Podgrupa komutatorów - Commutator subgroup
W matematyce , a dokładniej w abstrakcyjnej Algebra The podgrupa komutatora lub podgrupy pochodzi z grupy, jest podgrupą generowane przez wszystkich komutatorów grupy.
Podgrupa komutatorów jest ważna, ponieważ jest to najmniejsza podgrupa normalna, tak że grupa ilorazowa oryginalnej grupy w tej podgrupie jest abelowa . Innymi słowy, jest abelowy wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podgrupę komutatora . Więc w pewnym sensie dostarcza miary tego, jak daleko grupa jest od bycia abelową; im większa jest podgrupa komutatorów, tym grupa jest „mniej abelowa”.
Komutatory
Dla elementów i grupy G The komutatora z i jest . Komutator jest równy elementowi tożsamości e wtedy i tylko wtedy , gdy , to znaczy wtedy i tylko wtedy, i dojeżdżać. Na ogół .
Jednak zapis jest nieco arbitralny i istnieje nie równoważna definicja wariantu dla komutatora, który ma odwrotności po prawej stronie równania: w którym to przypadku, ale zamiast tego .
Element G postaci dla niektórych g i h nazywany jest komutatorem. Element tożsamości e = [ e , e ] jest zawsze komutatorem i jest jedynym komutatorem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest abelem.
Oto kilka prostych, ale przydatnych tożsamości komutatorów, prawdziwych dla wszystkich elementów s , g , h grupy G :
- gdzie (i, odpowiednio ) jest sprzężony z przez
- dla każdego homomorfizmu ,
Tożsamość pierwsza i druga implikują, że zbiór komutatorów w G jest zamknięty podczas inwersji i koniugacji. Jeśli w trzecim tożsamości bierzemy H = G , otrzymujemy, że zbiór komutatorów jest stabilny pod każdym endomorfizm z G . Jest to w istocie uogólnieniem drugiej tożsamości, ponieważ możemy podjąć f być koniugacji automorfizmem na G , , aby uzyskać drugą tożsamość.
Jednak iloczyn dwóch lub więcej komutatorów nie musi być komutatorem. Ogólny przykład w [ , b ] [ c , d ] w wolną grupę o a , b , c , d . Wiadomo, że najmniejszy rząd skończonej grupy, dla której istnieją dwa komutatory, których iloczyn nie jest komutatorem, wynosi 96; w rzeczywistości istnieją dwie nieizomorficzne grupy rzędu 96 z tą własnością.
Definicja
Motywuje to do zdefiniowania podgrupy komutatorów (zwanej również podgrupą pochodną i oznaczonej lub ) G : jest to podgrupa generowana przez wszystkie komutatory.
Z właściwości komutatorów wynika, że każdy element ma postać
jakiegoś liczby naturalnej , w którym g i i h i są elementy G . Ponadto, jako podgrupa komutatora normalnym G . Dla dowolnego homomorfizmu f : G → H ,
- ,
więc to .
Pokazuje to, że podgrupę komutatorów można postrzegać jako funktor w kategorii grup , czego niektóre implikacje omówiono poniżej. Ponadto, biorąc pod G = H pokazuje, że podgrupy komutator jest stabilny pod każdym endomorfizm z G , to znaczy, [ G , G ], jest całkowicie charakterystyczny podgrupy z G , właściwość znacznie silniejsze od normalności.
Podgrupę komutatorów można również zdefiniować jako zbiór elementów g grupy, które mają wyrażenie jako iloczyn g = g 1 g 2 ... g k, który można przestawić w celu nadania tożsamości.
Seria pochodna
Ta konstrukcja może być iterowana:
Grupy nazywane są drugą pochodną podgrupą , trzecią pochodną podgrupą itd., A malejący szereg normalny
nazywana jest serią pochodną . Nie należy tego mylić z niższą serią centralną , której warunki są .
W przypadku grupy skończonej wyprowadzony szereg kończy się w doskonałej grupie , która może być trywialna lub nie. W przypadku grupy nieskończonej wyprowadzony szereg nie musi kończyć się na etapie skończonym i można go kontynuować do nieskończonych liczb porządkowych poprzez rekurencję pozaskończoną , uzyskując w ten sposób szereg pochodny pozaskończony , który ostatecznie kończy się w idealnym rdzeniu grupy.
Abelianizacja
Biorąc pod uwagę grupę , grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy .
Iloraz jest grupa przemienna zwany abelianization z lub wykonane abelowa . Zwykle jest oznaczony przez lub .
Istnieje przydatna kategoryczna interpretacja mapy . Mianowicie jest uniwersalna dla homomorfizmów od do grupa przemienna : dla każdej grupy Abelowych i homomorfizmu grup istnieje unikalna homomorfizm takie, że . Jak zwykle w przypadku obiektów definiowanych przez uniwersalne właściwości odwzorowania, pokazuje to wyjątkowość abelianizacji aż do izomorfizmu kanonicznego, podczas gdy konstrukcja jawna wskazuje na istnienie.
Funktor abelianizacji jest lewym sprzężeniem funktora włączającego z kategorii grup abelowych do kategorii grup. Istnienie funktora abelianizacji Grp → Ab sprawia, że kategoria Ab jest refleksyjną podkategorią kategorii grup, definiowaną jako pełna podkategoria, której funktor inkluzyjny ma lewy łącznik.
Innym ważnym interpretacja jest pierwsza grupa homologii z współczynnikach całkowitych.
Zajęcia grupowe
Grupa jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy grupa pochodna jest trywialna: [ G , G ] = { e }. Równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy grupa dorównuje jej abelianizacji. Zobacz powyżej definicję abelianizacji grupy.
Grupa jest idealny grupy , wtedy i tylko wtedy, gdy grupa pochodząca odpowiada sama grupa [ G , G ] = G . Równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy abelianizacja grupy jest trywialna. Jest to „przeciwieństwo” abeliana.
Grupa z pewnym n w N nazywana jest grupą możliwą do rozwiązania ; jest to słabsze niż abel, co ma miejsce w przypadku n = 1.
Grupa zawierająca wszystkie n w N nazywana jest grupą nierozwiązywalną .
Grupa z pewną liczbą porządkową , być może nieskończoną, nazywana jest grupą hipoabelian ; to jest słabsze niż rozwiązywalne, co jest przypadkiem, gdy α jest skończone (liczba naturalna).
Idealna grupa
Ilekroć grupa wyprowadziła podgrupę równą sobie, nazywa się to grupą doskonałą . Obejmuje to nieabelowskie proste grupy i specjalne grupy liniowe dla ustalonego pola .
Przykłady
- Podgrupa komutatorów dowolnej grupy abelowej jest trywialna .
- Podgrupa komutatorów ogólnej grupy liniowej nad ciałem lub pierścieniem podziału k jest równa specjalnej grupie liniowej, pod warunkiem, że lub k nie jest polem z dwoma elementami .
- Podgrupa komutatorów naprzemiennej grupy A 4 to czwarta grupa Kleina .
- Podgrupa komutatora symetrycznej grupy S n jest naprzemienną grupą A n .
- Podgrupa komutatorów grupy kwaternionów Q = {1, −1, i , - i , j , - j , k , - k } to [ Q , Q ] = {1, −1}.
- Podgrupa komutatorów z grupy podstawowej π 1 ( X ) przestrzeni topologicznej X połączonej ścieżką jest jądrem naturalnego homomorfizmu na pierwszej osobliwej grupie homologii H 1 ( X ).
Mapa z zewnątrz
Ponieważ pochodna podgrupa jest charakterystyczna , każdy automorfizm G wywołuje automorfizm abelianizacji. Ponieważ abelianizacja jest abelowa, automorfizmy wewnętrzne działają trywialnie, stąd daje to mapę
Zobacz też
- Grupa do rozwiązania
- Grupa Nilpotent
- Abelianizacja H / H 'podgrupy H < G o skończonym indeksie ( G : H ) jest celem transferu Artina T ( G , H ).
Uwagi
- ^ Dummit i Foote (2004)
- ^ Lang (2002)
- ^ Suárez-Alvarez
- ^ Fraleigh (1976 , s. 108)
- ^ Suprunenko, DA (1976), grupy macierzy , tłumaczenia monografii matematycznych, American Mathematical Society , Twierdzenie II.9.4
Bibliografia
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (3rd ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , Springer , ISBN 0-387-95385-X
- Suárez-Alvarez Mariano. „Pochodne podgrupy i komutatory” .
Linki zewnętrzne
- „Commutator subgroup” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]