Apoloniusz z Pergi - Apollonius of Perga

W stożkowych lub dwuwymiarowe postaci utworzonych na przecięciu płaszczyzny z stożka pod różnymi kątami. Teoria tych postaci została szeroko rozwinięta przez starożytnych matematyków greckich, przetrwała zwłaszcza w pracach takich jak Apoloniusz z Pergi. Sekcje stożkowe przenikają współczesną matematykę.

Apoloniusz z Pergi ( gr . Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ; łac . Apollonius Pergaeus ; ok.  240 pne  - ok.  190 pne ) był starożytnym greckim geometrem i astronomem znanym z pracy na przekrojach stożkowych . Zaczynając od wkładu Euklidesa i Archimedesa na ten temat, doprowadził je do stanu sprzed wynalezienia geometrii analitycznej . Jego definicje terminów elipsa , parabola i hiperbola są obecnie używane. Gottfried Wilhelm Leibniz stwierdził: „Kto rozumie Archimedesa i Apoloniusza, mniej będzie podziwiał osiągnięcia najwybitniejszych ludzi późniejszych czasów”.

Apolloniusz zajmował się wieloma innymi tematami, w tym astronomią. Większość tej pracy nie zachowała się, gdzie wyjątkami są zazwyczaj fragmenty, do których odwołują się inni autorzy. Jego hipoteza o ekscentrycznych orbitach wyjaśniających pozornie nieprawidłowy ruch planet , powszechnie uważana aż do średniowiecza , została zastąpiona w okresie renesansu . Na jego cześć nazwano krater Apollonius na Księżycu .

Życie

Jak na tak ważnego twórcę matematyki , pozostaje niewiele informacji biograficznych. Komentator grecki z VI wieku, Eutocjusz z Askalonu , na temat głównego dzieła Apoloniusza , Conics , stwierdza:

Apoloniusz, geometra, ... pochodził z Pergi w Pamfilii w czasach Ptolemeusza Euergetesa, więc odnotowuje Herakleiosa, biografa Archimedesa ....

Perga w tym czasie była zhellenizowanym miastem Pamfilii w Anatolii . Ruiny miasta jeszcze stoją. Było to centrum kultury hellenistycznej. Euergetes, „dobroczyńca”, identyfikuje Ptolemeusza III Euergetesa , trzeciego greckiego dynastę Egiptu w sukcesji diadochów. Przypuszczalnie jego „czasy” to jego panowanie, 246-222/221 pne. Czasy są zawsze odnotowywane przez władcę lub sędziego urzędującego, tak że gdyby Apoloniusz urodził się przed 246 rokiem, byłyby to „czasy” ojca Euergetesa. Tożsamość Herakleiosa jest niepewna. Przybliżone czasy Apoloniusza są więc pewne, ale nie można podać dokładnych dat. Cyfra Poszczególne lata urodzenia i śmierci podawane przez różnych uczonych są jedynie spekulacjami.

Eutocjusz wydaje się kojarzyć Pergę z dynastią Ptolemeuszy w Egipcie. Nigdy pod Egiptem, Perga w 246 pne należała do Imperium Seleucydów , niezależnego państwa diadochi rządzonego przez dynastię Seleucydów. W drugiej połowie III wieku p.n.e. Perga kilkakrotnie przechodziła z rąk do rąk, będąc na przemian pod Seleucydami i Królestwem Pergamonu na północy, rządzonym przez dynastię Attalidów . Można się było spodziewać, że mieszkał tam i pracował ktoś określony jako „z Pergi”. Wręcz przeciwnie, jeśli Apoloniusz został później utożsamiony z Pergą, to nie na podstawie jego miejsca zamieszkania. Pozostały materiał autobiograficzny sugeruje, że mieszkał, studiował i pisał w Aleksandrii.

List greckiego matematyka i astronoma Hypsicles był pierwotnie częścią dodatku zaczerpniętego z Księgi Euklidesa XIV, części trzynastu ksiąg Elementów Euklidesa.

Bazylides z Tyru , o Protarchosie, kiedy przybył do Aleksandrii i spotkał mego ojca, spędził z nim większą część swego pobytu ze względu na więź między nimi wynikającą z ich wspólnego zainteresowania matematyką. I pewnego razu, zaglądając do traktatu Apoloniusza o porównaniu dwunastościanu i dwudziestościanu wpisanych w jedną i tę samą sferę, to znaczy na pytanie, jaki stosunek do siebie niosą, doszli do wniosku że potraktowanie tego przez Apoloniusza w tej księdze nie było prawidłowe; zgodnie z tym, jak zrozumiałem od mojego ojca, przystąpili do poprawiania i przepisywania. Ale ja sam później natknąłem się na inną książkę opublikowaną przez Apoloniusza, zawierającą przedstawienie tej sprawy, i bardzo mnie pociągnęło jego badanie problemu. Teraz książka wydana przez Apoloniusza jest dostępna dla wszystkich; ma bowiem duży nakład w formie, która wydaje się być wynikiem późniejszego starannego opracowania. Ze swojej strony postanowiłem poświęcić ci to, co uważam za konieczne, w formie komentarza, częściowo dlatego, że dzięki swojej biegłości we wszelkiej matematyce, a zwłaszcza w geometrii, będziesz mógł wydać ekspertyzę na temat tego, kim jestem. mam zamiar pisać, a częściowo dlatego, że ze względu na twoją zażyłość z moim ojcem i twoje przyjazne nastawienie do mnie, przychylisz się do mojego spór. Ale nadszedł czas, aby skończyć z preambułą i rozpocząć sam traktat.

Czasy Apoloniusza

Apolloniusz żył pod koniec okresu historycznego zwanego obecnie okresem hellenistycznym , charakteryzującym się nakładaniem się kultury helleńskiej na rozległe regiony nie-hellenijskie na różnych głębokościach, radykalnej w niektórych miejscach, prawie wcale w innych. Zmianę zapoczątkowali Filip II Macedoński i jego syn Aleksander Wielki , który poddając całą Grecję w serii oszałamiających zwycięstw, podbił Imperium Perskie , które władało terytoriami od Egiptu po Pakistan. Filip został zamordowany w 336 pne. Aleksander zrealizował swój plan, podbijając rozległe imperium perskie.

Krótka autobiografia Apoloniusza

Materiał znajduje się w ocalałych fałszywych „Przedmowach” ksiąg Conics. Są to listy do wpływowych przyjaciół Apoloniusza z prośbą o zrecenzowanie załączonej do listu księgi. Przedmowa do Księgi I, zaadresowana do niejakiego Eudemusa, przypomina mu, że Conics został początkowo poproszony przez gościa domu w Aleksandrii, geometra Naucratesa, skądinąd nieznanego historii. Pod koniec wizyty Naucrates miał w rękach pierwszy szkic wszystkich ośmiu książek. Apoloniusz odnosi się do nich jako „bez gruntownego oczyszczenia” (po grecku ou diakatharantes , po łacinie ea non perpurgaremus ). Zamierzał weryfikować i poprawiać księgi, wypuszczając każdą po ukończeniu.

Słysząc o tym planie od samego Apoloniusza podczas kolejnej wizyty tego ostatniego w Pergamonie, Eudemus nalegał, aby Apoloniusz wysyłał mu każdą księgę przed wydaniem. Okoliczności sugerują, że na tym etapie Apolloniusz był młodym geometrem szukającym towarzystwa i porady uznanych profesjonalistów. Pappus twierdzi, że był z uczniami Euklidesa w Aleksandrii. Euklidesa już dawno nie było. Ten pobyt był być może ostatnim etapem edukacji Apoloniusza. Eudemus był prawdopodobnie starszą postacią we wcześniejszej edukacji w Pergamonie; w każdym razie istnieją powody, by sądzić, że był lub został szefem Biblioteki i Centrum Badawczego ( Muzeum ) Pergamonu. Apolloniusz stwierdza dalej, że pierwsze cztery księgi dotyczyły rozwoju żywiołów, podczas gdy ostatnie cztery dotyczyły specjalnych tematów.

Między przedmami I i II jest jakaś luka. Apoloniusz wysłał swojego syna, także Apoloniusza, aby dostarczył II. Mówi z większą pewnością siebie, sugerując, że Eudemus używał książki w specjalnych grupach badawczych, co sugeruje, że Eudemus był starszą postacią, jeśli nie dyrektorem, w centrum badawczym. Badania w takich instytucjach, które nastąpiły po modelu Lycaeum od Arystotelesa w Atenach, ze względu na siedziby Aleksandra Wielkiego i jego towarzyszy w jego północnej oddziału, był częścią wysiłków edukacyjnych, do których biblioteka i muzeum były dodatkiem. W stanie była tylko jedna taka szkoła. Będąc własnością króla, znajdował się pod królewskim patronatem, który był typowo zazdrosny, entuzjastyczny i partycypacyjny. Królowie kupowali, błagali, pożyczali i kradli cenne księgi, kiedy tylko mogli i gdzie tylko mogli. Książki miały najwyższą wartość, na którą mogli sobie pozwolić tylko zamożni mecenasi. Ich zebranie było królewskim obowiązkiem. Pergamon był znany z produkcji pergaminów, skąd „ pergamin ” pochodzi od „Pergamon”.

Apolloniusz przywodzi na myśl Filonidesa z Laodycei , geometra, którego przedstawił Eudemosowi w Efezie . Filonides został uczniem Eudemusa. Mieszkał głównie w Syrii w I połowie II wieku p.n.e. To, czy spotkanie wskazuje, że Apoloniusz mieszkał teraz w Efezie, pozostaje nierozstrzygnięte. Społeczność intelektualna Morza Śródziemnego była kulturowo międzynarodowa. Uczeni byli mobilni w poszukiwaniu pracy. Wszyscy komunikowali się za pośrednictwem jakiejś usługi pocztowej, publicznej lub prywatnej. Ocalałe litery są obfite. Odwiedzali się nawzajem, czytali swoje prace, przedstawiali sobie nawzajem sugestie, polecali uczniów i gromadzili tradycję nazywaną przez niektórych „złotym wiekiem matematyki”.

Brak przedmowy III. W czasie przerwy Eudemus zmarł, mówi Apoloniusz w IV, ponownie potwierdzając pogląd, że Eudemus był starszy od Apoloniusza. Przedmowy IV–VII są bardziej formalne, pomijają dane osobowe i koncentrują się na podsumowaniu książek. Wszystkie są adresowane do tajemniczego Attalosa, wyboru dokonanego „ponieważ – jak pisze Apoloniusz do Attala – „z twego szczerego pragnienia posiadania moich dzieł”. W tym czasie wielu ludzi w Pergamonie miało takie pragnienie. Przypuszczalnie ten Attalus był kimś wyjątkowym, otrzymując kopie arcydzieła Apoloniusza prosto z ręki autora. Jedna silna teoria głosi, że Attalus to Attalus II Philadelphus , 220-138 pne, generał i obrońca królestwa swego brata ( Eumenes II ), współregent w sprawie jego choroby w 160 pne i następca tronu i wdowa po nim w 158 pne . On i jego brat byli wielkimi mecenasami sztuki, rozszerzając bibliotekę do międzynarodowej świetności. Daty są zgodne z datami Filonidesa, a motyw Apoloniusza jest zgodny z inicjatywą kolekcjonerską Attalosa.

Apoloniusz wysłał do Attalosa Przedmowy V–VII. W Przedmowie VII opisuje księgę VIII jako „dodatek”... „który postaram się wysłać tak szybko, jak to możliwe”. Nie ma żadnego zapisu, że kiedykolwiek został wysłany lub kiedykolwiek ukończony. Być może nie ma go w historii, ponieważ nigdy nie było go w historii, ponieważ Apoloniusz zmarł przed jego ukończeniem. Pappus z Aleksandrii dostarczył jednak lematów, więc przynajmniej niektóre jego wydania musiały być kiedyś w obiegu.

Udokumentowane dzieła Apoloniusza

Apoloniusz był płodnym geometrem, wykonującym wiele prac. Tylko jedna przetrwała, Conics Z jej ośmiu ksiąg, tylko pierwsze cztery mają wiarygodne roszczenie , że wywodzą się z oryginalnych tekstów Apoloniusza. Księgi 5-7 są dostępne tylko w arabskim tłumaczeniu Thābita ibn Qurry na zlecenie Banū Mūsā . Oryginalna greka zaginęła. Status Księgi VIII jest nieznany. Istniał pierwszy szkic. Nie wiadomo, czy ostateczna wersja robocza została kiedykolwiek sporządzona. Jego „rekonstrukcja” autorstwa Edmonda Halleya istnieje po łacinie. Nie ma sposobu, aby dowiedzieć się, ile z tego, jeśli w ogóle, jest podobne do Apoloniusza. Halley zrekonstruował także De Rationis Sectione i De Spatii Sectione . Poza tymi pracami, z wyjątkiem kilku fragmentów, dokumentacja, którą można by w jakikolwiek sposób zinterpretować jako schodzącą z końców Apoloniusza.

Wiele z zaginionych dzieł jest opisywanych lub wspominanych przez komentatorów. Ponadto są pomysły przypisywane Apoloniuszowi przez innych autorów bez dokumentacji. Wiarygodne czy nie, są pogłoskami. Niektórzy autorzy utożsamiają Apoloniusza jako autora pewnych idei, stąd nazwali go jego imieniem. Inni próbują wyrazić Apoloniusza w nowoczesnej notacji lub frazeologii z nieokreślonymi stopniami wierności.

Stożkowe

Grecki tekst Conics posługuje się euklidesowym układem definicji, figur i ich części; tj. „dane”, po których następują propozycje „do udowodnienia”. Księgi I-VII prezentują 387 propozycji. Tego typu układ można zobaczyć w każdym podręczniku współczesnej geometrii o tematyce tradycyjnej. Jak na każdym kursie matematyki, materiał jest bardzo gęsty, a rozważanie go z konieczności powolne. Apoloniusz miał plan dla każdej księgi, który jest częściowo opisany w Przedmowach . Nagłówki lub wskazówki do planu są nieco ubogie, ponieważ Apoloniusz polegał bardziej na logicznym przebiegu tematów.

Powstaje w ten sposób intelektualna nisza dla komentatorów wieków. Każdy musi przedstawić Apoloniusza w sposób najbardziej przejrzysty i odpowiedni dla swoich czasów. Używają różnych metod: adnotacji, obszernego materiału wstępnego, różnych formatów, dodatkowych rysunków, powierzchownej reorganizacji przez dodanie capita i tak dalej. Istnieją subtelne różnice w interpretacji. Współczesny mówca po angielsku napotyka na brak materiałów w języku angielskim ze względu na preferowanie przez angielskich uczonych języka nowej łaciny. Takich intelektualnych angielskich gigantów, jak Edmund Halley i Isaac Newton, właściwych potomków hellenistycznej tradycji matematyki i astronomii, mogą czytać i interpretować w przekładzie tylko populacje anglojęzycznych osób nieznających języków klasycznych; to znaczy większość z nich.

Prezentacje napisane w całości w rodzimym języku angielskim rozpoczęły się pod koniec XIX wieku. Na szczególną uwagę zasługuje Traktat Heatha o przekrojach stożkowych . Jego obszerny wstępny komentarz zawiera m.in. leksykon apollińskich terminów geometrycznych podających grecki, znaczenia i użycie. Komentując, że „pozornie złowroga większość traktatu odstraszyła wielu od prób nawiązania znajomości”, obiecuje dodać nagłówki, powierzchownie zmienić organizację i doprecyzować tekst za pomocą nowoczesnej notacji. Jego praca odnosi się zatem do dwóch systemów organizacji, własnego i Apoloniusza, z którymi w nawiasach podano konkordancje.

Praca Heatha jest niezbędna. Uczył przez cały początek XX wieku, odszedł w 1940 roku, ale w międzyczasie rozwijał się inny punkt widzenia. St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , który był szkołą wojskową od czasów kolonialnych, poprzedzając Akademię Marynarki Wojennej Stanów Zjednoczonych w Annapolis w stanie Maryland , z którym sąsiaduje, w 1936 utracił akredytację i był na skraju bankructwa . W desperacji zarząd wezwał Stringfellowa Barra i Scotta Buchanana z Uniwersytetu Chicago , gdzie opracowywali nowy teoretyczny program nauczania klasyki. Korzystając z okazji, w 1937 r. ustanowili „nowy program” w St. John's, nazwany później programem Wielkich Księgi , stały program nauczania, który miał uczyć dzieł wybranych kluczowych twórców kultury zachodniej cywilizacji. U św. Jana Apoloniusz uczył się jak on sam, a nie jako jakiś pomocnik geometrii analitycznej .

„Nauczycielem” Apoloniusza był R. Catesby Taliaferro , nowy doktorat z University of Virginia w 1937 roku . Uczył do 1942, a potem przez rok w 1948, sam dostarczając angielskie tłumaczenia, tłumacząc Almagest Ptolemeusza i Stożek Apoloniusza . Przekłady te stały się częścią serii Great Books of the Western World wydanej przez Encyclopædia Britannica . Uwzględniono tylko księgi I-III, z dodatkiem na tematy specjalne. W przeciwieństwie do Heatha, Taliaferro nie próbował przeorganizować Apoloniusza, nawet powierzchownie, ani go przepisać. Jego przekład na współczesny angielski jest dość zbliżony do greckiego. W pewnym stopniu posługuje się nowoczesną notacją geometryczną.

Równocześnie z pracami Taliaferro, Ivor Thomas , don Oksfordu z czasów II wojny światowej, intensywnie interesował się matematyką grecką. Zaplanował kompendium selekcji, które urzeczywistniło się podczas jego służby wojskowej jako oficer w Królewskim Pułku Norfolk . Po wojnie znalazła dom w Bibliotece Klasycznej Loeba , gdzie zajmuje dwa tomy, wszystkie przetłumaczone przez Thomasa, z greckim po jednej stronie i angielskim po drugiej, jak to jest w zwyczaju dla serii Loeb. Praca Thomasa służyła jako podręcznik złotej ery greckiej matematyki. Dla Apoloniusza zawiera on tylko te fragmenty Księgi I, które definiują sekcje.

Heath, Taliaferro i Thomas zaspokajali publiczne zapotrzebowanie na tłumaczenia Apoloniusza przez większą część XX wieku. Temat porusza się dalej. Nowsze tłumaczenia i opracowania zawierają nowe informacje i punkty widzenia, a także analizują stare.

Książka

Książka I przedstawia 58 propozycji. Jego najistotniejszą treścią są wszystkie podstawowe definicje dotyczące stożków i przekrojów stożkowych. Te definicje nie są dokładnie takie same jak współczesne te same słowa. Etymologicznie współczesne słowa wywodzą się od starożytnych, ale etymon często różni się znaczeniem od jego odruchu .

Powierzchnia stożkowa jest generowana przez segment linii obrócony o dwusiecznej punkcie tak, że punkty końcowe śladowe koła , każdy w swojej płaszczyźnie . Stożka , jedna gałąź podwójnej stożkowej powierzchni, to powierzchnia z punktu ( wierzchołku lub wierzchołka ), koło ( podstawa ), a oś, linia łącząca wierzchołki i środek podstawy.

„ Przekrój ” (łac. sectio, grecki tom) to wyimaginowane „przecięcie” stożka przez płaszczyznę .

• Twierdzenie I.3: „Jeśli stożek jest przecięty płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, przekrój jest trójkątem”. W przypadku podwójnego stożka przekrój to dwa trójkąty, tak że kąty na wierzchołku są kątami pionowymi .
• Twierdzenie I.4 głosi, że odcinki stożka równoległe do podstawy są okręgami o środkach na osi.
• Twierdzenie I.13 definiuje elipsę, która jest rozumiana jako przecięcie pojedynczego stożka przez płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy i przecięcie tej ostatniej w linii prostopadłej do średnicy rozciągniętej podstawy na zewnątrz stożka (nie pokazano) . Kąt pochyłej płaszczyzny musi być większy od zera, inaczej przekrój będzie kołem. Musi być mniejszy niż odpowiedni kąt podstawy trójkąta osiowego, przy którym figura staje się parabolą.
• Twierdzenie I.11 definiuje parabolę. Jego płaszczyzna jest równoległa do boku na powierzchni stożkowej trójkąta osiowego.
• Twierdzenie I.12 definiuje hiperbolę. Jego płaszczyzna jest równoległa do osi. Przeciął oba szyszki pary, uzyskując w ten sposób dwie odrębne gałęzie (pokazano tylko jedną).

Greccy geometrowie byli zainteresowani układaniem wybranych figur z ich inwentarza w różnych zastosowaniach inżynierii i architektury, do czego przyzwyczaili się wielcy wynalazcy, tacy jak Archimedes. Zapotrzebowanie na kształtowniki stożkowe istniało wtedy i istnieje obecnie. Rozwój charakterystyki matematycznej przesunął geometrię w kierunku greckiej algebry geometrycznej , która wizualnie zawiera takie podstawy algebraiczne, jak przypisywanie wartości do odcinków linii jako zmiennych. Wykorzystali układ współrzędnych pośredniczący między siatką pomiarów a kartezjańskim układem współrzędnych . Teorie proporcji i zastosowania obszarów pozwoliły na opracowanie równań wizualnych. (Patrz poniżej w Metodach Apoloniusza).

Animowana figura przedstawia metodę „nakładania obszarów”, aby wyrazić matematyczną zależność charakteryzującą parabolę. Lewy górny róg prostokąta zmieniającego się po lewej stronie i prawy górny róg po prawej stronie to „dowolny punkt na przekroju”. Animacja ma to po sekcji. Pomarańczowy kwadrat u góry to „kwadrat odległości od punktu do średnicy, tj. kwadrat rzędnej. W Apoloniuszu orientacja jest pozioma, a nie pionowa pokazana tutaj. Bez względu na orientację równanie jest takie samo, nazwy zmienione Niebieski prostokąt na zewnątrz to prostokąt na drugiej współrzędnej i odległości p. W algebrze x ² = py, jedna postać równania paraboli. zewnętrzny prostokąt przekracza obszar py, przekrój musi być hiperbolą, jeśli jest mniejszy, elipsą.

„Zastosowanie obszarów” domyślnie pyta, biorąc pod uwagę obszar i odcinek linii, czy ten obszar ma zastosowanie; czyli czy jest równy kwadratowi na odcinku? Jeśli tak, ustalono zastosowanie (parabol). Apoloniusz podążył za Euklidesem, pytając, czy prostokąt na odciętej dowolnego punktu przekroju odnosi się do kwadratu rzędnej . Jeśli tak, to jego równanie słowne jest odpowiednikiem jednej z nowoczesnych postaci równania paraboli . Prostokąt ma boki i . To on odpowiednio nazwał tę figurę, parabolą, „aplikacją”. ${\textstyle y^{2}{=}kx}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$

Przypadek „braku zastosowania” dzieli się dalej na dwie możliwości. Biorąc pod uwagę funkcję , taką, że w przypadku zastosowania , w przypadku braku zastosowania albo albo . W pierwszym przypadku brakuje wielkości określanej jako wielokropek, „deficyt”. W tym ostatnim, przekroczenia o wielkość zwaną hiperbolą „przesytu”. ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y^{2}{=}g(x)}$${\textstyle y^{2}>g(x)}$${\textstyle y^{2}<g(x)}$${\textstyle g(x)}$${\textstyle y^{2}}$${\textstyle g(x)}$

Możliwość zastosowania można osiągnąć poprzez dodanie deficytu , lub odjęcie nadmiaru , . Figurę kompensującą deficyt nazwano elipsą; dla przesytu hiperbola. Warunki współczesnego równania zależą od przesunięcia i obrotu figury od początku, ale ogólne równanie elipsy, ${\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}$${\textstyle g(x)-s}$

Topór ² + O ² = C

można umieścić w formularzu

${\ Displaystyle y ^ {2} {=} \ lewo | {\ Frac {A} {B}} x ^ {2} \ prawo | + {\ Frac {C} {B}}}$

gdzie C/B to d, a równanie hiperboli,

Topór ² - O ² = C

staje się

${\ Displaystyle Y ^ {2} {=} \ lewo | {\ Frac {A} {B}} x ^ {2} \ prawo | - {\ Frac {C} {B}}}$

gdzie C/B to s.

Księga II

Księga II zawiera 53 propozycje. Apolloniusz mówi, że zamierzał objąć „własności związane ze średnicami i osiami, a także asymptotami i innymi rzeczami… dla granic możliwości”. Jego definicja „średnicy” różni się od tradycyjnej, ponieważ uważa za konieczne odesłanie zamierzonego adresata listu do jego pracy w celu uzyskania definicji. Wymienione elementy to te, które określają kształt i generację figur. Styczne są omówione na końcu książki.

Księga III

Księga III zawiera 56 propozycji. Apolloniusz twierdzi, że oryginalne odkrycie twierdzeń „użytecznych do budowy stałych loci... trzyliniowego i czteroliniowego locus ....” Miejscem przekroju stożkowego jest przekrój. Problem miejsc trzech linii (jak stwierdzono w dodatku Taliafero do Księgi III) stwierdza, że ​​„miejsce punktów, których odległości od trzech danych ustalonych linii prostych ... są takie, że kwadrat jednej z odległości jest zawsze w stałym stosunku do prostokąt zawarty w pozostałych dwóch odległościach”. To dowód na zastosowanie obszarów tworzących parabolę. Problem czterech linii skutkuje elipsą i hiperbolą. Geometria analityczna wywodzi te same loci z prostszych kryteriów wspieranych przez algebrę, a nie z geometrii, za którą bardzo chwalono Kartezjusza. Zastępuje Apoloniusza w swoich metodach.

Księga IV

Księga IV zawiera 57 propozycji. Pierwszy wysłany do Attalosa, a nie do Eudemusa, reprezentuje zatem jego bardziej dojrzałą myśl geometryczną. Temat jest dość specjalistyczny: „największa liczba punktów, w których odcinki stożka mogą się ze sobą zetknąć lub zetknąć się z obwodem koła…” Niemniej jednak wypowiada się z entuzjazmem, nazywając je „znaczącymi zastosowaniami” w rozwiązywaniu problemów (przedmowa 4).

Książka V

Księga V, znana tylko z przekładu z języka arabskiego, zawiera 77 propozycji, najwięcej ze wszystkich ksiąg. Obejmują elipsę (50 propozycji), parabolę (22) i hiperbolę (28). Nie jest to wprost temat, który w Przedmach I i V Apoloniusz określa jako linie maksimum i minimum. Terminy te nie zostały wyjaśnione. W przeciwieństwie do Księgi I, Księga V nie zawiera definicji ani wyjaśnień.

Ta dwuznaczność była magnesem dla egzegetów Apoloniusza, którzy muszą interpretować bez pewnej wiedzy o znaczeniu głównych terminów księgi. Do niedawna dominował pogląd Heatha: linie należy traktować jako normalne do odcinków. Normalnie w tym przypadku jest prostopadła do krzywej przy punkcie styczności czasami zwanym stopie. Jeśli odcinek jest wykreślony zgodnie z układem współrzędnych Apoloniusza (patrz poniżej w Metodach Apoloniusza), ze średnicą (przetłumaczoną przez Heatha jako oś) na osi X i wierzchołkiem na początku po lewej stronie, frazeologia propozycje wskazują, że minima/maksima znajdują się między sekcją a osią. Heath jest wprowadzany w swoje poglądy przez rozważenie stałego punktu p na odcinku służącym zarówno jako punkt styczny, jak i jako jeden koniec linii. Minimalna odległość między p a pewnym punktem g na osi musi być wtedy normalną z p.

We współczesnej matematyce, normalne do krzywych są znane jako położenie środka krzywizny tej małej części krzywej znajdującej się wokół stopy. Odległość od stopy do środka to promień krzywizny . Ten ostatni to promień okręgu, ale w przypadku innych niż kołowe krzywych, mały łuk można przybliżyć łukiem kołowym. Krzywizna krzywych niekołowych; np. przekroje stożkowe muszą się zmieniać nad przekrojem. Mapa środka krzywizny; tj. jego miejsce, w którym stopa porusza się nad sekcją, określane jest jako ewolucja sekcji. Taka figura, krawędź kolejnych pozycji linii, nazywana jest dziś kopertą . Heath wierzył, że w księdze V widzimy, jak Apoloniusz ustanawia logiczną podstawę teorii normalnych, ewolucyjnych i kopertowych.

Heath's został przyjęty jako autorytatywna interpretacja Księgi V przez cały XX wiek, ale zmiana wieku przyniosła ze sobą zmianę poglądów. W 2001 r. uczeni z Apolloniusza, Fried i Unguru, oddając należny szacunek innym rozdziałom dotyczącym Heatha, sprzeciwili się historyczności jego analizy Księgi V, twierdząc, że „przerabia oryginał, aby był bardziej odpowiedni dla współczesnego matematyka… tego rodzaju rzeczy, które sprawiają, że praca Heatha ma wątpliwą wartość dla historyka, ujawniając więcej umysłu Heatha niż myśli Apoloniusza. Niektóre z jego argumentów są podsumowane w następujący sposób. Nie ma wzmianki o tym, że maksima/minima są per se normalnymi ani we wstępach, ani we właściwych książkach. Spośród 50 propozycji Heatha, które mają obejmować normalne, tylko 7, Księga V: 27-33, określa lub sugeruje linie maksimum/minimum prostopadłe do stycznych. Te 7 smażonych klasyfikuje jako odosobnione, niezwiązane z głównymi tezami książki. W żaden sposób nie sugerują, że maksima/minima są ogólnie rzecz biorąc wartościami normalnymi. W swoim obszernym badaniu pozostałych 43 propozycji Fried udowadnia, że ​​wiele nie może być.

Fried i Unguru kontratakują, przedstawiając Apoloniusza jako kontynuację przeszłości, a nie zapowiedź przyszłości. Pierwsza to kompletne studium filologiczne wszystkich odniesień do linii minimum i maksimum, które ujawnia standardową frazeologię. Istnieją trzy grupy po 20-25 propozycji każda. Pierwsza grupa zawiera frazę „od punktu na osi do przekroju”, co jest dokładnym przeciwieństwem hipotetycznego „od punktu na przekroju do osi”. Ten pierwszy nie musi być do niczego normalny, chociaż może być. Mając stały punkt na osi, ze wszystkich linii łączących go ze wszystkimi punktami odcinka, jedna będzie najdłuższa (maksymalna), a druga najkrótsza (minimum). Inne zwroty to „w sekcji”, „wyrysowane z sekcji”, „odcięte między sekcją a jej osią”, odcięte przez oś – wszystkie odnoszą się do tego samego obrazu.

Zdaniem Frieda i Unguru tematem Księgi V jest dokładnie to, o czym mówi Apoloniusz, linie maksimum i minimum. Nie są to słowa kodowe dla przyszłych pojęć, ale odnoszą się do starożytnych pojęć, które były wówczas w użyciu. Autorzy cytują Euklidesa, Elementy, księgę III, która dotyczy okręgów oraz maksymalnych i minimalnych odległości od punktów wewnętrznych do obwodu. Nie przyznając się do żadnej konkretnej ogólności, używają terminów takich jak „lubię” czy „analog”. Są znani z innowacji terminu „podobny do neusis”. Konstrukcja neusis była metodą wpasowania danego odcinka między dwiema podanymi krzywymi. Mając punkt P i linijkę z zaznaczonym segmentem. jeden obraca linijkę wokół P, przecinając dwie krzywe, aż segment zostanie dopasowany między nimi. W Księdze V P jest punktem na osi. Obracając wokół niej linijkę odkrywamy odległości do przekroju, z których można odróżnić minimum i maksimum. Technika nie ma zastosowania do sytuacji, więc nie jest to neusis. Autorzy posługują się neusis-like, widząc archetypowe podobieństwo do metody antycznej.

Księga VI

Księga VI, znana tylko z przekładu z arabskiego, zawiera 33 twierdzenia, najmniej ze wszystkich. Ma również duże luki lub luki w tekście z powodu uszkodzeń lub zepsucia w poprzednich tekstach.

Temat jest stosunkowo jasny i niekontrowersyjny. Przedmowa 1 stwierdza, że ​​są to „równe i podobne odcinki stożków”. Apolloniusz rozszerza pojęcia kongruencji i podobieństwa przedstawione przez Euklidesa dla bardziej elementarnych figur, takich jak trójkąty, czworokąty, na przekroje stożkowe. Przedmowa 6 wspomina „sekcje i segmenty”, które są „równe i nierówne”, a także „podobne i niepodobne” oraz dodaje pewne informacje konstrukcyjne.

Księga VI zawiera powrót do podstawowych definicji na początku księgi. „ Równość ” jest określana przez zastosowanie obszarów. Jeśli jedna postać; to znaczy, że odcinek lub segment jest „stosowany” do drugiego (Halley si applicari possit altera super alteram ), są one „równe” ( aequales Halleya ), jeśli się pokrywają i żadna linia jednej nie przecina żadnej linii drugiej. Jest to oczywiście standard zgodności według Euklidesa, Księga I, Wspólne pojęcia, 4: „a rzeczy zbieżne ( epharmazanta ) ze sobą są równe ( isa )”. Koincydencja i równość nakładają się na siebie, ale nie są tym samym: zastosowanie obszarów użytych do określenia odcinków zależy od ilościowej równości obszarów, ale mogą one należeć do różnych liczb.

Pomiędzy instancjami, które są takie same (homos), równe sobie, a tymi, które są różne lub nierówne , znajdują się postacie „takie same” (hom-oios) lub podobne . Nie są ani całkowicie takie same, ani różne, ale mają wspólne aspekty, które są takie same i nie mają wspólnych aspektów, które są różne. Intuicyjnie geometrycy mieli na myśli skalę ; np. mapa jest podobna do regionu topograficznego. W ten sposób postacie mogą mieć większe lub mniejsze wersje samych siebie.

Aspekty, które są takie same na podobnych figurach, zależą od figury. Księga 6 Elementów Euklidesa przedstawia podobne trójkąty, jak te, które mają te same odpowiadające sobie kąty. Trójkąt może więc mieć miniatury tak małe, jak chcesz, lub gigantyczne wersje i nadal być „tym samym” trójkątem co oryginał.

W definicjach Apoloniusza na początku księgi VI podobne prawe stożki mają podobne trójkąty osiowe. Podobne sekcje i segmenty sekcji są przede wszystkim w podobnych stożkach. Ponadto dla każdej odciętej jednej musi istnieć odcięta w drugiej w pożądanej skali. Wreszcie odcięta i rzędna jednego muszą być dopasowane przez współrzędne o takim samym stosunku rzędnej do odciętej jak druga. Całkowity efekt jest taki, jakby sekcja lub segment zostały przesunięte w górę iw dół stożka, aby uzyskać inną skalę.

Księga VII

Księga VII, również tłumaczenie z arabskiego, zawiera 51 propozycji. Są to ostatnie, które Heath rozważa w swoim wydaniu z 1896 roku. W Przedmowie I Apoloniusz nie wspomina o nich, sugerując, że w czasie pierwszego szkicu mogły nie istnieć w wystarczająco spójnej formie, aby je opisać. Apolloniusz używa niejasnego języka, że ​​są to „teoria peri dioristikon”, które Halley przetłumaczył jako „de theorematis addeterminem pertinentibus”, a Heath jako „twierdzenia dotyczące określenia granic”. To jest język definicji, ale nie ma żadnych definicji. Należy rozważyć, czy odniesienie może dotyczyć określonego rodzaju definicji, ale do tej pory nie zaproponowano niczego wiarygodnego. Tematem księgi VII, ukończonej pod koniec życia i kariery Apoloniusza, jest mowa w przedmowie VII jako o średnicach i „opisanych na nich figurach”, które muszą zawierać średnice sprzężone , ponieważ w dużej mierze na nich polega. W jaki sposób termin „granice” lub „określenia” może mieć zastosowanie, nie jest wspomniany.

Średnice i ich koniugaty są zdefiniowane w Księdze I (Definicje 4-6). Nie każda średnica ma koniugat. Topografia średnicy (gr. diametros) wymaga regularnej zakrzywionej figury . Obszary o nieregularnych kształtach, adresowane w czasach współczesnych, nie znajdują się w starożytnym planie gry. Apoloniusz ma oczywiście na myśli odcinki stożkowe, które opisuje często zawiłym językiem: „krzywa w tej samej płaszczyźnie” to okrąg, elipsa lub parabola, a „dwie krzywe w tej samej płaszczyźnie” to hiperbola. Akord jest linia prosta, której dwa punkty końcowe są na rysunku; czyli przecina figurę w dwóch miejscach. Jeśli na figurę nałożona jest siatka równoległych cięciw, to średnica jest definiowana jako linia przecinająca wszystkie cięciwy, sięgająca samej krzywej w punkcie zwanym wierzchołkiem. Nie ma wymogu figury zamkniętej; np. parabola ma średnicę.

Parabola ma symetrię w jednym wymiarze. Jeśli wyobrazisz sobie, że jest złożony na jednej średnicy, dwie połówki są przystające lub pasują do siebie. To samo można powiedzieć o jednej gałęzi hiperboli. Średnice sprzężone (gr. suzugeis diametroi, gdzie suzugeis jest „związana razem”) są jednak symetryczne w dwóch wymiarach. Liczby, do których się odnoszą, wymagają również środka powierzchniowego (grecki kentron), dziś nazywanego centroidem , służącego jako środek symetrii w dwóch kierunkach. Te figury to koło, elipsa i dwuramienna hiperbola. Jest tylko jeden centroid, którego nie należy mylić z ogniskami . Średnica to cięciwa przechodząca przez środek ciężkości, który zawsze ją przecina.

W przypadku okręgu i elipsy, niech siatka równoległych cięciw zostanie nałożona na figurę tak, że najdłuższy jest średnicą, a pozostałe są kolejno krótsze, aż ostatni nie jest cięciwą, ale jest punktem stycznym. Styczna musi być równoległa do średnicy. Średnica sprzężona przecina cięciwy na pół, umieszczając ją między środkiem ciężkości a punktem stycznym. Co więcej, obie średnice są ze sobą sprzężone, nazywane parą sprzężoną. Jest oczywiste, że każda sprzężona para okręgów jest prostopadła do siebie, ale w elipsie są tylko osie większa i mniejsza, przy czym wydłużenie niweczy prostopadłość we wszystkich innych przypadkach.

Koniugaty są definiowane dla dwóch gałęzi hiperboli powstałych w wyniku przecięcia podwójnego stożka przez pojedynczą płaszczyznę. Nazywane są gałęziami sprzężonymi. Mają taką samą średnicę. Jego centroid przecina segment pomiędzy wierzchołkami. Jest miejsce na jeszcze jedną linię przypominającą średnicę: niech siatka linii równoległych do średnicy przetnie obie gałęzie hiperboli. Linie te są podobne do cięciw, z tym wyjątkiem, że nie kończą się na tej samej krzywej ciągłej. Średnicę sprzężoną można wyciągnąć z centroidu, aby podzielić na pół linie przypominające cięciwę.

Te koncepcje, głównie z Księgi I, rozpoczynają nas od 51 propozycji Księgi VII definiujących szczegółowo relacje między przekrojami, średnicami i średnicami sprzężonymi. Podobnie jak w przypadku niektórych innych specjalistycznych tematów Apoloniusza, ich użyteczność w porównaniu z geometrią analityczną pozostaje do zobaczenia, chociaż twierdzi on w Przedmowie VII, że są one zarówno użyteczne, jak i innowacyjne; tzn. przypisuje im zasługę.

Zaginione i zrekonstruowane dzieła opisane przez Pappusa

Pappus wymienia inne traktaty Apoloniusza:

1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione ( „Cięcie Ratio”)
2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione ( „Cięcie obszaru”)
3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata ("sekcja określona")
4. Ἐπαφαί, De Tactionibus ( „Tangencies”)
5. Νεύσεις, De Inclinationibus ( „Skłonności”)
6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis ("Plane Loci").

Każda z nich została podzielona na dwie księgi i — wraz z Danymi , Poryzmami i Powierzchniami Euklidesa i Stożkami Apoloniusza — zostały, według Pappusa, włączone do korpusu starożytnych analiz. Opisy następują po sześciu wspomnianych powyżej pracach.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione starał się rozwiązać prosty problem: Mając dwie proste linie i punkt w każdej z nich, narysuj przez trzeci dany punkt linię prostą przecinającą dwie stałe linie tak, aby części przecinały się między podanymi w nich punktami i punktami przecięcia z tą trzecią linią może mieć dany stosunek.

De Spatia Sectione

De Spatii Sectione omówił podobny problem wymagający, aby prostokąt zawarty w dwóch przecięciach był równy danemu prostokątowi.

Pod koniec XVII wieku Edward Bernard odkrył w Bibliotece Bodlejańskiej wersję De Rationis Sectione . Chociaż rozpoczął tłumaczenie, to Halley je dokończył i włączył do tomu z 1706 r. wraz z przywróceniem De Spatii Sectione .

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata zajmuje się problemami w sposób, który można nazwać jednowymiarową geometrią analityczną; z pytaniem o znalezienie punktów na prostej, które były w stosunku do innych. Konkretne problemy to: Mając dwa, trzy lub cztery punkty na linii prostej, znajdź na niej inny taki punkt, aby jego odległości od danych punktów spełniały warunek, że kwadrat na jednym lub prostokącie zawartym przez dwa ma albo podaną proporcję ( 1) do kwadratu na pozostałej lub prostokąta zawartego przez pozostałe dwie lub (2) do prostokąta zawartego przez pozostałą i inną daną prostą. Kilku próbowało odtworzyć tekst, aby odkryć rozwiązanie Apoloniusza, wśród nich Snelliusz ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson z Aberdeen , w dodatku do jego Apollonius Redivivus (Paryż, 1612); i Robert Simson w swojej Operze quaedam reliqua (Glasgow, 1776), zdecydowanie najlepszą próbą.

De Tactionibus

De Tactionibus objął następujący ogólny problem: Mając trzy rzeczy (punkty, linie proste lub okręgi) na swoim miejscu, opisz okrąg przechodzący przez dane punkty i dotykający podanych linii prostych lub okręgów. Najtrudniejszy i najbardziej interesujący historycznie przypadek powstaje, gdy trzy dane rzeczy to koła. W XVI wieku Vieta przedstawił ten problem (czasami znany jako problem apolliński) Adrianusowi Romanusowi , który rozwiązał go za pomocą hiperboli . Vieta zaproponował więc prostsze rozwiązanie, doprowadzając w końcu do przywrócenia całego traktatu Apoloniusza w małym dziele Apoloniusz Gallus (Paryż 1600). Historia tego problemu jest badane w fascynującej szczegółowo we wstępie do JW Camerer jest krótki Apollonii Pergaei quae supersunt AC maxime form hasłowych PAPPI w hos Libras cum Observationibus, i C (Gothae 1795, 8vo).

De Inklinationibus

Celem De Inklinationibus było zademonstrowanie, w jaki sposób można wstawić linię prostą o określonej długości, dążącą do danego punktu, pomiędzy dwie podane (proste lub koliste) linie. Chociaż Marin Getaldić i Hugo d'Omerique ( Analiza geometryczna , Kadyks, 1698) podjęli próby odbudowy, najlepszy jest Samuel Horsley (1770).

De Locis Planis

De Locis Planis to zbiór propozycji odnoszących się do loci, które są albo liniami prostymi, albo okręgami. Ponieważ Pappus podaje nieco pełne szczegóły swoich propozycji, w tym tekście również starano się je przywrócić, nie tylko przez P. Fermata ( Oeuvres , I., 1891, s. 3–51) i F. Schootena (Leiden, 1656), ale także, z największym powodzeniem, przez R. Simsona (Glasgow, 1749).

Zaginione dzieła wspomniane przez innych starożytnych pisarzy

Pisarze starożytni powołują się na inne, nieistniejące już dzieła Apoloniusza:

1. Περὶ τοῦ πυρίου, Na płonącym szkle , traktat prawdopodobnie badający ogniskowe właściwości paraboli
2. Περὶ τοῦ κοχλίου, Na cylindrycznej spirali (wspomniana przez Proclusa)
3. Porównanie dwunastościanu i dwudziestościanu wpisanego w tę samą sferę
4. Ἡ καθόλου πραγματεία, dzieło w sprawie ogólnych zasad matematyki, że być może zawarte krytykę i sugestie Apoloniusza dla poprawy Euklidesa Elements
5. Ὠκυτόκιον („Szybkie narodziny”), w którym według Eutocjusza Apoloniusz zademonstrował, jak znaleźć bliższe granice wartości π niż te Archimedesa , który obliczył 3+1 ⁄ 7 jako górna granica i 3+10 ⁄ 71 jako dolna granica
6. praca arytmetyczna (patrz Pappus ) na temat systemu zarówno do wyrażania dużych liczb w języku bardziej codziennym niż ten z The Sand Reckoner Archimedesa, jak i do mnożenia tych dużych liczb
7. wielkie rozszerzenie teorii irracjonalnych wykładników Euklidesa, księga X, od dwumianowej do wielomianowej i od uporządkowanej do nieuporządkowanej irracjonalności (patrz fragmenty z komentarza Pappusa do Eucl. X, zachowane w języku arabskim i opublikowane przez Woepkego , 1856) .

Wczesne wydania drukowane

Strony z arabskiego przekładu Conics z IX wieku

1654 wydanie Coniki Apoloniusza pod redakcją Francesco Maurolico

Wczesne wydania drukowane rozpoczęły się w większości w XVI wieku. W tamtych czasach oczekiwano, że książki naukowe będą pisane po łacinie, dzisiejszej nowej łacinie . Ponieważ prawie żadne rękopisy nie były po łacinie, redaktorzy wczesnych druków tłumaczyli z greki lub arabskiego na łacinę. Greka i łacina były zazwyczaj zestawiane, ale tylko greka jest oryginalna, albo została przywrócona przez redaktora do tego, co uważał za oryginalne. Aparaty krytyczne były w języku łacińskim. Jednak starożytne komentarze były w starożytnej lub średniowiecznej grece. Dopiero w XVIII i XIX wieku zaczęły pojawiać się języki nowożytne. Poniżej znajduje się reprezentatywna lista wczesnych wydań drukowanych. Oryginały tych druków są rzadkie i drogie. W przypadku nowoczesnych wydań w nowoczesnych językach zobacz referencje.

1. Pergaeus, Apoloniusz (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit i commentariis illustrauit (w starożytnej grece i łacinie). Bononiae: z urzędu Alexandri Benatii.Prezentacja pierwszych czterech ksiąg Conics w języku greckim autorstwa Fryderyka Commandinusa z własnym tłumaczeniem na łacinę oraz komentarzami Pappusa z Aleksandrii , Eutocjusza z Askalonu i Serenusa z Antinouplis .
2. Apoloniusz; Barrow, I (1675). Apollonii conica: methodo nova illustrata i succinctè demonstrata (po łacinie). Londini: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, in vico Little Britain.Tłumaczenie przez Barrowa ze starożytnej greki na neo-łacinę pierwszych czterech ksiąg Conics . Kopia, do której prowadzi link, znajdująca się w Bibliotece Publicznej w Bostonie , należał kiedyś do Johna Adamsa .
3. Apoloniusz; Pappus ; Halley, E. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duet: Ex Arabico ms. Wersja łacińska. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (po łacinie). Oxonii.Prezentacja dwóch zaginionych, ale zrekonstruowanych dzieł Apoloniusza. De Sectione Rationis pochodzi z nieopublikowanego rękopisu w języku arabskim w Bodleian Library w Oksfordzie, pierwotnie częściowo przetłumaczonego przez Edwarda Bernarda, ale przerwanego przez jego śmierć. Podarowano ją Edmondowi Halleyowi , profesorowi, astronomowi, matematykowi i odkrywcy, od którego później nazwano Kometę Halleya . Nie mogąc rozszyfrować uszkodzonego tekstu, porzucił go. Następnie David Gregory (matematyk) przywrócił arabski dla Henry'ego Aldricha , który ponownie przekazał go Halleyowi. Ucząc się arabskiego, Halley stworzył De Sectione Rationis i jako dodatkowe wynagrodzenie dla czytelnika stworzył neo-łacińskie tłumaczenie wersji De Sectione Spatii zrekonstruowanej z Komentarza Pappusa na ten temat. Oba dzieła nowołacińskie i starożytny grecki komentarz Pappusa zostały połączone w jeden tom z 1706 roku. Autor arabskiego rękopisu nie jest znany. Opierając się na oświadczeniu, że został napisany pod „auspicjami” Al-Ma'mun , łacińskiego Almamon, astronoma i kalifa Bagdadu w 825, Halley datuje go na 820 w swoim „Praefatio ad Lectorem”.
4. Apoloniusz; Aleksandryn Pappus ; Halley, Edmond ; Eutocjusz ; Serenus (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (po łacinie i starożytnej grece). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Zachęcony sukcesem swojego przekładu poprawionego arabskiego tekstu de Sectione rationis autorstwa Davida Gregory'ego , opublikowanego w 1706 roku, Halley przystąpił do przywrócenia i przetłumaczenia na łacinę całego elementa conica Apoloniusza . Książki I-IV nigdy nie zaginęły. Występują z greką w jednej kolumnie i łaciną Halleya w kolumnie równoległej. Księgi V-VI pochodzą z nieoczekiwanego odkrycia wcześniej niedocenianego przekładu z greki na arabski, który został zakupiony przez antykwariusza Jacobusa Goliusa w Aleppo w 1626 roku. Biblioteka (pierwotnie jako MS Marsh 607 z dnia 1070). Przekład, datowany znacznie wcześniej, pochodzi z gałęzi szkoły Almamona zatytułowanej Banū Mūsā , „synowie Musy”, grupa trzech braci żyjących w IX wieku. Tłumaczenia dokonali pisarze pracujący dla nich. W pracy Halleya podano tylko łacińskie tłumaczenie Ksiąg V-VII. To jego pierwsza drukowana publikacja. Księga VIII zaginęła, zanim uczeni Almamona zdołali wziąć udział w jej zachowaniu. Mikstura Halleya, oparta na oczekiwaniach opracowanych w księdze VII i lematach Pappusa, jest podana po łacinie. Komentarz Eutocjusza, lematy Pappusa i dwa pokrewne traktaty Serenusa są zawarte jako przewodnik do interpretacji Conics .

Idee przypisywane Apoloniuszowi przez innych pisarzy

Wkład Apoloniusza w astronomię

Przypisuje się mu równoważność dwóch opisów ruchów planet, jednego za pomocą ekscentryków, drugiego deferentu i epicykli . Ptolemeusz opisuje tę równoważność jako twierdzenie Apoloniusza w Almagest XII.1.

Metody Apoloniusza

Według Heatha „Metody Apoloniusza” nie były jego i nie były osobiste. Jakikolwiek wpływ, jaki miał na późniejszych teoretyków, miał wpływ na geometrię, a nie na własną innowację techniki. Heath mówi:

Jako wstęp do szczegółowego rozważenia metod stosowanych w Stożkach, można ogólnie stwierdzić, że konsekwentnie przestrzegają one przyjętych zasad badań geometrycznych, które znalazły swój ostateczny wyraz w Elementach Euklidesa.

W odniesieniu do współczesnych, mówiących o geometrach złotego wieku, termin „metoda” oznacza w szczególności wizualny, rekonstrukcyjny sposób, w jaki geometr nieświadomie daje taki sam wynik, jak stosowana dzisiaj metoda algebraiczna. Jako prosty przykład, algebra znajduje pole kwadratu przez podniesienie jego boku do kwadratu. Geometryczną metodą osiągnięcia tego samego wyniku jest skonstruowanie wizualnego kwadratu. Metody geometryczne w złotym wieku mogły dać większość wyników algebry elementarnej.

Algebra geometryczna

Wizualna forma twierdzenia Pitagorasa w ujęciu starożytnych Greków. Pole niebieskiego kwadratu to suma pól pozostałych dwóch kwadratów.

Heath używa terminu algebra geometryczna dla metod całego złotego wieku. Mówi, że termin „nie jest niewłaściwie” tak nazywany. Dzisiaj termin ten został wskrzeszony do użytku w innych znaczeniach (patrz pod algebrą geometryczną ). Heath używał go tak, jak zdefiniował go Henry Burchard Fine w 1890 roku lub wcześniej. Dotyczy to w porządku do La geometrie od Kartezjusza , pierwszy pełnowymiarową pracę geometrii analitycznej . Ustalając jako warunek wstępny, że „dwie algebry są formalnie identyczne, których podstawowe operacje są formalnie takie same”, Fine mówi, że praca Kartezjusza „nie jest… zwykłą algebrą numeryczną, ale czymś, co z braku lepszej nazwy można nazwać algebrą Segmenty linii. Jego symbolika jest taka sama jak algebry numerycznej; ...”

Na przykład w Apoloniuszu odcinek AB (linia pomiędzy punktem A i punktem B) jest również liczbową długością odcinka. Może mieć dowolną długość. AB staje się zatem tym samym, co zmienna algebraiczna , taka jak x (nieznana), której można przypisać dowolną wartość; np. x =3.

Zmienne są definiowane w Apoloniuszu za pomocą takich stwierdzeń słownych, jak „niech AB będzie odległością od dowolnego punktu przekroju do średnicy”, praktyka ta jest kontynuowana w algebrze dzisiaj. Każdy uczeń podstaw algebry musi nauczyć się konwertować „zadania tekstowe” na zmienne i równania algebraiczne, do których mają zastosowanie zasady algebry przy rozwiązywaniu x . Apolloniusz nie miał takich zasad. Jego rozwiązania są geometryczne.

Relacje, które nie były łatwo podatne na rozwiązania obrazowe, były poza jego zasięgiem; jednak jego repertuar rozwiązań obrazowych pochodził z puli złożonych rozwiązań geometrycznych, ogólnie nie znanych (lub wymaganych) dzisiaj. Jednym z dobrze znanych wyjątków jest nieodzowne twierdzenie Pitagorasa , nawet teraz reprezentowane przez trójkąt prostokątny z kwadratami po bokach, ilustrujący wyrażenie takie jak a ² + b ² = c ² . Greccy geometrzy nazywali te terminy „kwadratem na AB” itd. Podobnie pole prostokąta utworzonego przez AB i CD to „prostokąt na AB i CD”.

Koncepcje te dały greckim geometrom algebraiczny dostęp do funkcji liniowych i funkcji kwadratowych , którymi później są przekroje stożkowe. Zawierają one odpowiednio uprawnienia 1 lub 2. Apolloniusz nie miał wiele zastosowania do sześcianów (wykorzystywanych w geometrii bryłowej ), mimo że stożek jest bryłą. Jego zainteresowania dotyczyły przekrojów stożkowych, które są figurami płaskimi. Potęgi 4 i wyższe wykraczały poza wizualizację, wymagając pewnego stopnia abstrakcji niedostępnego w geometrii, ale dostępnego w algebrze.

Układ współrzędnych Apoloniusza

Kartezjański układ współrzędnych, standard w geometrii analitycznej

Wszystkie zwykłe pomiary długości w jednostkach publicznych, takich jak cale, przy użyciu standardowych urządzeń publicznych, takich jak linijka, implikują publiczne uznanie siatki kartezjańskiej ; to znaczy powierzchnię podzieloną na kwadraty jednostkowe, na przykład jeden cal kwadratowy, i przestrzeń podzieloną na sześciany jednostkowe, na przykład jeden cal sześcienny. Te miary greckie przedstawiły taką siatkę do greckich matematyków od epoki brązu. Już przed Apoloniuszem Menaechmus i Archimedes zaczęli umieszczać swoje figury w domniemanym oknie wspólnej siatki, odnosząc się do odległości, które miały być mierzone od lewej pionowej linii oznaczającej niski środek i dolnej poziomej linii oznaczającej niski środek, kierunki są prostoliniowe lub prostopadłe do siebie. Te krawędzie okna stają się w kartezjańskim układzie współrzędnych osiami. Jako współrzędne określa się odległości prostoliniowe dowolnego punktu od osi . Starożytni Grecy nie mieli tej konwencji. Po prostu odnosili się do odległości.

Apolloniusz ma standardowe okno, w którym umieszcza swoje figurki. Pomiar pionowy pochodzi z linii poziomej, którą nazywa „średnicą”. Słowo jest takie samo w języku greckim, jak w języku angielskim, ale grecki jest nieco szerszy w rozumieniu. Jeśli figura przekroju stożkowego jest przecięta siatką równoległych linii, średnica przecina na pół wszystkie segmenty linii zawarte między gałęziami figury. Musi przejść przez wierzchołek (koruphe, „korona”). Średnica obejmuje zatem figury otwarte, takie jak parabola, jak i zamknięte, takie jak koło. Nie ma specyfikacji, że średnica musi być prostopadła do linii równoległych, ale Apolloniusz używa tylko linii prostoliniowych.

Prostoliniowa odległość od punktu na przekroju do średnicy nazywana jest po grecku tetagmenos, etymologicznie po prostu „rozszerzona”. Ponieważ jest zawsze rozciągnięta „w dół” (kata-) lub „w górę” (ana-), tłumacze interpretują ją jako ordynację . W takim przypadku średnica staje się osią x, a wierzchołek początkiem. Oś y staje się wtedy styczną do krzywej w wierzchołku. Odcięta definiowana jest jako segment średnicy między rzędnych, a wierzchołka.

Korzystając ze swojej wersji układu współrzędnych, Apoloniuszowi udaje się opracować w formie obrazowej geometryczne odpowiedniki równań dla przekrojów stożkowych, co rodzi pytanie, czy jego układ współrzędnych można uznać za kartezjański. Są pewne różnice. System kartezjański należy uważać za uniwersalny, obejmujący wszystkie figury w całej przestrzeni zastosowanej przed wykonaniem jakichkolwiek obliczeń. Ma cztery ćwiartki podzielone przez dwie skrzyżowane osie. Trzy z ćwiartek zawierają współrzędne ujemne oznaczające kierunki przeciwne do osi odniesienia równe zero.

Apoloniusz nie ma liczb ujemnych, nie ma wyraźnie liczby zerowej i nie rozwija układu współrzędnych niezależnie od przekrojów stożkowych. Pracuje zasadniczo tylko w kwadrancie 1, wszystkie dodatnie współrzędne. Carl Boyer, współczesny historyk matematyki, mówi zatem:

Jednak grecka algebra geometryczna nie przewidywała wielkości ujemnych; co więcej, układ współrzędnych był w każdym przypadku nakładany a posteriori na daną krzywą w celu zbadania jej właściwości .... Apoloniusz, największy geometr starożytności, nie zdołał opracować geometrii analitycznej ....

Nikt jednak nie zaprzecza, że ​​Apoloniusz zajmuje jakąś niszę pośrednią pomiędzy siatkowym systemem konwencjonalnych pomiarów a w pełni rozwiniętym Kartezjańskim Układem Współrzędnych Geometrii Analitycznej. Czytając Apoloniusza, należy uważać, aby jego terminy nie nabrały nowoczesnych znaczeń.

Teoria proporcji

Apollonios wykorzystuje „Theory proporcji” wyrażonych w Euclid jest Elementy , Książki 5 i 6. opracowany przez Eudoksos z Cnidus teoria pośredni między metodami wyłącznie graficzne i nowoczesnej teorii liczb. Brakuje standardowego systemu liczb dziesiętnych, podobnie jak standardowe traktowanie ułamków. Zdania te jednak wyrażają słowami zasady manipulowania ułamkami w arytmetyce. Heath proponuje, by zastąpiły mnożenie i dzielenie.

Używając terminu „wielkość” Eudoxus miał nadzieję wyjść poza liczby do ogólnego poczucia wielkości, znaczenia, które nadal zachowuje. W odniesieniu do postaci Euklidesa najczęściej oznacza to liczby, co było podejściem pitagorejskim. Pitagoras wierzył, że wszechświat można scharakteryzować za pomocą ilości, które to przekonanie stało się aktualnym dogmatem naukowym. Księga V Euklidesa zaczyna się od stwierdzenia, że ​​wielkość (megethos, „rozmiar”) musi być podzielna równomiernie na jednostki (meros, „część”). Wielkość jest więc wielokrotnością jednostek. Nie muszą to być standardowe jednostki miary, takie jak metry czy stopy. Jedna jednostka może być dowolnym wyznaczonym segmentem linii.

Oto być może najbardziej użyteczna podstawowa definicja, jaką kiedykolwiek wymyślono w nauce: stosunek (greckie logos , oznaczające z grubsza „wyjaśnienie”) jest stwierdzeniem względnej wielkości. Biorąc pod uwagę dwie wielkości, powiedzmy o segmentach AB i CD. stosunek AB do CD, gdzie CD jest uważane za jednostkę, jest liczbą CD w AB; na przykład 3 części z 4 lub 60 części na milion, gdzie ppm nadal używa terminologii „części”. Stosunek jest podstawą nowoczesnej frakcji, która nadal oznacza również „część” lub „fragment” z tego samego łacińskiego korzenia co złamanie. Stosunek jest podstawą przewidywania matematycznego w strukturze logicznej zwanej „proporcją” (po grecku analogi). Proporcja mówi, że jeśli dwa segmenty, AB i CD, mają taki sam stosunek jak dwa inne, EF i GH, to AB i CD są proporcjonalne do EF i GH, lub, jak powiedziano w Euclid, AB ma się do CD jako EF jest do GH.

Algebra sprowadza tę ogólną koncepcję do wyrażenia AB/CD = EF/GH. Mając dowolne trzy terminy, czwarty można obliczyć jako niewiadomą. Przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy AB = (CD/GH)•EF, w którym wyrażona jako y = kx, CD/GH jest znana jako „stała proporcjonalności”. Grecy mieli niewielkie trudności z przyjmowaniem wielokrotności (gr. polllaplasiein), prawdopodobnie przez kolejne dodawanie.

Apoloniusz stosuje proporcje prawie wyłącznie odcinków linii i obszarów, które są wyznaczone przez kwadraty i prostokąty. Tłumacze zobowiązali się do używania notacji dwukropkowej wprowadzonej przez Leibniza w Acta Eruditorum , 1684. Oto przykład z Conics , Księga I, na Proposition 11:

Dosłowne tłumaczenie greki: Niech zostanie wymyślone, że (kwadrat) BC ma się do (prostokąta) BAC, tak jak FH ma się do FA

Tłumaczenie Taliaferro: „Niech zostanie wymyślone, że sq. BC : rect. BA.AC :: FH : FA”

Równoważnik algebraiczny: BC ² /BA•BC = FH/FA

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Wiele z popularnych stron z historii matematyki, do których linki znajdują się poniżej, odwołuje się lub analizuje pojęcia przypisywane Apoloniuszowi we współczesnych zapisach i pojęciach. Ponieważ znaczna część Apoloniusza podlega interpretacji, a on sam nie używa nowoczesnego słownictwa ani pojęć, poniższe analizy mogą nie być optymalne ani dokładne. Reprezentują historyczne teorie ich autorów.

• Redaktorzy Encyclopaedia Britannica (2006). „Apoloniusz z Pergi” . Encyklopedia Britannica.
• Kunkel, Paweł (2016). „Stożki Apoloniusza” . Matematyka Whistler Alley . whistleralley.com . Źródło 15 lutego 2017 .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Apollonius of Perga” , archiwum historii matematyki MacTutor , University of St Andrews
• „Matematyka i astronomia matematyczna” . Uniwersytet Browna.
• „Apollonii Pergaei Conicorum” . Biblioteka Cyfrowa Linda Hall Library.
• Davida Dennisa; Susan Addington (2009). „Apollonius i przekroje stożkowe” (PDF) . Intencje matematyczne . quadrivium.info.
• Stoudt, Gary S. „Czy naprawdę można wyprowadzić formuły stożkowe ze stożka?” . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne . Źródło 28 marca 2017 .
• McKinney, Colin Bryan Powell (2010). Średnice sprzężone: Apoloniusz z Pergi i Eutocjusz z Askalonu (doktorat). Uniwersytet Iowa.