Podgrupa komutatorów - Commutator subgroup

W matematyce , a dokładniej w abstrakcyjnej Algebra The podgrupa komutatora lub podgrupy pochodzi z grupy, jest podgrupą generowane przez wszystkich komutatorów grupy.

Podgrupa komutatorów jest ważna, ponieważ jest to najmniejsza podgrupa normalna, tak że grupa ilorazowa oryginalnej grupy w tej podgrupie jest abelowa . Innymi słowy, jest abelowy wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podgrupę komutatora . Więc w pewnym sensie dostarcza miary tego, jak daleko grupa jest od bycia abelową; im większa jest podgrupa komutatorów, tym grupa jest „mniej abelowa”.

Komutatory

Dla elementów i grupy G The komutatora z i jest . Komutator jest równy elementowi tożsamości e wtedy i tylko wtedy , gdy , to znaczy wtedy i tylko wtedy, i dojeżdżać. Na ogół .

Jednak zapis jest nieco arbitralny i istnieje nie równoważna definicja wariantu dla komutatora, który ma odwrotności po prawej stronie równania: w którym to przypadku, ale zamiast tego .

Element G postaci dla niektórych g i h nazywany jest komutatorem. Element tożsamości e = [ e , e ] jest zawsze komutatorem i jest jedynym komutatorem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest abelem.

Oto kilka prostych, ale przydatnych tożsamości komutatorów, prawdziwych dla wszystkich elementów s , g , h grupy G :

  • gdzie (i, odpowiednio ) jest sprzężony z przez
  • dla każdego homomorfizmu ,

Tożsamość pierwsza i druga implikują, że zbiór komutatorów w G jest zamknięty podczas inwersji i koniugacji. Jeśli w trzecim tożsamości bierzemy H = G , otrzymujemy, że zbiór komutatorów jest stabilny pod każdym endomorfizm z G . Jest to w istocie uogólnieniem drugiej tożsamości, ponieważ możemy podjąć f być koniugacji automorfizmem na G , , aby uzyskać drugą tożsamość.

Jednak iloczyn dwóch lub więcej komutatorów nie musi być komutatorem. Ogólny przykład w [ , b ] [ c , d ] w wolną grupę o a , b , c , d . Wiadomo, że najmniejszy rząd skończonej grupy, dla której istnieją dwa komutatory, których iloczyn nie jest komutatorem, wynosi 96; w rzeczywistości istnieją dwie nieizomorficzne grupy rzędu 96 z tą własnością.

Definicja

Motywuje to do zdefiniowania podgrupy komutatorów (zwanej również podgrupą pochodną i oznaczonej lub ) G : jest to podgrupa generowana przez wszystkie komutatory.

Z właściwości komutatorów wynika, że ​​każdy element ma postać

jakiegoś liczby naturalnej , w którym g i i h i są elementy G . Ponadto, jako podgrupa komutatora normalnym G . Dla dowolnego homomorfizmu f : GH ,

,

więc to .

Pokazuje to, że podgrupę komutatorów można postrzegać jako funktor w kategorii grup , czego niektóre implikacje omówiono poniżej. Ponadto, biorąc pod G = H pokazuje, że podgrupy komutator jest stabilny pod każdym endomorfizm z G , to znaczy, [ G , G ], jest całkowicie charakterystyczny podgrupy z G , właściwość znacznie silniejsze od normalności.

Podgrupę komutatorów można również zdefiniować jako zbiór elementów g grupy, które mają wyrażenie jako iloczyn g = g 1 g 2 ... g k, który można przestawić w celu nadania tożsamości.

Seria pochodna

Ta konstrukcja może być iterowana:

Grupy nazywane są drugą pochodną podgrupą , trzecią pochodną podgrupą itd., A malejący szereg normalny

nazywana jest serią pochodną . Nie należy tego mylić z niższą serią centralną , której warunki są .

W przypadku grupy skończonej wyprowadzony szereg kończy się w doskonałej grupie , która może być trywialna lub nie. W przypadku grupy nieskończonej wyprowadzony szereg nie musi kończyć się na etapie skończonym i można go kontynuować do nieskończonych liczb porządkowych poprzez rekurencję pozaskończoną , uzyskując w ten sposób szereg pochodny pozaskończony , który ostatecznie kończy się w idealnym rdzeniu grupy.

Abelianizacja

Biorąc pod uwagę grupę , grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy .

Iloraz jest grupa przemienna zwany abelianization z lub wykonane abelowa . Zwykle jest oznaczony przez lub .

Istnieje przydatna kategoryczna interpretacja mapy . Mianowicie jest uniwersalna dla homomorfizmów od do grupa przemienna : dla każdej grupy Abelowych i homomorfizmu grup istnieje unikalna homomorfizm takie, że . Jak zwykle w przypadku obiektów definiowanych przez uniwersalne właściwości odwzorowania, pokazuje to wyjątkowość abelianizacji aż do izomorfizmu kanonicznego, podczas gdy konstrukcja jawna wskazuje na istnienie.

Funktor abelianizacji jest lewym sprzężeniem funktora włączającego z kategorii grup abelowych do kategorii grup. Istnienie funktora abelianizacji Grp Ab sprawia, że ​​kategoria Ab jest refleksyjną podkategorią kategorii grup, definiowaną jako pełna podkategoria, której funktor inkluzyjny ma lewy łącznik.

Innym ważnym interpretacja jest pierwsza grupa homologii z współczynnikach całkowitych.

Zajęcia grupowe

Grupa jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy grupa pochodna jest trywialna: [ G , G ] = { e }. Równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy grupa dorównuje jej abelianizacji. Zobacz powyżej definicję abelianizacji grupy.

Grupa jest idealny grupy , wtedy i tylko wtedy, gdy grupa pochodząca odpowiada sama grupa [ G , G ] = G . Równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy abelianizacja grupy jest trywialna. Jest to „przeciwieństwo” abeliana.

Grupa z pewnym n w N nazywana jest grupą możliwą do rozwiązania ; jest to słabsze niż abel, co ma miejsce w przypadku n = 1.

Grupa zawierająca wszystkie n w N nazywana jest grupą nierozwiązywalną .

Grupa z pewną liczbą porządkową , być może nieskończoną, nazywana jest grupą hipoabelian ; to jest słabsze niż rozwiązywalne, co jest przypadkiem, gdy α jest skończone (liczba naturalna).

Idealna grupa

Ilekroć grupa wyprowadziła podgrupę równą sobie, nazywa się to grupą doskonałą . Obejmuje to nieabelowskie proste grupy i specjalne grupy liniowe dla ustalonego pola .

Przykłady

Mapa z zewnątrz

Ponieważ pochodna podgrupa jest charakterystyczna , każdy automorfizm G wywołuje automorfizm abelianizacji. Ponieważ abelianizacja jest abelowa, automorfizmy wewnętrzne działają trywialnie, stąd daje to mapę

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Dummit i Foote (2004)
  2. ^ Lang (2002)
  3. ^ Suárez-Alvarez
  4. ^ Fraleigh (1976 , s. 108)
  5. ^ Suprunenko, DA (1976), grupy macierzy , tłumaczenia monografii matematycznych, American Mathematical Society , Twierdzenie II.9.4

Bibliografia

Linki zewnętrzne