Kategoria grup abelowych - Category of abelian groups

W matematyce , kategoria Ab ma grupa przemienna jak obiekty i homomorfizm grup jak morfizmów . To jest prototyp kategorii abelowej : rzeczywiście, każda mała kategoria abelowa może być osadzona w Ab .

Nieruchomości

Przedmiotem zerowej od Ab jest trywialne grupa {0}, która składa się tylko z jego element neutralny .

W monomorfizm w Ab są injective homomorfizmy Group, epimorfizm są suriekcją homomorfizmy grupę, a isomorphisms są bijective homomorfizmy grupy.

Ab jest pełen podkategorii z Grp , w kategorii wszystkich grup . Główna różnica między Ab i Grp polega na tym, że suma dwóch homomorfizmów f i g między grupami abelowymi jest ponownie homomorfizmem grupowym:

( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )
       = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )

Trzecia równość wymaga, aby grupa była abelowa. To dodanie morfizmu zamienia Ab w kategorię przedaddytywną , a ponieważ bezpośrednia suma skończenie wielu grup abelowych daje produkt binarny , rzeczywiście mamy kategorię addytywną .

W Ab pojęcie jądra w sensie teorii kategorii pokrywa się z jądrem w sensie algebraicznym , tj. Jakościowym jądrem morfizmu f  : A → B jest podgrupą K z A zdefiniowaną przez K = { x ∈ A  : f ( x ) = 0}, wraz z homomorfizmu włączenia I  : K → A . To samo dotyczy kerneli ; cokernel z F jest grupa iloraz C = B / C ( ) wraz z naturalnym projekcji p  : B → C . (Uwaga dalszą zasadniczą różnicę między Ab i Grp : w Grp może się zdarzyć, że F ( A ) nie jest normalny podgrupa od B , a zatem grupa iloraz B / F ( ) nie może być utworzony.) W tych opisach konkretne jąder i kerneli, łatwo jest sprawdzić, czy Ab jest rzeczywiście kategorią abelową .

Produkt w Ab jest przez iloczyn grup , utworzoną biorąc iloczyn z zestawów bazowych i wykonywania operacji componentwise grupy. Ponieważ Ab ma jądra, można następnie pokazać, że Ab jest pełną kategorią . Współprodukt w Ab jest przez bezpośredniego sumy; ponieważ Ab ma kernele, wynika z tego, że Ab jest również współkompletne .

Mamy zapominalskich funktor Ab → Set która przypisuje każdej grupy Abelowych bazowy zestaw i do każdego homomorfizmu grupa podstawowa funkcja . Ten funktor jest wierny , dlatego Ab jest kategorią konkretną . Zapominający funktor ma lewe sprzężenie (które przypisuje do danego zbioru wolną grupę abelową z tym zbiorem jako podstawę), ale nie ma prawego sprzężenia.

Przyjmowanie bezpośrednich granic w Ab jest funktorem dokładnym . Ponieważ grupa liczb całkowitych Z służy jako generator , kategoria Ab jest zatem kategorią Grothendiecka ; w istocie jest to prototypowy przykład kategorii Grothendiecka.

Obiekt w Ab jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jest grupą podzielną ; jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolną grupą abelową . Kategoria obejmuje generator rzutowy ( Z ) i kogenerator iniekcyjny ( Q / Z ).

Biorąc pod uwagę dwie abelowe grupy A i B , ich iloczyn tensorowy A ⊗ B jest zdefiniowany; jest to znowu grupa abelowa. Przy takim pojęciu produktu Ab jest zamkniętą symetryczną kategorią monoidalną .

Ab nie jest toposem, ponieważ np. Ma zerowy obiekt.

Zobacz też

Bibliografia

  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (poprawione wydanie trzecie), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556
  • Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Teksty magisterskie z matematyki . 5 (wyd. 2). Nowy Jork, NY: Springer-Verlag . ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, wyd. (2004). Podstawy kategorialne. Tematy specjalne w kolejności, topologia, algebra i teoria snopów . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .