System korzeni afinicznych - Affine root system

Afiniczny system korzeniowy typu G ₂ .

Matematyki An afinicznej system korzeniowy jest system korzeniowy z funkcji afinicznych liniowe w przestrzeni euklidesowej . Są używane w klasyfikacji afinicznych algebr Liego i superalgebr oraz półprostych p -adycznych grup algebraicznych i odpowiadają rodzinom wielomianów Macdonalda . Zredukowane systemy korzeni afinicznych zostały wykorzystane przez Kaca i Moody'ego w ich pracy nad algebrami Kaca – Moody'ego . Prawdopodobnie niezredukowane systemy korzeni afinicznych zostały wprowadzone i sklasyfikowane przez Macdonalda (1972) oraz Bruhat i Tits (1972) (z wyjątkiem tego, że w obu tych pracach przypadkowo pominięto diagram Dynkina ).

Definicja

Niech E będzie przestrzenią afiniczną, a V przestrzenią wektorową jej tłumaczeń. Przypomnijmy, że V działa wiernie i przechodni na E . W szczególności, jeśli , to jest dobrze zdefiniowany element w V oznaczony jako który jest jedynym takim elementem . ${\ Displaystyle u, v \ w E}$${\ displaystyle uv}$${\ displaystyle v + w = ​​u}$

Załóżmy teraz, że mamy skalarne produkt na V . Definiuje metrykę na E jako . ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$${\ Displaystyle d (u, v) = \ vert (UV, UV) \ vert}$

Rozważmy przestrzeń wektorową F funkcji afiniczno-liniowych . Po Naprawiono każdy element F można zapisać jako z funkcji liniowej na V , który nie zależy od wyboru . ${\ displaystyle f \ colon E \ longrightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ in E}$${\ Displaystyle f (x) = Df (x-x_ {0}) + f (x_ {0})}$${\ displaystyle Df}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Teraz dual z V można zidentyfikować z V dzięki wybranemu iloczynowi skalarnemu i możemy zdefiniować produkt na F jako . Ustaw i dla dowolnego i odpowiednio. Identyfikacja pozwala zdefiniować refleksję nad E w następujący sposób: ${\ Displaystyle (f, g) = (Df, DG)}$${\ Displaystyle f ^ {\ vee} = {\ Frac {2f} {(fa, f)}}}$${\ Displaystyle v ^ {\ vee} = {\ Frac {2v} {(v, v)}}}$${\ displaystyle f \ in F}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle w_ {f}}$

${\ Displaystyle w_ {f} (x) = xf ^ {\ vee} (x) Df}$

Dzięki transpozycji działa również na F as ${\ displaystyle w_ {f}}$

${\ Displaystyle w_ {f} (g) = g- (f ^ {\ vee}, g) f}$

System korzeniowy afiniczne jest podzbiorem takie, że: ${\ Displaystyle S \ w F}$

Elementy S nazywane są pierwiastkami afinicznymi . Oznaczmy z grupy generowanego przez z . Prosimy również ${\ Displaystyle w (S)}$${\ displaystyle w_ {a}}$${\ displaystyle a \ in S}$

Oznacza to, że dla dowolnych dwóch zwartych elementów takich, które są liczbą skończoną. ${\ Displaystyle K, H \ subseteq E}$${\ Displaystyle w (S)}$${\ Displaystyle w (K) \ nasadka H \ neq \ varnothing}$

Klasyfikacja

Afiniczne systemy pierwiastków A ₁ = B ₁ = B ^∨
₁ = C ₁ = C ^∨
₁ są takie same, jak pary B ₂ = C ₂ , B ^∨
₂ = C ^∨
₂ I ₃ = D ₃

Liczba orbit podana w tabeli to liczba orbit prostych pierwiastków pod grupą Weyla. Na diagramach Dynkina niezredukowane proste pierwiastki α (z pierwiastkiem 2α) są zaznaczone na zielono. Pierwszy diagram Dynkina w serii czasami nie podlega tej samej zasadzie co pozostałe.

System korzeni afinicznych	Liczba orbit	Diagram Dynkina
A n ( n ≥ 1)	2 jeśli n = 1, 1 jeśli n ≥2	, , , , ...
B n ( n ≥ 3)	2	, , , ...
b ∨ n ( n ≥ 3)	2	, , , ...
C n ( n ≥ 2)	3	, , , ...
do ∨ n ( n ≥ 2)	3	, , , ...
BC n ( n ≥ 1)	2 jeśli n = 1, 3 jeśli n ≥ 2	, , , , ...
D n ( n ≥ 4)	1	, , , ...
E 6	1
E 7	1
E 8	1
F 4	2
fa ∨ 4	2
G 2	2
sol ∨ 2	2
( BC n , C n ) ( n ≥ 1)	3 jeśli n = 1, 4 jeśli n ≥2	, , , , ...
( C. ∨ n , BC n ) ( n ≥ 1)	3 jeśli n = 1, 4 jeśli n ≥2	, , , , ...
( B n , B. ∨ n ) ( n ≥ 2)	4 jeśli n = 2, 3 jeśli n ≥3	, , , , ...
( C. ∨ n , C n ) ( n ≥ 1)	4 jeśli n = 1, 5 jeśli n ≥2	, , , , ...

Nieredukowalne afiniczne systemy korzeniowe według rangi

Ranga 1 : A ₁ , BC ₁ , ( BC ₁ , C ₁ ), ( C ^∨
₁ , BC ₁ ), ( C. ^∨
₁ , C ₁ ).

Pozycja 2 : ₂ , C ₂ , C ^∨
₂ , BC ₂ ( BC ₂ , C ₂ ), ( C ^∨
₂ , BC ₂ ), ( B ₂ , B. ^∨
₂ ), ( C. ^∨
₂ , C ₂ ), G ₂ , G ^∨
₂ .

Pozycja 3 : ₃ , B ₃ , B ^∨
₃ , C ₃ , C. ^∨
₃ , BC ₃ , ( BC ₃ , C ₃ ), ( C ^∨
₃ , BC ₃ ), ( B ₃ , B. ^∨
₃ ), ( C. ^∨
₃ , C ₃ ).

Ranga 4 : A ₄ , B ₄ , B ^∨
₄ , C ₄ , C. ^∨
₄ , BC ₄ , ( BC ₄ , C ₄ ), ( C. ^∨
₄ , BC ₄ ), ( B ₄ , B. ^∨
₄ ), ( C. ^∨
₄ , C ₄ ), D ₄ , F ₄ , F. ^∨
₄ .

Ranga 5 : A ₅ , B ₅ , B ^∨
₅ , C ₅ , C. ^∨
₅ , BC ₅ , ( BC ₅ , C ₅ ), ( C. ^∨
₅ , BC ₅ ), ( B ₅ , B. ^∨
₅ ), ( C. ^∨
₅ , C ₅ ), D ₅ .

Ranga 6 : A ₆ , B ₆ , B ^∨
₆ , C ₆ , C. ^∨
₆ , BC ₆ , ( BC ₆ , C ₆ ), ( C. ^∨
₆ , BC ₆ ), ( B ₆ , B. ^∨
₆ ), ( C. ^∨
₆ , C ₆ ), D ₆ , E ₆ ,

Ranga 7 : A ₇ , B ₇ , B ^∨
₇ , C ₇ , C. ^∨
₇ , BC ₇ , ( BC ₇ , C ₇ ), ( C. ^∨
₇ , BC ₇ ), ( B ₇ , B. ^∨
₇ ), ( C. ^∨
₇ , C ₇ ), D ₇ , E ₇ ,

Ranga 8 : A ₈ , B ₈ , B ^∨
₈ , C ₈ , C. ^∨
₈ , BC ₈ , ( BC ₈ , C ₈ ), ( C. ^∨
₈ , BC ₈ ), ( B ₈ , B. ^∨
₈ ), ( C. ^∨
₈ , C ₈ ), D ₈ , E ₈ ,

Ranga n ( n > 8) : A _n , B _n , B ^∨
_n , C _n , C ^∨
_n , BC _n , ( BC _n , C _n ), ( C. ^∨
_n , BC _n ), ( B _n , B. ^∨
_n ), ( C. ^∨
_n , C _n ), D _n .

Aplikacje

• Macdonald (1972) wykazał, że afiniczne systemy korzeniowe indeksują tożsamości Macdonalda
• Bruhat i Tits (1972) wykorzystali systemy korzeni afinicznych do badania p- adycznych grup algebraicznych.
• Zredukowane systemy korzeni afinicznych klasyfikują afiniczne algebry Kaca – Moody'ego , podczas gdy niezredukowane systemy korzeni afinicznych odpowiadają afinicznym superalgebrom Liego .
• Macdonald (2003) wykazał, że systemy pierwiastków afinicznych indeksują rodziny wielomianów Macdonalda .

Bibliografia

• Bruhat, F .; Cycki, Jacques (1972), "Groupes réductifs sur un corps lokalny" , Publikacje mathématiques de l'IHES , 41 : 5-251, Doi : 10.1007 / bf02715544 , ISSN   1618/13 , MR   0327923
• Macdonald, IG (1972), "Affine root systems and Dedekind's η-function", Inventiones Mathematicae , 15 : 91–143, Bibcode : 1971InMat..15 ... 91M , doi : 10.1007 / BF01418931 , ISSN   0020-9910 , MR   0357528
• Macdonald, IG (2003), Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials , Cambridge Tracts in Mathematics, 157 , Cambridge: Cambridge University Press, str. X + 175, doi : 10.2277 / 0521824729 , ISBN   978-0-521-82472-9 , MR   1976581