Skrócone 24 komórki — Truncated 24-cells
24-komorowy |
Skrócona 24-ogniwowa |
Bitruncated 24-komorowy |
|
Diagramy Schlegla wyśrodkowane na jednym [3,4] (komórki przeciwległe w [4,3]) |
W geometrii , A obcięty 24 komórek jest jednorodna 4-Polytope (4-wymiarowej jednolity Polytope ) utworzone jako skrócenie regularnej 24 komórek .
Istnieją dwa stopnie obcięcia, w tym bitruncation .
Skrócona 24-ogniwowa
Schemat Schlegla |
||
---|---|---|
Skrócona 24-ogniwowa | ||
Rodzaj | Jednolity 4-politop | |
Symbole Schläfli | t{3,4,3} tr{3,3,4}= t{3 1,1,1 } = |
|
Schemat Coxetera |
|
|
Komórki | 48 | 24 4.6.6 24 4.4.4 |
Twarze | 240 | 144 {4} 96 {6} |
Krawędzie | 384 | |
Wierzchołki | 192 | |
Figura wierzchołka |
piramida trójkątna równoboczna |
|
Grupa symetrii | F 4 [3,4,3], rząd 1152 | |
Podgrupa rotacji | [3,4,3] + , porządek 576 | |
Podgrupa komutatorów | [3 + ,4,3 + ], rząd 288 | |
Nieruchomości | wypukły | |
Jednolity indeks | 23 24 25 |
Obcięty 24-komórka lub obcięty icositetrachoron jest jednolity Polytope 4-wymiarową (lub jednolite 4-Polytope ), który jest ograniczony przez 48 komórek : 24 kostki i 24 ośmiościan ścięty . Każdy wierzchołek łączy trzy ścięte ośmiościany i jeden sześcian, tworząc równoboczną trójkątną figurę wierzchołka piramidy .
Budowa
Obcięty 24 komórek mogą być wykonane z polytopes z trzema grupami symetrii:
- F. 4 [3,4,3]: a obcinanie na 24 komórek .
- B 4 [3,3,4]: A cantitruncation z 16 komórek , z dwiema rodzinami ściętych ośmiościenny komórek.
- D 4 [3 1,1,1 ]: AN omnitruncation z demitesseract z trzech rodzin ściętego oktaedrycznych komórki.
Grupa Coxetera | = [3,4,3] | = [4,3,3] | = [3,3 1,1 ] |
---|---|---|---|
Symbol Schläfli | t{3,4,3} | tr{3,3,4} | t{3 1,1,1 } |
Zamówienie | 1152 | 384 | 192 |
Pełna grupa
symetrii |
[3,4,3] | [4,3,3] | <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] |
Schemat Coxetera | |||
Fasety |
3: 1: |
2: 1: 1: |
1,1,1: 1: |
Figura wierzchołka |
Zonotop
Jest to również zonotop : może być utworzony jako suma Minkowskiego sześciu odcinków linii łączących przeciwne pary spośród dwunastu permutacji wektora (+1,−1,0,0).
współrzędne kartezjańskie
Te współrzędne kartezjańskie wierzchołków ściętego 24 komórek o długości krawędzi sqrt (2) są współrzędnych permutacje i kombinacje Znak:
- (0,1,2,3) [4!×2 3 = 192 wierzchołki]
Konfiguracja podwójna ma współrzędne we wszystkich permutacjach współrzędnych i znaki
- (1,1,1,5) [4×2 4 = 64 wierzchołki]
- (1,3,3,3) [4×2 4 = 64 wierzchołki]
- (2,2,2,4) [4×2 4 = 64 wierzchołki]
Struktura
24 sześcienne komórki są połączone swoimi kwadratowymi ścianami ze ściętą oktaedrą; a 24 ścięte oktaedry są połączone ze sobą poprzez ich sześciokątne powierzchnie.
Projekcje
Rzut równoległy ściętej 24 komórki w trójwymiarową przestrzeń, najpierw ścięty ośmiościan, ma następujący układ:
- Koperta projekcyjna jest ściętym prostopadłościanem .
- Dwa ze ściętych ośmiościanów rzutują na ścięty ośmiościan leżący pośrodku koperty.
- Sześć prostopadłościennych tomów łączy kwadratowe ściany tego centralnego ściętego ośmiościanu ze środkiem ośmiokątnych ścian wielkiego rombowoboktaedru. Są to obrazy 12 sześciennych komórek, para komórek na każdy obraz.
- 12 kwadratowych ścian wielkiego rombowo-sześcianowego to wizerunki pozostałych 12 sześcianów.
- Sześć ośmiokątnych ścian wielkiego rombowo-kuboktaedru jest obrazami sześciu ściętych ośmiościanów.
- 8 (niejednorodnych) obciętych objętości oktaedrycznych leżących pomiędzy sześciokątnymi ścianami obwiedni projekcji a centralnym oktaedrem ściętym to obrazy pozostałych 16 obciętych oktaedrów, czyli para komórek na każdy obraz.
Obrazy
Samolot Coxetera | F 4 | |
---|---|---|
Wykres | ||
Symetria dwuścienna | [12] | |
Samolot Coxetera | B 3 / A 2 (a) | B 3 / A 2 (b) |
Wykres | ||
Symetria dwuścienna | [6] | [6] |
Samolot Coxetera | B 4 | B 2 / A 3 |
Wykres | ||
Symetria dwuścienna | [8] | [4] |
Diagram Schlegla ( widoczne komórki sześcienne ) |
Schemat Schlegla 8 z 24 widocznych skróconych komórek oktaedrycznych |
Projekcja stereograficzna Wyśrodkowana na ściętym czworościanie |
Skrócona 24-ogniwowa |
Podwójna do skróconej 24-ogniwowej |
Powiązane politopy
Wypukły kadłub ściętej 24-komórki i jej podwójny (zakładając, że są one przystające) jest niejednorodnym wielokoronem złożonym z 480 komórek: 48 sześcianów , 144 kwadratowych antypryzmatów , 288 czworościanów (jako tetragonalnych disphenoids) i 384 wierzchołków. Jego figura wierzchołkowa to trójkątna kopuła w kształcie sześciokąta .
Bitruncated 24-komorowy
Bitruncated 24-komorowy | ||
---|---|---|
Diagram Schlegla , wyśrodkowany na ściętym sześcianie, z ukrytymi alternatywnymi komórkami |
||
Rodzaj | Jednolity 4-politop | |
Symbol Schläfli | 2t{3,4,3} | |
Schemat Coxetera | ||
Komórki | 48 ( 3.8.8 ) | |
Twarze | 336 | 192 {3} 144 {8} |
Krawędzie | 576 | |
Wierzchołki | 288 | |
Postać krawędzi | 3.8.8 | |
Figura wierzchołka |
czworokątny disfenoid |
|
podwójny polytop | Disphenoidal 288-komórka | |
Grupa symetrii | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], rząd 2304 | |
Nieruchomości | wypukły , izogonalny , izotoksalny , izochoryczny | |
Jednolity indeks | 26 27 28 |
Bitruncated 24-komórka . 48-komórkowy lub tetracontoctachoron jest 4-wymiarowym jednolitym politopem (lub jednolitym 4-politopem ) pochodzącym z 24-komorowego .
EL Elte zidentyfikował go w 1912 roku jako półregularny polytope.
Jest konstruowany przez obcięcie 24-komorowego bitu (obcięcie w połowie drogi do głębokości, która dałaby podwójną 24-komórkę).
Będąc jednolitym 4-politopem, jest przechodni wierzchołkowy . Ponadto jest przechodnia komórkowa , składająca się z 48 obciętych sześcianów , a także przechodnia krawędziowa , z 3 obciętymi sześcianami komórek na krawędź oraz z jednym trójkątem i dwoma ośmiokątami wokół każdej krawędzi.
48 komórek 24-komórki z bitruncated odpowiada 24 komórkom i 24 wierzchołkom 24-komórki. Jako takie ośrodki 48 komórek tworzą układ korzeniowy typu F 4 .
Jego figura wierzchołkowa jest czworościanem dwuklinowym , czworościanem z 2 przeciwległymi krawędziami o długości 1 i wszystkimi 4 krawędziami bocznymi o długości √(2+√2).
Alternatywne nazwy
- Bitruncated 24-komorowy ( Norman W. Johnson )
- 48-komorowy jako przechodni komórkowo 4-politop
- Bitruncated icositetrachoron
- Wieloośmiościan bitrunc
- Tetracontaoctachoron (cd.) (Jonathan Bowers)
Struktura
Ścięte sześciany są połączone ze sobą ośmiokątnymi ścianami w przeciwnej orientacji; i. Np. dwa sąsiednie ścięte sześciany są obrócone o 45 stopni względem siebie tak, że żadne dwie trójkątne ściany nie mają wspólnej krawędzi.
Sekwencja ściętych sześcianów połączonych ze sobą przeciwległymi ośmiokątnymi ścianami tworzy cykl 8. Każdy ścięty sześcian należy do 3 takich cykli. Z drugiej strony sekwencja ściętych sześcianów połączonych ze sobą przeciwległymi trójkątnymi ścianami tworzy cykl 6. Każdy ścięty sześcian należy do 4 takich cykli.
Widziane w macierzy konfiguracji , pokazane są wszystkie liczniki zdarzeń między elementami. Ukośne liczby wektorów f są uzyskiwane za pomocą konstrukcji Wythoffa , dzieląc pełny porządek grupowy porządku podgrupy przez usunięcie jednego lustra na raz. Krawędzie istnieją w 4 pozycjach symetrii. Kwadraty istnieją w 3 pozycjach, sześciokąty w 2 pozycjach, a ośmiokąty w jednym. Wreszcie istnieją 4 typy komórek wyśrodkowane na 4 rogach podstawowego simpleksu.
F 4 | k - twarz | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | k -figura | Uwagi | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 1 A 1 | ( ) | f 0 | 288 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | s{2,4} | F 4 /A 1 A 1 = 288 | |
{} | f 1 | 2 | 288 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | {}v() | |||
2 | * | 288 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | ||||||
A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 0 | 96 | * | * | 2 | 0 | {} | F 4 /A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |
B 2 | t{4} | 8 | 4 | 4 | * | 144 | * | 1 | 1 | F 4 /B 2 = 1152/8 = 144 | |||
A 2 A 1 | {3} | 3 | 0 | 3 | * | * | 96 | 0 | 2 | F 4 /A 2 A 1 = 1152/6/2 = 96 | |||
B 3 | t{4,3} | f 3 | 24 | 24 | 12 | 8 | 6 | 0 | 24 | * | ( ) | F 4 /B 3 = 1152/48 = 24 | |
24 | 12 | 24 | 0 | 6 | 8 | * | 24 |
Współrzędne
Te współrzędne kartezjańskie o bitruncated 24 komórek długości posiadający krawędź 2 są wszystkie permutacje współrzędnych i znak:
- (0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)
- (1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)
Projekcje
Projekcja do 2 wymiarów
Samolot Coxetera | F 4 | B 4 |
---|---|---|
Wykres | ||
Symetria dwuścienna | [12]] = [24] | [8] |
Samolot Coxetera | B 3 / A 2 | B 2 / A 3 |
Wykres | ||
Symetria dwuścienna | [6] | [4]] = [8] |
Projekcja do 3 wymiarów
Pisowniany | Perspektywiczny |
---|---|
Poniższa animacja przedstawia rzut prostokątny 24-komorowego bitruncated w 3 wymiarach. Sama animacja jest projekcją perspektywiczną ze statycznego obrazu 3D do 2D, z dodanym obrotem, aby jej struktura była bardziej widoczna. Obrazy 48 ściętych sześcianów są ułożone w następujący sposób:
|
Poniższa animacja przedstawia rzut perspektywiczny pierwszej komórki 24-komórkowego bitruncate w 3 wymiarach. Jego struktura jest taka sama jak w poprzedniej animacji, z wyjątkiem pewnych skrótów perspektywicznych ze względu na rzut perspektywiczny. |
Powiązany regularny wielościan skośny
Regularne pochylać wielościan , {8,4 | 3}, istnieje w przestrzeni 4 z 4 ośmiokątny wokół każdego wierzchołka, w zygzakiem nie płaskie wierzchołków figury. Te ośmiokątne twarze można zobaczyć na 24-komórce z bitruncated, używając wszystkich 576 krawędzi i 288 wierzchołków. 192 trójkątne powierzchnie 24-komórki z bitruncatem można zobaczyć jako usunięte. Podwójny regularny wielościan skośny {4,8|3} jest podobnie powiązany z kwadratowymi ścianami 24-komorowego ogniwa .
Disphenoidal 288-komórka
Disphenoidal 288-komórka | ||
---|---|---|
Rodzaj | idealna polichoron | |
Symbol | F 1,2 C 4 (1,0,0,0) C 4 ⊕ (0,0,0,1) C 4 |
|
Coxeter | ||
Komórki |
288 przystających tetragonalnych disphenoids |
|
Twarze | 576 przystających równoramiennych (2 krótkie krawędzie) |
|
Krawędzie | 336 | 192 długości 144 długości |
Wierzchołki | 48 | |
Figura wierzchołka |
( triakis ośmiościan ) |
|
Podwójny | Bitruncated 24-komorowy | |
Grupa Coxetera | Aut (F 4 ), [[3,4,3]], rząd 2304 | |
Wektor orbity | (1, 2, 1, 1) | |
Nieruchomości | wypukły , izochoryczny |
Disphenoidal 288 komórek jest podwójny z bitruncated 24 komórek . Jest to 4-wymiarowy politop (lub polichoron ) wywodzący się z 24-komórki . Jest zbudowany przez podwojenie i obrócenie 24-komorowego kadłuba , a następnie skonstruowanie wypukłego kadłuba .
Będąc podwójnym jednorodnym polichoronem, jest przechodnia komórkowa , składająca się z 288 przystających tetragonalnych disfenoidów . Ponadto jest przechodni wierzchołkowy w grupie Aut(F 4 ).
Obrazy
Samoloty Coxetera | B 2 | B 3 | F 4 |
---|---|---|---|
Disphenoidal 288-komórka |
|||
Bitruncated 24-komorowy |
Geometria
Wierzchołki 288-komórki to dokładnie 24 kwaterniony Hurwitza o normie kwadratu 1, połączone z 24 wierzchołkami podwójnej 24 komórki o normie kwadratu 2, rzutowane na jednostkę 3-sferę . Te 48 wierzchołków odpowiada binarnej grupie oktaedrycznej 2O lub <2,3,4>, rząd 48.
Tak więc komórka 288 jest jedynym nieregularnym 4-politopem, który jest wypukłą powłoką grupy czwartorzędowej, pomijając nieskończenie wiele grup dicyklicznych (takich samych jak binarne dwuścienne); zwykłe to 24-ogniwowe (≘ 2T lub <2,3,3>, zamówienie 24) i 600-ogniwowe (≘ 2I lub <2,3,5>, zamówienie 120). ( 16-komórka odpowiada dwuściennej grupie dwuściennej 2D 2 lub <2,2,2>, rząd 16.)
Wpisana 3-sfera ma promień 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0,853553 i dotyka komórki 288 w środkach czworościanów 288, które są wierzchołkami 24-komórki z podwójnym bitruncowanym.
Wierzchołki mogą być pokolorowane na 2 kolory , powiedzmy na czerwono i żółto, przy czym 24 jednostki Hurwitza są na czerwono, a 24 podwójne na żółto, przy czym żółta 24-komórka jest przystająca do czerwonej. Zatem iloczyn 2 jednakowo kolorowych kwaternionów jest czerwony, a iloczyn 2 w mieszanych kolorach jest żółty.
Region | Warstwa | Szerokość | czerwony | żółty | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Półkula północna | 3 | 1 | 1 | 0 | ||
2 | √ 2 /2 | 0 | 6 | |||
1 | 1/2 | 8 | 0 | |||
Równik | 0 | 0 | 6 | 12 | ||
Półkula południowa | –1 | –1/2 | 8 | 0 | ||
–2 | – √ 2 /2 | 0 | 6 | |||
–3 | –1 | 1 | 0 | |||
Całkowity | 24 | 24 |
Umieszczając stały czerwony wierzchołek na biegunie północnym (1,0,0,0), jest 6 żółtych wierzchołków w następnej głębszej „szerokości geograficznej” w ( √ 2 /2,x,y,z), a następnie 8 czerwonych wierzchołków na szerokości geograficznej na (1/2,x,y,z). Kompletne współrzędne są podane jako liniowe kombinacje jednostek czwartorzędowych , które jednocześnie mogą być traktowane jako elementy grupy 2O . Następna głębsza szerokość geograficzna to hiperpłaszczyzna równika przecinająca 3-sferę w 2-sferze, która jest wypełniona 6 czerwonymi i 12 żółtymi wierzchołkami.
Warstwa 2 to 2-sfera opisująca ośmiościan foremny, którego krawędzie mają długość 1. Czworościan z wierzchołkiem bieguna północnego ma 1 z tych krawędzi jako długą krawędź, której 2 wierzchołki są połączone krótkimi krawędziami z biegunem północnym. Kolejna długa krawędź biegnie od bieguna północnego do warstwy 1 i 2 krótkie krawędzie stamtąd do warstwy 2 .
Istnieją 192 długie krawędzie o długości 1 łączące te same kolory i 144 krótkie krawędzie o długości √ 2– √ 2 ≈ 0,765367 łączące mieszane kolory. 192*2/48 = 8 długich i 144*2/48 = 6 krótkich, czyli razem 14 krawędzi spotyka się na dowolnym wierzchołku.
576 ścian jest równoramiennych z jedną długą i dwiema krótkimi krawędziami, wszystkie przystające. Kąty u podstawy to arccos( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49,210°. 576*3/48 = 36 twarzy spotyka się w wierzchołku, 576*1/192 = 3 na dłuższej krawędzi, a 576*2/144 = 8 na krótkiej.
288 komórek to czworościany z 4 krótkimi krawędziami i 2 antypodami i prostopadłymi długimi krawędziami, z których jedna łączy 2 czerwone i 2 żółte wierzchołki. Wszystkie komórki są zgodne. 288*4/48 = 24 komórki spotykają się na wierzchołku. 288*2/192 = 3 komórki spotykają się na długiej krawędzi, 288*4/144 = 8 na krótkiej. 288*4/576 = 2 komórki spotykają się w trójkącie.
Powiązane politopy
D 4 jednolita polichora | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
{3,3 1,1 } godz.{4,3,3} |
2r{3,3 1,1 } h 3 {4,3,3} |
t{3,3 1,1 } godz. 2 {4,3,3} |
2t{3,3 1,1 } godz. 2,3 {4,3,3} |
r{3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} |
rr{3,3 1,1 } r{3 1,1,1 }=r{3,4,3} |
tr{3,3 1,1 } t{3 1,1,1 }=t{3,4,3} |
sr{3,3 1,1 } s{3 1,1,1 }=s{3,4,3} |
B 4 rodzina jednolitych polytopes:
Politopy symetrii B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nazwa | teserakt |
rektyfikowany tesseract |
obcięty tesseract |
cantellated tesseract |
runcinated tesseract |
bitruncated tesseract |
cantitruncated tesseract |
runcitruncated tesseract |
wszechskrócony tesseract |
||
Schemat Coxetera |
= |
= |
|||||||||
Symbol Schläfli |
{4,3,3} | t 1 {4,3,3} r{4,3,3} |
t 0,1 {4,3,3} t{4,3,3} |
t 0,2 {4,3,3} rr{4,3,3} |
t 0,3 {4,3,3} | t 1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3} |
t 0,1,2 {4,3,3} s {4,3,3} |
t 0,1,3 {4,3,3} | t 0,1,2,3 {4,3,3} | ||
Schemat Schlegla |
|||||||||||
B 4 | |||||||||||
Nazwa | 16-ogniwowy |
rektyfikowane 16-ogniwowe |
skrócona 16-ogniwowa |
kantelowy 16-ogniwowy |
uruchomiony 16-komorowy |
bitruncated 16-komorowy |
cantitruncated 16-komorowy |
skrócony 16-komorowy |
wszechstronnie skrócony 16-ogniwowy |
||
Schemat Coxetera |
= |
= |
= |
= |
= |
= |
|||||
Symbol Schläfli |
{3,3,4} | t 1 {3,3,4} r{3,3,4} |
t 0,1 {3,3,4} t{3,3,4} |
t 0,2 {3,3,4} rr{3,3,4} |
t 0,3 {3,3,4} | t 1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4} |
t 0,1,2 {3,3,4} s {3,3,4} |
t 0,1,3 {3,3,4} | t 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Schemat Schlegla |
|||||||||||
B 4 |
Rodzina jednolitych polytopów F 4 :
Politopy z rodziny 24-komórkowej | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nazwa | 24-komorowy | skrócony 24-ogniwowy | arogancki 24-ogniwowy | rektyfikowane 24-ogniwowe | kantelowany 24-ogniwowy | 24-komorowy bitrunc | cantitruncated 24-cell | Runcinated 24-cell | skrócony 24-komorowy | wszechstronnie skrócony 24-ogniwowy | |
Symbol Schläfli |
{3,4,3} | t 0,1 {3,4,3} t{3,4,3} |
s{3,4,3} | t 1 {3,4,3} r{3,4,3} |
t 0,2 {3,4,3} rr{3,4,3} |
t 1,2 {3,4,3} 2t{3,4,3} |
t 0,1,2 {3,4,3} s {3,4,3} |
t 0,3 {3,4,3} | t 0,1,3 {3,4,3} | t 0,1,2,3 {3,4,3} | |
Schemat Coxetera |
|||||||||||
Schemat Schlegla |
|||||||||||
F 4 | |||||||||||
B 4 | |||||||||||
B 3 (a) | |||||||||||
B 3 (b) | |||||||||||
B 2 |
Bibliografia
-
HSM Coxeter :
-
Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- ( Praca 22) HSM Coxeter, Regular i Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- ( Praca 23) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes II , [ Mat . Zeit. 188 (1985) 559-591]
- ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
-
Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
-
Norman Johnson Uniform Polytopes , Rękopis (1991)
- NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (1966)
- Klitzing, Richard. "Polytopy jednolite 4D (polichora)" . x3x4o3o=x3x3x4o - tico, o3x4x3o - cd
- 3. Wypukła jednolita polichora oparta na icositetrachoron (24 komórki) - Model 24, 27 , George Olshevsky.