Benoit Mandelbrot - Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot
Mandelbrot na konferencji TED w 2010 roku na krótko przed śmiercią.
Urodzić się	( 1924-11-20 )20 listopada 1924 Warszawa , Polska
Zmarł	14 października 2010 (2010-10-14)(w wieku 85) Cambridge, Massachusetts , Stany Zjednoczone
Narodowość	Francuski USA Polskie
Alma Mater	École Polytechnique Kalifornijski Instytut Technologiczny, Uniwersytet Paryski
Znany z	Zestaw Mandelbrota Teoria chaosu Fraktale Prawo Zipfa-Mandelbrota
Małżonkowie	Aliette Kagan (m. 1955-2010; jego śmierć)
Nagrody	Legia Honorowa ( Kawaler 1990  · Oficer 2006) 2003   Japonia Nagroda 1993   Wolf Nagroda 1989   Harvey Prize 1986   Franklin Medal 1985   Barnard Medal
Kariera naukowa
Pola	Matematyka Aerodynamika
Instytucje	Uniwersytet Yale IBM Krajowe Laboratorium Północno-Zachodniego Pacyfiku
Doradca doktorski	Paul Levy
Doktoranci	LE. cielę Eugeniusz Fama Ken Musgrave Murad Taqqu
Wpływy	Johannes Kepler , Paul Lévy , Szolem Mandelbrojt
Pod wpływem	Nassim Nicholas Taleb

Benoit B. Mandelbrot ( 20.11.1924 – 14.10.2010 ) był urodzonym w Polsce francusko-amerykańskim matematykiem i erudytą z szerokimi zainteresowaniami naukami praktycznymi, zwłaszcza w odniesieniu do tego, co nazwał „sztuką szorstkości ” zjawisk fizycznych i niekontrolowany element życia”. Nazywał się „fraktalistą” i jest uznawany za wkład w dziedzinę geometrii fraktalnej , która obejmowała wymyślenie słowa „fraktal”, a także rozwinięcie teorii „szorstkości i samopodobieństwa ” w przyrodzie.

W 1936, gdy był dzieckiem, rodzina Mandelbrota wyemigrowała do Francji z Warszawy . Po zakończeniu II wojny światowej Mandelbrot studiował matematykę, kończąc studia na uniwersytetach w Paryżu i Stanach Zjednoczonych oraz uzyskując tytuł magistra lotnictwa w California Institute of Technology . Większość swojej kariery spędził zarówno w Stanach Zjednoczonych, jak i we Francji, mając podwójne obywatelstwo francuskie i amerykańskie . W 1958 rozpoczął 35-letnią karierę w IBM , gdzie został członkiem IBM Fellow i okresowo korzystał z urlopów, aby uczyć na Uniwersytecie Harvarda . Na Harvardzie, po opublikowaniu swojego badania na temat rynków towarowych w USA w odniesieniu do kontraktów terminowych na bawełnę, wykładał ekonomię i nauki stosowane.

Ze względu na dostęp do komputerów IBM, Mandelbrot był jednym z pierwszych, którzy wykorzystali grafikę komputerową do tworzenia i wyświetlania fraktalnych obrazów geometrycznych, co doprowadziło do odkrycia zestawu Mandelbrota w 1980 roku. Pokazał, jak z prostych reguł można stworzyć wizualną złożoność. Powiedział, że rzeczy zwykle uważane za „szorstkie”, „bałagan” lub „chaotyczne”, takie jak chmury lub linie brzegowe, w rzeczywistości mają „stopień porządku”. Jego kariera naukowa skoncentrowana na matematyce i geometrii obejmowała wkład w takich dziedzinach jak fizyka statystyczna , meteorologia , hydrologia , geomorfologia , anatomia , taksonomia , neurologia , językoznawstwo , informatyka , grafika komputerowa , ekonomia , geologia , medycyna , kosmologia fizyczna , inżynieria , teoria chaosu , ekonofizyka , metalurgia i nauki społeczne .

Pod koniec swojej kariery był profesorem nauk matematycznych na Uniwersytecie Yale , gdzie był najstarszym profesorem w historii Yale, który otrzymał posadę. Mandelbrot zajmował również stanowiska w Narodowym Laboratorium Pacific Northwest , Université Lille Nord de France , Institute for Advanced Study oraz Centre National de la Recherche Scientifique . W swojej karierze otrzymał ponad 15 doktoratów honoris causa i służył w wielu czasopismach naukowych, a także zdobył liczne nagrody. Jego autobiografia, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick , została opublikowana pośmiertnie w 2012 roku.

Wczesne lata

Wideo zewnętrzne
Pochodzenie rodzinne i wczesna edukacja , (4:11) Wywiad z Benoit Mandelbrot, część 1 z 144, Web of Stories

Mandelbrot urodził się w litewskiej rodzinie żydowskiej , w Warszawie w okresie II Rzeczypospolitej . Jego ojciec zarabiał na życie handlując odzieżą; jego matka była chirurgiem stomatologicznym. Podczas pierwszych dwóch lat szkolnych uczył się prywatnie u wujka, który gardził uczeniem się na pamięć : „Większość mojego czasu spędzałem grając w szachy, czytając mapy i ucząc się, jak otwierać oczy na wszystko wokół mnie”. W 1936 roku, gdy miał 11 lat, rodzina wyemigrowała z Polski do Francji. Przeprowadzka, wojna i znajomość z bratem ojca, matematykiem Szolemem Mandelbrojtem (który przeniósł się do Paryża około 1920 r.), dodatkowo uniemożliwiły standardową edukację. „Fakt, że moi rodzice, jako uchodźcy ekonomiczni i polityczni, dołączyli do Szolem we Francji, uratował nam życie” – pisze.

Mandelbrot uczęszczał do Lycée Rollin (obecnie Collège-lycée Jacques-Decour ) w Paryżu do początku II wojny światowej , kiedy to jego rodzina przeniosła się do Tulle we Francji. Pomógł mu w kontynuowaniu studiów rabin David Feuerwerker , rabin Brive-la-Gaillarde . Znaczna część Francji była w tym czasie okupowana przez nazistów, a Mandelbrot wspomina ten okres:

Nieustannie obawialiśmy się, że wystarczająco zdeterminowany wróg doniesie nas do władzy i zostaniemy wysłani na śmierć. Zdarzyło się to bliskiej przyjaciółce z Paryża, Zinie Morhange , lekarzowi z pobliskiej siedziby hrabstwa. Po prostu po to, by wyeliminować konkurencję, inny lekarz zadenuncjował ją... Uniknęliśmy tego losu. Kto wie dlaczego?

W 1944 roku Mandelbrot wrócił do Paryża, studiował w Lycée du Parc w Lyonie , aw latach 1945-1947 uczęszczał do École Polytechnique , gdzie studiował pod kierunkiem Gastona Julii i Paula Lévy'ego . Od 1947 do 1949 studiował w California Institute of Technology, gdzie uzyskał tytuł magistra lotnictwa. Po powrocie do Francji uzyskał w 1952 r. stopień doktora nauk matematycznych na Uniwersytecie Paryskim .

Kariera naukowa

Od 1949 do 1958 Mandelbrot był pracownikiem Centre National de la Recherche Scientifique . W tym czasie spędził rok w Institute for Advanced Study w Princeton, New Jersey , gdzie był sponsorowany przez Johna von Neumanna . W 1955 ożenił się z Aliette Kagan i przeniósł się do Genewy w Szwajcarii (do współpracy z Jeanem Piagetem w Międzynarodowym Centrum Epistemologii Genetycznej), a później na Université Lille Nord de France . W 1958 para przeniosła się do Stanów Zjednoczonych, gdzie Mandelbrot dołączył do zespołu badawczego w IBM Thomas J. Watson Research Center w Yorktown Heights w stanie Nowy Jork . Pozostał w IBM przez 35 lat, stając się IBM Fellow, a później Fellow Emeritus .

Od 1951 roku Mandelbrot pracował nad problemami i publikował artykuły nie tylko z matematyki, ale także z dziedzin stosowanych, takich jak teoria informacji , ekonomia i dynamika płynów .

Losowość i fraktale na rynkach finansowych

Mandelbrot postrzegał rynki finansowe jako przykład „dzikiej przypadkowości”, charakteryzującej się koncentracją i zależnością dalekiego zasięgu. Opracował kilka autorskich podejść do modelowania wahań finansowych. W swojej wczesnej pracy odkrył, że zmiany cen na rynkach finansowych nie są zgodne z rozkładem Gaussa , ale raczej z rozkładami stabilnymi Lévy'ego o nieskończonej wariancji . Odkrył na przykład, że ceny bawełny były zgodne ze stabilnym rozkładem Lévy'ego z parametrem α równym 1,7, a nie 2, jak w rozkładzie Gaussa. Rozkłady „stabilne” mają tę właściwość, że suma wielu wystąpień zmiennej losowej ma ten sam rozkład, ale z większym parametrem skali . Ta ostatnia praca z początku lat 60. została wykonana na podstawie dziennych danych o cenach bawełny z 1900 roku, na długo przed wprowadzeniem przez niego słowa „fraktal”. W późniejszych latach, po dojrzewaniu koncepcji fraktali, badanie rynków finansowych w kontekście fraktali stało się możliwe dopiero po pojawieniu się w finansach danych o wysokiej częstotliwości. W późnych latach 80-tych Mandelbrot wykorzystał dane dotyczące notowań śróddziennych dostarczone przez Olsen & Associates w Zurychu, aby zastosować teorię fraktalną do mikrostruktury rynkowej. Współpraca ta doprowadziła do opublikowania pierwszych obszernych artykułów na temat prawa skalowania w finansach, które wykazują podobne właściwości w różnych skalach czasowych, potwierdzając wgląd Mandelbrota w fraktalną naturę mikrostruktury rynku. Własne badania Mandelbrota w tej dziedzinie są przedstawione w jego książkach „Fraktale i skalowanie w finansach” oraz „(Nie)zachowanie rynków”.

Opracowanie „geometrii fraktalnej” i zbioru Mandelbrota

Jako profesor wizytujący na Uniwersytecie Harvarda , Mandelbrot zaczął studiować fraktale zwane zbiorami Julii, które były niezmienne w pewnych przekształceniach płaszczyzny zespolonej . Opierając się na poprzednich pracach Gastona Julii i Pierre'a Fatou , Mandelbrot użył komputera do kreślenia obrazów planów Julii. Badając topologię tych zbiorów Julii, studiował zbiór Mandelbrota, który został wprowadzony przez niego w 1979 roku. W 1982 roku Mandelbrot rozszerzył i zaktualizował swoje pomysły w The Fractal Geometry of Nature . Ta wpływowa praca wprowadziła fraktale do głównego nurtu profesjonalnej i popularnej matematyki, a także uciszyła krytyków, którzy odrzucili fraktale jako „ artefakty programowe ”.

W 1975 roku Mandelbrot ukuł termin fraktal, aby opisać te struktury i po raz pierwszy opublikował swoje idee, a później przetłumaczył, Fractale: Forma, Chance and Dimension . Według informatyka i fizyka Stephena Wolframa książka ta była "przełomem" dla Mandelbrota, który do tej pory zazwyczaj "stosował dość prostą matematykę... do dziedzin, które wcześniej ledwo widziały światło poważnej matematyki". Wolfram dodaje, że w wyniku tych nowych badań nie był już „wędrownym naukowcem”, a później nazwał go „ojcem fraktali”:

Mandelbrot zakończył pracę naukową i zidentyfikował znacznie silniejszą i bardziej fundamentalną ideę – mówiąc po prostu, że istnieją pewne kształty geometryczne, które nazwał „fraktalami”, które są równie „szorstkie” we wszystkich skalach. Bez względu na to, jak blisko się przyjrzysz, nigdy nie stają się prostsze, podobnie jak fragment skalistego wybrzeża, który widzisz u twoich stóp, wygląda tak samo poszarpany jak odcinek widoczny z kosmosu.

Wolfram pokrótce opisuje fraktale jako formę geometrycznego powtórzenia, „w którym coraz mniejsze kopie wzoru są kolejno zagnieżdżane w sobie, tak że te same misterne kształty pojawiają się niezależnie od tego, jak bardzo powiększysz całość. Liście paproci i romański brokuły to dwa przykłady z natury." Wskazuje na nieoczekiwany wniosek:

Można by pomyśleć, że taka prosta i fundamentalna forma prawidłowości byłaby badana przez setki, jeśli nie tysiące lat. Ale tak nie było. W rzeczywistości zyskało na znaczeniu dopiero w ciągu ostatnich 30 lat – prawie całkowicie dzięki wysiłkom jednego człowieka, matematyka Benoita Mandelbrota.

Mandelbrot użył terminu „fraktal”, ponieważ pochodzi od łacińskiego słowa „fractus”, zdefiniowanego jako potłuczone lub rozbite szkło. Korzystając z nowo opracowanych komputerów IBM, które miał do dyspozycji, Mandelbrot był w stanie tworzyć obrazy fraktalne za pomocą graficznego kodu komputerowego, obrazy, które ankieter określił jako „ mającą urojoną obfitość psychodelicznej sztuki lat 60. z formami do złudzenia przypominającymi naturę i ludzkie ciało”. . Uważał się także za „niedoszłego Keplera”, po XVII-wiecznym naukowcu Johannesie Keplerze , który obliczył i opisał orbity planet.

Mandelbrot jednak nigdy nie czuł, że wymyśla nowy pomysł. Opisuje swoje uczucia w filmie dokumentalnym z pisarzem naukowym Arthurem C. Clarke'em:

Zwiedzając ten zestaw na pewno nigdy nie miałem poczucia inwencji. Nigdy nie miałem poczucia, że ​​moja wyobraźnia jest na tyle bogata, by wymyślać te wszystkie niezwykłe rzeczy, odkrywając je. Były tam, chociaż nikt ich wcześniej nie widział. To cudowne, bardzo prosta formuła wyjaśnia wszystkie te bardzo skomplikowane rzeczy. Tak więc celem nauki jest rozpoczęcie od bałaganu i wyjaśnienie go prostą formułą, rodzaj marzenia o nauce.

Według Clarke'a „ zbiór Mandelbrota jest rzeczywiście jednym z najbardziej zdumiewających odkryć w całej historii matematyki. Kto mógł marzyć, że tak niewiarygodnie proste równanie może generować obrazy o dosłownie nieskończonej złożoności?” Clarke zauważa również „dziwny zbieg okoliczności

imię Mandelbrot i słowo „ mandala ” – jako symbol religijny – co z pewnością jest czystym zbiegiem okoliczności, ale rzeczywiście zestaw Mandelbrota wydaje się zawierać ogromną liczbę mandali.

Mandelbrot opuścił IBM w 1987 roku, po 35 latach i 12 dniach, kiedy IBM zdecydował się zakończyć czyste badania w swoim oddziale. Dołączył do Wydziału Matematyki w Yale i objął swoje pierwsze stałe stanowisko w 1999 r., w wieku 75 lat. W momencie przejścia na emeryturę w 2005 r. był profesorem nauk matematycznych Sterling.

Fraktale i „teoria szorstkości”

Mandelbrot stworzył pierwszą w historii „teorię szorstkości” i widział „szorstkość” w kształtach gór, linii brzegowych i dorzeczy ; struktury roślin, naczyń krwionośnych i płuc ; skupienie galaktyk . Jego osobistym celem było stworzenie jakiejś matematycznej formuły do ​​pomiaru ogólnej „chropowatości” takich obiektów w przyrodzie. Zaczął od zadawania sobie różnego rodzaju pytań związanych z naturą:

Czy geometria może zapewnić to, co obiecywał grecki rdzeń jej nazwy [geo-] — prawdziwy pomiar nie tylko pól uprawnych wzdłuż Nilu, ale także nieokiełznanej Ziemi?

W swoim artykule zatytułowanym Jak długie jest wybrzeże Wielkiej Brytanii? Statistical Self-similarity and Fractional Dimension opublikowane w Science w 1967 roku Mandelbrot omawia samopodobne krzywe o wymiarze Hausdorffa, które są przykładami fraktali , chociaż Mandelbrot nie używa tego terminu w artykule, ponieważ nie ukuł go do 1975 roku. to jedna z pierwszych publikacji Mandelbrota na temat fraktali.

Mandelbrot kładł nacisk na wykorzystanie fraktali jako realistycznych i użytecznych modeli do opisu wielu „surowych” zjawisk w rzeczywistym świecie. Doszedł do wniosku, że „prawdziwa szorstkość jest często fraktalna i można ją zmierzyć”. Chociaż Mandelbrot ukuł termin „fraktal”, niektóre z obiektów matematycznych, które przedstawił w The Fractal Geometry of Nature, zostały wcześniej opisane przez innych matematyków. Jednak przed Mandelbrotem uważano je za odosobnione ciekawostki o nienaturalnych i nieintuicyjnych właściwościach. Mandelbrot po raz pierwszy zebrał te obiekty razem i przekształcił je w podstawowe narzędzia dla długotrwałych wysiłków zmierzających do rozszerzenia zakresu nauki o wyjaśnienie niegładkich, „szorstkich” obiektów w rzeczywistym świecie. Jego metody badawcze były zarówno stare, jak i nowe:

Forma geometrii, którą coraz bardziej lubiłem, jest najstarszą, najbardziej konkretną i najbardziej inkluzywną, szczególnie wzmocnioną przez oko i wspomaganą ręką, a dziś także komputerem… wnoszącą element jedności do światów poznania i uczucie ... i nieświadomie, jako bonus, w celu tworzenia piękna.

Fraktale można również znaleźć w ludzkich zajęciach, takich jak muzyka, malarstwo, architektura i ceny na giełdzie . Mandelbrot uważał, że fraktale, dalekie od bycia nienaturalnymi, są pod wieloma względami bardziej intuicyjne i naturalne niż sztucznie gładkie obiekty tradycyjnej geometrii euklidesowej :

Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawice nie poruszają się po linii prostej.
  — Mandelbrot, we wstępie do The Fractal Geometry of Nature*

Mandelbrot został nazwany artystą, wizjonerem i indywidualistą. Jego nieformalny i pełen pasji styl pisania oraz nacisk na intuicję wizualną i geometryczną (wspartą licznymi ilustracjami) sprawiły, że The Fractal Geometry of Nature stała się dostępna dla niespecjalistów. Książka wywołała powszechne zainteresowanie fraktalami i przyczyniła się do rozwoju teorii chaosu oraz innych dziedzin nauki i matematyki.

Mandelbrot również zastosował swoje pomysły w kosmologii. W 1974 zaproponował nowe wyjaśnienie paradoksu Olbersa (zagadki „ciemnego nocnego nieba”), ukazując konsekwencje teorii fraktali jako wystarczającego, ale nie koniecznego rozwiązania paradoksu. Postulował, że gdyby gwiazdy we wszechświecie miały rozkład fraktalny (na przykład jak pył Cantora ), nie byłoby konieczne opieranie się na teorii Wielkiego Wybuchu, aby wyjaśnić ten paradoks. Jego model nie wykluczałby Wielkiego Wybuchu, ale pozwalał na ciemne niebo, nawet gdyby Wielki Wybuch nie miał miejsca.

Nagrody i wyróżnienia

Nagrody Mandelbrota obejmują Nagrodę Wolfa w dziedzinie fizyki w 1993 roku, Lewis Fry Richardson Nagrodę Europejskiego Towarzystwa Geofizycznego w 2000 roku Nagrodą Japonia w 2003 roku, a Einstein Lectureship z American Mathematical Society w 2006 roku.

Mała asteroida 27500 Mandelbrot została nazwana na jego cześć. W listopadzie 1990 roku został kawalerem francuskiej Legii Honorowej . W grudniu 2005 roku Mandelbrot został powołany na stanowisko Battelle Fellow w Pacific Northwest National Laboratory . Mandelbrot został awansowany na oficera Legii Honorowej w styczniu 2006 roku. Honorowy stopień z Uniwersytetu Johnsa Hopkinsa został nadany Mandelbrotowi podczas ćwiczeń rozpoczynających w maju 2010 roku.

Częściowa lista nagród otrzymanych przez Mandelbrota:

Śmierć i dziedzictwo

Mandelbrot zmarł na raka trzustki w wieku 85 lat w hospicjum w Cambridge w stanie Massachusetts 14 października 2010 r. Reagując na wiadomość o swojej śmierci, matematyk Heinz-Otto Peitgen powiedział: „Jeśli mówimy o wpływie w matematyce i zastosowaniach w naukach ścisłych jest jedną z najważniejszych postaci ostatnich pięćdziesięciu lat”.

Chris Anderson , kurator konferencji TED , określił Mandelbrota jako „ikonę, która zmieniła sposób, w jaki postrzegamy świat”. Nicolas Sarkozy , prezydent Francji w chwili śmierci Mandelbrota, powiedział, że Mandelbrot miał „potężny, oryginalny umysł, który nigdy nie stronił od innowacji i obalania z góry przyjętych poglądów […] jego praca, opracowana całkowicie poza głównym nurtem badań, doprowadziła do nowoczesnego teoria informacji”. Nekrolog Mandelbrota w The Economist wskazuje na jego sławę jako „celebrytę poza akademią” i wychwala go jako „ojca geometrii fraktalnej”.

Najlepiej sprzedający się eseista-autor Nassim Nicholas Taleb zauważył, że książka Mandelbrota The (Mis)Behavior of Markets jest jego zdaniem „najgłębszą i najbardziej realistyczną książką finansową, jaką kiedykolwiek opublikowano”.

Bibliografia

po angielsku

• Fraktale: forma, szansa i wymiar, 1977, 2020
• Fraktalna geometria natury , 1982
• Fraktale i skalowanie w finansach: nieciągłość, koncentracja, ryzyko. Selecta Tom E, 1997 przez Benoit B. Mandelbrot i RE Gomory
• Fractales, hasard et finance, 1959–1997, 1 listopada 1998 r.
• Multifraktale i 1/ƒ Noise: Wild Self-Affinity in Physics (1963-1976) (Selecta; VN) 18 stycznia 1999 JM Berger i Benoit B. Mandelbrot
• Gaussowskie samopowinowactwo i fraktale: globalność, Ziemia, szum 1/f i R/S (wybrane prace Benoita B. Mandelbrota) 14 grudnia 2001, Benoit Mandelbrot i FJ Damerau
• Fraktale i chaos: The Mandelbrot Set and Beyond, 9 stycznia 2004
• Niewłaściwe zachowanie rynków: Fractal View of Financial Turbulence, 2006 Benoit Mandelbrot i Richard L. Hudson
• Fraktalista: Pamiętnik naukowca, 2014

Po francusku

• La forme d'une vie. Mémoires (1924-2010) Benoît Mandelbrot (autor), Johan-Frédérik Hel Guedj (tłumacz)

Odniesienia w kulturze popularnej

• W wydanej w 1990 roku książce The Ghost from the Grand Banks autorstwa Arthura C. Clarke'a klienci używają zestawu do przetestowania teorii, jak podnieść Titanica .
• W 1992 roku autor Piers Anthony napisał Fractal Mode, w którym idee wielu wszechświatów połączonych fraktalami są głównym punktem budowania świata w tej historii.
• Geometria Mandelbrota i fraktalna są wspomniane w filmie Bank z 2001 roku i służy jako wzór dla protagonisty do stworzenia jego programu BTSE
• W 2004 roku amerykański piosenkarz i autor tekstów Jonathan Coulton napisał „Mandelbrot Set”. Dawniej zawierał słowa „Mandelbrot jest w niebie / przynajmniej będzie, gdy umrze / teraz nadal żyje i uczy matematyki w Yale”. Występy na żywo po śmierci Mandelbrota w 2010 roku zawierają tylko pierwszą linię i krótki rockowy instrument.
• W 2007 roku pisarka Laura Ruby opublikowała „Króla chaosu”, w której znalazła się postać o imieniu Mandelbrot i omówienie teorii chaosu.
• W 2017 roku w komiksie internetowym Zacha Weinersmitha , Saturday Morning Breakfast Cereal , wcielił się Mandelbrot.
• W 2017 roku Liz Ziemska opublikowała nowelę Mandelbrot The Magnificent , fikcyjną relację o tym, jak Mandelbrot uratował swoją rodzinę podczas II wojny światowej.

Hołd

20 listopada 2020 r. Google uczciło Mandelbrota za pomocą Google Doodle .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Hudson, Richard L.; Mandelbrot, Benoît B. (2004). (Nie)zachowanie rynków: fraktalne spojrzenie na ryzyko, ruinę i nagrodę . Nowy Jork: Podstawowe książki. Numer ISBN 978-0-465-04355-2.

Dalsza lektura

• Mandelbrot, Benoit B. (2010). Fraktalista, pamiętnik naukowca. New York: Vintage Books , Oddział Random House. ISBN  978-0-307-38991-6
• Mandelbrot, Benoît B. (1983). Fraktal Geometria Natury . San Francisco: WH Freeman. Numer ISBN 978-0-7167-1186-5.
• Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jürgens , Dietmar Saupe i Cornelia Zahlten: Fraktale: An Animated Discussion (63 min. film wideo, wywiady z Benoît Mandelbrotem i Edwardem Lorenzem, animacje komputerowe), WH Freeman and Company, 1990. ISBN  0-7167-2213 -5 (ponownie opublikowane przez Films for the Humanities & Sciences, ISBN  978-0-7365-0520-8 )
• Mandelbrot, Benoit B. (1997) Fraktale i skalowanie w finansach: nieciągłość, koncentracja, ryzyko , Springer.
• Mandelbrot, Benoît (luty 1999). „Wielofraktalny spacer po Wall Street”. Naukowy Amerykanin . 280 (2): 70. Kod Bibcode : 1999SciAm.280b..70M . doi : 10.1038/scientificamerican0299-70 .
• Mandelbrot, Benoit B., Samopowinowactwo i fraktale Gaussa , Springer: 2002.
• Mandelbrot, Benoît; Taleb, Nassim (23 marca 2006). „Koncentracja na wyjątkach, które potwierdzają regułę” . Czasy finansowe . Zarchiwizowane z oryginału w dniu 23 października 2010 roku . Źródło 17 października 2010 .
• „Polowanie na ukryty wymiar: tajemniczo piękne fraktale wstrząsają światem matematyki i pogłębiają nasze rozumienie natury” , NOVA , Fundacja Edukacyjna WGBH, Boston dla PBS, wyemitowany po raz pierwszy 28 października 2008 r.
• Rama, Michael; Cohen, Nathan (2015). Benoit Mandelbrot: Życie w wielu wymiarach . Singapur: World Scientific Publishing Company. Numer ISBN 978-981-4366-06-9.
• Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et la repartition des revenus. Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 249, 613-615.
• Mandelbrot, B. (1960) Prawo Pareto-Levy'ego i podział dochodów. Międzynarodowy Przegląd Ekonomiczny, 1, 79–106.
• Mandelbrot, B. (1961) Stabilne funkcje losowe Pareta i multiplikatywna zmienność dochodu. Ekonometria, 29, 517-543.
• Mandelbrot, B. (1964) Losowe spacery, wielkość obrażeń od ognia i inne zjawiska ryzyka Pareta. Badania operacyjne, 12, 582-585.

Zewnętrzne linki

• Benoit Mandelbrot w projekcie Genealogia Matematyki
• Strona Mandelbrota w Yale
• „Benoît Mandelbrot: Fraktale i sztuka szorstkości” (adres TED).
• Fraktale w nauce, inżynierii i finansach (wykład).
• Wywiad FT.com na temat rynków finansowych, który zawiera jego krytykę hipotezy „efektywnego rynku”.
• Taylor, Richard (2011). „Nekrologi: Benoit Mandelbrot” . Fizyka dzisiaj . 64 (6): 63. Kod bib : 2011PhT....64f..63T . doi : 10.1063/1.3603925 .
• Mandelbrot opowiada swoją historię życia ( Web of Stories ).
• Wywiad (1 stycznia 1981, Ithaca, NY) przeprowadzony przez Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Cornell University Library .
• Animacja wideo zestawu Mandelbrota , współczynnik powiększenia 10 ³⁴² .
• Animacja wideo Mandelbulba na YouTube , trójwymiarowa projekcja Mandelbrota.
• Film przedstawia animowany świat Mandelbulb na YouTube
• Benoit Mandelbrot w IMDb
• Benoit Mandelbrot na TED