Numer Bettiego - Betti number

W algebraicznej topologii , to liczby bettiego są używane do rozróżniania miejsc topologicznych na podstawie połączeń w n -wymiarowej kompleksów symplicjalnego . Dla większości rozsądnych skończonych-wymiarowej przestrzeni (np kompaktowych kolektorów skończonej kompleksów symplicjalnego lub kompleksów CW ), sekwencja liczby bettiego oznacza 0 z pewnym dalszego (liczby bettiego znikają powyżej wymiaru przestrzeni), a wszystkie one są skończone .

N ^p liczby bettiego oznacza rangę n ^-tego grupy homologii , oznaczoną H _n , które mówi się maksymalna ilość kawałków, które mogą być wykonane przed oddzieleniem powierzchni na dwie części lub 0 cykli, 1 cykli, i inne na przykład if then , if then , if then , if then itd. Zauważ, że brane są pod uwagę tylko szeregi nieskończonych grup, więc na przykład if , gdzie jest skończoną grupą cykliczną rzędu 2, then . Te skończone składowe grup homologii są ich podgrupami torsyjnymi i są oznaczane przez współczynniki torsyjne . ${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong 0}$${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 0}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 1}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 2}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle b_ {n} (X) = 3}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ mathbb {Z} ^ {k} \ oplus \ mathbb {Z} / (2)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / (2)}$${\ Displaystyle b_ {n} (X) = k}$

Termin „numery Betti” został ukuty przez Henri Poincaré po Enrico Betti . Nowoczesna formuła to zasługa Emmy Noether . Liczby Betti są obecnie używane w dziedzinach takich jak simplicial homology , informatyka , obrazy cyfrowe itp.

Interpretacja geometryczna

W przypadku torusa pierwszą liczbą Bettiego jest b ₁ = 2 , co można intuicyjnie traktować jako liczbę okrągłych „dziur”

Nieformalnie liczba k- tej Bettiego odnosi się do liczby k- wymiarowych dziur na powierzchni topologicznej. „ K- wymiarowa dziura ” to k- wymiarowy cykl, który nie jest granicą obiektu ( k +1)-wymiarowego.

Kilka pierwszych liczb Bettiego ma następujące definicje dla 0-wymiarowych, 1-wymiarowych i 2-wymiarowych kompleksów symplicjalnych :

• b ₀ to liczba połączonych komponentów;
• b ₁ jest liczbą jednowymiarowych lub „kołowych” otworów;
• b ₂ to liczba dwuwymiarowych „pustek” lub „jamek”.

Na przykład torus ma jeden połączony składnik powierzchni, więc b ₀ = 1, dwa „kołowe” otwory (jeden równikowy i jeden południkowy ), więc b ₁ = 2, oraz pojedynczą wnękę zamkniętą w powierzchni, więc b ₂ = 1.

Inną interpretacją b _k jest maksymalna liczba k -wymiarowych krzywych, które można usunąć, gdy obiekt pozostaje połączony. Na przykład torus pozostaje połączony po usunięciu dwóch jednowymiarowych krzywych (równikowej i południkowej), więc b ₁ = 2.

Dwuwymiarowe liczby Bettiego są łatwiejsze do zrozumienia, ponieważ widzimy świat w 0, 1, 2 i 3 wymiarach; jednak kolejne liczby Bettiego mają większy wymiar niż pozorna przestrzeń fizyczna.

Formalna definicja

Dla nieujemną liczbę całkowitą  k The k p Betti liczba b _k ( X ) przestrzeni X określa się jako stopień (liczba liniowo niezależne generatory) o grupa przemienna H _K ( X ), w k -tego grupy homologii z  X . K p grupa homologii , gdy S są mapy granica kompleksu symplicjalnego i stopnia H _k jest k p liczby bettiego. Równoważnie można zdefiniować jako wektor wymiaru przestrzeni o H _k ( X ,  Q ), ponieważ grupa homologia w tym przypadku przestrzeń wektorową na  Q . Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku , w bardzo prostym przypadku bez skręcania, pokazuje, że te definicje są takie same. ${\ Displaystyle H_ {k} = \ ker \ delta _ {k} / \ operator {im} \ delta _ {k + 1}}$${\ Displaystyle \ delta _ {k}}$

Mówiąc ogólniej, mając dane pole F można zdefiniować b _k ( X ,  F ), k- tą liczbę Bettiego ze współczynnikami w F , jako wymiar przestrzeni wektorowej H _k ( X ,  F ).

Wielomian Poincaré

Poincare wielomianu o powierzchni jest określona jako funkcja generowania jego liczby bettiego. Na przykład liczby Betti torusa to 1, 2 i 1; stąd jego wielomian Poincaré to . Ta sama definicja odnosi się do każdej przestrzeni topologicznej, która ma skończenie wygenerowaną homologię. ${\ Displaystyle 1 + 2 x + x ^ {2}}$

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną, która ma skończenie generowaną homologię, wielomian Poincarégo jest zdefiniowany jako funkcja tworząca jego liczb Bettiego, poprzez wielomian, w którym współczynnik wynosi . ${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Przykłady

Liczby Betti grafu

Rozważmy graf topologiczny G , w którym zbiór wierzchołków to V , zbiór krawędzi to E , a zbiór połączonych składowych to C . Jak wyjaśniono na stronie o homologii grafów , jej grupy homologii są podane przez:

${\ Displaystyle H_ {k} (G) = {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {Z} ^ {| C |} i k = 0 \ \ \ mathbb {Z} ^ {| E | + | C | - | V |}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Można to wprost wykazać za pomocą indukcji matematycznej liczby krawędzi. Nowa krawędź albo zwiększa liczbę 1-cykli, albo zmniejsza liczbę połączonych komponentów.

Dlatego „zerowa” liczba Bettiego b ₀ ( G ) równa się | C |, czyli po prostu liczba połączonych elementów.

Pierwsza liczba Bettiego b ₁ ( G ) równa się | E | + | C | - | V |. Nazywana jest również liczbą cyklomatyczną — terminem wprowadzonym przez Gustava Kirchhoffa przed artykułem Bettiego. Zobacz złożoność cyklomatyczną dla aplikacji do inżynierii oprogramowania .

Wszystkie inne numery Betti to 0.

Liczby Betti kompleksu symplicjalnego

Rozważ kompleks simplicjalny z 0-simplicami: a, b, c i d, 1-simplicami: E, F, G, H i I, a jedynym 2-simpleksem jest J, który jest zacienionym obszarem na rysunku. Jasne jest, że na tym rysunku jest jeden połączony komponent ( b ₀ ); jeden otwór, który to region nieosłoniętych ( b ₁ ); i brak „puste przestrzenie” i „ubytki” ( b ₂ ).

Oznacza to, że ranga z to 1, ranga z to 1, a ranga z to 0. ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Sekwencja numerów Betti dla tej figury to 1, 1, 0, 0, ...; wielomian Poincaré to . ${\displaystyle 1+x\,}$

Liczby Betti na płaszczyźnie rzutowej

Grupy homologii płaszczyzny rzutowej P to:

${\ Displaystyle H_ {k} (P) = {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {Z} & k = 0 \ \ \ mathbb {Z} _ {2} & k = 1 \ \ \ {0 \} i {\ tekst {w przeciwnym razie}}\end{przypadki}}}$

Tutaj Z ₂ jest cykliczną grupą rzędu 2. 0-ta liczba Bettiego to znowu 1. Jednak 1-sza liczba Bettiego to 0. Dzieje się tak, ponieważ H ₁ ( P ) jest grupą skończoną - nie ma dowolny nieskończony składnik. Skończona składnik grupy jest nazywany współczynnikiem skrętny z P . (Wymierne) liczby Betti b _k ( X ) nie uwzględniają skręcania w grupach homologii, ale są bardzo użytecznymi podstawowymi niezmiennikami topologicznymi. W najbardziej intuicyjny sposób pozwalają policzyć ilość otworów o różnych wymiarach.

Nieruchomości

Charakterystyka Eulera

Dla skończonego kompleksu CW K mamy

${\ Displaystyle \ chi (K) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {i} b_ {i} (K, F), \,}$

gdzie oznacza Eulera cechę z K i każdym polu  F . ${\ Displaystyle \ chi (K)}$

Produkt kartezjański

Dla dowolnych dwóch przestrzeni X i Y mamy

${\ Displaystyle P_ {X \ razy Y} = P_ {X} P_ {Y}}$

gdzie ma uprzednio wielomian Poincare z X (bardziej ogólnie, seria Hilberta-Poincare na przestrzeni nieskończonej wymiarowych), czyli funkcję generowania liczb Betti o X : ${\displaystyle P_{X}}$

${\ Displaystyle P_ {X} (z) = b_ {0} (X) + b_ {1} (X) z + b_ {2} (X) z ^ {2} + \ cdots \, \!}$

zobacz twierdzenie Künnetha .

Symetria

Jeśli X jest n- wymiarową rozmaitością, zachodzi zamiana symetrii i , dla każdego : ${\displaystyle k}$${\displaystyle nk}$${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle b_ {k} (X) = b_ {nk} (X)}$

w warunkach ( rozmaitość zamknięta i zorientowana ); zobacz dualność Poincare .

Różne współczynniki

Zależność od pola F polega tylko na jego charakterystyce . Jeśli grupy homologii są wolne od skręcania , liczby Bettiego są niezależne od F . Związek p -skręcania i liczby Bettiego dla cechy  p , dla p liczby pierwszej, szczegółowo opisuje twierdzenie o uniwersalnym współczynniku (oparte na funktorach Tora , ale w prostym przypadku).

Więcej przykładów

1. Sekwencja liczb Bettiego dla koła to 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   wielomian Poincaré to

   ${\displaystyle 1+x\,}$.

2. Sekwencja liczb Bettiego dla trzech torusów to 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   wielomian Poincaré to

   ${\ Displaystyle (1 + x) ^ {3} = 1 + 3 x + 3 x ^ {2} + x ^ {3} \,}$.

3. Podobnie dla n - torusa ,

   wielomian Poincaré to

   ${\ Displaystyle (1 + x) ^ {n} \}$(według twierdzenia Künnetha ), więc liczby Bettiego są współczynnikami dwumianowymi .

Dla przestrzeni, które są nieskończenie wymiarowe w zasadniczy sposób, istnieje możliwość posiadania nieskończonej sekwencji niezerowych liczb Bettiego. Przykładem jest nieskończenie wymiarowa złożona przestrzeń rzutowa , z ciągiem 1, 0, 1, 0, 1, ... czyli okresowa, o długości okresu 2. W tym przypadku funkcja Poincarégo nie jest wielomianem, ale raczej nieskończonym szeregiem

${\ Displaystyle 1 + x ^ {2} + x ^ {4} + \ kropki}$,

która będąc szeregiem geometrycznym może być wyrażona jako funkcja wymierna

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1-x ^ {2}}}.}$

Mówiąc bardziej ogólnie, każdy ciąg, który jest okresowy, może być wyrażony jako suma szeregu geometrycznego, uogólniając powyższe (np. ma funkcję generującą ${\displaystyle a,b,c,a,b,c,\kropki ,}$

${\ Displaystyle \ lewo (a + bx + cx ^ {2} \ po prawej) / \ po lewej (1 x ^ {3} \ po prawej) \,}$

a bardziej ogólnie liniowe sekwencje rekurencyjne są dokładnie sekwencjami generowanymi przez funkcje wymierne ; w ten sposób szereg Poincarégo można wyrazić jako funkcję wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja liczb Bettiego jest liniową sekwencją rekurencyjną.

Wielomiany Poincaré zwartych prostych grup Liego to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P_ {SU (n + 1)} (x) i = \ lewo (1 + x ^ {3} \ po prawej) \ po lewej (1 + x ^ {5} \ po prawej) \ cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+ x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\ right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1 +x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5 }\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{ 4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left( 1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right) \left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\ right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{ 15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x ^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left( 1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right )\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}$

Związek z wymiarami przestrzeni form różniczkowych

W sytuacjach geometrycznych, gdy jest rozmaitością zamkniętą , znaczenie liczb Bettiego może wynikać z innego kierunku, a mianowicie, że przewidują one wymiary przestrzeni wektorowych form różniczkowych domkniętych modulo dokładne formy różniczkowe . Związek z definicją podaną powyżej wynika z trzech podstawowych wyników, twierdzenia de Rhama i dualizmu Poincarégo (jeśli mają zastosowanie) oraz twierdzenia o uniwersalnych współczynnikach teorii homologii . ${\ Displaystyle X}$

Istnieje alternatywne odczytanie, a mianowicie, że liczby Bettiego podają wymiary przestrzeni form harmonicznych . Wymaga to również wykorzystania niektórych wyników teorii Hodge'a , dotyczących Hodge'a Laplace'a .

W tym ustawieniu, teoria Morse'a daje zbiór nierówności przemiennego sumy liczb Betti pod względem odpowiedniej sumy zmiennego liczby punktów krytycznych o funkcji Morse'a danego indeksu : ${\ Displaystyle N_ {i}}$

${\ Displaystyle b_ {i} (X) -b_ {i-1} (X) + \ cdots \ leq N_ {i} -N_ {i-1} + \ cdots.}$

Edward Witten wyjaśnił te nierówności, używając funkcji Morse'a do modyfikacji zewnętrznej pochodnej w kompleksie de Rhama .

Zobacz też

• Analiza danych topologicznych
• Współczynnik skręcania

Bibliografia

• Warner, Frank Wilson (1983), Podstawy rozmaitości różniczkowalnych i grup Liego , New York: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
• Roe, John (1998), Operatory eliptyczne, topologia i metody asymptotyczne , Notatki badawcze z serii Matematyka, 395 (druga ed.), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.