Geometria analityczna - Analytic geometry

W matematyce klasycznej geometria analityczna , znana również jako geometria współrzędnych lub geometria kartezjańska , jest nauką o geometrii za pomocą układu współrzędnych . Kontrastuje to z geometrią syntetyczną .

Geometria analityczna jest wykorzystywana w fizyce i inżynierii , a także w lotnictwie , rakietach , naukach kosmicznych i lotach kosmicznych . Jest podstawą większości nowoczesnych dziedzin geometrii, w tym geometrii algebraicznej , różniczkowej , dyskretnej i obliczeniowej .

Zazwyczaj kartezjański układ współrzędnych jest stosowany do manipulowania równaniami dla płaszczyzn , linii prostych i okręgów , często w dwóch, a czasem w trzech wymiarach. Geometrycznie bada się płaszczyznę euklidesową ( dwa wymiary ) i przestrzeń euklidesową ( trzy wymiary ). Jak naucza się w podręcznikach szkolnych, geometrię analityczną można wyjaśnić w prostszy sposób: dotyczy ona definiowania i przedstawiania kształtów geometrycznych w sposób liczbowy oraz wyodrębniania informacji liczbowych z liczbowych definicji i reprezentacji kształtów. To, że algebra liczb rzeczywistych może być wykorzystana do uzyskania wyników dotyczących liniowego kontinuum geometrii, opiera się na aksjomie Cantora-Dedekinda .

Historia

Starożytna Grecja

Grecki matematyk Menaichmos rozwiązać problemy i udowodnił twierdzenia za pomocą metody, która miała duże podobieństwo do stosowania współrzędnych i to czasem utrzymywał, że wprowadzone geometrii analitycznej.

Apoloniusz z Pergi w O determinacji rozprawił się z problemami w sposób, który można nazwać jednowymiarową geometrią analityczną; z pytaniem o znalezienie punktów na prostej, które były w stosunku do innych. Apolloniusz w Conics rozwinął metodę, która jest tak podobna do geometrii analitycznej, że czasami uważa się, że jego praca wyprzedziła pracę Kartezjusza o około 1800 lat. Jego zastosowanie linii odniesienia, średnicy i stycznej zasadniczo nie różni się od naszego współczesnego użycia układu współrzędnych, gdzie odległości mierzone wzdłuż średnicy od punktu styczności to odcięte, a segmenty równoległe do stycznej i przecięte pomiędzy oś i krzywa są rzędnymi. Następnie rozwinął relacje między odciętymi i odpowiadającymi im rzędnymi, które są równoważne retorycznym równaniom krzywych. Jednak, choć Apoloniusz był bliski rozwinięcia geometrii analitycznej, nie udało mu się tego zrobić, ponieważ nie brał pod uwagę wielkości ujemnych i w każdym przypadku układ współrzędnych nakładał się na daną krzywą a posteriori zamiast a priori . Oznacza to, że równania zostały określone przez krzywe, ale krzywe nie zostały określone przez równania. Współrzędne, zmienne i równania były pojęciami pomocniczymi stosowanymi do określonej sytuacji geometrycznej.

Persia

XI-wieczny matematyk perski Omar Chajjam dostrzegł silny związek między geometrią a algebrą i zmierzał we właściwym kierunku, gdy pomógł wypełnić lukę między algebrą numeryczną a geometryczną za pomocą swojego geometrycznego rozwiązania ogólnych równań sześciennych , ale decydujący krok nastąpił później z Kartezjuszem. Omarowi Khayyamowi przypisuje się zidentyfikowanie podstaw geometrii algebraicznej , a jego książka Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), która przedstawiła zasady geometrii analitycznej, jest częścią matematyki perskiej, która została ostatecznie przekazana do Europy. Ze względu na swoje wszechstronne podejście geometryczne do równań algebraicznych, Khayyam może być uważany za prekursora Kartezjusza w wynalezieniu geometrii analitycznej.

Zachodnia Europa

Geometria analityczna została niezależnie wynaleziona przez René Descartes'a i Pierre'a de Fermat , chociaż Kartezjuszowi przypisuje się czasami wyłączne uznanie. Geometria kartezjańska , alternatywny termin używany dla geometrii analitycznej, nosi imię Kartezjusza.

Kartezjusz poczynił znaczne postępy w zakresie metod w eseju zatytułowanym La Geometrie (Geometria) , jednym z trzech towarzyszących mu esejów (dodatków) opublikowanych w 1637 r. wraz z jego Dyskursem o metodzie właściwego kierowania swoim rozumem i poszukiwaniu prawdy w naukach , powszechnie dalej dyskurs o metodzie . La Geometrie , napisany w jego ojczystym języku francuskim , i jego filozoficzne zasady, stanowiły podstawę rachunku różniczkowego w Europie. Początkowo praca nie została dobrze przyjęta, po części z powodu wielu luk w argumentach i skomplikowanych równań. Dopiero po przekładzie na łacinę i dodaniu komentarza van Schootena w 1649 r. (i dalszych pracach później) arcydzieło Kartezjusza zyskało należyte uznanie.

Pierre de Fermat był także pionierem w rozwoju geometrii analitycznej. Chociaż nie opublikował w swoim życiu, rękopis forma reklamy locos PLANOS et solidos Isagoge (wprowadzenie do płaszczyzny i Solid loci) krążyła w Paryżu w 1637 roku, tuż przed publikacją Kartezjusza dyskursu . Przejrzyście napisane i dobrze przyjęte Wprowadzenie położyło również podwaliny pod geometrię analityczną. Kluczowa różnica między leczeniem Fermata i Kartezjusza jest kwestią punktu widzenia: Fermat zawsze zaczynał od równania algebraicznego, a następnie opisał krzywą geometryczną, która je spełniała, podczas gdy Kartezjusz zaczynał od krzywych geometrycznych i tworzył ich równania jako jedną z kilku właściwości krzywych . W konsekwencji takiego podejścia Kartezjusz miał do czynienia z bardziej skomplikowanymi równaniami i musiał opracować metody pracy z równaniami wielomianowymi wyższego stopnia. To Leonhard Euler jako pierwszy zastosował metodę współrzędnych w systematycznym badaniu krzywych i powierzchni przestrzennych.

Współrzędne

Ilustracja płaszczyzny współrzędnych kartezjańskich. Cztery punkty są oznaczone i oznaczone współrzędnymi: (2,3) na zielono, (-3,1) na czerwono, (-1,5,-2,5) na niebiesko, a początek (0,0) na fioletowo.

W geometrii analitycznej płaszczyzna otrzymuje układ współrzędnych, w którym każdy punkt ma parę współrzędnych liczb rzeczywistych . Podobnie przestrzeń euklidesowa ma dane współrzędne, gdzie każdy punkt ma trzy współrzędne. Wartość współrzędnych zależy od wyboru początkowego punktu początkowego. Stosowanych jest wiele układów współrzędnych, ale najczęściej są to:

Współrzędne kartezjańskie (w płaszczyźnie lub przestrzeni)

Najpopularniejszym układem współrzędnych jest kartezjański układ współrzędnych , w którym każdy punkt ma współrzędną x reprezentującą jego położenie w poziomie i współrzędną y reprezentującą jego położenie w pionie. Są one zwykle zapisywane jako uporządkowana para ( xy ). System ten może być również używany do geometrii trójwymiarowej, gdzie każdy punkt w przestrzeni euklidesowej jest reprezentowany przez uporządkowaną trójkę współrzędnych ( xyz ).

Współrzędne biegunowe (w płaszczyźnie)

We współrzędnych biegunowych każdy punkt płaszczyzny jest reprezentowany przez odległość r od początku i kąt θ , przy czym θ zwykle mierzone jest w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x . Używając tego zapisu, punkty są zwykle zapisywane jako uporządkowana para ( r , θ ). Można dokonywać transformacji tam iz powrotem między dwuwymiarowymi współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi, korzystając z tych wzorów: . System ten można uogólnić do przestrzeni trójwymiarowej poprzez zastosowanie współrzędnych cylindrycznych lub sferycznych .

Współrzędne cylindryczne (w przestrzeni)

We współrzędnych cylindrycznych każdy punkt przestrzeni jest reprezentowany przez swoją wysokość z , promień r od osi z oraz kąt θ, jaki tworzy jego rzut na płaszczyznę xy względem osi poziomej.

Współrzędne sferyczne (w przestrzeni)

We współrzędnych sferycznych, każdy punkt w przestrzeni jest reprezentowany przez odległość ρ od początku, kąt θ, jaki tworzy jego rzut na płaszczyznę xy względem osi poziomej oraz kąt φ , jaki tworzy względem osi z. . W fizyce nazwy kątów są często odwrócone.

Równania i krzywe

W geometrii analitycznej każde równanie obejmujące współrzędne określa podzbiór płaszczyzny, a mianowicie zbiór rozwiązań równania lub miejsce . Na przykład równanie y  =  x odpowiada zbiorowi wszystkich punktów na płaszczyźnie, których współrzędna x i współrzędna y są równe. Punkty te tworzą prostą i mówi się, że y  =  x jest równaniem dla tej prostej. Ogólnie rzecz biorąc, równania liniowe zawierające x i y określają linie, równania kwadratowe określają przekroje stożkowe , a bardziej skomplikowane równania opisują bardziej skomplikowane figury.

Krzywej na płaszczyźnie odpowiada zwykle pojedyncze równanie . Nie zawsze tak jest: trywialne równanie x  =  x określa całą płaszczyznę, a równanie x 2  +  y 2  = 0 określa tylko pojedynczy punkt (0, 0). W trzech wymiarach jedno równanie zwykle daje powierzchnię , a krzywa musi być określona jako przecięcie dwóch powierzchni (patrz poniżej) lub jako układ równań parametrycznych . Równanie x 2  +  y 2  =  r 2 jest równaniem dla dowolnego okręgu o środku w punkcie początkowym (0, 0) o promieniu r.

Linie i samoloty

Linie na płaszczyźnie kartezjańskiej lub bardziej ogólnie we współrzędnych afinicznych można opisać algebraicznie za pomocą równań liniowych . W dwóch wymiarach równanie dla linii niepionowych jest często podawane w postaci przecięcia nachylenia :

gdzie:

m to nachylenie lub nachylenie linii.
b jest punktem przecięcia y linii.
x jest zmienną niezależną funkcji y = f ( x ).

W sposób analogiczny do opisu prostych w przestrzeni dwuwymiarowej za pomocą formy punkt-nachylenie dla swoich równań, płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej mają opis naturalny za pomocą punktu na płaszczyźnie i wektora do niego ortogonalnego ( wektor normalny ), aby wskazać jego „nachylenie”.

W szczególności niech będzie wektorem pozycji jakiegoś punktu i niech będzie wektorem niezerowym. Płaszczyzna wyznaczona przez ten punkt i wektor składa się z tych punktów , z takim wektorem położenia , że wektor narysowany od do jest prostopadły do . Przypominając, że dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero, wynika z tego, że pożądaną płaszczyznę można opisać jako zbiór wszystkich punktów takich, że

(Kropka oznacza tutaj iloczyn skalarny, a nie mnożenie przez skalar).

która jest postacią punktowo-normalną równania płaszczyzny. To jest tylko równanie liniowe :

I odwrotnie, łatwo wykazać, że jeśli a , b , c i d są stałymi, a a , b i c nie wszystkie są zerowe, to wykres równania

jest płaszczyzną, której wektor jest normalny. To znane równanie płaszczyzny nazywa się ogólną formą równania płaszczyzny.

W trzech wymiarach prostych nie można opisać jednym równaniem liniowym, dlatego często opisuje się je równaniami parametrycznymi :

gdzie:

x , y i z są funkcjami zmiennej niezależnej t, której zakres obejmuje liczby rzeczywiste.
( x 0 , y 0 , z 0 ) to dowolny punkt na linii.
a , b , i c są powiązane z nachyleniem prostej w taki sposób, że wektor ( a , b , c ) jest do niej równoległy.

Sekcje stożkowe

W układzie współrzędnych kartezjańskich The wykres z równania kwadratowego dwóch zmiennych jest zawsze stożkowej - choć może być zdegenerowanym, i wszystkie sekcje stożkowe powstają w ten sposób. Równanie będzie miało postać

Ponieważ skalowanie wszystkich sześciu stałych daje to samo miejsce zer, można traktować stożki jako punkty w pięciowymiarowej przestrzeni rzutowej

Przekroje stożkowe opisane tym równaniem można sklasyfikować za pomocą dyskryminatora

Jeśli stożek nie jest zdegenerowany, to:

  • jeśli równanie reprezentuje elipsę ;
    • jeśli i , równanie przedstawia
    okrąg , co jest szczególnym przypadkiem elipsy;
  • jeśli równanie reprezentuje parabolę ;
  • jeśli równanie reprezentuje hiperbolę ;
    • jeśli mamy również , równanie reprezentuje
    prostokątną hiperbolę .
  • Powierzchnie kwadratowe

    Quadric lub Quadric powierzchni , jest 2 wymiarową powierzchni w przestrzeni 3-wymiarowej określonej jako locus z zer o kwadratowej wielomianu . We współrzędnych x 1 , x 2 , x 3 , ogólna kwadryka jest określona równaniem algebraicznym

    Powierzchnie kwadratowe obejmują elipsoidy (w tym sferę ), paraboloidy , hiperboloidy , cylindry , stożki i płaszczyzny .

    Odległość i kąt

    Wzór na odległość na płaszczyźnie wynika z twierdzenia Pitagorasa.

    W geometrii analitycznej pojęcia geometryczne, takie jak odległość i miara kąta , definiuje się za pomocą formuł . Definicje te zostały zaprojektowane tak, aby były spójne z podstawową geometrią euklidesową . Na przykład, używając współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie, odległość między dwoma punktami ( x 1y 1 ) i ( x 2y 2 ) jest określona wzorem

    który może być postrzegany jako wersja twierdzenia Pitagorasa . Podobnie kąt, jaki tworzy linia z poziomem, można określić wzorem

    gdzie m jest nachyleniem linii.

    W trzech wymiarach odległość jest określona przez uogólnienie twierdzenia Pitagorasa:

    ,

    natomiast kąt między dwoma wektorami jest określony przez iloczyn skalarny . Iloczyn skalarny dwóch wektorów euklidesowych A i B jest zdefiniowany przez

    gdzie θ jest kątem między A i B .

    Transformacje

    a) y = f(x) = |x| b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

    Transformacje są stosowane do funkcji nadrzędnej, aby przekształcić ją w nową funkcję o podobnych cechach.

    Wykres jest zmieniany przez standardowe przekształcenia w następujący sposób:

    • Zmiana na przenosi wykres do właściwych jednostek.
    • Zmiana na przesuwa jednostki w górę wykresu .
    • Zmiana na rozciąga wykres w poziomie o współczynnik . (pomyśl o rozszerzeniu)
    • Zmiana na rozciąga wykres w pionie.
    • Zmiana na i zmiana na obraca wykres o kąt .

    Istnieją inne standardowe przekształcenia, które nie są zwykle badane w elementarnej geometrii analitycznej, ponieważ przekształcenia zmieniają kształt obiektów w sposób, który zwykle nie jest brany pod uwagę. Pochylenie jest przykładem transformacji, która zwykle nie jest brana pod uwagę. Aby uzyskać więcej informacji, zapoznaj się z artykułem Wikipedii na temat przekształceń afinicznych .

    Na przykład funkcja rodzica ma asymptotę poziomą i pionową oraz zajmuje pierwszą i trzecią ćwiartkę, a wszystkie jej przekształcone formy mają jedną asymptotę poziomą i pionową oraz zajmują 1. i 3. lub 2. i 4. ćwiartkę. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli , to można go przekształcić w . W nowej funkcji przekształconej jest to czynnik, który rozciąga funkcję w pionie, jeśli jest większa niż 1 lub kompresuje funkcję w pionie, jeśli jest ona mniejsza niż 1, a dla wartości ujemnych funkcja jest odzwierciedlana na osi -. Wartość ściska wykres funkcji poziomie, jeżeli większa niż 1 i rozciąga się poziomo funkcji jeśli mniej niż 1, jak i odbija funkcję w -osiowy gdy jest ujemna. Wartości i wprowadzają tłumaczenia, , pionowe i poziome. Dodatnie i wartości oznaczają, że funkcja jest tłumaczona na dodatni koniec swojej osi, a ujemne tłumaczenie znaczenia na ujemny koniec.

    Transformacje można zastosować do dowolnego równania geometrycznego, niezależnie od tego, czy równanie reprezentuje funkcję. Przekształcenia można traktować jako pojedyncze transakcje lub ich kombinacje.

    Załóżmy, że jest to relacja na płaszczyźnie. Na przykład,

    jest relacją opisującą okrąg jednostkowy.

    Znajdowanie przecięć obiektów geometrycznych

    Dla dwóch obiektów geometrycznych P i Q reprezentowanych przez relacje i przecięcie jest zbiorem wszystkich punktów znajdujących się w obu relacjach.

    Na przykład może to być okrąg o promieniu 1 i środku : i może to być okrąg o promieniu 1 i środku . Przecięcie tych dwóch okręgów to zbiór punktów, które czynią oba równania prawdziwymi. Czy ten punkt sprawia, że ​​oba równania są prawdziwe? Używając for , równanie for staje się lub które jest prawdziwe, więc jest w relacji . Z drugiej strony, nadal korzystając z równania na stanie lub co jest fałszywe. nie ma, więc nie znajduje się na skrzyżowaniu.

    Punkt przecięcia i można znaleźć, rozwiązując równoczesne równania:

    Tradycyjne metody znajdowania skrzyżowań obejmują substytucję i eliminację.

    Substytucja: Rozwiąż pierwsze równanie pod względem, a następnie zastąp wyrażenie za drugim równaniem:

    .

    Następnie podstawiamy tę wartość za do innego równania i przystępujemy do rozwiązania dla :

    Następnie umieszczamy tę wartość w jednym z oryginalnych równań i rozwiązujemy dla :

    Więc nasze skrzyżowanie ma dwa punkty:

    Eliminacja : Dodaj (lub odejmij) wielokrotność jednego równania do drugiego równania, aby wyeliminować jedną ze zmiennych. W naszym obecnym przykładzie, jeśli odejmiemy pierwsze równanie od drugiego, otrzymamy . W pierwszym równaniu odejmuje się od drugiego równania, nie pozostawiając członu. Zmienna została wyeliminowana. Następnie rozwiązujemy pozostałe równanie na , w taki sam sposób jak w metodzie podstawienia:

    Następnie umieszczamy tę wartość w jednym z oryginalnych równań i rozwiązujemy dla :

    Więc nasze skrzyżowanie ma dwa punkty:

    W przypadku przekrojów stożkowych na przecięciu mogą znajdować się nawet 4 punkty.

    Znajdowanie przechwyceń

    Jednym z szeroko badanych typów przecięcia jest przecięcie obiektu geometrycznego z osiami współrzędnych i .

    Przecięcie obiektu geometrycznego i osi nazywane jest przecięciem obiektu. Przecięcie obiektu geometrycznego i osi nazywane jest przecięciem obiektu.

    W przypadku linii parametr określa punkt, w którym linia przecina oś. W zależności od kontekstu jeden z tych punktów nazywa się -przechwytywaniem.

    Styczne i normalne

    Linie styczne i płaszczyzny

    W geometrii The styczna (lub po prostu styczna ) do płaszczyzny krzywej w danym punkcie jest linią prostą , że „dotknie” krzywej w tym punkcie. Nieformalnie jest to linia przechodząca przez parę nieskończenie bliskich punktów na krzywej. Mówiąc dokładniej, mówi się, że linia prosta jest styczną do krzywej y = f ( x ) w punkcie x = c na krzywej, jeśli linia przechodzi przez punkt ( c , f ( c )) na krzywej i ma nachylenie f ' ( c ) , gdzie m ' jest pochodna o f . Podobna definicja dotyczy krzywych przestrzennych i krzywych w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej .

    Gdy przechodzi przez punkt, w którym spotykają się linia styczna i krzywa, zwany punktem styczności , linia styczna „biegnie w tym samym kierunku” co krzywa, a zatem jest najlepszym przybliżeniem linii prostej do krzywej w tym punkt.

    Podobnie, płaszczyzna styczna do powierzchni w danym punkcie jest płaszczyzną, która „dotyka” powierzchni w tym punkcie. Pojęcie tangensa jest jednym z najbardziej podstawowych pojęć w geometrii różniczkowej i zostało szeroko uogólnione; zobacz Przestrzeń styczna .

    Linia normalna i wektor

    W geometrii , A normalnie jest przedmiot, na przykład w postaci linii lub wektora, który jest prostopadły do danego obiektu. Na przykład w przypadku dwuwymiarowym linia normalna do krzywej w danym punkcie jest linią prostopadłą do linii stycznej do krzywej w punkcie.

    W trójwymiarowej przypadku normalnej do powierzchni , lub po prostu normalnym , do powierzchni w punkcie P jest wektor , który jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni w P . Słowo „normalna” jest również używane jako przymiotnik: prosta normalna do płaszczyzny , normalny składnik siły , wektor normalny itp. Pojęcie normalności uogólnia się na ortogonalność .

    Zobacz też

    Uwagi

    Bibliografia

    Książki

    Artykuły

    Zewnętrzne linki