Siła dośrodkowa - Centripetal force

Siła dośrodkowa (z łac. centrum , „centrum” i petere , „szukać”) to siła, która sprawia, że ​​ciało porusza się po zakrzywionej ścieżce . Jego kierunek jest zawsze prostopadły do ruchu ciała i w kierunku stałego punktu chwilowego środka krzywizny toru. Isaac Newton opisał to jako „siłę, przez którą ciała są przyciągane lub popychane, lub w jakikolwiek sposób dążą do punktu jako do środka”. W mechanice Newtona grawitacja zapewnia siłę dośrodkową powodującą orbity astronomiczne .

Jednym z typowych przykładów siły dośrodkowej jest przypadek, w którym ciało porusza się ze stałą prędkością po torze kołowym. Siła dośrodkowa jest skierowana pod kątem prostym do ruchu, a także wzdłuż promienia w kierunku środka toru kołowego. Opis matematyczny został opracowany w 1659 roku przez holenderskiego fizyka Christiaana Huygensa .

Formuła

Velocity-acceleration.svg

Wielkość siły dośrodkowej działającej na obiekt o masie m poruszający się z prędkością styczną v po torze o promieniu krzywizny r wynosi:

gdzie jest przyspieszenie dośrodkowe i jest różnica pomiędzy wektorami prędkości. Ponieważ wektory prędkości w powyższym schemacie mają stałą wielkość, a ponieważ każdy z nich jest prostopadły do odpowiedniej pozycji wektora prosty wektor odejmowanie oznacza dwa podobne równoramienne trójkąty przystające kątami - jeden zawierający podstawę z i nóg długości , a drugi podstawa z (pozycja wektora różnicy ) i nóg długość :

Dlatego można go zastąpić :

Siła jest skierowana w stronę środka okręgu, w którym porusza się obiekt, lub okręgu oscylującego (okręgu, który najlepiej pasuje do lokalnej ścieżki obiektu, jeśli ścieżka nie jest kołowa). Prędkość we wzorze jest podniesiona do kwadratu, więc podwójna prędkość wymaga czterokrotnej siły. Odwrotna zależność od promienia krzywizny pokazuje, że połowa odległości promieniowej wymaga podwójnej siły. Siła ta jest też czasami zapisywana w postaci prędkości kątowej ω obiektu wokół środka okręgu, odniesionej do prędkości stycznej wzorem

aby

Wyrażona za pomocą okresu orbitalnego T dla jednego obrotu koła,

równanie staje się

W akceleratorach cząstek prędkość może być bardzo wysoka (zbliżona do prędkości światła w próżni), więc ta sama masa spoczynkowa wywiera teraz większą bezwładność (masę relatywistyczną), co wymaga większej siły dla tego samego przyspieszenia dośrodkowego, więc równanie wygląda następująco:

gdzie

jest współczynnikiem Lorentza .

Zatem siła dośrodkowa dana jest wzorem:

czyli tempo zmian pędu relatywistycznego .

Źródła

Ciało doświadczające jednostajnego ruchu okrężnego wymaga siły dośrodkowej, skierowanej w kierunku pokazanej osi, aby utrzymać swoją tor kołowy.

W przypadku przedmiotu, który kołysze się na końcu liny w płaszczyźnie poziomej, siła dośrodkowa działająca na przedmiot jest dostarczana przez napięcie liny. Przykład liny jest przykładem siły pociągowej. Siła dośrodkowa może być również dostarczana jako siła „pchająca”, tak jak w przypadku, gdy normalna reakcja ściany dostarcza siłę dośrodkową ściany śmierci lub jeźdźca wirnika .

Idea siły dośrodkowej Newtona odpowiada temu, co obecnie nazywamy siłą centralną . Kiedy satelita znajduje się na orbicie wokół planety , grawitacja jest uważana za siłę dośrodkową, chociaż w przypadku orbit ekscentrycznych siła grawitacyjna jest skierowana w kierunku ogniska, a nie w kierunku chwilowego środka krzywizny.

Inny przykład siły dośrodkowej pojawia się w spirali, która jest śledzona, gdy naładowana cząstka porusza się w jednolitym polu magnetycznym przy braku innych sił zewnętrznych. W tym przypadku siła magnetyczna to siła dośrodkowa działająca w kierunku osi spirali.

Analiza kilku przypadków

Poniżej znajdują się trzy przykłady rosnącej złożoności, z wyprowadzeniami wzorów rządzących prędkością i przyspieszeniem.

Jednolity ruch kołowy

Ruch jednostajny okrężny odnosi się do przypadku stałej prędkości obrotowej. Oto dwa podejścia do opisania tego przypadku.

Wyprowadzenie rachunku

W dwóch wymiarach wektor położenia , który ma wielkość (długość) i jest skierowany pod kątem powyżej osi x, może być wyrażony we współrzędnych kartezjańskich za pomocą wektorów jednostkowych oraz :

Przyjmij jednostajny ruch okrężny , który wymaga trzech rzeczy.

  1. Obiekt porusza się tylko po okręgu.
  2. Promień okręgu nie zmienia się w czasie.
  3. Obiekt porusza się po okręgu ze stałą prędkością kątową . Dlatego gdzie jest czas.

Teraz znajdź prędkość i przyspieszenie ruchu, biorąc pochodne pozycji względem czasu.

Zauważ, że termin w nawiasie jest oryginalnym wyrażeniem we współrzędnych kartezjańskich . W konsekwencji,

ujemna pokazuje, że przyspieszenie jest skierowane w stronę środka okręgu (przeciwnie do promienia), stąd nazywa się je „dośrodkowym” (tj. „poszukiwaniem środka”). Podczas gdy obiekty w naturalny sposób poruszają się po torze prostym (ze względu na bezwładność ), to przyspieszenie dośrodkowe opisuje tor ruchu kołowego wywołany siłą dośrodkową.

Wyprowadzanie za pomocą wektorów

Zależności wektorowe dla ruchu jednostajnego po okręgu; wektor Ω reprezentujący obrót jest normalny do płaszczyzny orbity z biegunowością określoną regułą prawej ręki i wielkością / dt .

Obraz po prawej pokazuje zależności wektorowe dla ruchu jednostajnego po okręgu. Sama rotacja jest reprezentowana przez wektor prędkości kątowej Ω , który jest normalny do płaszczyzny orbity (stosując regułę prawej ręki ) i ma wielkość wyrażoną przez:

z θ położeniem kątowym w czasie t . W tym rozdziale, d θ / dzień T przyjmuje się na stałym poziomie, niezależnym od czasu. Odległość przebyta dℓ cząstki w czasie d t po torze kołowym wynosi

który, z właściwości iloczynu wektorowego , ma wielkość r d θ i jest w kierunku stycznym do toru kołowego.

W konsekwencji,

Innymi słowy,

Zróżnicowanie względem czasu,

Wzór Lagrange'a stwierdza:

Stosując wzór Lagrange'a z obserwacją, że Ω • r ( t ) = 0 przez cały czas,

Mówiąc słownie, przyspieszenie jest zawsze skierowane wprost przeciwnie do przemieszczenia promieniowego r i ma wartość:

gdzie pionowe słupki |...| oznaczają wielkość wektora, który w przypadku r ( t ) jest po prostu promieniem r ścieżki. Wynik ten zgadza się z poprzednim rozdziałem, chociaż notacja jest nieco inna.

Gdy prędkość obrotowa jest stała w analizie ruchu niejednostajnego po okręgu , ta analiza jest zgodna z tą.

Zaletą podejścia wektorowego jest to, że jest ono wyraźnie niezależne od dowolnego układu współrzędnych.

Przykład: tura obrócona

Panel górny: Kula po torze kołowym z przechyłem poruszająca się ze stałą prędkością v ; Dolny panel: Siły działające na piłkę

Górny panel na zdjęciu po prawej stronie pokazuje kulę poruszającą się po okręgu na zakrzywionej krzywej. Zakręt jest nachylony pod kątem θ od poziomu, a nawierzchnia drogi jest uważana za śliską. Celem jest ustalenie, jaki kąt musi mieć bank, aby piłka nie ześlizgnęła się z drogi. Intuicja podpowiada nam, że na płaskim zakręcie bez żadnego przechyłu piłka po prostu ześlizgnie się z drogi; podczas gdy przy bardzo stromym przechyleniu piłka przesunie się do środka, chyba że szybko pokonuje krzywą.

Oprócz jakiegokolwiek przyspieszenia, które może wystąpić w kierunku toru, dolny panel powyższego obrazka pokazuje siły działające na piłkę. Istnieją dwie siły; jeden to siła grawitacji skierowana pionowo w dół przez środek masy kuli m g , gdzie m jest masą kuli, a g jest przyspieszeniem grawitacyjnym ; druga to skierowana do góry siła normalna wywierana przez drogę pod kątem prostym do powierzchni drogi m a n . Siła dośrodkowa wymagana przez ruch zakrzywiony jest również pokazana powyżej. Ta siła dośrodkowa jest trzeci siła przyłożona do kuli, lecz muszą być dostarczone przez siły netto na piłkę w wyniku Ponadto wektor do normalnej siły i siły ciężkości . Otrzymaną lub siła wypadkowa na piłkę znaleźć ponadto wektora do siły normalnej wywieranej przez drogi i siły pionowej, z powodu siły ciężkości musi być równa siła dośrodkowa dyktowana przez konieczność przemieszczania się po torze kołowym. Zakrzywiony ruch jest utrzymywany tak długo, jak ta siła wypadkowa zapewnia siłę dośrodkową niezbędną do ruchu.

Pozioma siła wypadkowa na piłce to pozioma składowa siły od drogi, która ma wielkość | F h | = m | n | sin θ . Składowa pionowa siły od drogi musi przeciwdziałać sile grawitacji: | F v | = m | a n |cos θ = m | g |, co implikuje | a n |=| g | / cos θ . Podstawiając do powyższego wzoru dla | F h | daje siłę poziomą, która wynosi:

Z drugiej strony przy prędkości | v | po torze kołowym o promieniu R , kinematyka mówi, że siła potrzebna do obrócić piłki w sposób ciągły do kolei promieniowo do wewnątrz siła dośrodkowa F c wielkości:

W konsekwencji piłka znajduje się na stabilnym torze, gdy kąt drogi jest ustawiony tak, aby spełniał warunek:

lub,

Gdy kąt przechylenia θ zbliża się do 90°, funkcja styczna zbliża się do nieskończoności, umożliwiając większe wartości dla | v | 2 / r . Słowem równanie to mówi, że dla większych prędkości (większe | v |) droga musi być nachylona bardziej stromo (większa wartość dla θ ), a dla ostrzejszych zakrętów (mniejsze r ) droga musi być również nachylona bardziej stromo, co jest zgodne z intuicją. Gdy kąt θ nie spełnia powyższego warunku, pozioma składowa siły wywieranej przez drogę nie zapewnia prawidłowej siły dośrodkowej i wymagana jest dodatkowa siła tarcia styczna do powierzchni drogi, aby zapewnić różnicę. Jeśli tarcie nie może tego zrobić (to znaczy, że współczynnik tarcia jest przekroczony), kulka ślizga się na inny promień, w którym można osiągnąć równowagę.

Te pomysły dotyczą również lotów powietrznych. Zobacz instrukcję pilota FAA.

Nierównomierny ruch kołowy

Prędkość i przyspieszenie dla niejednostajnego ruchu kołowego: wektor prędkości jest styczny do orbity, ale wektor przyspieszenia nie jest promieniowo do wewnątrz ze względu na składową styczną a θ, która zwiększa prędkość obrotu: d ω / dt = | θ | / R .

Jako uogólnienie przypadku ruchu jednostajnego okrężnego załóżmy, że prędkość kątowa obrotu nie jest stała. Przyspieszenie ma teraz składową styczną, jak pokazano na rysunku po prawej. Ten przypadek służy do zademonstrowania strategii wyprowadzania opartej na układzie współrzędnych biegunowych .

Niech r ( t ) będzie wektorem opisującym położenie masy punktowej w funkcji czasu. Ponieważ zakładamy ruch po okręgu , niech r ( t ) = R · u r , gdzie R jest stałą (promień okręgu), a u r jest wektorem jednostkowym wskazującym od początku do masy punktowej. Kierunek u r jest opisany przez θ , kąt między osią x a wektorem jednostkowym, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x. Drugi wersor dla współrzędnych biegunowych, u θ jest prostopadły do u r i wskazuje w kierunku rosnącym θ . Te biegunowe wektory jednostkowe mogą być wyrażone w postaci kartezjańskich wektorów jednostkowych w kierunkach x i y , oznaczonych odpowiednio i i j :

u r = cos θ i + sin θ j

oraz

u θ = -sin θ i + cos θ j .

Aby znaleźć prędkość, można rozróżnić:

gdzie ω jest prędkością kątową d θ /d t .

Ten wynik dla prędkości odpowiada oczekiwaniom, że prędkość powinna być skierowana stycznie do okręgu i że wartość prędkości powinna wynosić . Znowu różnicując się i zauważając to

stwierdzamy, że przyspieszenie a jest:

Zatem promieniowe i styczne składowe przyspieszenia to:

   oraz   

gdzie | v | = r ω jest wielkością prędkości (prędkości).

Równania te wyrażają matematycznie, że w przypadku obiektu poruszającego się po torze kołowym ze zmienną prędkością przyspieszenie ciała może zostać rozłożone na składową prostopadłą zmieniającą kierunek ruchu (przyspieszenie dośrodkowe) i równoległą. lub styczny składnik zmieniający prędkość.

Ogólny ruch płaski

Ustaw wektor r , zawsze wskazuje promieniowo od początku.
Wektor prędkości v , zawsze styczny do toru ruchu.
Wektor przyspieszenia a , nie równoległy do ​​ruchu promieniowego, ale przesunięty o przyspieszenia kątowe i Coriolisa, ani styczny do toru, ale przesunięty o przyspieszenia dośrodkowe i promieniowe.
Wektory kinematyczne we współrzędnych biegunowych płaskich. Zauważ, że konfiguracja nie jest ograniczona do przestrzeni 2D, ale płaszczyzny w dowolnym wyższym wymiarze.
Polarne wektory jednostkowe przy dwóch razy t i t + dt dla cząstki o trajektorii r ( t ); po lewej stronie wektory jednostkowe u ρ i u θ w dwóch momentach są przesunięte tak, że ich ogony spotykają się i są pokazane, aby zakreślić łuk okręgu o promieniu jednostkowym. Ich obrót w czasie dt wynosi d , dokładnie taki sam kąt jak obrót trajektorii r ( t ).

Współrzędne biegunowe

Powyższe wyniki można wyprowadzić być może prościej we współrzędnych biegunowych , a jednocześnie rozszerzyć na ogólny ruch w płaszczyźnie, jak pokazano poniżej. Współrzędne biegunowe w płaszczyźnie wykorzystują promieniowy wektor jednostkowy u ρ i kątowy wektor jednostkowy u θ , jak pokazano powyżej. Cząstka w pozycji r jest opisana przez:

gdzie notacja ρ jest używana do opisania odległości ścieżki od początku zamiast R, aby podkreślić, że odległość ta nie jest stała, ale zmienia się w czasie. Wektor jednostkowy u ρ przemieszcza się z cząstką i zawsze wskazuje w tym samym kierunku co r ( t ). Wektor jednostkowy u θ również porusza się z cząstką i pozostaje prostopadły do u ρ . Tak więc u ρ i u θ tworzą lokalny układ współrzędnych kartezjańskich dołączony do cząstki i powiązany ze ścieżką przebytą przez cząstkę. Przesuwając wektory jednostkowe tak, aby ich ogony się pokrywały, jak widać na okręgu po lewej stronie powyższego obrazka, widać, że u ρ i u θ tworzą parę pod kątem prostym z końcówkami na okręgu jednostkowym, które śledzą tam iz powrotem na obwód tego okręgu o tym samym kącie θ ( t ) co r ( t ).

Gdy cząsteczka się porusza, jej prędkość wynosi

Do obliczenia prędkości potrzebna jest pochodna wersora u ρ . Ponieważ u ρ jest wektorem jednostkowym, jego wielkość jest stała i może zmieniać się tylko w kierunku, to znaczy, że jej zmiana d u ρ ma składową tylko prostopadłą do u ρ . Gdy trajektoria R ( t ) obraca ilość składnika θ , u p , które punkty w tym samym kierunku co r ( t ), obraca się również przez d θ . Zobacz obrazek powyżej. Dlatego zmiana u ρ to

lub

W podobny sposób wyznaczana jest szybkość zmian u θ . Podobnie jak w przypadku u ρ , u θ jest wektorem jednostkowym i może się obracać tylko bez zmiany rozmiaru. Pozostawać prostopadłe do U p a trajektoria R ( t ) obraca ilość składnika θ , u θ , która jest prostopadła do r ( t ), obraca się również przez d θ . Zobacz obrazek powyżej. Dlatego zmiana d u θ jest ortogonalna do u θ i proporcjonalna do d θ (patrz rysunek powyżej):

Powyższy obrazek pokazuje, że znak jest ujemny: aby zachować ortogonalność, jeśli d u ρ jest dodatnie z d θ , to d u θ musi się zmniejszać.

Podstawiając pochodną u ρ do wyrażenia na prędkość:

Aby uzyskać przyspieszenie, wykonuje się kolejne zróżnicowanie czasowe:

Zastępując pochodne u ρ i u θ , przyspieszenie cząstki wynosi:

Jako konkretny przykład, jeśli cząstka porusza się po okręgu o stałym promieniu R , to d ρ /d t = 0, v = v θ , oraz:

gdzie

Wyniki te zgadzają się z powyższymi wynikami dla niejednostajnego ruchu kołowego . Zobacz także artykuł o niejednostajnym ruchu kołowym . Jeżeli przyspieszenie to pomnoży się przez masę cząstki, wyrazem wiodącym jest siła dośrodkowa, a ujemny drugiego wyrazu związanego z przyspieszeniem kątowym jest czasami nazywany siłą Eulera .

W przypadku trajektorii innych niż ruch kołowy, na przykład bardziej ogólnej trajektorii przedstawionej na powyższym obrazie, chwilowy środek obrotu i promień krzywizny trajektorii są związane tylko pośrednio z układem współrzędnych określonym przez u ρ i u θ oraz z długość | r ( t )| = ρ . W konsekwencji, w ogólnym przypadku, nie jest łatwo rozplątać wyrazy dośrodkowe i Eulera z powyższego ogólnego równania przyspieszenia. Aby poradzić sobie bezpośrednio z tym problemem, preferowane są współrzędne lokalne, co omówiono dalej.

Współrzędne lokalne

Lokalny układ współrzędnych dla ruchu płaskiego na krzywej. Dwie różne pozycje są pokazane dla odległości s i s + ds wzdłuż krzywej. W każdej pozycji s , wersor u n wskazuje wzdłuż zewnętrznej normalnej do krzywej, a wersor u t jest styczny do ścieżki. Promień krzywizny toru wynosi ρ, jak wynika z szybkości obrotu stycznej do krzywej w odniesieniu do długości łuku i jest promieniem koła oscylacyjnego w położeniu s . Okrąg jednostkowy po lewej stronie pokazuje obrót wektorów jednostkowych z s .

Współrzędne lokalne oznaczają zbiór współrzędnych, które poruszają się wraz z cząstką i mają orientację określoną przez ścieżkę cząstki. Wektory jednostkowe są tworzone tak, jak pokazano na rysunku po prawej, zarówno styczne, jak i normalne do ścieżki. Ten układ współrzędnych jest czasami określane jako wewnętrzne lub ścieżki współrzędnych lub NT-współrzędnych , dla normalnego stycznych , odnosząc się do tych wektorów jednostkowych. Współrzędne te są bardzo szczególnym przykładem bardziej ogólnej koncepcji współrzędnych lokalnych z teorii form różniczkowych.

Odległość wzdłuż drogi cząstki to długość łuku s , uważana za znaną funkcję czasu.

Ośrodkiem krzywizna jest określona w każdej pozycji a usytuowany w pewnej odległości ρ (The Promień krzywizny ) z krzywej na linii wzdłuż normalnej u n ( s ). Wymagana odległość ρ ( s ) na długości łuku s jest określona jako prędkość obrotu stycznej do krzywej, która z kolei jest określona przez samą ścieżkę. Gdy orientacja względem stycznej do pewnego położenia początkowego jest θ ( ów ), a następnie ρ ( y ) jest określony przez pochodnej d θ / d, e :

Promień krzywizny jest zwykle przyjmowany jako dodatni (czyli jako wartość bezwzględna), podczas gdy krzywizna κ jest wielkością ze znakiem.

Geometryczne podejście do znajdowania środka krzywizny i promienia krzywizny wykorzystuje proces ograniczający prowadzący do koła oscylacyjnego . Zobacz obrazek powyżej.

Wykorzystując te współrzędne, ruch wzdłuż toru jest postrzegany jako ciąg kołowych torów o ciągle zmieniającym się środku, a w każdym położeniu s stanowi niejednorodny ruch kołowy w tym położeniu o promieniu ρ . Lokalna wartość kątowej prędkości obrotowej jest wtedy wyrażona wzorem:

z lokalną prędkością v wyrażoną przez:

Podobnie jak w przypadku innych przykładów powyżej, ponieważ wektory jednostkowe nie mogą zmieniać wielkości, ich tempo zmian jest zawsze prostopadłe do ich kierunku (patrz lewa wstawka na powyższym obrazku):

W konsekwencji prędkość i przyspieszenie to:

i stosując łańcuchową zasadę różnicowania :

z przyspieszeniem stycznym

W tym lokalnym układzie współrzędnych przyspieszenie przypomina wyrażenie na niejednorodny ruch kołowy o lokalnym promieniu ρ ( s ), a przyspieszenie dośrodkowe jest określane jako drugi człon.

Rozszerzenie tego podejścia na trójwymiarowe krzywe przestrzenne prowadzi do formuł Freneta-Serreta .

Alternatywne podejście

Patrząc na powyższym obrazie się zastanawiać, czy odpowiednia siła uwzględniono różnicy krzywizny pomiędzy p ( s ) i ρ ( s + d, e ), w obliczeniu długości łuku jak D s = ρ ( e ) D θ . Zapewnienie w tej kwestii można znaleźć, stosując bardziej formalne podejście opisane poniżej. To podejście łączy się również z artykułem o krzywiźnie .

Aby wprowadzić wektory jednostkowe lokalnego układu współrzędnych, jednym podejściem jest rozpoczęcie od współrzędnych kartezjańskich i opisanie współrzędnych lokalnych w kategoriach tych współrzędnych kartezjańskich. Jeśli chodzi o długość łuku s , niech ścieżka będzie opisana jako:

Wówczas przemieszczenie przyrostowe wzdłuż toru d s jest opisane wzorem:

gdzie liczby pierwsze są wprowadzane do oznaczenia pochodnych w odniesieniu do s . Wielkość tego przemieszczenia wynosi d s , co pokazuje, że:

(Równanie 1)

To przemieszczenie jest koniecznie styczne do krzywej w s , co pokazuje, że styczna do krzywej jest wektor jednostkowy:

podczas gdy zewnętrzny wektor jednostkowy normalny do krzywej wynosi

Ortogonalność można zweryfikować, pokazując, że iloczyn skalarny wektora wynosi zero. Jednostkowa wielkość tych wektorów jest konsekwencją równania. 1 . Korzystając z wektora stycznego, kąt θ stycznej do krzywej jest określony wzorem:

oraz

Promień krzywizny wprowadza się całkowicie formalnie (bez potrzeby interpretacji geometrycznej) jako:

Pochodną θ można znaleźć z tego dla sin θ :

Ale już:

w której mianownikiem jest jedność. Za pomocą tego wzoru na pochodną sinusa promień krzywizny staje się:

gdzie równoważność form wynika z zróżnicowania równania. 1 :

Dzięki tym wynikom przyspieszenie można znaleźć:

co można zweryfikować, biorąc iloczyn skalarny z wektorów jednostkowych u t ( s ) i u n ( s ). Ten wynik dla przyspieszenia jest taki sam, jak dla ruchu kołowego opartego na promieniu ρ . Używając tego układu współrzędnych w układzie bezwładnościowym, łatwo jest określić siłę normalną do trajektorii jako siłę dośrodkową, a siłę równoległą do trajektorii jako siłę styczną. Z jakościowego punktu widzenia droga może być aproksymowana łukiem koła przez ograniczony czas, a przez ograniczony czas obowiązuje określony promień krzywizny, siły odśrodkowe i Eulera mogą być analizowane na podstawie ruchu kołowego o tym promieniu .

Ten wynik dla przyspieszenia zgadza się z wcześniejszym. Jednak w tym podejściu kwestia zmiany promienia krzywizny z s jest traktowana całkowicie formalnie, zgodnie z interpretacją geometryczną, ale nie polega na niej, tym samym unikając jakichkolwiek pytań, które może sugerować powyższy obrazek o zaniedbaniu zmienności w ρ .

Przykład: ruch okrężny

Aby zilustrować powyższe wzory, niech x , y będą podane jako:

Następnie:

który można rozpoznać jako tor kołowy wokół początku o promieniu α . Pozycja s = 0 odpowiada [ α , 0] lub godzinie trzeciej. Aby skorzystać z powyższego formalizmu, potrzebne są pochodne:

Dzięki tym wynikom można zweryfikować, że:

Można również znaleźć wektory jednostkowe:

które służą do wykazania, że s = 0 znajduje się na pozycji [ ρ , 0 ] a s = ρ π/2 w [0, ρ ], co zgadza się z pierwotnymi wyrażeniami na x i y . Innymi słowy, s jest mierzone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół koła od godziny trzeciej. Można również znaleźć pochodne tych wektorów:

Aby uzyskać prędkość i przyspieszenie, konieczna jest zależność od czasu dla s . Dla ruchu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ze zmienną prędkością v ( t ):

gdzie v ( t ) to prędkość, a t to czas, a s ( t = 0) = 0. Wtedy:

gdzie już ustalono, że α = ρ. Przyspieszenie to jest standardowym wynikiem dla nierównomiernego ruchu kołowego .

Zobacz też

Uwagi i referencje

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki