Kohomologia Browna-Petersona - Brown–Peterson cohomology

W matematyce kohomologia Browna-Petersona jest uogólnioną teorią kohomologii wprowadzoną przez Edgara H. Browna i Franklina P. Petersona ( 1966 ), w zależności od wyboru liczby pierwszej p . Szczegółowo opisał to Douglas Ravenel ( 2003 , rozdział 4). Jego reprezentujące widmo jest oznaczone przez BP.

Złożony kobordyzm i idempotent Quillena

Kohomologia Browna-Petersona BP jest sumą MU _{( p )} , która jest złożonym kobordyzmem MU zlokalizowanym w liczbie pierwszej p . W rzeczywistości MU _(p) jest produktem klin z zawiesin BP.

Dla każdego głównego P , Daniel Quillen wykazały jest unikalny idempotent mapa widm pierścień ε z MUQ _{( p )} do siebie, przy czym właściwości, ε ([CP ⁿ ]) jest [CP ⁿ ] Jeżeli n + 1 jest moc p , a 0 w przeciwnym razie. Widmo BP jest obrazem tego idempotentnego ε.

Struktura BP

Współczynnik ring jest algebrą wielomianową nad generatorami w stopniach dla . ${\ Displaystyle \ pi _ {*} ({\ tekst {BP}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}}$ $v_{n}$ ${\ Displaystyle 2 (p ^ {n}-1)}$ $n\geq 1$

${\ Displaystyle {\ tekst {BP}} _ {*} ({\ tekst {BP}})}$ jest izomorficzny wielomianu pierścienia na generatorami w stopni . ${\ Displaystyle \ pi _ {*} ({\ tekst {BP}}) [t_ {1}, t_ {2}, \ ldots]}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {*} ({\ tekst {BP}})}$ $t_{i}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {BP}} _ {2 (p ^ {i} -1)} ({\ tekst {BP}})}$ ${\ Displaystyle 2 (p ^ {i}-1)}$

Kohomologii z algebroid Hopf jest Początkowy okres widmowej sekwencji Adams Novikov obliczania p lokalnego grupy homotopy sfer . ${\ Displaystyle (\ pi _ {*} ({\ tekst {BP}}), {\ tekst {BP}} _ {*} ({\ tekst {BP}}}))}$