Wiązka Cotangens - Cotangent bundle

W matematyce , zwłaszcza geometrii różniczkowej The wiązka cotangent z gładkiej rury rozgałęźnej jest wiązka wektor wszystkich przestrzeniach cotangent w każdym miejscu w rurze. Można ją też opisać jako wiązkę podwójną do wiązki stycznej . Można to uogólnić na kategorie o większej strukturze niż rozmaitości gładkie, takie jak rozmaitości zespolone lub (w postaci snopa kostycznego ) rozmaitości lub schematy algebraiczne . W przypadku gładkim każda metryka lub forma symplektyczna Riemanna daje izomorfizm między wiązką kostyczną i wiązką styczną, ale ogólnie nie są one izomorficzne w innych kategoriach.

Formalna definicja

Niech K być gładkie kolektor i pozwolić M x M jest iloczyn z M ze sobą. Przekątnej mapowania Δ wysyła punkt p w M do punktu ( P , p ), z M x M . Obraz Δ nazywa się przekątną. Pozwolić być snop od zarazków z funkcji gładkich na M x M , które znikają po przekątnej. Wtedy snop ilorazu składa się z klas równoważności funkcji, które znikają na przekątnej modulo wyrazów wyższego rzędu. Cotangent wiązka jest zdefiniowana jako pullback tej wiązce do M : ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {ja}} / {\ mathcal {ja}} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ Gamma T ^ {*} M = \ Delta ^ {*} \ lewo ({\ mathcal {ja}} / {\ mathcal {ja}} ^ {2} \ prawej).}$

Według twierdzenia Taylora jest to lokalnie swobodny snop modułów względem snopa zarodków gładkich funkcji M . W ten sposób definiuje wiązkę wektorową na M : wiązkę kostyczną .

Gładkie odcinki wiązki kostycznej nazywane są (różnicowymi) jedynkami .

Właściwości kontrawariancji

Gładki morfizm rozmaitości indukuje snop wycofywania na M . Istnieje indukowana mapa wiązek wektorowych . ${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek M \ do N}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {*} T ^ {*} N}$${\ Displaystyle \ phi ^ {*} (T ^ {*} N) \ do T ^ {*} M}$

Przykłady

Wiązka styczna przestrzeni wektorowej to , a wiązka kostyczna to , gdzie oznacza podwójną przestrzeń kowektorów, funkcje liniowe . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T \ \ mathbb {R} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n} \ razy (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}$${\ Displaystyle v ^ {*}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$

Mając gładką rozmaitość osadzoną jako hiperpowierzchnię reprezentowaną przez znikające miejsce funkcji z warunkiem, że wiązka styczna jest ${\ Displaystyle M \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ nabla f \ neq 0,}$

${\ Displaystyle TM = \ {(x, v) \ w T \ \ mathbb {R} ^ {n} \ : \ f (x) = 0 \ \ df_ {x} (v) = 0 \} ,}$

gdzie jest pochodną kierunkową . Z definicji wiązka cotangensa w tym przypadku to ${\ Displaystyle df_ {x} \ w T_ {x} ^ {*} M}$ ${\ Displaystyle df_ {x} (v) = \ nabla \! f (x) \ cdot v}$

${\ Displaystyle T ^ {*} M = {\ bigl \ {} (x, v ^ {*}) \ w T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} \ : \ f (x) = 0 ,\ v^{*}\w T_{x}^{*}M{\bigr \}},}$

gdzie Ponieważ każdy kowektor odpowiada unikalnemu wektorowi, dla którego dla dowolnego${\ Displaystyle T_ {x} ^ {*} M = \ {v \ w T_ {x} \ mathbb {R} ^ {n} \: \ df_ {x} (v) = 0 \} ^ {*}. }$${\ Displaystyle v ^ {*} \ w T_ {x} ^ {*} M}$${\ Displaystyle v \ w T_ {x} M}$${\ Displaystyle v ^ {*} (u) = v \ cdot u}$${\ Displaystyle u \ w T_ {x} M}$

${\ Displaystyle T ^ {*} M = {\ bigl \ {} (x, v ^ {*}) \ w T ^ {*} \ mathbb {R} ^ {n} \ : \ f (x) = 0 ,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.}$

Wiązka cotangensa jako przestrzeń fazowa

Ponieważ wiązka kostyczna X = T * M jest wiązką wektorową , można ją uznać za rozmaitość samą w sobie. Ponieważ w każdym punkcie kierunki styczne M mogą być sparowane z ich podwójnymi kowektorami we włóknie, X posiada kanoniczną jednopostacię θ zwaną jednopostacią tautologiczną , omówioną poniżej. Zewnątrz pochodną z θ jest symplektycznych 2-form , z których nie-zdegenerowany postać objętość może być zbudowany X . Na przykład, w rezultacie X jest zawsze orientowalną rozmaitością (wiązka styczna TX jest orientowalną wiązką wektorów). Na wiązce cotangens można zdefiniować specjalny zestaw współrzędnych ; są to tak zwane współrzędne kanoniczne . Ponieważ wiązki kostyczne można traktować jako rozmaitości symplektyczne , każda funkcja rzeczywista na wiązce kostycznej może być interpretowana jako hamiltonian ; zatem wiązkę kostyczną można rozumieć jako przestrzeń fazową, na której rozgrywa się mechanika hamiltonowska .

Tautologiczna jedna forma

Wiązka kostyczna niesie kanoniczną jedną formę θ znaną również jako potencjał symplektyczny , forma Poincaré 1 lub forma Liouville 1 . Oznacza to, że jeśli uznamy T * M za rozmaitość samą w sobie, istnieje kanoniczny przekrój wiązki wektorowej T *( T * M ) nad T * M .

Sekcja ta może być skonstruowana na kilka sposobów. Najbardziej elementarna metoda wykorzystuje współrzędne lokalne. Załóżmy, że x ⁱ są lokalnymi współrzędnymi na podstawowej rozmaitości M . Jeśli chodzi o te współrzędne podstawowe, istnieją współrzędne włókien p _i : jedna forma w określonym punkcie T * M ma postać p _i  dx ⁱ ( implikuje konwencję sumowania Einsteina ). Tak więc sama rozmaitość T * M przenosi lokalne współrzędne ( x ⁱ , p _i ), gdzie x to współrzędne podstawy, a p to współrzędne we włóknie. Jednoforma kanoniczna jest podana we współrzędnych przez

${\ Displaystyle \ theta _ {(x, p)} = \ suma _ {{\ mathfrak {i}} = 1} ^ {n} p_ {i} \, dx ^ {i}}.$

Wewnętrznie, wartość kanonicznej jedynki w każdym stałym punkcie T*M jest podawana jako wycofanie . Załóżmy konkretnie, że π : T*M → M jest rzutem wiązki. Wzięcie punktu w T _x * M jest tym samym, co wybranie punktu x w M i jedynki ω w x , a tautologiczna jedynka θ przypisuje punktowi ( x , ω) wartość

${\ Displaystyle \ theta _ {(x, \ omega)} = \ pi ^ {*} \ omega.}$

Oznacza to, że dla wektora v w wiązce stycznej wiązki kostycznej zastosowanie tautologicznej jednej postaci θ do v w ( x , ω) jest obliczane przez rzutowanie v na wiązkę styczną w punkcie x za pomocą d π : T ( T * M ) → TM i zastosowanie ω do tego rzutu. Zauważ, że tautologiczna jedynka nie jest wycofaniem jedynki z bazy M .

Forma symplektyczna

Cotangens wiązka posiada kanoniczną symplektycznych 2-formularz na nim, jako zewnętrzną pochodną tego forma liouville'a , z potencjałem symplektyczna . Udowodnienie, że ta forma jest rzeczywiście symplektycznych można zrobić od stwierdzenia, że jest to obiekt symplektycznych lokalny: ponieważ wiązka cotangens jest lokalnie trywialne, potrzeba ta definicja sprawdza się tylko na . Ale tam jedną zdefiniowaną formą jest suma , a różniczką jest kanoniczna forma symplektyczna, suma . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle y_{i}\dx_{i}}$${\displaystyle dy_{i}\land dx_{i}}$

Przestrzeń fazowa

Jeżeli rozmaitość reprezentuje zbiór możliwych położeń w układzie dynamicznym , to wiązkę kostyczną można traktować jako zbiór możliwych położeń i pędów . Na przykład jest to sposób na opisanie przestrzeni fazowej wahadła. Stan wahadła jest określony przez jego położenie (kąt) i jego pęd (lub równoważnie jego prędkość, ponieważ jego masa jest stała). Cała przestrzeń stanów wygląda jak walec, który jest wiązką kostyczną koła. Powyższa konstrukcja symplektyczna wraz z odpowiednią funkcją energii daje pełne określenie fizyki układu. Zobacz mechanikę hamiltonianu i artykuł o przepływie geodezyjnym, aby uzyskać jednoznaczną konstrukcję równań ruchu hamiltonianu. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \! \, T ^ {*} \! M}$

Zobacz też

• Transformacja legendy

Bibliografia

• Abrahama, Ralpha ; Marsden Jerrold E. (1978). Podstawy Mechaniki . Londyn: Benjamin-Cummings. Numer ISBN 0-8053-0102-X.
• Jost, Jürgen (2002). Geometria riemannowska i analiza geometryczna . Berlin: Springer-Verlag. Numer ISBN 3-540-63654-4.
• Piosenkarka, Stephanie Frank (2001). Symetria w mechanice: delikatne nowoczesne wprowadzenie . Boston: Birkhäuser.