czworaczki Archimedesa - Archimedes' quadruplets

Każdy Archimedesa czworaczki (zielone) mają równe pola do siebie nawzajem i do kół bliźniaczych Archimedesa

W geometrii , czworaczki Archimedesa są cztery przystające okręgi związane z arbelos . Wprowadzony przez Franka Power w lecie 1998 roku, każdy ma taką samą powierzchnię jak bliźniaczych kół Archimedesa , co czyni je Archimedesa kręgi .

Budowa

Arbelos jest utworzony z trzech punktów współliniowych , B i C , przez trzy półkola o średnicach AB , AC i BC . Niech dwa mniejsze koła mają promienie R ₁ i R ₂ , z którego wynika, że im większy jest promień półkola r = R ₁ + R ₂ . Niech punktów D i E jest centrum , a punkt środkowy odpowiednio, od półkola o promieniu r ₁ . Niech H będzie środka linii AC . Następnie dwa z czterech quadruplet koła są styczne do linii HE w punkcie e , i są styczne do zewnętrznej półkola. Dwa pozostałe okręgi quadruplet są wykonane w sposób symetryczny z półkole o promieniu R ₂ .

Dowód spójnością

Według twierdzenia 5 Archimedesa " Księdze lematy , wspólny promień od Archimedesa bliźniaczych kół jest:

${\ Displaystyle {\ Frac {r_ {1} \ cdot r_ {2}, {R}}}.}$

Przez twierdzenie Pitagorasa :

${\ Displaystyle \ lewo (JE \ prawej) ^ {2} = \ lewo (R_ {1} \ prawej) ^ {2} + \ lewo (R_ {2} \ prawej) ^ {2}.}$

Następnie należy utworzyć dwa kręgi z centrami J _i prostopadle do HE , stycznej do dużego półkola w punkcie L _I , styczna do punktu E i o równych promieniach X . Stosując twierdzenie Pitagorasa :

${\ Displaystyle \ lewo (HJ_ {i} \ prawej) ^ {2} = \ lewo (JE \ prawej) ^ {2} + x ^ {2} = \ lewo (R_ {1} \ prawej) ^ {2} + \ lewo (R_ {2} \ prawej) ^ {2} + x ^ {2}}$

Również:

${\ Displaystyle HJ_ {i} = HL_ {i} -x = Rt = R_ {1} + r_ {2} X ~}$

Łącząc je otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ lewo (R_ {1} \ prawej) ^ {2} + \ lewo (R_ {2} \ prawej) ^ {2} + x ^ {2} = \ lewo (R_ {1} + r_ {2 } -x \ prawej) ^ {2}}$

Rozwija, zbierając się na bok i faktoringu:

${\ Displaystyle 2r_ {1} r_ {2} -2x \ lewo (R_ {1} + r_ {2} \ prawej) = 0}$

Rozwiązywanie dla X :

${\ Displaystyle X = {\ Frac {r_ {1} \ cdot r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}} = {\ Frac {r_ {1} \ cdot r_ {2}} {r }}}$

Udowodnienie, że każdy z obszarów Archimedesa czworaczki jest równa każdego z obszarów TWIN kręgach Archimedesa.

Referencje

Więcej odczyty

• Arbelos: Księga lematy, pappus Łańcucha, Archimedesa Circle, Archimedesa czworaczki, Archimedesa Twin okręgów, Bankoff Circle, S. ISBN  1156885493