Wypukły jednolity plaster miodu - Convex uniform honeycomb

Przemian sześcienny o strukturze plastra miodu jest 28, wypełniającymi przestrzeń jednolitych teselacji euklidesowa w przestrzeni 3-wymiarowej, składający się z naprzemiennych żółtą tetraedrów i czerwony ośmiościanów .

W geometrii , A wypukły jednolity o strukturze plastra miodu jest jednolity tesselacji wypełniający trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z nienakładające wypukły jednolite wielościenne komórek.

Znanych jest dwadzieścia osiem takich plastrów miodu:

• znajomy sześcienny plaster miodu i 7 jego ścięć;
• przemian sześcienny o strukturze plastra miodu i jego skrócone 4;
• 10 form pryzmatycznych opartych na jednorodnej płytce płaskiej (11 jeśli zawiera sześcienny plaster miodu);
• 5 modyfikacji niektórych z powyższych przez wydłużenie i/lub wirowanie.

Można je uznać za trójwymiarowy odpowiednik jednolitych płytek samolotu .

Woronoja schemat żadnej kraty tworzy wypukły jednolitej strukturze plastra miodu, w którym komórki są zonohedra .

Historia

• 1900 : Thorold Gosset w swojej publikacji On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions w swojej publikacji On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions wyliczył półregularne politopy wypukłe z regularnymi komórkami ( stały platońskie ), w tym jeden regularny sześcienny plaster miodu i dwie formy półregularne z czworościanami i oktaedrami.
• 1905 : Alfredo Andreini wyliczył 25 z tych teselacji.
• 1991 : Rękopis Normana Johnsona Uniform Polytopes zidentyfikował listę 28.
• 1994 : Branko Grünbaum , w swoim artykule Uniform tilings of 3-space , również niezależnie wyliczył wszystkie 28, po odkryciu błędów w publikacji Andreiniego. Znalazł artykuł z 1905 roku, w którym wymieniono 25, zawierał 1 błędną, a 4 brakowało . Grünbaum stwierdza w tym artykule, że Norman Johnson zasługuje na pierwszeństwo osiągnięcia tego samego wyliczenia w 1991 roku. Wspomina również, że I. Aleksiejew z Rosji skontaktował się z nim w sprawie domniemanego wyliczenia tych form, ale Grünbaum nie był w stanie tego zweryfikować w tym czasie.
• 2006 : George Olshevsky, w swoim rękopisie Uniform Panoploid Tetracombs , wraz z powtórzeniem wyprowadzonej listy 11 wypukłych jednolitych płytek i 28 wypukłych jednolitych plastrów miodu, rozszerza dalszą opracowaną listę 143 wypukłych jednolitych tetracombs (plastry miodu jednolitych 4-politopów w 4- przestrzeń).

W tych wzorach pojawia się tylko 14 wypukłych jednolitych wielościanów:

• trzy z pięciu brył platońskich ,
• sześć z trzynastu brył Archimedesa , i
• pięć z nieskończonej rodziny pryzmatów .

Nazwy

Zestaw ten można nazwać plastrem miodu regularnym i półregularnym . Został nazwany plastrów Archimedesa przez analogię do wypukłych jednolitych (nieregularnych) wielościanów, powszechnie nazywanych bryłami Archimedesa . Ostatnio Conway zasugerował nazwanie zbioru teselacjami architektonicznymi, a podwójne plastry miodu teselacjami katatoprycznymi .

Poszczególne plastry miodu są wymienione z nazwami nadanymi im przez Normana Johnsona . (Niektóre z terminów użytych poniżej są zdefiniowane w Uniform 4-polytope#Geometric derivations for 46 nonprismatic Wythoffian uniform 4-polytopes )

Na odsyłaniu, są podane z indeksami listę z A ndreini (1-22), W. illiams (1-2,9-19), J ohnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49 , 51-52, 61-65), a G rünbaum (1-28). Coxeter używa δ ₄ dla sześciennego plastra miodu , hδ ₄ dla naprzemiennego sześciennego plastra miodu , qδ ₄ dla ćwiartki sześciennego plastra miodu , z indeksami dolnymi dla innych form opartych na wzorach pierścieniowych diagramu Coxetera.

Kompaktowe jednolite teselacje euklidesowe (według ich nieskończonych rodzin grup Coxetera)

Domeny podstawowe w elemencie sześciennym trzech grup.

Korespondencja rodzinna

Podstawowe nieskończone grupy Coxetera dla 3-przestrzeni to:

1. , [4,3,4], sześcienny${\displaystyle {\tylda {C}}_{3}}$ (8 unikalnych form plus jedna alternatywa)
2. [4,3 ^1,1 ] naprzemiennie sześcienny${\displaystyle {\tylda {B}}_{3}}$ (11 formularzy, 3 nowe)
3. Grupa cykliczna [(3,3,3,3)] lub [3 ^[4] ],${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$ (5 formularzy, jeden nowy)

Istnieje korespondencja między wszystkimi trzema rodzinami. Usuwanie jednego lustra z producentów i usuwanie jednego lustra z producentów . Pozwala to na wiele konstrukcji tych samych plastrów miodu. Jeśli komórki są pokolorowane na podstawie unikalnych pozycji w każdej konstrukcji Wythoffa, można wyświetlić te różne symetrie. ${\displaystyle {\tylda {C}}_{3}}$${\displaystyle {\tylda {B}}_{3}}$${\displaystyle {\tylda {B}}_{3}}$${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$

Ponadto istnieje 5 specjalnych plastrów miodu, które nie mają czystej symetrii odbiciowej i są zbudowane z form odbijających z operacjami wydłużania i wirowania .

Całkowita liczba unikalnych plastrów miodu powyżej to 18.

Pryzmatyczne stosy z nieskończonych grup Coxetera dla 3 przestrzeni to:

1. X [4,4,2, ∞] Grupa pryzmatyczny${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{2}}$${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$ (2 nowe formularze)
2. X [6,3,2, ∞] Grupa pryzmatyczny${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {2}}$${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$ (7 unikalnych form)
3. X [(3,3,3), 2, ∞] Grupa pryzmatyczny${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$ (Brak nowych formularzy)
4. X x [∞, 2, ∞, 2, ∞] pryzmatyczny grupę${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$(To wszystko staje się sześciennym plastrem miodu )

Ponadto istnieje jedna specjalna wydłużona forma trójkątnego pryzmatycznego plastra miodu.

Całkowita liczba unikalnych pryzmatycznych plastrów miodu powyżej (z wyłączeniem sześciennych liczonych wcześniej) wynosi 10.

Łącząc te liczby, 18 i 10 daje nam w sumie 28 jednolitych plastrów miodu.

Grupa C ^~ ₃ , [4,3,4] (sześcienna)

Regularny sześcienny plaster miodu, reprezentowany przez symbol Schläfli {4,3,4}, oferuje siedem unikalnych, wyprowadzonych jednolitych plastrów miodu poprzez operacje przycinania. (Jedna zbędna forma, runcynowany sześcienny plaster miodu , jest uwzględniona dla kompletności, chociaż jest identyczna z sześciennym plastrem miodu.) Symetria refleksyjna to afiniczna grupa Coxetera [4,3,4]. Istnieją cztery podgrupy indeksu 2, które generują alternatywy: [1 ⁺ ,4,3,4], [(4,3,4,2 ⁺ )], [4,3 ⁺ ,4] i [4,3,4 ] ⁺ , z dwoma pierwszymi wygenerowanymi powtarzającymi się formami, a ostatnie dwie są niejednorodne.

Plastry miodu C3
Grupa kosmiczna	Fibryfold	Rozszerzona symetria	Rozszerzony schemat	Zamówienie	Plastry miodu
Pm 3 m (221)	4 − :2	[4,3,4]		×1	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Fm 3 m (225)	2 − :2	[1 + ,4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	Połowa	7 , 11 , 12 , 13
I 4 3m (217)	4 o :2	[[(4,3,4,2 + )]]		Połowa × 2	(7) ,
Fd 3 m (227)	2 + :2	[[1 + ,4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	Ćwierć × 2	10 ,
Im 3 m (229)	8 o :2	[[4,3,4]]		×2	(1) , 8 , 9

[4,3,4], grupa przestrzenna Pm 3 m (221)

Indeksy Referencyjne	Nazwa plastra miodu Schemat Coxetera i symbol Schläfli	Liczba komórek/wierzchołki i pozycje w sześciennym plastrze miodu						Ramki (Perspektywa)	Figura wierzchołka	Podwójna komórka
		(0)	(1)	(2)	(3)	Alt	Bryły (Częściowe)
J 11,15 A 1 W 1 G 22 δ 4	sześcienny (chon) t 0 {4,3,4} {4,3,4}				(8) (4.4.4)				oktaedr	kostka ,
J 12,32 A 15 W 14 G 7 O 1	rektyfikowany sześcienny (bogaty) t 1 {4,3,4} r{4,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.4.3.4)				prostopadłościan	Kwadratowa bipiramida
J 13 A 14 W 15 G 8 t 1 δ 4 O 15	obcięty sześcienny (tich) t 0,1 {4,3,4} t{4,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.8.8)				kwadratowa Piramida	Kwadratowa piramida równoramienna
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 14	kantelowy sześcienny (srich) t 0,2 {4,3,4} rr{4,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.4.4)				skośny trójkątny pryzmat	Trójkątna bipiramida
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 17	kantitruncated sześcienny (grich) t 0,1,2 {4,3,4} s {4,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.8)				nieregularny czworościan	Trójkątna piramida
J 18 A 19 W 19 G 20 t 0,1,3 δ 4 O 19	runcitruncated sześcienny (prich) t 0,1,3 {4,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.8)	(1) (3.8.8)				ukośna piramida trapezowa	Kwadratowa piramida ćwiartkowa
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	przemienny sześcienny (oktet) godz.{4,3,4}				(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			sześcian sześcienny	Dodekaedryla
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	Kantyk sześcienny (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)				prostokątna piramida	Półspłaszczony oktaedyl
J 23 16 W 11 G 5 H 3 δ 4 O 26	Runcic sześcienny (Ratoh) ↔	(1) kostka		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)				stożkowy trójkątny pryzmat	Ćwiartka sześcianu
J 24 A 20 W 16 G 21 h 2,3 δ 4 O 28	Runcicantic sześcienny (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)				Czworościan nieregularny	Połowa piramidy
Niejednorodne b	zadarty rektyfikowany sześcienny sr{4,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)		(2) (3.3.3.3.4)	(4) (3.3.3)			Irr. trójdrobny dwudziestościan
Niejednolity	Trirektyfikowany bisnub sześcienny 2s 0 {4,3,4}	(3.3.3.3.3)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.4.4.4)
Niejednolity	Runcic cantitruncated sześcienny sr 3 {4,3,4}	(3.4.4.4)	(4.4.4)	(4.4.4)	(3.3.3.3.4)

[[4,3,4]] plastry miodu, grupa przestrzenna Im 3 m (229)

Indeksy Referencyjne	Schemat Coxetera o strukturze plastra miodu i symbol Schläfli	Liczba komórek/wierzchołki i pozycje w sześciennym plastrze miodu			Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	Figura wierzchołka	Podwójna komórka
		(0,3)	(1,2)	Alt
J 11,15 1 W 1 G 22 δ 4 O 1	runcinated sześcienny (taki sam jak zwykły sześcienny ) (chon) t 0,3 {4,3,4}	(2) (4.4.4)	(6) (4.4.4)				oktaedr	Sześcian
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	bitruncated sześcienny (partia) t 1,2 {4,3,4} 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)					( disfenoid )	Oblacki czworościan
J 19 A 22 W 18 G 27 t 0,1,2,3 δ 4 O 20	omnitrowany sześcienny (otch) t 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.8)				nieregularny czworościan	Ósma piramida
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 27	Kwadratowy sześcienny plaster miodu ht 0 ht 3 {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)				wydłużony trójkątny antypryzmat	Oblat kubille
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Naprzemiennie runcynowany sześcienny (taki sam jak naprzemienny sześcienny) ht 0,3 {4,3,4}	(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			sześcian sześcienny
Niejednolity	2s 0,3 {(4,2,4,3)}
Niejednorodne a	Naprzemienne bitruncated sześcienne h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)		(4) (3.3.3)
Niejednolity	2s 0,3 {4,3,4}
Niejednorodne c	Naprzemienne omnitruncated sześcienne ht 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.4)	(4) (3.3.3)

B ^~ ₃ , [4,3 ^1,1 ] grupa

Grupa , [4,3] oferuje 11 form pochodnych poprzez operacje obcinania, z których cztery są unikalnymi jednolitymi plastrami miodu. Istnieją 3 podgrupy indeksu 2, które generują alternatywy: [1 ⁺ ,4,3 ^1,1 ], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] i [4,3 ^1,1 ] ⁺ . Pierwszy generuje powtarzający się plaster miodu, a dwa ostatnie są niejednorodne, ale włączone dla kompletności. ${\displaystyle {\tylda {B}}_{3}}$

Plastry miodu z tej grupy nazywane są naprzemiennymi sześciennymi, ponieważ pierwsza forma może być postrzegana jako sześcienny plaster miodu z usuniętymi naprzemiennymi wierzchołkami, redukując komórki sześcienne do czworościanów i tworząc komórki ośmiościanu w szczelinach.

Węzły są indeksowane od lewej do prawej jako 0,1,0',3, przy czym 0' jest poniżej i jest wymienne z 0 . Podane alternatywne nazwy sześcienne są oparte na tej kolejności.

Plastry miodu B3
Grupa kosmiczna	Fibryfold	Rozszerzona symetria	Rozszerzony schemat	Zamówienie	Plastry miodu
Fm 3 m (225)	2 − :2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	×1	1 , 2 , 3 , 4
Fm 3 m (225)	2 − :2	<[1 + ,4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	×2	(1) , (3)
Pm 3 m (221)	4 − :2	<[4,3 1,1 ]>		×2	5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11

[4,3 ^1,1 ] jednolite plastry miodu, grupa przestrzenna Fm 3 m (225)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)				Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		(0)	(1)	(0')	(3)
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Naprzemienny sześcienny (oktet) ↔			(6) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)			sześcian sześcienny
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	Kantyk sześcienny (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)			prostokątna piramida
J 23 16 W 11 G 5 H 3 δ 4 O 26	Runcic sześcienny (Ratoh) ↔	(1) kostka		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)			stożkowy trójkątny pryzmat
J 24 A 20 W 16 G 21 h 2,3 δ 4 O 28	Runcicantic sześcienny (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)			Czworościan nieregularny

<[4,3 ^1,1 ]> jednolite plastry miodu, grupa przestrzenna Pm 3 m (221)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu ↔	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)				Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		(0,0')	(1)	(3)	Alt
J 11,15 1 W 1 G 22 δ 4 O 1	Sześcienny (chon) ↔	(8) (4.4.4)						oktaedr
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 15	rektyfikowany sześcienny (bogaty) ↔	(4) (3.4.3.4)		(2) (3.3.3.3)				prostopadłościan
	rektyfikowany sześcienny (bogaty) ↔	(2) (3.3.3.3)		(4) (3.4.3.4)				prostopadłościan
J 13 A 14 W 15 G 8 t 0,1 δ 4 O 14	Obcięty sześcienny (tich) ↔	(4) (3.8.8)		(1) (3.3.3.3)				kwadratowa Piramida
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 17	Kantelowany sześcienny (srich) ↔	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)				skośny trójkątny pryzmat
J 16 A 3 W 2 G 28 t 0,2 δ 4 O 16	Bitruncated sześcienny (partia) ↔	(2) (4.6.6)		(2) (4.6.6)				czworościan równoramienny
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 18	Cantitruncated sześcienny (grich) ↔	(2) (4.6.8)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)				nieregularny czworościan
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	Naprzemienny sześcienny (oktet) ↔	(8) (3.3.3)			(6) (3.3.3.3)			sześcian sześcienny
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	Kantyk sześcienny (tatoh) ↔	(2) (3.6.6)		(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			prostokątna piramida
Niejednorodne a	Naprzemienne bitruncated sześcienne ↔	(2) (3.3.3.3.3)		(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)
Niejednorodne b	Naprzemienne cantitruncated sześcienne ↔	(2) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)			Irr. trójdrobny dwudziestościan

A ^~ ₃ , [3 ^[4] ] grupa

Istnieje 5 form zbudowanych z grupy Coxetera [3 ^[4] ] , z których unikalny jest tylko ćwierć sześcienny plastra miodu . Istnieje jedna podgrupa indeksu 2 [3 ^[4] ] ^+, która generuje formularz alokacji, który nie jest jednolity, ale uwzględniony dla kompletności. ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$

Plastry miodu A3
Grupa kosmiczna	Fibryfold	Symetria kwadratowa	Rozszerzona symetria	Rozszerzony schemat	Rozszerzona grupa	Schematy plastra miodu
F 4 3m (216)	1 O 2	a1	[3 [4] ]		${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$	(Nic)
Fm 3 m (225)	2 − :2	d2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$X 2 1 ↔${\displaystyle {\tylda {B}}_{3}}$	1 , 2
Fd 3 m (227)	2 + :2	g2	[[3 [4] ]] lub [2 + [3 [4] ]]	↔	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$×2 2	3
Pm 3 m (221)	4 − :2	d4	<2[3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$X 4 1 ↔${\displaystyle {\tylda {C}}_{3}}$	4
I 3 (204)	8 −o	r8	[4[3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + ,4]]	↔	½ ×8 ↔ ½ ×2 ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$ ${\displaystyle {\tylda {C}}_{3}}$	(*)
Im 3 m (229)	8 o :2		[4[3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$×8 ↔ ×2 ${\displaystyle {\tylda {C}}_{3}}$	5

[[3 ^[4] ]] jednolite plastry miodu, grupa przestrzenna Fd 3 m (227)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)		Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		(0,1)	(2,3)
J 25,33 A 13 W 10 G 6 qδ 4 O 27	ćwiartka sześcienna (batatoh) ↔ q{4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)			trójkątny antypryzmat

<[3 ^[4] ]> ↔ [4,3 ^1,1 ] jednorodne plastry miodu, grupa przestrzenna Fm 3 m (225)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu ↔	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)			Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		0	(1,3)	2
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 O 21	przemienny sześcienny (oktet) ↔ ↔ godz.{4,3,4}		(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			sześcian sześcienny
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	kantyczny sześcienny (tatoh) ↔ ↔ h 2 {4,3,4}	(2) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			Piramida prostokątna

[2[3 ^[4] ]] ↔ [4,3,4] jednolite plastry miodu, grupa przestrzenna Pm 3 m (221)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu ↔	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)		Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		(0,2)	(1,3)
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 1	rektyfikowany sześcienny (bogaty) ↔ ↔ ↔ r{4,3,4}	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.3.3.3)			prostopadłościan

[4[3 ^[4] ]] ↔ [[4,3,4]] jednorodne plastry miodu, grupa przestrzenna Im 3 m (229)

Indeksy odniesienia	Schematy Coxetera o strukturze plastra miodu ↔ ↔	Komórki według lokalizacji (i policz wokół każdego wierzchołka)		Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
		(0,1,2,3)	Alt
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	bitruncated sześcienny (partia) ↔ ↔ 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)				czworościan równoramienny
Niejednorodne a	Naprzemienne cantitruncated sześcienne ↔ ↔ h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)

Formy nonwythoffian (wirowane i wydłużone)

Trzy bardziej jednorodne plastry miodu są generowane przez łamanie jednego lub drugiego z powyższych plastrów miodu, gdzie jego powierzchnie tworzą ciągłą płaszczyznę, a następnie obracanie naprzemiennych warstw o ​​60 lub 90 stopni ( wirowanie ) i/lub wstawianie warstwy pryzmatów ( wydłużenie ).

Wydłużone i żyro-przedłużone naprzemienne płytki sześcienne mają tę samą figurę wierzchołka, ale nie są podobne. W wydłużonej formie każdy graniastosłup spotyka się na jednym trójkątnym końcu z czworościanem, a na drugim z ośmiościanem. W formie żyro - wydłużonej pryzmaty stykające się z czworościanami na obu końcach występują na przemian z pryzmatami, które stykają się z ośmiościanami na obu końcach.

Trójkątne płytki pryzmatyczne o wydłużonym żyroskopie mają taką samą figurę wierzchołka, jak jedno ze zwykłych płytek pryzmatycznych; te dwa mogą być wyprowadzone odpowiednio z żyrowanych i gładkich trójkątnych płytek pryzmatycznych, poprzez włożenie warstw sześcianów.

Indeksy odniesienia	symbol	Nazwa plastra miodu	typy komórek (# na każdym wierzchołku)	Bryły (Częściowe)	Ramki (Perspektywa)	figura wierzchołkowa
J 52 A 2' G 2 O 22	h{4,3,4}:g	gyrated naprzemienny sześcienny (gytoh)	czworościan (8) ośmiościan (6)			trójkątna ortobikopola
J 61 A ? G 3 O 24	h{4,3,4}:ge	żyroelonged naprzemienny sześcienny (gyetoh)	graniastosłup trójkątny (6) czworościan (4) ośmiościan (3)
J 62 A ? G 4 O 23	h{4,3,4}:e	wydłużony naprzemienny sześcienny (etoh)	graniastosłup trójkątny (6) czworościan (4) ośmiościan (3)
J 63 A ? G 12 O 12	{3,6}:g × {∞}	żyrowany trójkątny pryzmatyczny (gytof)	pryzmat trójkątny (12)
J 64 A ? G 15 O 13	{3,6}:ge × {∞}	żyroskopowy trójkątny graniastosłupowy (gyetaf)	graniastosłup trójkątny (6) kostka (4)

Stosy pryzmatyczne

Jedenaście płytek pryzmatycznych uzyskuje się układając jedenaście jednolitych płytek płaskich , pokazanych poniżej, w równoległych warstwach. (Jeden z tych plastrów miodu to sześcienny, pokazany powyżej). Figura wierzchołkowa każdego z nich to nieregularna bipiramida, której ściany są trójkątami równoramiennymi .

C ^~ ₂ ×I ^~ ₁ (∞), [4,4,2,∞], grupa pryzmatyczna

Istnieją tylko 3 unikalne plastry miodu z kwadratowych płytek, ale wszystkie 6 przycięć płytek są wymienione poniżej dla kompletności, a obrazy płytek są pokazane w kolorach odpowiadających każdej formie.

Indeksy	Symbole Coxetera-Dynkina i Schläfli	Nazwa plastra miodu	Układanie płytek w samolocie	Bryły (Częściowe)	Dekarstwo
J 11,15 A 1 G 22	{4,4}×{∞}	Sześcienny (prostokątny pryzmatyczny) (chon)	(4.4.4.4)
	r{4,4}×{∞}
	rr{4,4}×{∞}
J 45 A 6 G 24	t{4,4}×{∞}	Ścięty/Btruncated kwadratowy pryzmatyczny (tassiph)	(4.8.8)
	tr{4,4}×{∞}
J 44 A 11 G 14	sr{4,4}×{∞}	Snub kwadratowy pryzmatyczny (sassif)	(3.3.4.3.4)
Niejednolity	ht 0,1,2,3 {4,4,2,∞}

Grupa pryzmatyczna G ^~ ₂ xI ^~ ₁ (∞), [6,3,2,∞]

Indeksy	Symbole Coxetera-Dynkina i Schläfli	Nazwa plastra miodu	Układanie płytek w samolocie	Bryły (Częściowe)	Dekarstwo
J 41 A 4 G 11	{3,6} × {∞}	Trójkątny pryzmatyczny (końcówka)	(3 6 )
J 42 A 5 G 26	{6,3} × {∞}	Heksagonalny pryzmatyczny (biodro)	(6 3 )
	t{3,6} × {∞}
J 43 A 8 G 18	r{6,3} × {∞}	Triheksagonalny pryzmatyczny (cifa)	(3.6.3.6)
J 46 A 7 G 19	t{6,3} × {∞}	Ścięty sześciokątny pryzmatyczny (thaph)	(3.12.12)
J 47 A 9 G 16	rr{6,3} × {∞}	Graniastosłup rombowo-trójheksagonalny (Rothaph)	(3.4.6.4)
J 48 A 12 G 17	sr{6,3} × {∞}	Snub sześciokątny pryzmatyczny (snathaph)	(3.3.3.3.6)
J 49 A 10 G 23	tr{6,3} × {∞}	ścięty trójkątny graniastosłupowy (otathaph)	(4.6.12)
J 65 A 11' G 13	{3,6}:e × {∞}	wydłużony trójkątny pryzmatyczny (etof)	(3.3.3.4.4)
J 52 A 2' G 2	h3t{3,6,2,∞}	wirowany czworościenno-oktaedryczny (gytoh)	(3 6 )
	s2r{3,6,2,∞}
Niejednolity	ht 0,1,2,3 {3,6,2,∞}

Wyliczenie form Wythoff

Wszystkie niepryzmatyczne konstrukcje Wythoffa grup Coxetera są podane poniżej wraz z ich alternatywami . Jednolite rozwiązania są indeksowane w wykazie Branko Grünbauma . Zielone tła są pokazane na powtarzających się plastrach miodu, a relacje są wyrażone na diagramach rozszerzonej symetrii.

Grupa Coxetera	Rozszerzona symetria	Plastry miodu		Chiralna rozszerzona symetria	Naprzemienne plastry miodu
[4,3,4]	[4,3,4]	6	22 |7 |8 9 |25 |20	[1 + ,4,3 + ,4,1 + ]	(2)	1 |b
	[2 + [4,3,4]] =	(1)	22	[2 + [(4,3 + ,4,2 + )]]	(1)	1 |6
	[2 + [4,3,4]]	1	28	[2 + [(4,3 + ,4,2 + )]]	(1)	a
	[2 + [4,3,4]]	2	27	[2 + [4,3,4]] +	(1)	C
[4,3 1,1 ]	[4,3 1,1 ]	4	1 |7 |10 |28
	[1[4,3 1,1 ]]=[4,3,4] =	(7)	22 |7 |22 |7 |9 |28 |25	[1[1 + ,4,3 1,1 ]] +	(2)	1 |6 |a
				[1[4,3 1,1 ]] + =[4,3,4] +	(1)	b
[3 [4] ]	[3 [4] ]	(Żaden)
	[2 + [3 [4] ]]	1	6
	[1[3 [4] ]]=[4,3 1,1 ] =	(2)	1 |10
	[2[3 [4] ]]=[4,3,4] =	(1)	7
	[(2 + ,4)[3 [4] ]]=[2 + [4,3,4]] =	(1)	28	[(2 + ,4)[3 [4] ]] + = [2 + [4,3,4]] +	(1)	a

Przykłady

Wszystkie 28 z tych teselacji znajduje się w układach kryształów .

Przemian sześcienny plastra miodu ma szczególne znaczenie, ponieważ jego wierzchołki tworzą regularną zbliżenie upakowanie kul. Wypełniająca przestrzeń kratownica upakowanych ośmiościanów i czworościanów została najwyraźniej po raz pierwszy odkryta przez Alexandra Grahama Bella i niezależnie odkryta ponownie przez Buckminstera Fullera (który nazwał ją kratownicą oktetową i opatentował ją w latach 40. XX wieku). [3] [4] [5] [6] . Kratownice oktetowe są obecnie jednymi z najpopularniejszych rodzajów kratownic stosowanych w budownictwie.

Formy fryzowe

Jeśli komórki mogą być jednolitymi płytkami , można zdefiniować bardziej jednolite plastry miodu:

Rodziny:

• ${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{2}}$x : [4,4,2]${\displaystyle A_{1}}$ Plastry miodu z płyty sześciennej (3 formy)
• ${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$x : [6,3,2]${\displaystyle A_{1}}$ Plastry miodu tri-heksagonalne (8 form)
• ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$x : [(3,3,3),2]${\displaystyle A_{1}}$ Trójkątne plastry miodu (Brak nowych form)
• ${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$x x : [∞,2,2]${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$ = Plastry miodu z kolumną sześcienną (1 forma)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$x : [p,2,∞]${\displaystyle {\tylda {ja}}_{1}}$ Wielokątne kolumny o strukturze plastra miodu
• ${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{2}}$x x : [∞,2,∞,2] = [4,4,2] -${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{2}}$${\displaystyle A_{1}}$ = (Tak samo jak rodzina sześciennych płyt o strukturze plastra miodu)

Przykłady (częściowo narysowane)

Płyta sześcienna o strukturze plastra miodu	Naprzemienny sześciokątny plaster miodu	Trihexagonalna płyta o strukturze plastra miodu
(4) 4 3 : kostka (1) 4 4 : kwadratowe kafelki	(4) 3 3 : czworościan (3) 3 4 : ośmiościan (1) 3 6 : dachówka trójkątna	(2) 3.4.4: graniastosłup trójkątny (2) 4.4.6: graniastosłup sześciokątny (1) (3.6) 2 : kafelki triheksagonalne

Łuskowaty plaster miodu

Scaliform plastra miodu jest wierzchołek-przechodnia , jak jednolitej strukturze plastra miodu , z regularnego wielokąta stoi natomiast komórki i większe elementy są tylko muszą być orbiforms , równobocznego, a ich wierzchołki leżące na hyperspheres. W przypadku plastrów miodu 3D umożliwia to podzbiór brył Johnsona wraz z jednolitymi wielościanami. Niektóre łuskowate mogą być generowane w procesie naprzemiennym, pozostawiając na przykład luki w piramidach i kopułach .

łuskowate euklidesowe o strukturze plastra miodu

Płyty fryzowe			Stosy pryzmatyczne
s 3 {2,6,3},	s 3 {2,4,4},	s{2,4,4},	3s 4 {4,4,2,∞},
(1) 3.4.3.4: trójkątna kopuła (2) 3.4.6: trójkątna kopuła (1) 3.3.3.3: ośmiościan (1) 3.6.3.6: dachówka trójheksagonalna	(1) 3.4.4.4: kwadratowa kopuła (2) 3.4.8: kwadratowa kopuła (1) 3.3.3: czworościan (1) 4.8.8: obcięte kwadratowe płytki	(1) 3.3.3.3: ostrosłup kwadratowy (4) 3.3.4: ostrosłup kwadratowy (4) 3.3.3: czworościan (1) 4.4.4.4: płytki kwadratowe	(1) 3.3.3.3: ostrosłup kwadratowy (4) 3.3.4: ostrosłup kwadratowy (4) 3.3.3: czworościan (4) 4.4.4: sześcian

Formy hiperboliczne

Zamówień 4 dodecahedral plastra miodu {5,3,4} w perspektywie

Parazwartą sześciokątny płytki o strukturze plastra miodu , {6,3,3} w perspektywie

Istnieje 9 rodzin grup Coxetera zwartych jednorodnych plastrów miodu w hiperbolicznej 3-przestrzeni , generowanych jako konstrukcje Wythoffa i reprezentowanych przez permutacje pierścieniowe diagramów Coxetera-Dynkina dla każdej rodziny.

Z tych 9 rodzin wygenerowano łącznie 76 unikalnych plastrów miodu:

• [3,5,3] : - 9 form
• [5,3,4] : - 15 formularzy
• [5,3,5] : - 9 form
• [5,3 ^1,1 ] : - 11 form (7 pokrywają się z rodziną [5,3,4], 4 są unikalne)
• [(4,3,3,3)] : - 9 form
• [(4,3,4,3)] : - 6 form
• [(5,3,3,3)] : - 9 form
• [(5,3,4,3)] : - 9 form
• [(5,3,5,3)] : - 6 form

Pełna lista hiperbolicznych jednolitych plastrów miodu nie została udowodniona i istnieje nieznana liczba form nie-Wythoffian . Jednym znanym przykładem jest rodzina {3,5,3}.

Parakompaktowe formy hiperboliczne

Istnieją również 23 parakompaktowe grupy Coxetera o randze 4. Te rodziny mogą wytwarzać jednolite plastry miodu z nieograniczonymi fasetami lub figurą wierzchołka, w tym idealne wierzchołki w nieskończoności:

Simplectic hiperboliczne podsumowanie grupy parakompaktowej

Rodzaj	Grupy Coxetera	Unikalna liczba plastrów miodu
Wykresy liniowe	| | | | | |	4×15+6+8+8 = 82
Wykresy trójzębowe	| |	4+4+0 = 8
Wykresy cykliczne	| | | | | | | |	4×9+5+1+4+1+0 = 47
Wykresy pętli i ogona	| | |	4+4+4+2 = 14

Bibliografia

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Symetrie rzeczy , ISBN  978-1-56881-220-5 (Rozdział 21, Nazywanie wielościanów Archimedesa i Katalońskiego oraz kafelki, teselacje architektoniczne i katoptryczne, s. 292-298, obejmuje wszystkie formy niepryzmatyczne)
• Branko Grünbaum , (1994) Jednolite kafelki 3-przestrzenne. Geombinatoryka 4, 49 - 56.
• Norman Johnson (1991) Uniform Polytopes , Rękopis
• Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy struktury naturalnej: księga źródłowa projektu . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Rozdział 5: Pakowanie wielościanów i wypełnianie przestrzeni)
• Critchlow, Keith (1970). Porządek w kosmosie: książka źródłowa o projektowaniu . Prasa Wikingów. Numer ISBN 0-500-34033-1.
• Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [7]
  • ( Praca 22) HSM Coxeter, Regular i Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 jednolite wypełnienia przestrzeni)
• A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (O regularnych i półregularnych sieciach wielościanów i odpowiadających im sieciach korelacyjnych), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75-129. PDF [8]
• DMY Sommerville , (1930) Wprowadzenie do geometrii n wymiarów. Nowy Jork, EP Dutton, . 196 s. (Dover Publications edition, 1958) Rozdział X: Regularne Polytopes
• Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7. Rozdział 5. Łączenie wielościanów
• Krystalografia kwazikryształów: koncepcje, metody i struktury Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), s. 54-55. 12 opakowań po 2 lub więcej jednolitych wielościanów o symetrii sześciennej

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Plaster miodu” . MatematykaŚwiat .
• Jednolite plastry miodu w 3-przestrzennych modelach VRML
• Elementary Honeycombs Vertex wypełniająca przestrzeń przejściową plastry miodu z niejednorodnymi komórkami.
• Jednolite przegrody 3-przestrzenne, ich pokrewieństwa i osadzenie , 1999
• Jednolite wielościany
• Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów
• oktetowa animacja kratownicy
• Recenzja: AF Wells, Trójwymiarowe sieci i wielościany, HSM Coxeter (Źródło: Bull. Amer. Math. Soc. Volume 84, Number 3 (1978), 466-470.)
• Klitzing, Richard. "Teselacje euklidesowe 3D" .
• (sekwencja A242941 w OEIS )

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastry miodu o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E 2	Jednolite kafelki	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sześciokątny
E 3	Jednolity wypukły plaster miodu	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Jednolity 4-plaster miodu	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-komórkowy plaster miodu
E 5	Jednolity 5-plaster miodu	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Jednolity 6-plaster miodu	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Jednolite 7-plaster miodu	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Jednolite 8-plaster miodu	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Jednolite 9-plaster miodu	{3 [10] }	δ 10	godz. 10	qδ 10
E 10	Jednolite 10-plaster miodu	{3 [11] }	δ 11	godz. 11	qδ 11
P n -1	Jednolity ( n -1)- plaster miodu	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21