Spójna dwoistość - Coherent duality

W matematyce spójna dualność to dowolne z wielu uogólnień dualności Serre'a , mające zastosowanie do spójnych snopów , w geometrii algebraicznej i teorii rozmaitości zespolonych , a także w niektórych aspektach algebry przemiennej, które są częścią teorii „lokalnej”.

Historyczne korzenie leżą teoria idei systemu adjoint liniowego z systemu liniowego dzielników w klasycznej geometrii algebraicznej. Zostało to ponownie wyrażone, wraz z pojawieniem się teorii snopów , w sposób, który uczynił analogię z dualizmem Poincarégo bardziej widoczną. Następnie, zgodnie z ogólną zasadą, względnym punktem widzenia Grothendiecka , teorię Jean-Pierre'a Serre'a rozszerzono do właściwego morfizmu ; Serre duality został odzyskany jako przypadek morfizmu nieosobliwej odmiany projekcyjnej (lub całkowitej odmiany ) do pewnego momentu. Powstała teoria jest teraz czasami nazywana dualnością Serre'a-Grothendiecka-Verdiera i jest podstawowym narzędziem w geometrii algebraicznej. Odniesieniem stało się potraktowanie tej teorii Residues and Duality (1966) Robina Hartshorne'a . Jednym konkretnym spin-offem były pozostałości po Grothendieck .

Aby wyjść poza właściwe morfizmy, tak jak w przypadku wersji dualności Poincarégo, które nie są przeznaczone dla zamkniętych rozmaitości , potrzebna jest pewna wersja koncepcji kompaktowego wsparcia . Zostało to rozwiązane w SGA2 w kategoriach lokalnej kohomologii i lokalnej dualności Grothendiecka ; a następnie. Dwoistość Greenlees maja , po raz pierwszy sformułowana w 1976 roku przez Ralfa Strebela aw 1978 przez Eben Matlis , jest częścią dalszego rozpatrzenia tej dziedzinie.

Z punktu widzenia funktora sprzężonego

Funktory obrazu dla krążków
obraz bezpośredni f ∗
odwrócony obraz f ∗
bezpośredni obraz z kompaktowym wsparciem f !
wyjątkowy obraz odwrócony Rf !
${\ Displaystyle f ^ {*} \ leftright arrows f_ {*}}$
${\ Displaystyle (R) f_ {!} \ leftright arrows (R) f ^ {!}}$
Twierdzenia o zmianie bazy
v t mi

Podczas gdy dualność Serre'a wykorzystuje wiązkę liniową lub snop odwracalny jako snop dualizujący , ogólna teoria (okazuje się) nie może być aż tak prosta. (A dokładniej, może, ale kosztem narzucenia warunku pierścienia Gorensteina .) W charakterystycznym zwrocie Grothendieck przeformułował ogólną spójną dualność jako istnienie prawego funktora sprzężonego , zwanego skręconym lub wyjątkowo odwrotnym funktorem obrazu , do wyższego bezpośredniego funktora. obraz z kompaktowym funktorem pomocniczym . ${\ Displaystyle f ^ {!}}$${\ Displaystyle Rf_ {!}}$

Wyższe bezpośrednie obrazy są w tym przypadku snopkową formą kohomologii snopów z odpowiednim (zwartym) wsparciem; są one łączone w jeden funktor za pomocą sformułowania kategorii pochodnej algebry homologicznej (wprowadzonej z myślą o tym przypadku). Jeśli jest właściwe, to jest prawym sprzężeniem do odwrotnego funktora obrazu . Twierdzenie istnienie na skręconej odwrotnego obrazu to nazwa nadana do udowodnienia istnienia tego, co byłoby counit dla comonad z poszukiwane adjunction, a mianowicie naturalnym transformacji${\displaystyle f}$${\ Displaystyle Rf_ {!} = Rf_ {\ ast}}$${\ Displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ Displaystyle Rf_ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

który jest oznaczony przez (Hartshorne) lub (Verdier). Jest to aspekt teorii najbliższy klasycznemu znaczeniu, jak sugeruje zapis, że dualność definiuje integracja. ${\ Displaystyle Tr_ {f}}$${\ Displaystyle \ int _ {f}}$

Mówiąc dokładniej, istnieje jako dokładny funktor z pochodnej kategorii quasi-koherentnych snopów na , do analogicznej kategorii na , ilekroć ${\ Displaystyle f ^ {!}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

jest właściwym lub quasi projekcyjnym morfizmem schematów noeterycznych, o skończonym wymiarze Krulla . Z tego można wyprowadzić resztę teorii: dualizujące kompleksy cofają się poprzez , symbol reszty Grothendiecka , dualizujący snop w przypadku Cohena-Macaulay'a . ${\ Displaystyle f ^ {!}}$

Aby uzyskać stwierdzenie w bardziej klasycznym języku, ale jeszcze szerszym niż dualizm Serre'a, Hartshorne ( Geometria Algebraiczna ) używa funktora snopów Ext ; jest to rodzaj odskoczni do kategorii pochodnej.

Klasyczne stwierdzenie dualności Grothendiecka dla rzutowego lub właściwego morfizmu schematów noetherian o skończonym wymiarze, znalezione u Hartshorne'a ( Reszty i dualność ) to następujący quasi-izomorfizm ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\ Displaystyle Rf_ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ pocisk}, f ^ {!} G ^ {\ pocisk}) \ do RHom_ {Y} (Rf_ {\ ast} F ^ {\ pocisk} ,G^{\punkt })}$

dla ograniczonego powyżej kompleksu -modułów o quasi-koherentnej kohomologii i ograniczonego poniżej kompleksu -modułów o kohomologii koherentnej. Oto snopy homomorfizmów. ${\ Displaystyle F ^ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle O_ {X}}$${\ Displaystyle G ^ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle O_ {Y}}$${\ Displaystyle Hom}$

Budowa pseudofunktora z wykorzystaniem sztywnych kompleksów dualizujących${\ Displaystyle f ^ {!}}$

Na przestrzeni lat pojawiło się kilka podejść do konstruowania pseudofunktora. Jedno całkiem niedawno udane podejście opiera się na pojęciu sztywnego kompleksu dualizującego. Pojęcie to zostało po raz pierwszy zdefiniowane przez Van den Bergha w kontekście nieprzemiennym. Konstrukcja oparta jest na wariancie pochodnej kohomologii Hochschilda (kohomologii Shukli): Niech będzie pierścieniem przemiennym i niech będzie algebrą przemienną . Istnieje funktor, który przenosi kompleks cochain do obiektu w kategorii pochodnej ponad . ${\ Displaystyle f ^ {!}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k-}$${\ Displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ Displaystyle A}$

Zakładając, że jest noetherian , sztywny dualizujący kompleks na względem jest z definicji parą, gdzie jest dualizującym kompleksem, który ma skończony płaski wymiar na , i gdzie jest izomorfizmem w kategorii pochodnej . Jeśli taki sztywny dualizujący kompleks istnieje, to w silnym sensie jest wyjątkowy. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (R,\rho)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ rho: R \ do RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ Displaystyle D (A)}$

Zakładając, że jest to lokalizacja skończonego typu -algebry, istnienie sztywnego kompleksu dualizującego względem względem zostało po raz pierwszy udowodnione przez Yekutieli i Zhang zakładając, że jest to regularny pierścień noetherian o skończonym wymiarze Krulla, a przez Avramova , Iyengara i Lipmana zakładając, że jest to pierścień Gorensteina skończonego wymiaru Krulla i ma skończony płaski wymiar nad . ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle k}$

Jeśli jest schematem typu skończonego na , można skleić sztywne kompleksy dualizujące, które posiadają jego kawałki afiniczne, i otrzymać sztywny kompleks dualizujący . Po ustaleniu globalnego istnienia sztywnego dualizującego kompleksu, mając mapę schematów na , można określić , gdzie dla schematu ustalamy . ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle R_ {X}}$${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ Circ Lf ^ {*} \ Circ D_ {Y}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D_ {X}: = RHom_ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Przykłady kompleksów dualizujących

Kompleks dualizujący dla różnorodności projekcyjnej

Kompleks dualizujący dla odmiany projekcyjnej jest podany przez kompleks ${\ Displaystyle X \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ pocisk} = \ operatorname {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^{n}}[+n])}$

Płaszczyzna przecinająca linię

Rozważ różnorodność projekcyjną

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ prawej) = { \text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)}$

Możemy obliczyć przy użyciu rozdzielczości za pomocą lokalnie wolnych snopów. Daje to kompleks ${\ Displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ pocisk} \ do {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} (-3) {\ xrightarrow {\ zacznij {bmatrix} z ​​\ \ -y \ koniec {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (-2) \ oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\ do 0}$

Ponieważ mamy to ${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (-4)}$

${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ pocisk} = \ operatorname {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ pocisk}, {\ mathcal { O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O }}(4)[-3],{\mathcal {O}})}$

To jest kompleks

${\ Displaystyle [{\ mathcal {O}} (-4) {\ xrightarrow {\ zacznij {bmatrix} xy \ \ xz \ koniec {b macierzy}}} {\ mathcal {O}} (-2) \ oplus {\ mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmacierz}z&-y\end{bmacierz}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]}$

Zobacz też

• Verdier dualność

Uwagi

Bibliografia

• Greenlees, JPC; Maj, J. Peter (1992), „ Pochodne funktory I- adic uzupełnienia i lokalnej homologii”, Journal of Algebra , 149 (2): 438-453, doi : 10.1016/0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Pozostałości i dualność , Notatki z matematyki 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 20-48
• Neeman, Amnon (1996), „Twierdzenie o dwoistości Grothendiecka poprzez techniki Bousfielda i reprezentacyjność Browna”, Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205-236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), „Zmiana bazy dla skręconego odwrotnego obrazu spójnych snopów”, Geometria algebraiczna (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombaj, 1968) , Oxford University Press , s. 393- 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, Podejście algebraiczne do symbolu pozostałości Grothendiecka (PDF)