Każdy - Anyon

Mechanika statystyczna
Termodynamika Teoria kinetyczna
Statystyki cząstek Twierdzenie o statystyce spinowej Identyczne cząstki Maxwell-Boltzmann Bosego-Einsteina Fermi-Dirac Parastatystyka Statystyki Anyonic Statystyki warkoczy
Zespoły termodynamiczne NVE Microcanonical Kanoniczny NVT µVT Wielki kanoniczny NPH izoentalpowo-izobaryczny NPT izotermiczny–izobaryczny
Modele Debye Einstein Śpiewam Potts
Potencjały Energia wewnętrzna Entalpia Energia swobodna Helmholtza Energia swobodna Gibbsa Wielki potencjał / Darmowa energia Landau
Naukowcy Maxwell Boltzmanna Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tołman Debye Fermi Bose
v T mi

W fizyce An Anyon jest rodzajem kwazicząstka , który występuje tylko w dwuwymiarowych systemów o właściwościach mniej ograniczone niż w przypadku dwóch rodzajów standardowych cząstek elementarnych , fermionami i bozonów . Ogólnie rzecz biorąc, operacja wymiany dwóch identycznych cząstek , chociaż może spowodować globalne przesunięcie fazowe, nie może wpływać na obserwable . Anyony są generalnie klasyfikowane jako abelowe lub nieabelowe . Abelowe anyony (wykryte w dwóch eksperymentach w 2020 r.) odgrywają główną rolę w ułamkowym kwantowym efekcie Halla . Nieabelowe anyony nie zostały ostatecznie wykryte, chociaż jest to aktywny obszar badań.

Wstęp

W mechanice statystycznej z prawem dużych układów wielu ciał przestrzega opisał Rozkład Maxwella-Boltzmanna . Statystyka kwantowa jest bardziej skomplikowana ze względu na różne zachowania dwóch różnych rodzajów cząstek, zwanych fermionami i bozonami . Cytując niedawny, prosty opis z Uniwersytetu Aalto :

W trójwymiarowym świecie, w którym żyjemy, istnieją tylko dwa rodzaje cząstek: „fermiony”, które się odpychają, oraz „bozony”, które lubią się sklejać. Powszechnie znanym fermionem jest elektron, który transportuje energię elektryczną; a powszechnie znanym bozonem jest foton, który przenosi światło. W świecie dwuwymiarowym istnieje jednak inny rodzaj cząstki, anyon, który nie zachowuje się ani jak fermion, ani bozon.

W dwuwymiarowym świecie dwa identyczne anyony zmieniają swoją funkcję falową, gdy zamieniają się miejscami w sposób, który nie może się zdarzyć w fizyce trójwymiarowej:

...w dwóch wymiarach, dwukrotna wymiana identycznych cząstek nie jest równoznaczna z pozostawieniem ich samych. Funkcja falowa cząstek po dwukrotnej zamianie miejsc może różnić się od pierwotnej; cząstki o tak niezwykłych statystykach wymiany są znane jako anyony. Natomiast w trzech wymiarach dwukrotna wymiana cząstek nie może zmienić ich funkcji falowej, pozostawiając nam tylko dwie możliwości: bozony, których funkcja falowa pozostaje taka sama nawet po pojedynczej wymianie, oraz fermiony, których wymiana zmienia jedynie znak ich funkcji falowej.

Ten proces wymiany identycznych cząstek lub okrążenia jednej cząstki wokół drugiej, określany jest matematyczną nazwą „ splatania ”. „Zaplecenie” dwóch anyonów tworzy historyczny zapis wydarzenia, ponieważ ich zmienione funkcje falowe „liczą” liczbę plecionek.

Microsoft zainwestował w badania dotyczące anyons jako potencjalnej podstawy dla topologicznych obliczeń kwantowych . Wszelkie krążące wokół siebie („plecione”) kodowałyby informacje w bardziej niezawodny sposób niż inne potencjalne technologie obliczeń kwantowych . Większość inwestycji w obliczenia kwantowe opiera się jednak na metodach, które nie wykorzystują nikogo.

Abeliańskie anyony

W mechanice kwantowej i niektórych klasycznych układach stochastycznych nierozróżnialne cząstki mają tę właściwość, że zamiana stanów cząstki  i na cząstkę  j (symbolicznie ) nie prowadzi do wymiernie odmiennego stanu wielociałowego. ${\ Displaystyle \ psi _ {i} \ leftrightarrow \ psi _ {j} {\ tekst {dla}} ja \ neq j}$

Na przykład w układzie mechaniki kwantowej układ z dwiema nierozróżnialnymi cząstkami, z cząstką 1 w stanie i cząstką 2 w stanie , ma stan w notacji Diraca . Załóżmy teraz, że zamieniamy stany dwóch cząstek, wtedy stan układu byłby . Te dwa stany nie powinny mieć mierzalnej różnicy, więc powinny być tym samym wektorem, aż do współczynnika fazy : ${\ Displaystyle \ psi _ {1}}$${\displaystyle \psi_{2}}$${\ Displaystyle \ lewo | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ prawy \ rangle }$${\ Displaystyle \ lewo | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ prawy \ rangle }$

${\ Displaystyle \ lewo | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ po prawej \ rangle = e ^ {i \ teta} \ po lewej | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ po prawej \ rangle. }$

Oto czynnik fazowy. W przestrzeni o trzech lub więcej wymiarach współczynnik fazy wynosi lub . Zatem cząstkami elementarnymi są albo fermiony, których współczynnik fazowy wynosi , albo bozony, których współczynnik fazowy wynosi . Te dwa typy mają różne zachowania statystyczne . Fermiony podlegają statystyce Fermiego-Diraca , a bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina . W szczególności czynnik fazowy jest powodem, dla którego fermiony są zgodne z zasadą wykluczenia Pauliego : Jeśli dwa fermiony są w tym samym stanie, mamy ${\ Displaystyle e ^ {i \ theta}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ psi \ psi \ prawo \ rangle = - \ lewo | \ psi \ psi \ prawo \ rangle.}$

Wektor stanu musi wynosić zero, co oznacza, że ​​nie można go normalizować, a więc jest niefizyczny.

Jednak w układach dwuwymiarowych można zaobserwować, że kwazicząstki podlegają statystyce wahającej się nieprzerwanie między statystykami Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina, jak po raz pierwszy wykazali Jon Magne Leinaas i Jan Myrheim z Uniwersytetu w Oslo w 1977 roku. dwie cząstki można to wyrazić jako

${\ Displaystyle \ lewo | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ po prawej \ rangle = e ^ {i \ teta} \ po lewej | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ po prawej \ rangle, }$

gdzie mogą być inne wartości niż tylko lub . Należy zauważyć, że w tym skróconym wyrażeniu występuje nieznaczne nadużycie notacji , ponieważ w rzeczywistości ta funkcja falowa może być i zwykle jest wielowartościowa. To wyrażenie w rzeczywistości oznacza, że ​​gdy cząstka 1 i cząstka 2 są zamieniane w procesie, w którym każda z nich wykonuje półobrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, system dwóch cząstek powraca do swojej pierwotnej funkcji falowej kwantowej, z wyjątkiem pomnożenia przez złożoną normę jednostkową współczynnik fazowy e ^iθ . Odwrotnie, ^półobrót zgodny z ruchem wskazówek zegara powoduje pomnożenie funkcji falowej przez e ^{− iθ} . Taka teoria ma oczywiście sens tylko w dwóch wymiarach, gdzie zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są wyraźnie określone kierunki. ${\ Displaystyle e ^ {i \ theta}}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle 1}$

W przypadku θ  =  π odzyskujemy statystykę Fermiego–Diraca ( e ^iπ = −1 ) oraz w przypadku θ = 0 (lub θ = 2 π ) statystykę Bosego–Einsteina ( e ^{2 πi} = 1 ). W międzyczasie mamy coś innego. Frank Wilczek w 1982 roku zbadał zachowanie takich quasicząstek i ukuł termin „anyon”, aby je opisać, ponieważ mogą one mieć dowolną fazę, gdy cząstki są wymieniane. W przeciwieństwie do bozonów i fermionów, anyony mają tę szczególną właściwość, że gdy są zamieniane dwa razy w ten sam sposób (np. jeśli dowolne 1 i 2 zostały obrócone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o pół obrotu wokół siebie, aby zamienić się miejscami, a następnie zostały obrócone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o pół obrotu o sobie nawzajem, aby powrócić do swoich pierwotnych miejsc), funkcja falowa niekoniecznie jest taka sama, ale raczej ogólnie pomnożona przez jakąś złożoną fazę ( w tym przykładzie przez e ^{2 iθ} ).

Możemy również użyć θ = 2 π s z liczbą kwantową spinu cząstki s , gdzie s jest liczbą całkowitą dla bozonów, a pół-całkowitą dla fermionów, tak że

${\ Displaystyle e ^ {i \ theta} = e ^ {2i \ pi s} = (-1) ^ {2 s}}$   lub   ${\ Displaystyle \ lewo | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ po prawej \ rangle = (-1) ^ {2 s} \ po lewej | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ po prawej \ rangle .}$

Na krawędzi ułamkowy kwantowy efekt Halla jest ograniczony do poruszania się w jednym wymiarze przestrzeni. Podstawą przedstawionych powyżej relacji komutacyjnych są matematyczne modele jednowymiarowych anionów.

W trójwymiarowej przestrzeni pozycyjnej operatory statystyczne fermionów i bozonów (odpowiednio -1 i +1) są tylko jednowymiarowymi reprezentacjami grupy permutacyjnej ( S _N z N nierozróżnialnych cząstek) działającej w przestrzeni funkcji falowych. W ten sam sposób, w przestrzeni dwuwymiarowej stanowisko, abelowe anyonic statystyki operatorów ( e ^iθ ) przedstawiają tylko jedno-wymiarowej grupy oplot ( B _N o N odróżnić cząstki) działającą w przestrzeni funkcji fali. Statystyki anionowe nieabelowe są wyższymi wymiarami reprezentacji grupy warkoczy. Statystyki anyonicznej nie należy mylić z parastatystyką , która opisuje statystykę cząstek, których funkcje falowe są reprezentacjami grupy permutacyjnej w wyższych wymiarach.

Równoważność topologiczna

Fakt, że klasy homotopii ścieżek (tj. pojęcie równoważności na warkoczach ) są istotnymi wskazówkami na temat bardziej subtelnego wglądu. Wynika ona z całki ścieżki Feynmana , w której wszystkie ścieżki od punktu początkowego do końcowego w czasoprzestrzeni mają odpowiedni współczynnik fazowy . Feynman integralną ścieżka może być uzasadnione ze rozszerzenie propagatora użyciu metody zwanej szczelin czasowych, w którym to czasie jest zdyskretyzowany.

W ścieżkach niehomotopowych nie można przejść z dowolnego punktu w jednym wycinku czasu do żadnego innego punktu w następnym wycinku czasu. Oznacza to, że możemy uznać, że homotopowa klasa równoważności ścieżek ma różne współczynniki wagowe.

Można więc zauważyć, że topologiczne pojęcie równoważności pochodzi z badania całki ścieżki Feynmana .

Aby uzyskać bardziej przejrzysty sposób postrzegania, że ​​homotopiczne pojęcie równoważności jest „właściwym” do użycia, zobacz efekt Aharonova-Bohma .

Eksperyment

Grupa fizyków teoretycznych pracujących na Uniwersytecie w Oslo , kierowana przez Jona Leinaasa i Jana Myrheima , obliczyła w 1977 roku, że tradycyjny podział na fermiony i bozony nie będzie miał zastosowania do cząstek teoretycznych istniejących w dwóch wymiarach . Oczekuje się, że takie cząstki będą wykazywać różnorodny zakres wcześniej nieoczekiwanych właściwości. W 1982 roku Frank Wilczek opublikował w dwóch artykułach, badając ułamkowe statystyki quasicząstek w dwóch wymiarach, nadając im nazwę „anyon”.

Laughlin kwazicząstka interferometru skaningowego mikroskopu elektronowego z przyrządu półprzewodnikowego . Cztery jasnoszare regiony są bramkami Au / Ti nie zubożonych elektronów ; niebieskie krzywe są kanałami brzegowymi z ekwipotencjalnych tych niewyczerpanych elektronów. Ciemnoszare krzywe to wytrawione rowy pozbawione elektronów, niebieskie kropki to złącza tunelowe , żółte kropki to styki omowe . Elektrony w urządzeniu są ograniczone do płaszczyzny 2D.

Daniel Tsui i Horst Störmer odkryli ułamkowy kwantowy efekt Halla w 1982 roku. Matematyka opracowana przez Wilczka okazała się przydatna dla Bertranda Halperina z Uniwersytetu Harvarda w wyjaśnianiu jego aspektów. Frank Wilczek, Dan Arovas i Robert Schrieffer zweryfikowali to stwierdzenie w 1985 roku za pomocą jawnych obliczeń, które przewidywały, że cząstki istniejące w tych układach są w rzeczywistości anyonami.

W 2020 roku dwa zespoły naukowców (jeden w Paryżu, drugi w Purdue) ogłosiły nowe eksperymentalne dowody na istnienie anyonów. Oba eksperymenty opisywany w Discover Magazine ' s 2020 rocznego «stan nauki» problem.

W kwietniu 2020 r. naukowcy z École normale supérieure (Paryż) i Centrum Nanonauk i Nanotechnologii (C2N) ogłosili wyniki z maleńkiego „zderzacza cząstek” dla wszystkich. Wykryli właściwości, które odpowiadały przewidywaniom teorii dla anyonów.

W lipcu 2020 roku naukowcy z Purdue University wykryli osoby korzystające z innej konfiguracji. Interferometr zespołu kieruje elektrony przez specyficzną, przypominającą labirynt, wytrawioną nanostrukturę wykonaną z arsenku galu i arsenku galu glinu. „W przypadku naszych anyonów faza generowana przez splatanie wynosiła 2π/3” – powiedział. „To coś innego niż to, co widziano wcześniej w naturze”.

Nieabelowe anyony

W 1988 r. Jürg Fröhlich wykazał, że zgodnie z twierdzeniem ze statystyki spinowej wymiana cząstek może być monoidalna (statystyka nieabelowa). W szczególności można to osiągnąć, gdy układ wykazuje pewną degenerację, tak że wiele różnych stanów układu ma tę samą konfigurację cząstek. Wtedy wymiana cząstek może przyczynić się nie tylko do zmiany fazy, ale może wprowadzić system w inny stan z tą samą konfiguracją cząstek. Wymiana cząstek odpowiada zatem liniowej transformacji na tej podprzestrzeni stanów zdegenerowanych. Gdy nie ma degeneracji, ta podprzestrzeń jest jednowymiarowa, a więc wszystkie takie przekształcenia liniowe komutują (ponieważ są to mnożenia przez czynnik fazowy). Gdy występuje degeneracja i ta podprzestrzeń ma wyższy wymiar, to te przekształcenia liniowe nie muszą komutować (tak jak nie ma mnożenia macierzy).

Gregory Moore , Nicholas Read i Xiao-Gang Wen wskazali, że statystyki nieabelowe mogą być realizowane w ułamkowym kwantowym efekcie Halla (FQHE). Podczas gdy początkowo nieabelowe anyony były powszechnie uważane za matematyczną ciekawostkę, fizycy zaczęli forsować swoje odkrycie, gdy Aleksiej Kitaev pokazał, że nieabelowe anyony mogą być użyte do skonstruowania topologicznego komputera kwantowego . Od 2012 r. żaden eksperyment nie wykazał jednoznacznie istnienia nieabelowych anyonów, chociaż obiecujące wskazówki pojawiają się w badaniu stanu ν = 5/2 FQHE. Eksperymentalne dowody nieabelowych anyonów, choć jeszcze nie rozstrzygające i obecnie kwestionowane, zostały zaprezentowane w październiku 2013 r.

Fuzja anyonów

W podobny sposób, w jaki dwa fermiony (np. oba o spinie 1/2) mogą być postrzegane razem jako bozon złożony (z całkowitym spinem w superpozycji 0 i 1), dwa lub więcej anyonów razem tworzy złożony anion ( ewentualnie bozon lub fermion). Mówi się, że kompozyt anyon jest wynikiem fuzji jego składników.

Jeśli identyczne anony abelowe, każdy z indywidualnymi statystykami (to znaczy, że system przechodzi w fazę, w której dwa indywidualne anyony przechodzą adiabatyczną wymianę przeciwną do ruchu wskazówek zegara), wszystkie łączą się ze sobą, razem mają statystyki . Można to zobaczyć, zauważając, że po obrocie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dwóch złożonych anionów wokół siebie, istnieją pary pojedynczych anionów (jeden w pierwszym złożonym anyonie, jeden w drugim złożonym anyonie), z których każdy przyczynia się do fazy . Analogiczna analiza dotyczy fuzji nieidentycznych anionów abelowych. Statystyki kompozytu anyon są jednoznacznie określone przez statystyki jego składników. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle e ^ {i \ alfa}}$${\ Displaystyle N ^ {2} \ alfa}$${\ Displaystyle N ^ {2}}$${\ Displaystyle e ^ {i \ alfa}}$

Nieabelowe anyony mają bardziej skomplikowane relacje fuzji. Z reguły w układzie z anionami nieabelowymi istnieje cząstka złożona, której etykieta statystyczna nie jest jednoznacznie określona przez etykiety statystyczne jej składników, ale raczej istnieje jako superpozycja kwantowa (jest to całkowicie analogiczne do tego, jak znane są dwa fermiony). mieć spin 1/2 są razem w superpozycji kwantowej całkowitego spinu 1 i 0). Jeśli znana jest ogólna statystyka fuzji wszystkich kilku anyonów, nadal istnieje niejednoznaczność w fuzji niektórych podzbiorów tych anyonów, a każda możliwość jest unikalnym stanem kwantowym. Te wielokrotne stany zapewniają przestrzeń Hilberta, na której można wykonać obliczenia kwantowe.

Podstawa topologiczna

Obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

Zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Wymiana dwóch cząstek w czasoprzestrzeni 2+1 przez obrót. Obroty są nierówne, ponieważ jednego nie można zdeformować w drugie (bez linii świata opuszczających płaszczyznę, niemożliwość w przestrzeni dwuwymiarowej).

W więcej niż dwóch wymiarach twierdzenie o statystyce spinowej mówi, że każdy stan wielocząstkowy nierozróżnialnych cząstek musi być zgodny ze statystyką Bosego-Einsteina lub Fermiego-Diraca. Dla dowolnego d  > 2, grupy Liego SO( d ,1) (która uogólnia grupę Lorentza ) i Poincaré( d ,1) mają Z ₂ jako pierwszą grupę homotopii . Ze względu na cykliczną grupę Z ₂ składa się z dwóch elementów pozostaje tylko dwie możliwości. (Szczegóły są bardziej skomplikowane, ale to jest kluczowy punkt).

Sytuacja zmienia się w dwóch wymiarach. Tutaj pierwsza grupa homotopii SO(2,1), a także Poincaré(2,1), to Z (nieskończony cykliczny). Oznacza to, że Spin(2,1) nie jest uniwersalną osłoną : nie jest po prostu podłączona . W szczególności, istnieje rzutowe oświadczenia o specjalnym ortogonalne grupy SO (2,1), które nie wynikają z liniowych reprezentacji tak (2,1), lub jego podwójnym opakowaniu The grupa wirowania wirówki (2,1). Anyony są równomiernie komplementarnymi reprezentacjami polaryzacji spinu przez naładowaną cząstkę.

Ta koncepcja dotyczy również systemów nierelatywistycznych. Istotną częścią tego jest to, że grupa rotacji przestrzennej SO(2) ma nieskończoną pierwszą grupę homotopii.

Fakt ten jest również związany z grupami warkoczy dobrze znanymi w teorii węzłów . Zależność można zrozumieć, gdy weźmie się pod uwagę fakt, że w dwóch wymiarach grupa permutacji dwóch cząstek nie jest już symetryczną grupą S ₂ (z dwoma elementami), ale raczej grupą oplotów B ₂ (z nieskończoną liczbą elementów). Istotną kwestią jest to, że jeden warkocz może nawijać się wokół drugiego, czynność, którą można wykonywać nieskończenie często, zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Bardzo innym podejściem do problemu stabilności i dekoherencji w obliczeniach kwantowych jest stworzenie topologicznego komputera kwantowego z anyonami, quasi-cząstkami używanymi jako wątki i poleganie na teorii plecionek w celu utworzenia stabilnych bramek logicznych .

Wyższe uogólnienie wymiarowe

Ułamkowe wzbudzenia jako cząstki punktowe mogą być bozonami, fermionami lub anyonami w wymiarach czasoprzestrzennych 2+1. Wiadomo, że cząstki punktowe mogą być tylko bozonami lub fermionami w 3+1 i wyższych wymiarach czasoprzestrzeni. Jednak wzbudzenia typu pętla (lub sznur) lub membrana są obiektami rozszerzonymi, które mogą mieć ułamkowe statystyki. Obecne prace badawcze pokazują, że wzbudzenia przypominające pętle i łańcuchy istnieją dla porządków topologicznych w 3+1 wymiarowej czasoprzestrzeni, a ich statystyki wielopętlowe/strunowe są kluczowymi sygnaturami do identyfikacji 3+1 wymiarowych porządków topologicznych. Statystyka wielopętlowych/strunowych splotów 3+1-wymiarowych porządków topologicznych może być uchwycona przez niezmienniki poszczególnych topologicznych teorii pola kwantowego w 4 wymiarach czasoprzestrzeni. Wyjaśnione w potoczny sposób, rozszerzone obiekty (pętla, struna, membrana itp.) mogą być potencjalnie dowolne w 3+1 i wyższych wymiarach czasoprzestrzeni w splątanych układach dalekiego zasięgu .

Zobacz też

• Algebra Anyonic Lie  – U(1) stopniowana przestrzeń wektorowa L nad C wyposażona w operator dwuliniowy
• Rurka strumieniowa  – rurkowaty obszar przestrzeni ze stałym strumieniem magnetycznym na całej swojej długości
• Teoria Ginzburga-Landaua  – teoria nadprzewodnictwa
• Reprezentacja Husimi Q  — narzędzie do symulacji fizyki obliczeniowej
• Efekt Josephsona  – kwantowe zjawisko fizyczne
• Makroskopowe zjawiska kwantowe  – Makroskopowe procesy wykazujące zachowanie kwantowe
• Domena magnetyczna  – region materiału magnetycznego, w którym namagnesowanie ma jednolity kierunek
• Kwant strumienia magnetycznego  – skwantowana jednostka strumienia magnetycznego
• Efekt Meissnera  – wyrzucenie pola magnetycznego z nadprzewodnika podczas jego przejścia do stanu nadprzewodzącego
• Plekton  – cząstka teoretyczna
• Wir kwantowy  – skwantowany obieg strumienia pewnej wielkości fizycznej
• Macierz  losowa – zmienna losowa o wartościach macierzystych
• Wada topologiczna  – Rodzaj struktury w mechanice kwantowej
• Topologiczne obliczenia kwantowe  – Hipotetyczny, odporny na uszkodzenia komputer kwantowy oparty na topologicznej materii skondensowanej

Bibliografia

Dalsza lektura

• Nayak, Chetan; Simon, Steven H.; Surowy, Ady; Wyzwoleniec, Michael; Das Sarma, Sankar (2008). „Nieabelowe anyony i topologiczne obliczenia kwantowe”. Recenzje fizyki współczesnej . 80 (3): 1083. arXiv : 0707.1889 . Kod bib : 2008RvMP...80.1083N . doi : 10.1103/RevModPhys.80.1083 . S2CID  119628297 .
• Wen, Xiao-Gang (15 kwietnia 2002). "Porządki kwantowe i symetryczne ciecze spinowe" (PDF) . Przegląd fizyczny B . 65 (16): 165113. arXiv : cond-mat/0107071 . Kod bib : 2002PhRvB..65p5113W . doi : 10.1103/PhysRevB.65.165113 . S2CID  119061254 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 9 czerwca 2011 r.
• Stern, Ady (2008). „Anyons i kwantowy efekt Halla — przegląd pedagogiczny” (PDF) . Roczniki Fizyki . 323 (1): 204–249. arXiv : 0711.4697 . Kod Bibcode : 2008AnPhy.323..204S . doi : 10.1016/j.aop.2007.10.008 . S2CID  15582782 .
• Najjar, Dana (2020). „ Dowód „ kamienia milowego” dla Anyons, trzeciego królestwa cząstek” . Magazyn Quanty .