triangle duoprism, .
Obrazy
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Zobacz też
Uwagi
Referencje
- T. Gosset : na regularne i Semi-Regular figur w przestrzeni n Wymiary , Messenger Matematyki, Macmillan, 1900
- Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes tych Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
- HSM Coxeter, regularne Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973
-
Kalejdoskop: Pisma wybrane HSM Coxeter'a pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Azji IVIC Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 24) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes III [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] patrz P342 (fig 3.7c) Peter McMullen (18 GONAL wykres węzła krawędź 3, 21 )
- Klitzing Richard. "7D jednolite polytopes (polyexa)" . o3o3o3o * c3o3o3x - Naq, o3o3o3o * c3o3x3o - ranq, o3o3o3o * c3x3o3o - branq
Linki zewnętrzne
- Polytopes Gosset jest w vZome