Grupa Coxetera - Coxeter group
W matematyce , o Grupa Coxetera , nazwany HSM Coxeter'a , to streszczenie grupa , która przyznaje się formalnego opisu w kategoriach odbicia (lub kalejdoskopie luster ). Rzeczywiście, skończone grupy Coxetera są dokładnie skończonymi euklidesowymi grupami odbiciowymi ; to grupa symetrii z regularnych wielościanów są przykładem. Jednak nie wszystkie grupy Coxetera są skończone i nie wszystkie można opisać za pomocą symetrii i odbić euklidesowych. Grupy Coxetera zostały wprowadzone w 1934 jako abstrakcje grup refleksyjnych ( Coxeter 1934 ), a skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w 1935 ( Coxeter 1935 ).
Grupy Coxetera znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Przykłady grup Coxeter skończonych obejmują grupy symetrii regularnych polytopes oraz grup WEYL o prostych algebr Liego . Przykłady grup nieskończonych Coxeter obejmują grupy trójkąt odpowiadające regularnych teselacji w euklidesowej płaszczyźnie i hiperbolicznej płaszczyźnie , oraz grupy Weyl nieskończonej trójwymiarowy KAC-Moody algebrach .
Standardowe odniesienia obejmują ( Humphreys 1992 ) i ( Davis 2007 ).
Definicja
Formalnie grupę Coxetera można zdefiniować jako grupę z prezentacją
gdzie i dla . Warunek oznacza, że nie należy narzucać relacji formy .
Para, w której znajduje się grupa Coxetera z generatorami, nazywana jest systemem Coxetera . Zauważ, że generalnie nie jest jednoznacznie określony przez . Na przykład grupy Coxetera typu i są izomorficzne, ale systemy Coxetera nie są równoważne (patrz poniżej wyjaśnienie tego zapisu).
Z powyższej definicji można od razu wyciągnąć szereg wniosków.
- Relacja oznacza, że dla wszystkich ; jako takie generatory są inwolucjami .
- Jeśli , to generatory i dojeżdżają. Wynika to z obserwacji, że
- ,
- razem z
- sugeruje, że
- .
- Alternatywnie, skoro generatory są inwolucjami, , więc , a więc jest równy komutatorowi .
- Aby uniknąć redundancji między relacjami, należy założyć, że . Wynika to z obserwacji, że
- ,
- razem z
- sugeruje, że
- .
- Alternatywnie i są elementami sprzężonymi , jak .
Macierz Coxetera i macierz Schläfli
Matrycy Coxeter jest , symetryczną matrycą z wpisów . Rzeczywiście, każda macierz symetryczna z wejściami diagonalnymi wyłącznie 1 i niediagonalnymi w zbiorze jest macierzą Coxetera.
Macierz Coxetera może być wygodnie zakodowana za pomocą diagramu Coxetera , zgodnie z następującymi zasadami.
- Wierzchołki grafu są oznaczone indeksami generatora.
- Wierzchołki i są sąsiadujące wtedy i tylko wtedy, gdy .
- Krawędź jest oznaczona wartością, gdy wartość jest lub większa.
W szczególności dwa generatory dojeżdżają wtedy i tylko wtedy, gdy nie są połączone krawędzią. Ponadto, jeśli wykres Coxetera ma dwie lub więcej połączonych składowych , powiązana grupa jest bezpośrednim iloczynem grup powiązanych z poszczególnymi składowymi. Zatem rozłączna suma grafów Coxetera daje bezpośredni iloczyn grup Coxetera.
Macierz Coxetera, , jest powiązana z macierzą Schläfliego z wpisami , ale elementy są modyfikowane, proporcjonalne do iloczynu skalarnego generatorów par. Macierz Schläfliego jest użyteczna, ponieważ jej wartości własne określają, czy grupa Coxetera jest typu skończonego (wszystkie dodatnie), typu afinicznego (wszystkie nieujemne, co najmniej jedno zero) lub nieokreślonego (w przeciwnym razie). Typ nieokreślony jest czasem dalej dzielony, np. na grupy hiperboliczne i inne grupy Coxetera. Istnieje jednak wiele nierównoważnych definicji hiperbolicznych grup Coxetera.
Grupa Coxetera | A 1 × A 1 | 2 | B 2 | H 2 | G 2 | 3 | B 3 | D 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schemat Coxetera | ||||||||||
Macierz Coxetera | ||||||||||
Macierz Schläfli |
Przykład
Wykres, w którym wierzchołki od 1 do n są umieszczone w rzędzie, a każdy wierzchołek jest połączony nieoznaczoną krawędzią z jego bezpośrednimi sąsiadami, daje początek symetrycznej grupie S n +1 ; że generator odpowiadają transpozycji (1 2), (2, 3), ..., ( n n + 1). Dwie niekolejne transpozycje zawsze komutują, podczas gdy ( k k +1) ( k +1 k +2) daje 3-cykl ( k k +2 k +1). Oczywiście pokazuje to tylko, że S n+1 jest grupą ilorazową grupy Coxetera opisanej na wykresie, ale sprawdzenie, czy równość jest zachowana, nie jest zbyt trudne.
Połączenie z grupami refleksyjnymi
Grupy Coxetera są głęboko związane z grupami refleksyjnymi . Mówiąc najprościej, grupy Coxetera są grupami abstrakcyjnymi (podanymi w prezentacji), podczas gdy grupy refleksyjne są grupami konkretnymi (podanymi jako podgrupy grup liniowych lub różne uogólnienia). Grupy Coxetera wyrosły z badania grup refleksyjnych — są abstrakcją: grupa refleksyjna to podgrupa grupy liniowej generowanej przez refleksje (które mają rząd 2), natomiast grupa Coxetera to grupa abstrakcyjna generowana przez inwolucje (elementy rzędu 2, abstrahując od odbić), a których relacje mają określoną postać ( , odpowiadającą hiperpłaszczyznom zbiegającym się pod kątem , przy czym porządku k abstrahując od obrotu o ).
Abstrakcyjną grupą grupy refleksyjnej jest grupa Coxetera, podczas gdy grupa refleksyjna może być postrzegana jako liniowa reprezentacja grupy Coxetera. W przypadku skończonych grup refleksyjnych daje to dokładną korespondencję: każda skończona grupa Coxetera dopuszcza wierną reprezentację jako skończoną grupę refleksyjną pewnej przestrzeni euklidesowej. Jednak w przypadku nieskończonych grup Coxetera grupa Coxetera może nie dopuszczać reprezentacji jako grupy refleksyjnej.
Historycznie ( Coxeter 1934 ) udowodnił, że każda grupa refleksyjna jest grupą Coxetera (tj. ma prezentację, w której wszystkie relacje mają formę lub ), i rzeczywiście ten artykuł wprowadził pojęcie grupy Coxetera, podczas gdy ( Coxeter 1935 ) udowodnił, że każda skończona grupa Coxetera miała reprezentację jako grupa refleksyjna i klasyfikowała skończone grupy Coxetera.
Skończone grupy Coxetera
Klasyfikacja
Skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w ( Coxeter 1935 ), w terminach diagramów Coxetera-Dynkina ; wszystkie są reprezentowane przez grupy odbicia skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych.
Skończone grupy Coxetera składają się z trzech rodzin jednoparametrowych o rosnącej randze jednej rodziny jednoparametrowej wymiaru drugiego i sześciu grup wyjątkowych : i . Produktem skończenie wielu grup Coxetera na tej liście jest znowu grupa Coxetera i wszystkie skończone grupy Coxetera powstają w ten sposób.
Grupy Weyl
Wiele, ale nie wszystkie z nich, to grupy Weyla, a każda grupa Weyla może być zrealizowana jako grupa Coxetera. Grupy Weyla są rodzinami i i wyjątkami i są oznaczone w notacji grup Weyla jako Grupy nie-Weyla są wyjątkami i i rodziną, z wyjątkiem przypadków, gdy jest to zbieżne z jedną z grup Weyla (mianowicie i ).
Można to udowodnić, porównując ograniczenia na (nieskierowanych) diagramach Dynkina z ograniczeniami na diagramach Coxetera grup skończonych: formalnie graf Coxetera można uzyskać z diagramu Dynkina , odrzucając kierunek krawędzi i zastępując każdą podwójną krawędź krawędź oznaczoną 4, a każdą potrójną krawędź oznaczoną 6. Należy również zauważyć, że każda skończenie generowana grupa Coxetera jest grupą automatyczną . Diagramy Dynkina mają dodatkowe ograniczenie, że jedynymi dozwolonymi etykietami krawędzi są 2, 3, 4 i 6, co daje powyższe. Geometrycznie odpowiada to twierdzeniu o ograniczeniach krystalograficznych oraz faktowi, że wykluczone politopy nie wypełniają przestrzeni ani nie pokrywają płaszczyzny – dla dwunastościanu (dwudziestościan, dwudziestościan) nie wypełnia przestrzeni; dla 120-ogniwowego (podwójnie, 600-ogniwowego) nie wypełnia miejsca; za pomocą p gon nie dachówka samolot z wyjątkiem lub (trójkątnych, kwadratowych i sześciokątnych tilings, odpowiednio).
Zauważ dalej, że (skierowane) diagramy Dynkina B n i C n dają początek tej samej grupie Weyla (stąd grupa Coxetera), ponieważ różnią się one jako grafy skierowane , ale zgadzają się jako grafy nieskierowane – kierunek ma znaczenie dla systemów korzeniowych, ale nie dla Weyla Grupa; odpowiada to temu, że hipersześcian i cross-politop są różnymi regularnymi politopami, ale mają tę samą grupę symetrii.
Nieruchomości
Niektóre właściwości skończonych nieredukowalnych grup Coxetera podano w poniższej tabeli. Kolejność grup redukcyjnych można obliczyć przez iloczyn ich nieredukowalnych rzędów podgrup.
Pozycja nr |
Symbol grupy |
Symbol alternatywny |
Notacja nawiasowa |
Wykres Coxetera |
Odbicia m = 1 ⁄ 2 nh |
Liczba Coxetera h |
Zamówienie | Struktura grupy | Powiązane politopy |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | [ ] | 1 | 2 | 2 | {} | ||
2 | 2 | 2 | [3] | 3 | 3 | 6 | {3} | ||
3 | 3 | 3 | [3,3] | 6 | 4 | 24 | {3,3} | ||
4 | 4 | 4 | [3,3,3] | 10 | 5 | 120 | {3,3,3} | ||
5 | 5 | 5 | [3,3,3,3] | 15 | 6 | 720 | {3,3,3,3} | ||
n | A n | A n | [ 3n- 1 ] | ... | n ( n + 1)/2 | n + 1 | ( n + 1)! | n -simpleks | |
2 | B 2 | C 2 | [4] | 4 | 4 | 8 | {4} | ||
3 | B 3 | C 3 | [4,3] | 9 | 6 | 48 | {4,3} / {3,4} | ||
4 | B 4 | C 4 | [4,3,3] | 16 | 8 | 384 | {4,3,3} / {3,3,4} | ||
5 | B 5 | C 5 | [4,3,3,3] | 25 | 10 | 3840 | {4,3,3,3} / {3,3,3,4} | ||
n | B n | C n | [4,3 n- 2 ] | ... | n 2 | 2 n | 2 n n ! | n -kostka / n -ortopleks | |
4 | D 4 | B 4 | [3 1,1,1 ] | 12 | 6 | 192 | godz.{4,3,3} / {3,3 1,1 } | ||
5 | D 5 | B 5 | [3 2,1,1 ] | 20 | 8 | 1920 | godz.{4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 } | ||
n | D n | B n | [3 n -3,1,1 ] | ... | n ( n − 1) | 2( n − 1) | 2 n −1 n ! | n -demicube / n -ortoplex | |
6 | E 6 | E 6 | [3 2,2,1 ] | 36 | 12 | 51840 (72x6!) |
|
||
7 | E 7 | E 7 | [3 3,2,1 ] | 63 | 18 | 2903040 (72x8!) | 3 21 , 2 31 , 1 32 | ||
8 | E 8 | E 8 | [3 4,2,1 ] | 120 | 30 | 696729600 (192x10!) | 4 21 , 2 41 , 1 42 | ||
4 | F 4 | F 4 | [3,4,3] | 24 | 12 | 1152 | {3,4,3} | ||
2 | G 2 | – ( D6 2) |
[6] | 6 | 6 | 12 | {6} | ||
2 | H 2 | G 2 | [5] | 5 | 5 | 10 | {5} | ||
3 | H 3 | G 3 | [3,5] | 15 | 10 | 120 | {3,5} / {5,3} | ||
4 | H 4 | G 4 | [3,3,5] | 60 | 30 | 14400 | {5,3,3} / {3,3,5} | ||
2 | ja 2 ( n ) |
Dn 2 |
[ n ] | n | n | 2 n |
gdy n = p k + 1, p prim kiedy n = p k − 1, p prim |
{ S } |
Grupy symetrii regularnych polytopów
Wszystkie grupa symetrii z regularnych polytopes są skończone grupy Coxeter. Zauważ, że dual polytopes mają tę samą grupę symetrii.
Istnieją trzy serie regularnych polytopes we wszystkich wymiarach. Grupa symetrii regularnego n - simplex to symetryczna grupa S n +1 , znana również jako grupa Coxetera typu A n . Grupa symetrii n - sześcianu i jego podwójna, n - cross-politope , to B n i jest znana jako grupa hiperoktaedryczna .
Wyjątkowe regularne polytopes w wymiarach dwa, trzy i cztery odpowiadają innym grupom Coxetera. W dwóch wymiarach grupy dwuścienne , które są grupami symetrii wielokątów foremnych , tworzą szereg I 2 ( p ). W trzech wymiarach grupa symetrii dwunastościanu foremnego i jego podwójna dwudziestościan foremny to H 3 , znana jako pełna grupa dwudziestościan . W czterech wymiarach istnieją trzy specjalne regularne politopy: 24-komorowy , 120-komorowy i 600-komorowy . Pierwszy ma grupę symetrii F 4 , podczas gdy dwa pozostałe są podwójne i mają grupę symetrii H 4 .
Grupy Coxetera typu D n , E 6 , E 7 i E 8 są grupami symetrii pewnych półregularnych politopów .
Tabela nieredukowalnych rodzin politopów | ||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Rodzina nr |
n- simpleks | n- hipersześcian | n- ortopleks | n- demicube | 1 k2 | 2 k1 | k 21 | wielokąt pięciokątny | ||||||||
Grupa | A n | B n |
|
|
H n | |||||||||||
2 |
|
|
p-gon (przykład: p=7 ) |
Sześciokąt |
Pięciokąt |
|||||||||||
3 |
Czworościan |
Sześcian |
Oktaedr |
Czworościan |
Dwunastościan |
dwudziestościan |
||||||||||
4 |
5-ogniwowy |
|
16-ogniwowy |
|
24-komorowy |
120-ogniwowy |
600-ogniwowy |
|||||||||
5 |
5-simplex |
5-kostka |
5-ortopleks |
5-demicube |
||||||||||||
6 |
6-simplex |
6-kostek |
6-ortopleks |
6-demicube |
1 22 |
2 21 |
||||||||||
7 |
7-simplex |
7-kostka |
7-ortopleks |
7-demicube |
1 32 |
2 31 |
3 21 |
|||||||||
8 |
8-simplex |
8-kostka |
8-ortopleks |
8-demicube |
1 42 |
2 41 |
4 21 |
|||||||||
9 |
9-simplex |
9-kostka |
9-ortopleks |
9-demicube |
||||||||||||
10 |
10-simplex |
10 kostek |
10-ortopleks |
10-demicube |
Grupy Affine Coxetera
W afiniczne grupy Coxeter tworzą drugą ważną szereg grup Coxeter. Nie są one skończone same w sobie, ale każda zawiera normalną podgrupę abelową, tak że odpowiednia grupa ilorazowa jest skończona. W każdym przypadku grupa ilorazowa sama jest grupą Coxetera, a graf Coxetera afinicznej grupy Coxetera uzyskuje się z grafu Coxetera grupy ilorazowej przez dodanie kolejnego wierzchołka i jednej lub dwóch dodatkowych krawędzi. Na przykład, dla n ≥ 2, wykres składający się z n +1 wierzchołków w okręgu jest otrzymywany w ten sposób z A n , a odpowiadająca grupa Coxetera jest afiniczną grupą Weyla z A n ( afiniczna grupa symetryczna ). Dla n = 2 można to przedstawić jako podgrupę grupy symetrii standardowego kafelkowania płaszczyzny za pomocą trójkątów równobocznych.
Ogólnie rzecz biorąc, mając system korzeniowy, można skonstruować powiązany diagram Stiefela , składający się z hiperpłaszczyzn prostopadłych do korzeni wraz z pewnymi translacjami tych hiperpłaszczyzn. Afiniczna grupa Coxetera (lub afiniczna grupa Weyla) jest wtedy grupą generowaną przez (afiniczne) odbicia dotyczące wszystkich hiperpłaszczyzn na diagramie. Diagram Stiefela dzieli płaszczyznę na nieskończenie wiele połączonych elementów zwanych wnękami , a afiniczna grupa Coxetera działa swobodnie i przechodnie na wnękach, tak jak zwykła grupa Weyla działa swobodnie i przechodnie na komory Weyla. Rysunek po prawej ilustruje diagram Stiefela dla systemu korzeniowego.
Załóżmy, że jest to nieredukowalny system rangowy i niech będzie zbiorem prostych pierwiastków. Niech też, oznaczają najwyższą korzeń. Następnie afiniczna grupa Coxetera jest generowana przez zwykłe (liniowe) odbicia wokół hiperpłaszczyzn prostopadłych do , wraz z odbiciami afinicznymi o przesunięciu hiperpłaszczyzny prostopadłej do . Wykres Coxetera dla afinicznej grupy Weyla jest diagramem Coxetera-Dynkina dla , wraz z jednym dodatkowym węzłem związanym z . W tym przypadku jedną wnękę diagramu Stiefela można uzyskać, biorąc podstawową komorę Weyla i przecinając ją o przesunięcie hiperpłaszczyzny prostopadłej do .
Lista afinicznych grup Coxetera jest następująca:
Symbol grupy |
Symbol Witta |
Notacja nawiasowa | Wykres Coxetera |
Powiązane teselacje jednolite |
---|---|---|---|---|
[3 [ n ] ] |
... lub ... |
Simplectic o strukturze plastra miodu | ||
[4,3 n − 3 ,3 1,1 ] | ... | Plaster miodu demihipersześciennego | ||
[4,3 n -2 ,4] | ... | Hipersześcienny plaster miodu | ||
[ 3 1,1 ,3 n -4 ,3 1,1 ] | ... | Plaster miodu demihipersześciennego | ||
[3 2,2,2 ] | lub | 2 22 | ||
[3 3,3,1 ] | lub | 3 31 , 1 33 | ||
[3 5,2,1 ] | 5 21 , 2 51 , 1 52 | |||
[3,4,3,3] |
16-komórkowy plaster miodu 24-komórkowy plaster miodu |
|||
[6,3] |
Płytki sześciokątne i płytki trójkątne |
|||
[∞] | Apeirogon |
Indeks dolny symbolu grupy jest o jeden mniejszy niż liczba węzłów w każdym przypadku, ponieważ każda z tych grup została uzyskana przez dodanie węzła do grafu skończonej grupy.
Hiperboliczne grupy Coxetera
Istnieje nieskończenie wiele hiperbolicznych grup Coxetera opisujących grupy odbicia w przestrzeni hiperbolicznej , w szczególności obejmujące hiperboliczne grupy trójkątne.
Zamówienia częściowe
Wybór generatorów odbić powoduje powstanie funkcji długości ℓ na grupie Coxetera, a mianowicie minimalnej liczby zastosowań generatorów wymaganych do wyrażenia elementu grupy; jest to dokładnie długość w słowie metryka na wykresie Cayleya . Wyrażenie na v używające generatorów ℓ ( v ) jest słowem zredukowanym . Na przykład permutacja (13) w S 3 ma dwa zredukowane słowa, (12)(23)(12) i (23)(12)(23). Funkcja definiuje mapę uogólniającą mapę znaków dla grupy symetrycznej.
Stosujące zredukowaną słowy taką można określić trzy częściowe rozkazów w grupie Coxeter, (z prawej strony), słaby rzędu The absolutna rzędu i kolejności G. Bruhat (nazwany Francois G. Bruhat ). Element v przewyższa element u w porządku Bruhata, jeśli jakieś (lub równoważnie dowolne) zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako podłańcuch, w którym niektóre litery (w dowolnej pozycji) są opuszczane. W słabym porządku v ≥ u jeśli jakieś zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako początkowy segment. Rzeczywiście, długość słowa sprawia, że staje się to pozycją stopniowaną . Te schematy Hasse odpowiadające tych rozkazów są przedmiotem badań, i są związane z wykresu Cayley określona przez wytwórców. Porządek absolutny definiuje się analogicznie do porządku słabego, ale z generowaniem zbioru/alfabetu składającego się ze wszystkich sprzężonych generatorów Coxetera.
Na przykład, permutacja (1 2 3) w S 3 ma tylko jedno zredukowane słowo, (12)(23), więc obejmuje (12) i (23) w porządku Bruhata, ale obejmuje tylko (12) w słabym porządku.
Homologia
Ponieważ grupa Coxetera jest generowana przez skończenie wiele elementów rzędu 2, jej abelianizacja jest elementarną grupą abelową 2 , tj. jest izomorficzna z sumą bezpośrednią kilku kopii grupy cyklicznej . To może być przekształcone w zakresie pierwszej grupy homologii z .
Schur mnożnik , odpowiadającą drugiej grupy homologii , został obliczony ( Ihara i Yokonuma 1965 ) dla każdego odbicia skończonych oraz ( Yokonuma 1965 ) dla każdego afinicznych odbicia, o bardziej ujednoliconym uwagę podany w ( Howlett 1988 ). We wszystkich przypadkach mnożnik Schura jest również podstawową grupą abelową. Dla każdej nieskończonej rodziny skończonych lub afinicznych grup Weyla, ranga stabilizuje się w nieskończoność.
Zobacz też
- Grupa Artin-Tits
- Twierdzenie Chevalleya-Shepharda-Todda
- Złożona grupa refleksji
- Element Coxetera
- Algebra Iwahoriego-Heckego , kwantowa deformacja algebry grupowej
- Wielomian Kazhdana-Lusztiga
- Najdłuższy element grupy Coxeter
- Układ superrozwiązywalny
Uwagi
Bibliografia
Dalsza lektura
- Björnera, Andersa ; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups , Graduate Texts in Mathematics , 231 , Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
- Bourbaki, Nicolas (2002), Grupy Liego i Algebry Liego: Rozdziały 4-6 , Elementy matematyki , Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
- Coxeter, HSM (1934), "grupy dyskretne generowane przez odbicia", Annals of Mathematics , 35 (3): 588-621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , doi : 10.2307/1968753 , JSTOR 1968753
- Coxeter, HSM (1935), „Pełne wyliczenie grup skończonych postaci ”, J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21
- Davis, Michael W. (2007), Geometria i topologia grup Coxetera (PDF) , ISBN 978-0-691-1338-2, Zbl 1142.20020
- Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups , Teksty magisterskie z matematyki, 99 , Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
- Hall, Brian C. (2015), grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
- Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
- Hiller, Howard (1982), Geometria grup Coxetera , Uwagi badawcze w matematyce, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
- Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), „O drugich grupach kohomologicznych (mnożniki Schura) grup skończonych refleksyjnych” (PDF) , J. Fac. Nauka. Uniw. Tokio, Sekt. 1 , 11 : 155–171, Zbl 0136.28802 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) 23.10.2013
- Howlett, Robert B. (1988), "Na mnożnikach Schur grup Coxetera", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263 , Zbl 0627.20019
- Vinberg, Ernest B. (1984), „Brak krystalograficznych grup odbić w przestrzeniach Łobaczewskiego o dużym wymiarze”, Trudy Moskov. Mata. Obszcz. , 47
- Yokonuma, Takeo (1965), „Na drugich grupach kohomologii (mnożników Schura) nieskończonych dyskretnych grup refleksyjnych”, J. Fac. Nauka. Uniw. Tokio, Sekt. 1 , 11 : 173-186, hdl : 2261/6049 , Zbl 0136.28803