Kula opisana - Circumscribed sphere

Opisana kula sześcianu

W geometrii , A kula opisana z wielościan to kula , która zawiera wielościanu i dotyka każdego z wierzchołków wielościanu jest. Czasami słowo circumsphere oznacza to samo, przez analogię z terminem circumcircle . Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowych ograniczonych kręgach , promień kuli ograniczony wokół wielościan P jest nazywany circumradius z P i punkt środkowy tej dziedzinie nazywany jest circumcenter P .

Istnienie i optymalność

Gdy istnieje, ograniczona sfera nie musi być najmniejszą kulą zawierającą wielościan ; na przykład czworościan utworzony przez wierzchołek sześcianu i jego trzech sąsiadów ma taką samą sferę opisową jak sam sześcian, ale może być zawarty w mniejszej kuli mającej trzy sąsiednie wierzchołki na równiku. Jednak najmniejsza sfera zawierająca dany wielościan jest zawsze sferą opisaną na wypukłym kadłubie podzbioru wierzchołków wielościanu.

W De solidorum elementis (około 1630 r.) René Descartes zauważył, że w przypadku wielościanu z opisaną kulą wszystkie ściany mają opisane okręgi, okręgi, w których płaszczyzna twarzy styka się z opisaną kulą. Kartezjusz zasugerował, że ten warunek konieczny istnienia ograniczonej kuli jest wystarczający, ale nie jest to prawdą: na przykład niektóre bipiramidy mogą mieć określone koła na twarzach (z których wszystkie są trójkątami), ale nadal nie mają ograniczonej kuli dla cały wielościan. Jednak zawsze, gdy prosty wielościan ma opisany okrąg na każdej z jego ścian, ma on również opisaną kulę.

Pojęcia pokrewne

Ograniczona kula jest trójwymiarowym odpowiednikiem opisanego koła . Wszystkie regularne wielościany mają ograniczone sfery, ale większość nieregularnych wielościanów ich nie ma, ponieważ generalnie nie wszystkie wierzchołki leżą na wspólnej kuli. Sfera opisana (jeśli istnieje) jest przykładem kuli ograniczającej , kuli zawierającej określony kształt. Możliwe jest zdefiniowanie najmniejszej sfery ograniczającej dla dowolnego wielościanu i obliczenie jej w czasie liniowym .

Inne sfery zdefiniowane dla niektórych, ale nie dla wszystkich wielościanów, obejmują sferę środkową , sferę styczną do wszystkich krawędzi wielościanu i sferę wpisaną , sferę styczną do wszystkich ścian wielościanu. W regularnych wielościanach wpisana kula, środkowa kula i ograniczona sfera istnieją i są koncentryczne .

Kiedy opisana kula jest zbiorem nieskończonych ograniczających punktów przestrzeni hiperbolicznej , wielościan, który opisuje, nazywany jest idealnym wielościanem .

Wskaż ograniczoną kulę

Istnieje pięć wypukłych regularnych wielościanów , znanych jako bryły platońskie . Wszystkie bryły platońskie mają ograniczone sfery. Dla dowolnego punktu na opisanej kuli każdej bryły platońskiej z liczbą wierzchołków , jeśli są odległości do wierzchołków , to

Bibliografia

Linki zewnętrzne