Absolutny nieskończony - Absolute Infinite

Absolute Nieskończony ( symbol : Ω) jest rozszerzeniem idei nieskończoności proponowanej przez matematyk Georg Cantor .

Można ją traktować jako liczbę większą niż jakakolwiek wyobrażalna lub niewyobrażalna ilość, skończona lub ponadskończona .

Cantor łączył Absolut Nieskończony z Bogiem i wierzył, że posiada on różne matematyczne własności, w tym zasadę odbicia : każda własność Absolutu Nieskończonego jest również utrzymywana przez jakiś mniejszy obiekt.

Pogląd Kantora

Kantor powiedział:

Rzeczywistą nieskończoność wyróżniały trzy relacje: po pierwsze, ponieważ urzeczywistnia się w najwyższej doskonałości, w całkowicie niezależnej, pozaziemskiej egzystencji, w Deo, gdzie nazywam ją absolutną nieskończonością lub po prostu absolutną; po drugie w zakresie, w jakim jest reprezentowana w zależnym, stwórczym świecie; po trzecie, ponieważ można ją pojąć in abstracto w myśli jako wielkość matematyczną, liczbę lub typ porządku. W tych dwóch ostatnich relacjach, gdzie w oczywisty sposób ujawnia się ona jako ograniczona i zdolna do dalszego rozmnażania się, a więc znajoma skończoności, nazywam ją Transfinitum i mocno przeciwstawiam ją absolutowi.

Cantor również wspomniał o tej idei w swoich listach do Richarda Dedekinda (tekst w nawiasach kwadratowych nieobecny w oryginale):

Wielość nazywany jest dobrze zorganizowany , jeśli spełnia warunek, że każdy sub-krotność ma pierwszą elementu ; taką wielość nazywam w skrócie „sekwencją”.

...

Teraz wyobrażam sobie system wszystkich liczb porządkowych i oznaczam go Ω .

...

System Ω w swojej naturalnej kolejności według wielkości jest „sekwencją”.
Teraz dołączmy 0 jako dodatkowy element do tego ciągu i umieśćmy go oczywiście na pierwszej pozycji; wtedy otrzymujemy ciąg Ω′ :

0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
o którym łatwo można się przekonać, że każda występująca w nim liczba γ jest typem [tzn. typ-zamówienia] sekwencji wszystkich jej poprzedzających elementów (włącznie z 0). (Sekwencja Ω ma tę własność najpierw dla ω 0 +1. [ω 0 +1 powinno być ω 0 .])

Teraz Ω′ (a zatem także Ω ) nie może być stałą wielokrotnością. Gdyby bowiem Ω′ były niesprzeczne, to jako dobrze uporządkowany zbiór odpowiadałaby mu liczba δ , która byłaby większa niż wszystkie liczby układu Ω ; liczba δ należy jednak również do układu Ω , ponieważ zawiera wszystkie liczby. Zatem δ byłoby większe niż δ , co jest sprzecznością. W związku z tym:

System Ω wszystkich liczb [porządkowych] jest niespójną, absolutnie nieskończoną mnogością.

Paradoks Burali-Forti

Główny artykuł: paradoks Burali-Fortiego

Pomysł, że zbiór wszystkich liczb porządkowych nie może logicznie istnieć, dla wielu wydaje się paradoksalny . Wiąże się to z „paradoksem” Cesare Burali-Forti, który stwierdza, że ​​nie może być największej liczby porządkowej . Wszystkie te problemy można prześledzić z powrotem do idei, że dla każdej właściwości, którą można zdefiniować logicznie, istnieje zbiór wszystkich obiektów, które mają tę właściwość. Jednak, jak w wywodzie Cantora (powyżej), idea ta prowadzi do trudności.

Mówiąc ogólniej, jak zauważył AW Moore , nie może być końca procesowi tworzenia zbiorów , a więc nie może być czegoś takiego jak całość wszystkich zbiorów czy hierarchia zbiorów . Każda taka całość sama musiałaby być zbiorem, leżącym gdzieś w hierarchii i tym samym nie obejmującym każdego zbioru.

Standardowe rozwiązanie tego problemu znajduje się w teorii mnogości Zermelo , która nie pozwala na nieograniczone tworzenie zbiorów z dowolnych własności. Możemy raczej stworzyć zbiór wszystkich obiektów, które mają daną własność i leżą w jakimś danym zbiorze ( Aksjomat separacji Zermelo ). Pozwala to na tworzenie zbiorów opartych na własnościach, w ograniczonym sensie, przy (miejmy nadzieję) zachowaniu spójności teorii.

Chociaż rozwiązuje to problem logiczny, można argumentować, że problem filozoficzny pozostaje. Wydaje się naturalne, że zbiór jednostek powinien istnieć, dopóki istnieją jednostki. Rzeczywiście, można by powiedzieć , że naiwna teoria mnogości opiera się na tym pojęciu. Chociaż poprawka Zermelo pozwala klasie opisać dowolne (prawdopodobnie „duże”) byty, te predykaty metajęzyka mogą nie istnieć formalnie (tj. jako zbiór) w ramach teorii. Na przykład klasa wszystkich zbiorów byłaby odpowiednią klasą . To jest filozoficznie niesatysfakcjonujące dla niektórych i zmotywowało dodatkową pracę w teorii mnogości i innych sposobów formalizacji podstaw matematyki, takich jak nowe fundamenty przez Willard Van Orman Quine .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia