Współczynnik zmienności - Coefficient of variation

W teorii prawdopodobieństwa i statystycznych , na współczynnik zmienności ( CV ), znany również jako względne odchylenie standardowe ( RSD ) jest znormalizowana miara dyspersji o rozkładzie prawdopodobieństwa lub podziału częstotliwości . Często wyrażana jest w procentach i definiowana jako stosunek odchylenia standardowego do średniej (lub jej wartości bezwzględnej , ). CV lub RSD są szeroko stosowane w chemii analitycznej do wyrażania precyzji i powtarzalności testu . Jest również powszechnie stosowany w dziedzinach takich jak inżynieria lub fizyka podczas przeprowadzania badań zapewniania jakości i pomiaru R&R ANOVA . Ponadto CV jest wykorzystywane przez ekonomistów i inwestorów w modele ekonomiczne . ${\ Displaystyle \ \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ \ mu}$${\displaystyle |\mu |}$

Definicja

Współczynnik zmienności (CV) jest zdefiniowany jako stosunek odchylenia standardowego do średniej , pokazuje stopień zmienności w stosunku do średniej populacji. Współczynnik zmienności powinien być obliczany tylko dla danych mierzonych na skali ilorazowej , to znaczy skal, które mają sensowne zero i stąd pozwalają na względne porównanie dwóch pomiarów (tj. podzielenie jednego pomiaru przez drugi). Współczynnik zmienności może nie mieć żadnego znaczenia dla danych na skali interwałowej . Na przykład większość skal temperatury (np. Celsjusza, Fahrenheita itp.) to skale interwałowe z arbitralnymi zerami, więc obliczony współczynnik zmienności będzie różny w zależności od użytej skali. Z drugiej strony temperatura Kelvina ma znaczące zero, całkowity brak energii cieplnej, a zatem jest skalą proporcji. Mówiąc prostym językiem, sensowne jest stwierdzenie, że 20 kelwinów jest dwa razy bardziej gorące niż 10 kelwinów, ale tylko w tej skali z prawdziwym zerem absolutnym. Chociaż odchylenie standardowe (SD) można zmierzyć w stopniach Kelvina, Celsjusza lub Fahrenheita, obliczona wartość ma zastosowanie tylko do tej skali. Do obliczenia prawidłowego współczynnika zmienności można użyć tylko skali Kelvina. ${\ Displaystyle \ \ sigma}$${\ Displaystyle \ \ mu}$${\ Displaystyle c_ {\ rm {v}} = {\ Frac {\ sigma} {\ mu}}.}$

Pomiary, które mają rozkład logarytmiczny wykazują stacjonarne CV; natomiast SD zmienia się w zależności od oczekiwanej wartości pomiarów.

Bardziej solidną możliwością jest kwartylowy współczynnik dyspersji , czyli połowa zakresu międzykwartylowego podzielona przez średnią kwartyli ( półzawias ), . ${\ Displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}$${\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}$

W większości przypadków CV jest obliczane dla pojedynczej zmiennej niezależnej (np. pojedynczego produktu fabrycznego) z licznymi, powtarzanymi pomiarami zmiennej zależnej (np. błąd w procesie produkcyjnym). Jednak dane, które są liniowe lub nawet logarytmicznie nieliniowe i zawierają ciągły zakres zmiennej niezależnej z rzadkimi pomiarami w każdej wartości (np. wykres rozrzutu), mogą nadawać się do obliczenia pojedynczego CV przy użyciu podejścia oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa .

Przykłady

Zbiór danych [100, 100, 100] ma stałe wartości. Jego odchylenie standardowe wynosi 0, a średnia wynosi 100, co daje współczynnik zmienności jako

0/100 = 0

Zbiór danych [90, 100, 110] charakteryzuje się większą zmiennością. Jego odchylenie standardowe próbki wynosi 10, a jego średnia wynosi 100, co daje współczynnik zmienności jako

10/100 = 0,1

Zbiór danych [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] ma jeszcze większą zmienność. Jego odchylenie standardowe wynosi 32,9, a średnia 27,9, co daje współczynnik zmienności

32,9 / 27,9 = 1,18

Przykłady nadużyć

Porównywanie współczynników zmienności między parametrami przy użyciu jednostek względnych może skutkować różnicami, które mogą nie być rzeczywiste. Jeśli porównamy ten sam zestaw temperatur w stopniach Celsjusza i Fahrenheita (obie jednostki względne, gdzie skala Kelvina i Rankine'a są powiązanymi wartościami bezwzględnymi):

Celsjusza: [0, 10, 20, 30, 40]

Fahrenheita: [32, 50, 68, 86, 104]

Do przykładowych odchylenia standardowe są 15.81 i 28,46, odpowiednio. CV pierwszego zestawu to 15,81/20 = 79%. Dla drugiego zestawu (które są tymi samymi temperaturami) jest to 28,46/68 = 42%.

Jeśli na przykład zestawy danych są odczytami temperatury z dwóch różnych czujników (czujnika Celsjusza i czujnika Fahrenheita) i chcesz wiedzieć, który czujnik jest lepszy, wybierając ten z najmniejszą wariancją, to zostaniesz wprowadzony w błąd, jeśli użyjesz CV. Problem polega na tym, że podzieliłeś przez wartość względną, a nie bezwzględną.

Porównanie tego samego zestawu danych, teraz w jednostkach bezwzględnych:

Kelwin: [273.15, 283.15, 293.15, 303.15, 313.15]

Rankine: [491,67, 509,67, 527,67, 545,67, 563,67]

Te przykładowe odchylenia standardowe są nadal 15,81 i 28,46, odpowiednio, ponieważ odchylenie standardowe nie jest objęty stałą offsetowego. Jednak współczynniki zmienności są teraz równe 5,39%.

Mówiąc matematycznie, współczynnik zmienności nie jest całkowicie liniowy. Oznacza to, że dla zmiennej losowej współczynnik zmienności jest równy współczynnikowi zmienności tylko kiedy . W powyższym przykładzie stopnie Celsjusza można przekonwertować na stopnie Fahrenheita tylko poprzez liniową transformację formy za pomocą , podczas gdy Kelviny można przekonwertować na stopnie Rankines poprzez transformację formy . ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle aX+b}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle b=0}$${\ Displaystyle topór + b}$${\displaystyle b\neq 0}$${\ Displaystyle topór}$

Oszacowanie

Gdy dostępna jest tylko próbka danych z populacji, CV populacji można oszacować za pomocą stosunku odchylenia standardowego próbki do średniej próbki : ${\displaystyle s\,}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\ Displaystyle {\ widehat {c_ {\ rm {v}}}} = {\ Frac {s} {\ bar {x}}}}$

Ale ten estymator, zastosowany do małej lub średniej wielkości próby, jest zwykle zbyt niski: jest to estymator obciążony . W przypadku danych o rozkładzie normalnym bezstronny estymator dla próbki o rozmiarze n to:

${\ Displaystyle {\ widehat {c_ {\ rm {v}}}} ^ {*} = {\ bigg (} 1 + {\ frac {1} {4n}} {\ bigg)} {\ widehat {c_ { \rm {v}}}}}$

Log-normalne dane

W wielu aplikacjach można założyć, że dane mają rozkład logarytmiczny (co świadczy o obecności skośności w próbkowanych danych). W takich przypadkach dokładniejsze oszacowanie, wyprowadzone z właściwości rozkładu logarytmiczno-normalnego , definiuje się jako:

${\ Displaystyle {\ widehat {cv}} _ {\ rm {surowy}} = {\ sqrt {\ operatorname {e} ^ {s_ {\ rm {ln}} ^ {2}}-1}}}$

gdzie jest odchylenie standardowe próbki danych po transformacji logarytmu naturalnego . (W przypadku, gdy pomiary są rejestrowane przy użyciu dowolnej innej podstawy logarytmicznej b, ich odchylenie standardowe jest konwertowane na podstawę e przy użyciu , a wzór na pozostaje taki sam.) Ta ocena jest czasami określana jako „geometryczna CV” (GCV) w celu odróżnienia go od prostego oszacowania powyżej. Jednak „geometryczny współczynnik zmienności” został również zdefiniowany przez Kirkwooda jako: ${\displaystyle {s_{\rm {ln}}}\,}$${\displaystyle s_{b}\,}$${\ Displaystyle s_ {\ rm {ln}} = s_ {b} \ ln (b) \,}$${\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {surowy}}\}$

${\ Displaystyle \ operatorname {GCV_ {K}} = {\ operatorname {e} ^ {s_ {\ rm {ln}}} \! \!-1}}$

Termin ten miał być analogiczny do współczynnika zmienności w celu opisania zmienności multiplikatywnej w danych logarytmicznych, ale ta definicja GCV nie ma podstaw teoretycznych jako oszacowanie samej siebie. ${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Z wielu praktycznych celów (takich jak określanie wielkości próbki i obliczanie przedziałów ufności ) jest to najbardziej przydatne w kontekście danych o logarytmicznym rozkładzie normalnym. W razie potrzeby można to wyprowadzić z oszacowania lub GCV, odwracając odpowiedni wzór. ${\displaystyle s_{ln}\,}$${\displaystyle c_{\rm {v}}\,}$

Porównanie do odchylenia standardowego

Zalety

Współczynnik zmienności jest przydatny, ponieważ odchylenie standardowe danych należy zawsze rozumieć w kontekście średniej danych. Natomiast rzeczywista wartość CV jest niezależna od jednostki, w której dokonano pomiaru, więc jest to liczba bezwymiarowa . Do porównania między zbiorami danych o różnych jednostkach lub bardzo różnych średnich należy użyć współczynnika zmienności zamiast odchylenia standardowego.

Niedogodności

• Gdy średnia wartość jest bliska zeru, współczynnik zmienności zbliża się do nieskończoności i dlatego jest wrażliwy na małe zmiany średniej. Dzieje się tak często, gdy wartości nie pochodzą ze skali ilorazowej.
• W przeciwieństwie do odchylenia standardowego, nie można go użyć bezpośrednio do skonstruowania przedziałów ufności dla średniej.
• CV nie są idealnym wskaźnikiem pewności pomiaru, gdy liczba powtórzeń różni się w różnych próbkach, ponieważ CV jest niezmienne w stosunku do liczby powtórzeń, podczas gdy pewność średniej poprawia się wraz ze wzrostem liczby powtórzeń. W takim przypadku sugeruje się, że błąd standardowy w procentach jest lepszy.

Aplikacje

Współczynnik zmienności jest również powszechne w stosowanych pól prawdopodobieństwa takich jak teoria odnowy , teoria kolejek i teorii niezawodności . W tych polach rozkład wykładniczy jest często ważniejszy niż rozkład normalny . Odchylenie standardowe rozkładu wykładniczego jest równe jego średniej, więc jego współczynnik zmienności jest równy 1. Rozkłady z CV < 1 (takie jak rozkład Erlanga ) są uważane za niskozmienne, podczas gdy te z CV > 1 (takie jak rozkład hiper-wykładniczy ) są uważane za wysokiej wariancji. Niektóre formuły w tych dziedzinach są wyrażane przy użyciu kwadratu współczynnika zmienności , często w skrócie SCV. W modelowaniu odmianą CV jest CV (RMSD). Zasadniczo CV (RMSD) zastępuje termin odchylenia standardowego odchyleniem średniokwadratowym (RMSD) . Podczas gdy wiele naturalnych procesów rzeczywiście wykazuje korelację między wartością średnią a wielkością zmienności wokół niej, dokładne urządzenia czujnikowe muszą być zaprojektowane w taki sposób, aby współczynnik zmienności był bliski zeru, tj. dawał stały błąd bezwzględny w stosunku do ich wartości. zakres roboczy.

W naukach aktuarialnych CV jest znane jako ryzyko jednostkowe .

W przemysłowym przetwarzaniu ciał stałych CV jest szczególnie ważne do pomiaru stopnia jednorodności mieszanki proszkowej. Porównanie obliczonego CV ze specyfikacją pozwoli określić, czy osiągnięto wystarczający stopień wymieszania.

Pomiary laboratoryjne CV wewnątrz-testowych i między-testowych

Pomiary CV są często używane jako kontrole jakości w ilościowych testach laboratoryjnych . Chociaż można założyć, że wartości CV w obrębie testu i pomiędzy testami są obliczane po prostu przez uśrednienie wartości CV dla wartości CV dla wielu próbek w ramach jednego testu lub przez uśrednienie wielu oszacowań CV między testami, sugeruje się, że praktyki te są nieprawidłowe i że wymagany jest bardziej złożony proces obliczeniowy. Zauważono również, że wartości CV nie są idealnym wskaźnikiem pewności pomiaru, gdy liczba powtórzeń różni się w różnych próbkach – w tym przypadku sugeruje się, że błąd standardowy w procentach jest wyższy. Jeśli pomiary nie mają naturalnego punktu zerowego, CV nie jest prawidłowym pomiarem i zalecane są alternatywne pomiary, takie jak współczynnik korelacji wewnątrzklasowej .

Jako miara nierówności ekonomicznych

Współczynnik zmienności spełnia wymagania dla miary nierówności ekonomicznej . Jeżeli x (z wpisami x _i ) jest listą wartości wskaźnika ekonomicznego (np. bogactwa), gdzie x _i jest majątkiem podmiotu i , to spełnione są następujące warunki:

• Anonimowość – c _v jest niezależna od kolejności na liście x . Wynika to z faktu, że wariancja i średnia są niezależne od uporządkowania x .
• Niezmienność skali: c _v ( x ) = c _v (α x ) gdzie α jest liczbą rzeczywistą.
• Niezależność populacji – Jeśli { x , x } jest listą x dołączoną do siebie, to c _v ({ x , x }) = c _v ( x ). Wynika to z faktu, że zarówno wariancja, jak i środek przestrzegają tej zasady.
• Zasada transferu Pigou-Daltona: gdy bogactwo jest przekazywane od bogatszego agenta i do biedniejszego agenta j (tj. x _i  >  x _j ) bez zmiany ich rangi, wtedy c _v maleje i vice versa.

c _v przyjmuje jego minimalną wartość zero dla całkowitej równości (wszystkie x _i są równe). Jego najbardziej zauważalną wadą jest to, że nie jest ograniczony od góry, więc nie można go znormalizować tak, aby mieścił się w ustalonym zakresie (np. jak współczynnik Giniego, który jest ograniczony do wartości od 0 do 1). Jest to jednak bardziej matematycznie wykonalne niż współczynnik Giniego.

Jako miara standaryzacji zabytków archeologicznych

Archeolodzy często używają wartości CV do porównywania stopnia standaryzacji starożytnych artefaktów. Zróżnicowanie w CV zostało zinterpretowane w celu wskazania różnych kontekstów przekazu kulturowego dla przyjęcia nowych technologii. Współczynniki zmienności zostały również wykorzystane do zbadania standaryzacji ceramiki związanej ze zmianami w organizacji społecznej. Archeolodzy stosują również kilka metod porównywania wartości CV, na przykład zmodyfikowany test współczynnika wiarygodności (MSLR) dla równości CV.

Dystrybucja

Zakładając, że ujemne i małe dodatnie wartości średniej z próby występują ze znikomą częstością, rozkład prawdopodobieństwa współczynnika zmienności dla próby o wielkości iid normalnych zmiennych losowych wykazali Hendricks i Robey jako ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ operatorname {d} F_ {c_ {\ rm {v}}} = {\ Frac {2} {\ pi ^ {1/2} \ Gamma \ lewo ({\ Frac {n-1} {2 }}\right)}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}{ \frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}}{\frac {{c_{\rm {v} }}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _ {i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {ni}{2}}\right)}{(n-1-i) !\,i!\,}}{\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i }}}{\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v} },}$

gdzie symbol wskazuje, że suma dotyczy tylko parzystych wartości , tj. jeśli jest nieparzysta, suma jest powyżej parzystych wartości , a jeśli jest parzysta, to suma tylko nad nieparzystymi wartościami . ${\ Displaystyle \ Sideset {}{^ {\ prime}} \ suma}$${\displaystyle n-1-i}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle i}$

Jest to przydatne na przykład przy konstruowaniu testów hipotez lub przedziałów ufności . Wnioskowanie statystyczne dotyczące współczynnika zmienności w danych o rozkładzie normalnym często opiera się na przybliżeniu chi-kwadrat McKaya dla współczynnika zmienności

Alternatywny

Według Liu (2012), Lehmann (1986). „wyprowadził również rozkład próbki CV, aby podać dokładną metodę konstrukcji przedziału ufności dla CV;” opiera się na niecentralnym rozkładzie t .

Podobne proporcje

Momenty standaryzowane są podobnymi stosunkami, gdzie jest k- ^tym momentem o średniej, które również są bezwymiarowe i niezmienne w skali. Stosunek wariancji do średniej , , jest innym podobnym stosunkiem, ale nie jest bezwymiarowy, a zatem nie jest niezmienny w skali. Zobacz Normalizacja (statystyki) dla dalszych wskaźników. ${\ Displaystyle {\ mu _ {k}} / {\ sigma ^ {k}}}$${\ Displaystyle \ mu _ {k}}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}/\ mu}$

W przetwarzaniu sygnału , zwłaszcza przetwarzaniu obrazu , odwrotność stosunku (lub jego kwadrat) jest ogólnie określana jako stosunek sygnału do szumu, a w szczególności jako stosunek sygnału do szumu (obrazowanie) . ${\ Displaystyle \ mu / \ sigma}$

Inne powiązane wskaźniki obejmują:

• Wydajność ,${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} / \ mu ^ {2}}$
• znormalizowany moment ,${\ Displaystyle \ mu _ {k} / \ sigma ^ {k}}$
• Stosunek wariancji do średniej (lub wariancja względna),${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}/\ mu}$
• Współczynnik Fano , (okienkowy VMR)${\ Displaystyle \ sigma _ {W} ^ {2}/\ mu _ {W}}$

Zobacz też

• stosunek omega
• Próbkowanie (statystyki)
• Współczynnik ostrości
• Funkcja wariancji

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• cvequality : pakiet R do testowania znaczących różnic między wieloma współczynnikami zmienności