Dwupiramida - Bipyramid
Zestaw podwójnych jednorodnych bipiramid n- gonalnych | |
---|---|
Przykład podwójnie jednorodnej heksagonalnej bipiramidy |
|
Rodzaj | dual- jednostajny w sensie dual- półregularny wielościan |
Schemat Coxetera | |
Symbol Schläfli | { } + { n } |
Twarze | 2 n przystających trójkątów równoramiennych |
Krawędzie | 3 n |
Wierzchołki | 2 + n |
Konfiguracja twarzy | V4.4. n |
Grupa symetrii | D n h , [ n ,2], (* n 22), rząd 4 n |
Grupa rotacyjna | D n , [ n ,2] + , ( n 22), rząd 2 n |
Podwójny wielościan | (wypukły) jednorodny n -kątny pryzmat |
Nieruchomości | wypukłe , twarze przechodnie , regularne wierzchołki |
Internet |
Przykładowa pięciokątna siatka dwupiramidowa ( n = 5) |
(symetryczna) n- kątna bipiramida lub dipiramida jest wielościanem utworzonym przez połączenie n- kątnej piramidy i jej lustrzanego odbicia podstawa do podstawy. N -gonal podwójnej piramidy z 2 n trójkątne powierzchnie, 3 n krawędzie i 2 + n wierzchołków.
Się odniesienia n gon w imię podwójnej piramidy nie jest twarz, ale wewnętrzna baza wielokąt, leżące w płaszczyźnie lustra, która łączy dwie połówki piramidy. (Gdyby to była twarz, każda z jej krawędzi łączyłaby trzy ściany zamiast dwóch).
„Zwykłe”, prawe bipiramidy
„Regular” podwójnej piramidy ma regularną bazę wielokąta. Zwykle sugeruje się, że jest to również prawidłowa bipiramida.
Prawo podwójnej piramidy ma swoje dwa wierzchołki tuż powyżej prawej poniżej środka lub ciężkości jego podstawy wieloboku.
„Regularna” prawa (symetryczna) bipiramida n- kątna ma symbol Schläfliego { } + { n }.
Prawa (symetryczna) bipiramida ma symbol Schläfliego { } + P , dla podstawy wielokąta P.
„Normalny” w prawo (czyli twarzą przechodnia ) n -gonal podwójnej piramidy z regularnych wierzchołków jest podwójny z n -gonal mundurze (stąd prawej) pryzmatu i ma przystające trójkąta równoramiennego twarze.
„Regularna” prawa (symetryczna) n- kątna dwupiramida może być rzutowana na kulę lub kulę jako „regularna” prawa (symetryczna) n- kątna dwupiramida sferyczna : n równo rozmieszczonych linii długości od bieguna do bieguna i równika linia je przecinająca .
Nazwa bipiramidy | Dwustronna bipiramida |
Trójkątna bipiramida (patrz: J 12 ) |
Kwadratowa bipiramida (patrz: O ) |
Dwupiramida pięciokątna (patrz: J 13 ) |
Sześciokątna bipiramida | Siedmiokątna bipiramida | Dwupiramida ośmiokątna | Dwupiramida enneagonalna | Dwupiramida dziesięciokątna | ... | Apeirogonalna bipiramida |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Obraz wielościanu | ... | ||||||||||
Kulisty obraz kafelkowy | Samolot kafelkowy obraz | ||||||||||
Konfiguracja twarzy. | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Schemat Coxetera | ... |
Dwupiramidy trójkąta równobocznego
Tylko trzy rodzaje dwupiramid mogą mieć wszystkie krawędzie tej samej długości (co oznacza, że wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi , a zatem dwupiramida jest trójkątem ): dwupiramidy „regularne” prawe (symetryczne) trójkątne , czworokątne i pięciokątne . Dwupiramida czworokątna lub kwadratowa z krawędziami o tej samej długości lub ośmiościan foremny zalicza się do brył platońskich ; trójkątne i pięciokątne bipiramidy o tej samej długości krawędzi zaliczają się do brył Johnsona (J 12 i J 13 ).
„Zwykła” prawa (symetryczna) nazwa bipiramidy |
Trójkątna bipiramida (J 12 ) |
Dwupiramida czworokątna (Ośmiościan zwykły) |
Dwupiramida pięciokątna (J 13 ) |
---|---|---|---|
Obraz bipiramidy |
Symetria kalejdoskopowa
„Normalne” prawo (symetryczne) n -gonal podwójnej piramidy jest dwuścienny symetrii grupa D n h , o uporządkowaniu 4, n , z wyjątkiem przypadku zwykłego ośmiościanu , który ma większą ośmiościenny symetrii grupa o h , w celu 48, które ma trzy wersje D 4h jako podgrupy. Grupa rotacyjna to D n rzędu 2 n , z wyjątkiem przypadku ośmiościanu foremnego, który ma większą grupę rotacyjną O rzędu 24, która ma trzy wersje D 4 jako podgrupy.
W 4 n trójkątne powierzchnie „regularnego” w prawo (symetryczne) 2 n -gonal podwójnej piramidy, przewidywanej jako 4 n sferycznych trójkątnymi powierzchniami „regularnego” w prawo (symetryczne) 2 n -gonal sferycznej podwójnej piramidy, stanowią podstawowe domeny dwuścienny symetria w trzech wymiarach : D n h , [ n ,2], (* n 22), rząd 4 n . Domeny te mogą być pokazane jako naprzemiennie kolorowe sferyczne trójkąty:
- w płaszczyźnie odbicia przez krawędzie kocykliczne domeny lustrzane mają różne kolory (izometria pośrednia);
- wokół n- krotnej osi obrotu przez przeciwległe wierzchołki domena i jej obraz są w tym samym kolorze (izometria bezpośrednia).
N -gonal (symetryczne) podwójnej piramidy może być postrzegane jako kleeścian z „odpowiadający” n -gonal dwuścianu .
D n h | D 1h | D 2h | D 3h | D 4h | D 5h | D 6h | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Podstawowy obraz domen | ... |
Tom
Objętość (symetrycznej) bipiramidy:
gdzie B jest powierzchnią podstawy, a h wysokością od płaszczyzny podstawy do wierzchołka.
Działa to dla dowolnego kształtu podstawy i dowolnego położenia wierzchołka, pod warunkiem, że h jest mierzone jako prostopadła odległość od płaszczyzny zawierającej wewnętrzną podstawę wielokąta. Stąd:
Objętość (symetryczne) podwójnej piramidy, której podstawa jest regularny n -sided wielokąt o długości boku a , i których wysokość H :
Ukośne bipiramidy
Bipiramidy nieprawe nazywane są bipiramidami ukośnymi .
Dwupiramidy wklęsłe
Wklęsły podwójnej piramidy ma wklęsłą podstawę wielokąta.
(*) Jego podstawa nie ma wyraźnego środka ciężkości ; jeśli jego wierzchołki nie znajdują się tuż nad/poniżej środka ciężkości jego podstawy, nie jest to prawa bipiramida. W każdym razie jest to ośmiościan wklęsły.
Asymetryczne/odwrócone prawe bipiramidy
Asymetryczny prawo podwójnej piramidy łączy dwa odpowiednie piramidy z podstawami zbieżnych ale nierównych wysokościach zasadzie podstawa do podstawy.
Odwrócony prawo podwójnej piramidy łączy dwa odpowiednie piramidy z zasadami przystających ale nierównych wysokościach, podstawa to Base, ale na tej samej stronie ich wspólnej podstawy.
Podwójny z asymetrycznym lub odwróconej prawej podwójnej piramidy jest ścięty .
„Regularnego” asymetryczny / odwrócony prawo n -gonal symetrii podwójnej piramidy jest grupa C, n v , rzędu 2 N .
Asymetryczny | Odwrotny |
---|---|
Bipiramidy w kształcie trójkąta Scalene
Określenie „ isotoxal ” prawy (symetryczne) di- n -gonal podwójnej piramidy jest w prawo (symetryczne) 2 n -gonal podwójnej piramidy z isotoxal płaskiej podstawy wielokąt Jego 2 n wierzchołki wokół boków są w jednej płaszczyźnie, a na przemian z dwoma promieniami.
„Izotoksalna” prawa (symetryczna) dwu- n- kątna bipiramida ma n podwójnych osi obrotu przechodzących przez wierzchołki wokół boków, n płaszczyzn odbicia przez wierzchołki i wierzchołki, n -krotną oś obrotu przez wierzchołki, płaszczyznę odbicia przechodzącą przez podstawę i n -krotnie obrotowo odbiciem osi przechodzącej wierzchołków, co stanowi grupa symetrii D n h [ n , 2] (* 22 n ), w celu 4 n . (Odbicie w płaszczyźnie bazowej odpowiada odbiciu przy obrocie o 0 °. Jeśli n jest parzyste, istnieje symetria wokół środka, odpowiadająca odbiciu obrotu o 180 °.)
Wszystkie jego twarze są przystającymi trójkątami pochyłymi i jest izoedryczna . Można zauważyć, jak innego rodzaju prawo „symetrycznego” di- n -gonal scalenohedron .
Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne.
Przykład:
- „Izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” (*) bipiramida z bazowymi wierzchołkami:
- U = (1,0,0), U′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V′ = (0,−2,0),
- oraz z wierzchołkami:
- A = (0,0,1), A′ = (0,0,−1),
- ma dwie różne długości krawędzi:
- UV = UV′ = U′V = U′V′ = √ 5 ,
- AU = AU′ = A′U = A′U′ = √ 2 ,
- AV = AV′ = A′V = A′V′ = √ 5 ;
- zatem wszystkie jego trójkątne twarze są równoramienne.
- „Izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” (*) bipiramida o tych samych wierzchołkach bazowych, ale o wysokości wierzchołka: 2, ma również dwie różne długości krawędzi: √ 5 i 2 √ 2 .
W krystalografii istnieją bipiramidy „izotoksalne” prawe (symetryczne) „dwukątne” (*) (8-ścianne), dwutrygonalne (12-stronne), ditetragonalne (16-stronne) i dwuheksagonalne (24-stronne).
(*) Jest najmniejsze geometryczne di- n -gonal bipyramids osiem powierzchnie i są jednakowe topologiczne do regularnego ośmiościanu . W tym przypadku (2 n = 2×2):
„izotoksalna” prawa (symetryczna) „dwukątna” bipiramida nazywana jest bipiramidą rombową , chociaż wszystkie jej ściany są trójkątami pochyłymi, ponieważ płaska podstawa wielokąta jest rombem.
Scalenoedra
„Normalne” prawy „symetryczny” di- n -gonal scalenohedron mogą być wykonane ze zwykłych zygzakowania skośnej 2 n gon podstawy dwie symetryczne wierzchołki tuż powyżej tuż poniżej środka podstawy i skierowana trójkąt łączący każdą krawędź podstawy każdego wierzchołka .
Ma dwa wierzchołki i 2 n wierzchołków wokół boków, 4 n ścian i 6 n krawędzi; jest topologicznie identyczne z 2 n -gonal podwójnej piramidy, ale jego 2 n wierzchołki wokół boków na przemian dwa pierścienie powyżej i poniżej środka.
„Regularnego” prawy „symetryczny” di- n -gonal scalenohedron ma n dwukrotne osi obrotu do połowy krawędzi na całym boku, n płaszczyzny odbiciową przez wierzchołki i wierzchołków, a n krotność osi obrotu za pomocą wierzchołków i e n krotnie oś obrotu-odbicia przechodząca przez wierzchołki, reprezentująca grupę symetrii D n v = D n d , [2 + ,2 n ], (2* n ), rzędu 4 n . (Jeśli n jest nieparzyste, istnieje symetria wokół środka, odpowiadająca odbiciu obrotu o 180°).
Wszystkie jego twarze są przystającymi trójkątami łuskowatymi i jest izoedryczna . Można zauważyć, jak innego rodzaju prawo „symetrycznego” 2 n -gonal podwójnej piramidy, o regularnym zygzakowatej pochylać bazy wielokąta.
Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne .
W krystalografii istnieją „regularne”, prawe, „symetryczne”, „dwukątne” (8-ścianowe) i dwutrygonalne (12-ścianowe) skalenoedry.
Najmniejsze geometryczne skalenoedry mają osiem ścian i są topologicznie identyczne z ośmiościanem foremnym . W tym przypadku (2 n = 2×2):
„regularny” prawy „symetryczny” „dwukątny” skalenoedr nazywany jest tetragonalnym skalenoedrem ; jego sześć wierzchołków można przedstawić jako (0,0,±1), (±1,0, z ), (0,±1,− z ), gdzie z jest parametrem z zakresu od 0 do 1; przy z = 0 jest to ośmiościan foremny; w z = 1, jest to disphenoid ze wszystkimi połączonymi koplanarnymi ścianami (cztery przystające trójkąty równoramienne); dla z > 1 staje się wklęsły.
z = 0,1 | z = 0,25 | z = 0,5 | z = 0,95 | z = 1,5 |
---|---|---|---|---|
Uwaga: Jeśli 2 n- kąt zasada jest zarówno izotoksalna do środka jak i zygzakowata, to nie wszystkie trójkątne ściany „izotoksalnej” prawej „symetrycznej” bryły są przystające.
Przykład:
- Bryła z izotoksalem zygzakowatym skosem 2×2 kąty bazowe wierzchołki:
- U = (1,0,1), U′ = (−1,0,1), V = (0,2,−1), V′ = (0,−2,−1),
- oraz z "właściwymi" symetrycznymi wierzchołkami:
- A = (0,0,3), A′ = (0,0,3),
- ma pięć różnych długości krawędzi:
- UV = UV′ = U′V = U′V′ = 3,
- AU = AU′ = √ 5 ,
- AV = AV′ = 2 √ 5 ,
- A′U = A′U′ = √ 17 ,
- A′V = A′V′ = 2 √ 2 ;
- dlatego nie wszystkie jego trójkątne twarze są przystające.
„Zwykłe” bipiramidy gwiazd
Self-przecinających lub gwiazdy podwójnej piramidy ma gwiazda wielokąta podstawy.
„Regular” prawo symetryczny gwiazda podwójnej piramidy mogą być wykonane ze zwykłej podstawy wielokąt gwiaździsty, dwa symetryczne wierzchołki tuż nad i tuż poniżej środka bazowego, a więc jeden do jeden symetryczny trójkąt twarze łączący każdą krawędź podstawy do każdego wierzchołka.
„Regularna” prawostronna symetryczna bipiramida gwiazdowa ma przystające ścianki trójkąta równoramiennego i jest izoedryczna .
Uwaga: Dla co najwyżej jednej określonej wysokości wierzchołka, ściany trójkąta mogą być równoboczne.
Bipiramida { p / q } ma diagram Coxetera .
Podstawa wielokąta gwiazdy | 5/2 -gon | 7/2-gon | 7/3-gon | 8/3-gon | 9/2-gon | 9/4 gon |
---|---|---|---|---|---|---|
Obraz bipiramidy gwiazdy | ||||||
Schemat Coxetera |
Podstawa wielokąta gwiazdy | 10/3-gon | 11/2-gon | 11/3-gon | 11/4 gon | 11/5-gon | 12/5-gon |
---|---|---|---|---|---|---|
Obraz bipiramidy gwiazdy | ||||||
Schemat Coxetera |
Bipiramidy gwiazd trójkąta Scalene
„Isotoxal” prawo symetryczny 2 P / Q -gonal gwiazda podwójnej piramidy mogą być wykonane z isotoxal in się gwiazda 2 P / Q gon podstawy dwie symetryczne wierzchołki tuż powyżej tuż poniżej środka dolnej, a tym samym jednego To- jedna symetryczna trójkątna ściana łącząca każdą krawędź podstawy z każdym wierzchołkiem.
Określenie „isotoxal” prawo symetryczny 2 p / q -gonal gwiazda podwójnej piramidy ma przystające różnoboczny twarze trójkąt, i jest isohedral . Może być postrzegany jako inny typ 2 p / q -kątny prawo "symetryczny" skalenoedron gwiazdy .
Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków, ściany trójkąta mogą być równoramienne.
Podstawa wielokąta gwiazdy | Isotoxal in-out 8/3-gon |
---|---|
Obraz bipiramidy trójkątnej gwiazdy w skali Scalene |
Gwiazda skalnohedra
„Regular” prawo „symetryczny” 2 p / q -gonal gwiazda scalenohedron mogą być wykonane ze zwykłej zygzakiem pochylać Star 2 p / q gon podstawy, dwa symetryczne wierzchołki tuż nad i tuż poniżej środka podstawy, a każdy trójkąt łączący twarze krawędź podstawy do każdego wierzchołka.
A "regular" prawo "symetryczny" 2 p / q -gonal gwiazda scalenohedron ma przystające różnoboczny twarze trójkąt, i jest isohedral . Można go postrzegać jako inny typ prawej „symetrycznej” 2 p / q -gonalnej bipiramidy gwiazdy, z regularną zygzakowatą podstawą wielokąta gwiazdy.
Uwaga: Dla co najwyżej dwóch określonych wysokości wierzchołków ściany trójkąta mogą być równoramienne .
Podstawa wielokąta gwiazdy | Regularny skos zygzakowaty 8/3-kąta |
---|---|
Gwiazda skalnohedron obraz |
Uwaga: Jeśli podstawa gwiazdy 2 p / q -gon jest zarówno izotoksalna in-out, jak i zygzakowata, to nie wszystkie ściany trójkąta „izotoksalnego” prawego „symetrycznego” wielościanu gwiazdy są przystające.
Podstawa wielokąta gwiazdy | Zygzak zygzakowaty z izotoksalem skośnym 8/3-kąta |
---|---|
Obraz wielościanu gwiazdy |
Z wierzchołkami bazowymi:
- U 0 = (1,0,1), U 1 = (0,1,1), U 2 = (−1,0,1), U 3 = (0,−1,1),
- V 0 = (2,2,−1), V 1 = (−2,2,−1), V 2 = (−2,−2,−1), V 3 = (2,−2,−1 ),
oraz z wierzchołkami:
- A = (0,0,3), A′ = (0,0,−3),
ma cztery różne długości krawędzi:
- U 0 V 1 = V 1 U 3 = U 3 V 0 = V 0 U 2 = U 2 V 3 = V 3 U 1 = U 1 V 2 = V 2 U 0 = √ 17 ,
- AU 0 = AU 1 = AU 2 = AU 3 = √ 5 ,
- AV 0 = AV 1 = AV 2 = AV 3 = 2 √ 6 ,
- A′U 0 = A′U 1 = A′U 2 = A′U 3 = √ 17 ,
- A′V 0 = A′V 1 = A′V 2 = A′V 3 = 2 √ 3 ;
dlatego nie wszystkie jego trójkątne twarze są przystające.
4-politopy z komórkami bipiramidowymi
Podwójny z sprostowania każdego wypukłych regularnych 4-polytopes jest komórką przechodnia 4-Polytope z komórkami bipiramidalną. Poniżej wierzchołek dwupiramidy to A, a wierzchołek równika to E. Odległość między sąsiednimi wierzchołkami na równiku EE = 1, wierzchołek do krawędzi równika to AE, a odległość między wierzchołkami to AA. Podwójnej piramidy 4-Polytope będzie miał V A wierzchołki gdzie wierzchołkach N bipyramids spotykają. Będzie mieć V E wierzchołki gdzie wierzchołki typu E z N E bipyramids końcem. Dwupiramidy N AE spotykają się wzdłuż każdej krawędzi typu AE. Dwupiramidy N EE spotykają się wzdłuż każdej krawędzi typu EE. C AE jest cosinusem kąta dwuściennego wzdłuż krawędzi AE. C EE jest cosinusem kąta dwuściennego wzdłuż krawędzi EE. Ponieważ komórki muszą zmieścić się wokół krawędzi, N AA cos -1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos -1 ( CA AE ) ≤ 2 π .
Właściwości 4-politopowe | Właściwości bipiramidy | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Podwójny z |
Schemat Coxetera |
Komórki | V A | V E | N A | N E | N AE | N EE | Komórka | Schemat Coxetera |
AA | AE** | C AE | C EE |
Rektyfikacja 5-ogniwowa | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Trójkątna bipiramida | 0,667 | |||||
Teserakt rektyfikowany | 32 | 16 | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Trójkątna bipiramida | 0,624 | |||||
Rektyfikacja 24-ogniwowa | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Trójkątna bipiramida | 0,745 | |||||
Rektyfikacja 120-ogniwowa | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Trójkątna bipiramida | 0,613 | |||||
Rektyfikacja 16-ogniwowa | 24* | 8 | 16 | 6 | 6 | 3 | 3 | Kwadratowa bipiramida | 1 | |||||
Rektyfikowany sześcienny plaster miodu | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Kwadratowa bipiramida | 0,866 | |||||
Rektyfikacja 600-ogniwowa | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Dwupiramida pięciokątna | 1.447 |
- * Rektyfikacja 16-komorowa to zwykła 24-komorowa, a wszystkie wierzchołki są równoważne – oktaedry to regularne bipiramidy.
- ** Podane liczbowo ze względu na bardziej złożoną formę.
Wyższe wymiary
Ogólnie, bipiramida może być postrzegana jako n - politop zbudowany z ( n − 1)-politopu w hiperpłaszczyźnie z dwoma punktami w przeciwnych kierunkach, w równej odległości prostopadłej do hiperpłaszczyzny. Jeśli ( n − 1)-politop jest regularnym polytopem, będzie miał identyczne piramidalne ścianki . Przykładem jest 16-komórka , która jest ośmiościenny podwójnej piramidy, a bardziej ogólnie n - orthoplex jest ( N - 1) -orthoplex podwójnej piramidy.
Dwuwymiarowa bipiramida to romb .
Zobacz też
Bibliografia
Cytaty
Ogólne odniesienia
- Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7. Rozdział 4: Podwójne wielościany Archimedesa, pryzmat i antypryzmaty
Zewnętrzne linki
- Weisstein, Eric W. "Dipiramida" . MatematykaŚwiat .
- Weisstein, Eric W. „Isohedron” . MatematykaŚwiat .
- Jednolite wielościany
- Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów