Dwupiramida - Bipyramid

Zestaw podwójnych jednorodnych bipiramid n- gonalnych
Sześciokątny bipiramid.png
Przykład podwójnie jednorodnej heksagonalnej bipiramidy
Rodzaj dual- jednostajny w sensie dual- półregularny wielościan
Schemat Coxetera Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel n.pngCDel node.png
Symbol Schläfli { } + { n }
Twarze 2 n przystających trójkątów równoramiennych
Krawędzie 3 n
Wierzchołki 2 + n
Konfiguracja twarzy V4.4. n
Grupa symetrii D n h , [ n ,2], (* n 22), rząd 4 n
Grupa rotacyjna D n , [ n ,2] + , ( n 22), rząd 2 n
Podwójny wielościan (wypukły) jednorodny n -kątny pryzmat
Nieruchomości wypukłe , twarze przechodnie , regularne wierzchołki
Internet Uogólniony bipiramid net.svg
Przykładowa pięciokątna siatka dwupiramidowa ( n = 5)
Dwupiramida wykonana ze słomek i gumek . (Dodawana jest dodatkowa słomka osiowa, która nie występuje w prostym wielościanie.)

(symetryczna) n- kątna bipiramida lub dipiramida jest wielościanem utworzonym przez połączenie n- kątnej piramidy i jej lustrzanego odbicia podstawa do podstawy. N -gonal podwójnej piramidy z 2 n trójkątne powierzchnie, 3 n krawędzie i 2 + n wierzchołków.

Się odniesienia n gon w imię podwójnej piramidy nie jest twarz, ale wewnętrzna baza wielokąt, leżące w płaszczyźnie lustra, która łączy dwie połówki piramidy. (Gdyby to była twarz, każda z jej krawędzi łączyłaby trzy ściany zamiast dwóch).

„Zwykłe”, prawe bipiramidy

„Regular” podwójnej piramidy ma regularną bazę wielokąta. Zwykle sugeruje się, że jest to również prawidłowa bipiramida.

Prawo podwójnej piramidy ma swoje dwa wierzchołki tuż powyżej prawej poniżej środka lub ciężkości jego podstawy wieloboku.

„Regularna” prawa (symetryczna) bipiramida n- kątna ma symbol Schläfliego { } + { n }.

Prawa (symetryczna) bipiramida ma symbol Schläfliego { } + P , dla podstawy wielokąta P.

„Normalny” w prawo (czyli twarzą przechodnia ) n -gonal podwójnej piramidy z regularnych wierzchołków jest podwójny z n -gonal mundurze (stąd prawej) pryzmatu i ma przystające trójkąta równoramiennego twarze.

„Regularna” prawa (symetryczna) n- kątna dwupiramida może być rzutowana na kulę lub kulę jako „regularna” prawa (symetryczna) n- kątna dwupiramida sferyczna : n równo rozmieszczonych linii długości od bieguna do bieguna i równika linia je przecinająca .

Dwupiramidy „zwykłe” prawe (symetryczne) n- kątne:
Nazwa bipiramidy Dwustronna bipiramida Trójkątna bipiramida
(patrz: J 12 )
Kwadratowa bipiramida
(patrz: O )
Dwupiramida pięciokątna
(patrz: J 13 )
Sześciokątna bipiramida Siedmiokątna bipiramida Dwupiramida ośmiokątna Dwupiramida enneagonalna Dwupiramida dziesięciokątna ... Apeirogonalna bipiramida
Obraz wielościanu Trójkątna bipiramida.png Kwadratowa bipiramida.png Pentagonale bipiramid.png Sześciokątny bipiramid.png Siedmiokątna bipiramida.png Dwupiramida ośmiokątna.png Dwupiramida enneagonalna.png Dwupiramida dziesięciokątna.png ...
Kulisty obraz kafelkowy Kulista dwukątna bipiramida.svg Sferyczna bipiramida trygonalna.png Kulisty kwadrat bipiramid.svg Kulista pięciokątna bipiramida.png Sferyczna sześciokątna bipiramida.png Kulista siedmiokątna bipiramida.png Kulista ośmiokątna bipiramida.png Kulista bipiramida enneagonalna.png Sferyczna dziesięciokątna bipiramida.png Samolot kafelkowy obraz Nieskończona bipiramid.svg
Konfiguracja twarzy. V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4 ... V∞.4.4
Schemat Coxetera Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 5.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 6.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 7.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 8.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 9.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 10.pngCDel node.png ... Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel infin.pngCDel node.png

Dwupiramidy trójkąta równobocznego

Tylko trzy rodzaje dwupiramid mogą mieć wszystkie krawędzie tej samej długości (co oznacza, że ​​wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi , a zatem dwupiramida jest trójkątem ): dwupiramidy „regularne” prawe (symetryczne) trójkątne , czworokątne i pięciokątne . Dwupiramida czworokątna lub kwadratowa z krawędziami o tej samej długości lub ośmiościan foremny zalicza się do brył platońskich ; trójkątne i pięciokątne bipiramidy o tej samej długości krawędzi zaliczają się do brył Johnsona (J 12 i J 13 ).

Dwupiramidy trójkąta równobocznego:
„Zwykła” prawa (symetryczna)
nazwa bipiramidy
Trójkątna bipiramida
(J 12 )
Dwupiramida czworokątna
(Ośmiościan zwykły)
Dwupiramida pięciokątna
(J 13 )
Obraz bipiramidy Trójkątna dipiramida.png Oktaedron.svg Pięciokątna dipiramida.png

Symetria kalejdoskopowa

„Normalne” prawo (symetryczne) n -gonal podwójnej piramidy jest dwuścienny symetrii grupa D n h , o uporządkowaniu 4, n , z wyjątkiem przypadku zwykłego ośmiościanu , który ma większą ośmiościenny symetrii grupa o h , w celu 48, które ma trzy wersje D 4h jako podgrupy. Grupa rotacyjna to D n rzędu 2 n , z wyjątkiem przypadku ośmiościanu foremnego, który ma większą grupę rotacyjną O rzędu 24, która ma trzy wersje D 4 jako podgrupy.

W 4 n trójkątne powierzchnie „regularnego” w prawo (symetryczne) 2 n -gonal podwójnej piramidy, przewidywanej jako 4 n sferycznych trójkątnymi powierzchniami „regularnego” w prawo (symetryczne) 2 n -gonal sferycznej podwójnej piramidy, stanowią podstawowe domeny dwuścienny symetria w trzech wymiarach : D n h , [ n ,2], (* n 22), rząd 4 n . Domeny te mogą być pokazane jako naprzemiennie kolorowe sferyczne trójkąty:

  • w płaszczyźnie odbicia przez krawędzie kocykliczne domeny lustrzane mają różne kolory (izometria pośrednia);
  • wokół n- krotnej osi obrotu przez przeciwległe wierzchołki domena i jej obraz są w tym samym kolorze (izometria bezpośrednia).

N -gonal (symetryczne) podwójnej piramidy może być postrzegane jako kleeścian z „odpowiadający” n -gonal dwuścianu .

Podstawowe dziedziny symetrii dwuściennej w trzech wymiarach:
D n h D 1h D 2h D 3h D 4h D 5h D 6h ...
Podstawowy obraz domen Kulista dwukątna bipiramida2.svg Kulisty kwadrat bipiramid2.svg Kulisty sześciokątny bipiramid2.png Kulista ośmiokątna bipiramida2.png Sferyczna dziesięciokątna bipiramida2.png Kulista dwunastokątna bipiramida2.png ...

Tom

Objętość (symetrycznej) bipiramidy:

gdzie B jest powierzchnią podstawy, a h wysokością od płaszczyzny podstawy do wierzchołka.

Działa to dla dowolnego kształtu podstawy i dowolnego położenia wierzchołka, pod warunkiem, że h jest mierzone jako prostopadła odległość od płaszczyzny zawierającej wewnętrzną podstawę wielokąta. Stąd:

Objętość (symetryczne) podwójnej piramidy, której podstawa jest regularny n -sided wielokąt o długości boku a , i których wysokość H :

Ukośne bipiramidy

Bipiramidy nieprawe nazywane są bipiramidami ukośnymi .

Dwupiramidy wklęsłe

Wklęsły podwójnej piramidy ma wklęsłą podstawę wielokąta.

Przykład wklęsła (symetryczna) bipiramida tetragonalna (*)

(*) Jego podstawa nie ma wyraźnego środka ciężkości ; jeśli jego wierzchołki nie znajdują się tuż nad/poniżej środka ciężkości jego podstawy, nie jest to prawa bipiramida. W każdym razie jest to ośmiościan wklęsły.

Asymetryczne/odwrócone prawe bipiramidy

Asymetryczny prawo podwójnej piramidy łączy dwa odpowiednie piramidy z podstawami zbieżnych ale nierównych wysokościach zasadzie podstawa do podstawy.

Odwrócony prawo podwójnej piramidy łączy dwa odpowiednie piramidy z zasadami przystających ale nierównych wysokościach, podstawa to Base, ale na tej samej stronie ich wspólnej podstawy.

Podwójny z asymetrycznym lub odwróconej prawej podwójnej piramidy jest ścięty .

„Regularnego” asymetryczny / odwrócony prawo n -gonal symetrii podwójnej piramidy jest grupa C, n v , rzędu 2 N .

Przykład „regularne” asymetryczne/odwrócone prawe sześciokątne bipiramidy:
Asymetryczny Odwrotny
Asymetryczna heksagonalna bipiramida.png Odwrócona asymetryczna sześciokątna bipiramida.png

Bipiramidy w kształcie trójkąta Scalene

Przykład dwupiramidy ditetragonalnej

Określenie „ isotoxalprawy (symetryczne) di- n -gonal podwójnej piramidy jest w prawo (symetryczne) 2 n -gonal podwójnej piramidy z isotoxal płaskiej podstawy wielokąt Jego 2 n wierzchołki wokół boków są w jednej płaszczyźnie, a na przemian z dwoma promieniami.

„Izotoksalna” prawa (symetryczna) dwu- n- kątna bipiramida ma n podwójnych osi obrotu przechodzących przez wierzchołki wokół boków, n płaszczyzn odbicia przez wierzchołki i wierzchołki, n -krotną oś obrotu przez wierzchołki, płaszczyznę odbicia przechodzącą przez podstawę i n -krotnie obrotowo odbiciem osi przechodzącej wierzchołków, co stanowi grupa symetrii D n h [ n , 2] (* 22 n ), w celu 4 n . (Odbicie w płaszczyźnie bazowej odpowiada odbiciu przy obrocie o 0 °. Jeśli n jest parzyste, istnieje symetria wokół środka, odpowiadająca odbiciu obrotu o 180 °.)

Wszystkie jego twarze są przystającymi trójkątami pochyłymi i jest izoedryczna . Można zauważyć, jak innego rodzaju prawo „symetrycznego” di- n -gonal scalenohedron .

Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne.

Przykład:

  • „Izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” (*) bipiramida z bazowymi wierzchołkami:
U = (1,0,0), U′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V′ = (0,−2,0),
oraz z wierzchołkami:
A = (0,0,1), A′ = (0,0,−1),
ma dwie różne długości krawędzi:
UV = UV′ = U′V = U′V′ = 5 ,
AU = AU′ = A′U = A′U′ = 2 ,
AV = AV′ = A′V = A′V′ = 5 ;
zatem wszystkie jego trójkątne twarze są równoramienne.
  • „Izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” (*) bipiramida o tych samych wierzchołkach bazowych, ale o wysokości wierzchołka: 2, ma również dwie różne długości krawędzi: 5 i 2 2 .

W krystalografii istnieją bipiramidy „izotoksalne” prawe (symetryczne) „dwukątne” (*) (8-ścianne), dwutrygonalne (12-stronne), ditetragonalne (16-stronne) i dwuheksagonalne (24-stronne).

Przykład rombowej bipiramidy

(*) Jest najmniejsze geometryczne di- n -gonal bipyramids osiem powierzchnie i są jednakowe topologiczne do regularnego ośmiościanu . W tym przypadku (2 n  = 2×2):
„izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” bipiramida nazywana jest bipiramidą rombową , chociaż wszystkie jej ściany są trójkątami pochyłymi, ponieważ płaska podstawa wielokąta jest rombem.

Scalenoedra

„Normalne” prawy „symetryczny” di- n -gonal scalenohedron mogą być wykonane ze zwykłych zygzakowania skośnej 2 n gon podstawy dwie symetryczne wierzchołki tuż powyżej tuż poniżej środka podstawy i skierowana trójkąt łączący każdą krawędź podstawy każdego wierzchołka .

Ma dwa wierzchołki i 2 n wierzchołków wokół boków, 4 n ścian i 6 n krawędzi; jest topologicznie identyczne z 2 n -gonal podwójnej piramidy, ale jego 2 n wierzchołki wokół boków na przemian dwa pierścienie powyżej i poniżej środka.

Przykładowa podziałka dwutrygonalna

„Regularnego” prawy „symetryczny” di- n -gonal scalenohedron ma n dwukrotne osi obrotu do połowy krawędzi na całym boku, n płaszczyzny odbiciową przez wierzchołki i wierzchołków, a n krotność osi obrotu za pomocą wierzchołków i e n krotnie oś obrotu-odbicia przechodząca przez wierzchołki, reprezentująca grupę symetrii D n v = D n d , [2 + ,2 n ], (2* n ), rzędu 4 n . (Jeśli n jest nieparzyste, istnieje symetria wokół środka, odpowiadająca odbiciu obrotu o 180°).

Wszystkie jego twarze są przystającymi trójkątami łuskowatymi i jest izoedryczna . Można zauważyć, jak innego rodzaju prawo „symetrycznego” 2 n -gonal podwójnej piramidy, o regularnym zygzakowatej pochylać bazy wielokąta.

Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne .


W krystalografii istnieją „regularne”, prawe, „symetryczne”, „dwukątne” (8-ścianowe) i dwutrygonalne (12-ścianowe) skalenoedry.

Najmniejsze geometryczne skalenoedry mają osiem ścian i są topologicznie identyczne z ośmiościanem foremnym . W tym przypadku (2 n  = 2×2):
„regularny” prawy „symetryczny” „dwukątny” skalenoedr nazywany jest tetragonalnym skalenoedrem ; jego sześć wierzchołków można przedstawić jako (0,0,±1), (±1,0, z ), (0,±1,− z ), gdzie z jest parametrem z zakresu od 0 do 1; przy z  = 0 jest to ośmiościan foremny; w z  = 1, jest to disphenoid ze wszystkimi połączonymi koplanarnymi ścianami (cztery przystające trójkąty równoramienne); dla z  > 1 staje się wklęsły.

"Zwykłe" prawe "symetryczne" 8-ścianno-ścianowe odmiany geometryczne:
z  = 0,1 z  = 0,25 z  = 0,5 z  = 0,95 z  = 1,5
4-łuskowy-01.png 4-łuskowy-025.png 4-łuskowy-05.png 4-łuskowy-095.png 4-łuskowy-15.png
Przykładowe disfenoidy i ośmiościan łuskowy

Uwaga: Jeśli 2 n- kąt zasada jest zarówno izotoksalna do środka jak i zygzakowata, to nie wszystkie trójkątne ściany „izotoksalnej” prawej „symetrycznej” bryły są przystające.

Przykład:

  • Bryła z izotoksalem zygzakowatym skosem 2×2 kąty bazowe wierzchołki:
U = (1,0,1), U′ = (−1,0,1), V = (0,2,−1), V′ = (0,−2,−1),
oraz z "właściwymi" symetrycznymi wierzchołkami:
A = (0,0,3), A′ = (0,0,3),
ma pięć różnych długości krawędzi:
UV = UV′ = U′V = U′V′ = 3,
AU = AU′ = 5 ,
AV = AV′ = 2 5 ,
A′U = A′U′ = 17 ,
A′V = A′V′ = 2 2 ;
dlatego nie wszystkie jego trójkątne twarze są przystające.

„Zwykłe” bipiramidy gwiazd

Self-przecinających lub gwiazdy podwójnej piramidy ma gwiazda wielokąta podstawy.

„Regular” prawo symetryczny gwiazda podwójnej piramidy mogą być wykonane ze zwykłej podstawy wielokąt gwiaździsty, dwa symetryczne wierzchołki tuż nad i tuż poniżej środka bazowego, a więc jeden do jeden symetryczny trójkąt twarze łączący każdą krawędź podstawy do każdego wierzchołka.

„Regularna” prawostronna symetryczna bipiramida gwiazdowa ma przystające ścianki trójkąta równoramiennego i jest izoedryczna .

Uwaga: Dla co najwyżej jednej określonej wysokości wierzchołka, ściany trójkąta mogą być równoboczne.

Bipiramida { p / q } ma diagram Coxetera Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png.

Przykładowe „zwykłe” prawe symetryczne bipiramidy gwiazdowe:
Podstawa wielokąta gwiazdy 5/2 -gon 7/2-gon 7/3-gon 8/3-gon 9/2-gon 9/4 gon
Obraz bipiramidy gwiazdy Pentagram Dipiramida.png 7-2 dipiramida.png 7-3 dipiramida.png 8-3 dipiramida.png 9-2 dipiramida.png 9-4 dipiramida.png
Schemat Coxetera Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
Przykładowe „zwykłe” prawe symetryczne bipiramidy gwiazdowe:
Podstawa wielokąta gwiazdy 10/3-gon 11/2-gon 11/3-gon 11/4 gon 11/5-gon 12/5-gon
Obraz bipiramidy gwiazdy 10-3 dipiramida.png 11-2 dipiramida.png 11-3 dipiramida.png 11-4 dipiramida.png 11-5 dipiramida.png 12-5 dipiramida.png
Schemat Coxetera Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png

Bipiramidy gwiazd trójkąta Scalene

„Isotoxal” prawo symetryczny 2 P / Q -gonal gwiazda podwójnej piramidy mogą być wykonane z isotoxal in się gwiazda 2 P / Q gon podstawy dwie symetryczne wierzchołki tuż powyżej tuż poniżej środka dolnej, a tym samym jednego To- jedna symetryczna trójkątna ściana łącząca każdą krawędź podstawy z każdym wierzchołkiem.

Określenie „isotoxal” prawo symetryczny 2 p / q -gonal gwiazda podwójnej piramidy ma przystające różnoboczny twarze trójkąt, i jest isohedral . Może być postrzegany jako inny typ 2 p / q -kątny prawo "symetryczny" skalenoedron gwiazdy .

Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne.

Przykładowa "izotoksalna" prawa symetryczna bipiramida gwiazdy:
Podstawa wielokąta gwiazdy Isotoxal in-out 8/3-gon
Obraz bipiramidy trójkątnej gwiazdy w skali Scalene 8-3-bipiramid-inout.png

Gwiazda skalnohedra

„Regular” prawo „symetryczny” 2 p / q -gonal gwiazda scalenohedron mogą być wykonane ze zwykłej zygzakiem pochylać Star 2 p / q gon podstawy, dwa symetryczne wierzchołki tuż nad i tuż poniżej środka podstawy, a każdy trójkąt łączący twarze krawędź podstawy do każdego wierzchołka.

A "regular" prawo "symetryczny" 2 p / q -gonal gwiazda scalenohedron ma przystające różnoboczny twarze trójkąt, i jest isohedral . Można go postrzegać jako inny typ prawej „symetrycznej” 2 p / q -gonalnej bipiramidy gwiazdy, z regularną zygzakowatą podstawą wielokąta gwiazdy.

Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków ściany trójkąta mogą być równoramienne .

Przykład „regularny” prawy „symetryczny” skalenoedr gwiazdy:
Podstawa wielokąta gwiazdy Regularny skos zygzakowaty 8/3-kąta
Gwiazda skalnohedron obraz 8-3-bipiramida zygzak.png

Uwaga: Jeśli podstawa gwiazdy 2 p / q -gon jest zarówno izotoksalna in-out, jak i zygzakowata, to nie wszystkie ściany trójkąta „izotoksalnego” prawego „symetrycznego” wielościanu gwiazdy są przystające.

Przykład „izotoksalny” prawy „symetryczny” wielościan gwiazdy:
Podstawa wielokąta gwiazdy Zygzak zygzakowaty z izotoksalem skośnym 8/3-kąta
Obraz wielościanu gwiazdy 8-3-dipiramid zygzak inout.png

Z wierzchołkami bazowymi:

U 0 = (1,0,1), U 1 = (0,1,1), U 2 = (−1,0,1), U 3 = (0,−1,1),
V 0 = (2,2,−1), V 1 = (−2,2,−1), V 2 = (−2,−2,−1), V 3 = (2,−2,−1 ),

oraz z wierzchołkami:

A = (0,0,3), A′ = (0,0,−3),

ma cztery różne długości krawędzi:

U 0 V 1 = V 1 U 3 = U 3 V 0 = V 0 U 2 = U 2 V 3 = V 3 U 1 = U 1 V 2 = V 2 U 0 = 17 ,
AU 0 = AU 1 = AU 2 = AU 3 = 5 ,
AV 0 = AV 1 = AV 2 = AV 3 = 2 6 ,
A′U 0 = A′U 1 = A′U 2 = A′U 3 = 17 ,
A′V 0 = A′V 1 = A′V 2 = A′V 3 = 2 3 ;

dlatego nie wszystkie jego trójkątne twarze są przystające.

4-politopy z komórkami bipiramidowymi

Podwójny z sprostowania każdego wypukłych regularnych 4-polytopes jest komórką przechodnia 4-Polytope z komórkami bipiramidalną. Poniżej wierzchołek dwupiramidy to A, a wierzchołek równika to E. Odległość między sąsiednimi wierzchołkami na równiku EE = 1, wierzchołek do krawędzi równika to AE, a odległość między wierzchołkami to AA. Podwójnej piramidy 4-Polytope będzie miał V A wierzchołki gdzie wierzchołkach N bipyramids spotykają. Będzie mieć V E wierzchołki gdzie wierzchołki typu E z N E bipyramids końcem. Dwupiramidy N AE spotykają się wzdłuż każdej krawędzi typu AE. Dwupiramidy N EE spotykają się wzdłuż każdej krawędzi typu EE. C AE jest cosinusem kąta dwuściennego wzdłuż krawędzi AE. C EE jest cosinusem kąta dwuściennego wzdłuż krawędzi EE. Ponieważ komórki muszą zmieścić się wokół krawędzi, N AA cos -1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos -1 ( CA AE ) ≤ 2 π .

Właściwości 4-politopowe Właściwości bipiramidy
Podwójny z
Schemat Coxetera
Komórki V A V E N A N E N AE N EE Komórka
Schemat Coxetera
AA AE** C AE C EE
Rektyfikacja 5-ogniwowa CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 5 5 4 6 3 3 Trójkątna bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,667
Teserakt rektyfikowany CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 32 16 8 4 12 3 4 Trójkątna bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,624
Rektyfikacja 24-ogniwowa CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 96 24 24 8 12 4 3 Trójkątna bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,745
Rektyfikacja 120-ogniwowa CDel node.pngCDel 5.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 1200 600 120 4 30 3 5 Trójkątna bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,613
Rektyfikacja 16-ogniwowa CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 24* 8 16 6 6 3 3 Kwadratowa bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 1
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 6 12 3 4 Kwadratowa bipiramida Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 0,866
Rektyfikacja 600-ogniwowa CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 720 120 600 12 6 3 3 Dwupiramida pięciokątna Węzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 5.pngCDel node.png 1.447
* Rektyfikacja 16-komorowa to zwykła 24-komorowa, a wszystkie wierzchołki są równoważne – oktaedry to regularne bipiramidy.
** Podane liczbowo ze względu na bardziej złożoną formę.

Wyższe wymiary

Ogólnie, bipiramida może być postrzegana jako n - politop zbudowany z ( n  − 1)-politopu w hiperpłaszczyźnie z dwoma punktami w przeciwnych kierunkach, w równej odległości prostopadłej do hiperpłaszczyzny. Jeśli ( n  − 1)-politop jest regularnym polytopem, będzie miał identyczne piramidalne ścianki . Przykładem jest 16-komórka , która jest ośmiościenny podwójnej piramidy, a bardziej ogólnie n - orthoplex jest ( N  - 1) -orthoplex podwójnej piramidy.

Dwuwymiarowa bipiramida to romb .

Zobacz też

Bibliografia

Cytaty

Ogólne odniesienia

  • Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7. Rozdział 4: Podwójne wielościany Archimedesa, pryzmat i antypryzmaty

Zewnętrzne linki