Grupa Coxetera - Coxeter group

W matematyce , o Grupa Coxetera , nazwany HSM Coxeter'a , to streszczenie grupa , która przyznaje się formalnego opisu w kategoriach odbicia (lub kalejdoskopie luster ). Rzeczywiście, skończone grupy Coxetera są dokładnie skończonymi euklidesowymi grupami odbiciowymi ; to grupa symetrii z regularnych wielościanów są przykładem. Jednak nie wszystkie grupy Coxetera są skończone i nie wszystkie można opisać za pomocą symetrii i odbić euklidesowych. Grupy Coxetera zostały wprowadzone w 1934 jako abstrakcje grup refleksyjnych ( Coxeter 1934 ), a skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w 1935 ( Coxeter 1935 ).

Grupy Coxetera znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Przykłady grup Coxeter skończonych obejmują grupy symetrii regularnych polytopes oraz grup WEYL o prostych algebr Liego . Przykłady grup nieskończonych Coxeter obejmują grupy trójkąt odpowiadające regularnych teselacji w euklidesowej płaszczyźnie i hiperbolicznej płaszczyźnie , oraz grupy Weyl nieskończonej trójwymiarowy KAC-Moody algebrach .

Standardowe odniesienia obejmują ( Humphreys 1992 ) i ( Davis 2007 ).

Definicja

Formalnie grupę Coxetera można zdefiniować jako grupę z prezentacją

gdzie i dla . Warunek oznacza, że ​​nie należy narzucać relacji formy .

Para, w której znajduje się grupa Coxetera z generatorami, nazywana jest systemem Coxetera . Zauważ, że generalnie nie jest jednoznacznie określony przez . Na przykład grupy Coxetera typu i są izomorficzne, ale systemy Coxetera nie są równoważne (patrz poniżej wyjaśnienie tego zapisu).

Z powyższej definicji można od razu wyciągnąć szereg wniosków.

  • Relacja oznacza, że dla wszystkich  ; jako takie generatory są inwolucjami .
  • Jeśli , to generatory i dojeżdżają. Wynika to z obserwacji, że
,
razem z
sugeruje, że
.
Alternatywnie, skoro generatory są inwolucjami, , więc , a więc jest równy komutatorowi .
  • Aby uniknąć redundancji między relacjami, należy założyć, że . Wynika to z obserwacji, że
,
razem z
sugeruje, że
.
Alternatywnie i są elementami sprzężonymi , jak .

Macierz Coxetera i macierz Schläfli

Matrycy Coxeter jest , symetryczną matrycą z wpisów . Rzeczywiście, każda macierz symetryczna z wejściami diagonalnymi wyłącznie 1 i niediagonalnymi w zbiorze jest macierzą Coxetera.

Macierz Coxetera może być wygodnie zakodowana za pomocą diagramu Coxetera , zgodnie z następującymi zasadami.

  • Wierzchołki grafu są oznaczone indeksami generatora.
  • Wierzchołki i są sąsiadujące wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Krawędź jest oznaczona wartością, gdy wartość jest lub większa.

W szczególności dwa generatory dojeżdżają wtedy i tylko wtedy, gdy nie są połączone krawędzią. Ponadto, jeśli wykres Coxetera ma dwie lub więcej połączonych składowych , powiązana grupa jest bezpośrednim iloczynem grup powiązanych z poszczególnymi składowymi. Zatem rozłączna suma grafów Coxetera daje bezpośredni iloczyn grup Coxetera.

Macierz Coxetera, , jest powiązana z macierzą Schläfliego z wpisami , ale elementy są modyfikowane, proporcjonalne do iloczynu skalarnego generatorów par. Macierz Schläfliego jest użyteczna, ponieważ jej wartości własne określają, czy grupa Coxetera jest typu skończonego (wszystkie dodatnie), typu afinicznego (wszystkie nieujemne, co najmniej jedno zero) lub nieokreślonego (w przeciwnym razie). Typ nieokreślony jest czasem dalej dzielony, np. na grupy hiperboliczne i inne grupy Coxetera. Istnieje jednak wiele nierównoważnych definicji hiperbolicznych grup Coxetera.

Przykłady
Grupa Coxetera A 1 × A 1 2 B 2 H 2 G 2 3 B 3 D 4
Schemat Coxetera CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
Macierz Coxetera
Macierz Schläfli

Przykład

Wykres, w którym wierzchołki od 1 do n są umieszczone w rzędzie, a każdy wierzchołek jest połączony nieoznaczoną krawędzią z jego bezpośrednimi sąsiadami, daje początek symetrycznej grupie S n +1 ; że generator odpowiadają transpozycji (1 2), (2, 3), ..., ( n n + 1). Dwie niekolejne transpozycje zawsze komutują, podczas gdy ( k k +1) ( k +1 k +2) daje 3-cykl ( k k +2 k +1). Oczywiście pokazuje to tylko, że S n+1 jest grupą ilorazową grupy Coxetera opisanej na wykresie, ale sprawdzenie, czy równość jest zachowana, nie jest zbyt trudne.

Połączenie z grupami refleksyjnymi

Grupy Coxetera są głęboko związane z grupami refleksyjnymi . Mówiąc najprościej, grupy Coxetera są grupami abstrakcyjnymi (podanymi w prezentacji), podczas gdy grupy refleksyjne są grupami konkretnymi (podanymi jako podgrupy grup liniowych lub różne uogólnienia). Grupy Coxetera wyrosły z badania grup refleksyjnych — są abstrakcją: grupa refleksyjna to podgrupa grupy liniowej generowanej przez refleksje (które mają rząd 2), natomiast grupa Coxetera to grupa abstrakcyjna generowana przez inwolucje (elementy rzędu 2, abstrahując od odbić), a których relacje mają określoną postać ( , odpowiadającą hiperpłaszczyznom zbiegającym się pod kątem , przy czym porządku k abstrahując od obrotu o ).

Abstrakcyjną grupą grupy refleksyjnej jest grupa Coxetera, podczas gdy grupa refleksyjna może być postrzegana jako liniowa reprezentacja grupy Coxetera. W przypadku skończonych grup refleksyjnych daje to dokładną korespondencję: każda skończona grupa Coxetera dopuszcza wierną reprezentację jako skończoną grupę refleksyjną pewnej przestrzeni euklidesowej. Jednak w przypadku nieskończonych grup Coxetera grupa Coxetera może nie dopuszczać reprezentacji jako grupy refleksyjnej.

Historycznie ( Coxeter 1934 ) udowodnił, że każda grupa refleksyjna jest grupą Coxetera (tj. ma prezentację, w której wszystkie relacje mają formę lub ), i rzeczywiście ten artykuł wprowadził pojęcie grupy Coxetera, podczas gdy ( Coxeter 1935 ) udowodnił, że każda skończona grupa Coxetera miała reprezentację jako grupa refleksyjna i klasyfikowała skończone grupy Coxetera.

Skończone grupy Coxetera

Wykresy Coxetera skończonych grup Coxetera.

Klasyfikacja

Skończone grupy Coxetera zostały sklasyfikowane w ( Coxeter 1935 ), w terminach diagramów Coxetera-Dynkina ; wszystkie są reprezentowane przez grupy odbicia skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych.

Skończone grupy Coxetera składają się z trzech rodzin jednoparametrowych o rosnącej randze jednej rodziny jednoparametrowej wymiaru drugiego i sześciu grup wyjątkowych : i . Produktem skończenie wielu grup Coxetera na tej liście jest znowu grupa Coxetera i wszystkie skończone grupy Coxetera powstają w ten sposób.

Grupy Weyl

Wiele, ale nie wszystkie z nich, to grupy Weyla, a każda grupa Weyla może być zrealizowana jako grupa Coxetera. Grupy Weyla są rodzinami i i wyjątkami i są oznaczone w notacji grup Weyla jako Grupy nie-Weyla są wyjątkami i i rodziną, z wyjątkiem przypadków, gdy jest to zbieżne z jedną z grup Weyla (mianowicie i ).

Można to udowodnić, porównując ograniczenia na (nieskierowanych) diagramach Dynkina z ograniczeniami na diagramach Coxetera grup skończonych: formalnie graf Coxetera można uzyskać z diagramu Dynkina , odrzucając kierunek krawędzi i zastępując każdą podwójną krawędź krawędź oznaczoną 4, a każdą potrójną krawędź oznaczoną 6. Należy również zauważyć, że każda skończenie generowana grupa Coxetera jest grupą automatyczną . Diagramy Dynkina mają dodatkowe ograniczenie, że jedynymi dozwolonymi etykietami krawędzi są 2, 3, 4 i 6, co daje powyższe. Geometrycznie odpowiada to twierdzeniu o ograniczeniach krystalograficznych oraz faktowi, że wykluczone politopy nie wypełniają przestrzeni ani nie pokrywają płaszczyzny – dla dwunastościanu (dwudziestościan, dwudziestościan) nie wypełnia przestrzeni; dla 120-ogniwowego (podwójnie, 600-ogniwowego) nie wypełnia miejsca; za pomocą p gon nie dachówka samolot z wyjątkiem lub (trójkątnych, kwadratowych i sześciokątnych tilings, odpowiednio).

Zauważ dalej, że (skierowane) diagramy Dynkina B n i C n dają początek tej samej grupie Weyla (stąd grupa Coxetera), ponieważ różnią się one jako grafy skierowane , ale zgadzają się jako grafy nieskierowane – kierunek ma znaczenie dla systemów korzeniowych, ale nie dla Weyla Grupa; odpowiada to temu, że hipersześcian i cross-politop są różnymi regularnymi politopami, ale mają tę samą grupę symetrii.

Nieruchomości

Niektóre właściwości skończonych nieredukowalnych grup Coxetera podano w poniższej tabeli. Kolejność grup redukcyjnych można obliczyć przez iloczyn ich nieredukowalnych rzędów podgrup.

Pozycja
nr

Symbol grupy

Symbol alternatywny

Notacja nawiasowa

Wykres Coxetera
Odbicia
m = 12 nh
Liczba Coxetera
h
Zamówienie Struktura grupy Powiązane politopy
1 1 1 [ ] CDel node.png 1 2 2 {}
2 2 2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 3 3 6 {3}
3 3 3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6 4 24 {3,3}
4 4 4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 5 120 {3,3,3}
5 5 5 [3,3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 15 6 720 {3,3,3,3}
n A n A n [ 3n- 1 ] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n ( n + 1)/2 n + 1 ( n + 1)! n -simpleks
2 B 2 C 2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 4 4 8 {4}
3 B 3 C 3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 9 6 48 {4,3} / {3,4}
4 B 4 C 4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 16 8 384 {4,3,3} / {3,3,4}
5 B 5 C 5 [4,3,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 25 10 3840 {4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n B n C n [4,3 n- 2 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n 2 2 n 2 n n ! n -kostka / n -ortopleks
4 D 4 B 4 [3 1,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12 6 192 godz.{4,3,3} / {3,3 1,1 }
5 D 5 B 5 [3 2,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 20 8 1920 godz.{4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
n D n B n [3 n -3,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n ( n − 1) 2( n − 1) 2 n −1 n ! n -demicube / n -ortoplex
6 E 6 E 6 [3 2,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 36 12 51840 (72x6!)

2 21 , 1 22

7 E 7 E 7 [3 3,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 63 18 2903040 (72x8!) 3 21 , 2 31 , 1 32
8 E 8 E 8 [3 4,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 120 30 696729600 (192x10!) 4 21 , 2 41 , 1 42
4 F 4 F 4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 12 1152 {3,4,3}
2 G 2 – ( D6
2
)
[6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6 6 12 {6}
2 H 2 G 2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 5 5 10 {5}
3 H 3 G 3 [3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 15 10 120 {3,5} / {5,3}
4 H 4 G 4 [3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 60 30 14400 {5,3,3} / {3,3,5}
2 ja 2 ( n ) Dn
2
[ n ] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png n n 2 n

gdy n = p k + 1, p prim kiedy n = p k − 1, p prim

{ S }

Grupy symetrii regularnych polytopów

Wszystkie grupa symetrii z regularnych polytopes są skończone grupy Coxeter. Zauważ, że dual polytopes mają tę samą grupę symetrii.

Istnieją trzy serie regularnych polytopes we wszystkich wymiarach. Grupa symetrii regularnego n - simplex to symetryczna grupa S n +1 , znana również jako grupa Coxetera typu A n . Grupa symetrii n - sześcianu i jego podwójna, n - cross-politope , to B n i jest znana jako grupa hiperoktaedryczna .

Wyjątkowe regularne polytopes w wymiarach dwa, trzy i cztery odpowiadają innym grupom Coxetera. W dwóch wymiarach grupy dwuścienne , które są grupami symetrii wielokątów foremnych , tworzą szereg I 2 ( p ). W trzech wymiarach grupa symetrii dwunastościanu foremnego i jego podwójna dwudziestościan foremny to H 3 , znana jako pełna grupa dwudziestościan . W czterech wymiarach istnieją trzy specjalne regularne politopy: 24-komorowy , 120-komorowy i 600-komorowy . Pierwszy ma grupę symetrii F 4 , podczas gdy dwa pozostałe są podwójne i mają grupę symetrii H 4 .

Grupy Coxetera typu D n , E 6 , E 7 i E 8 są grupami symetrii pewnych półregularnych politopów .


Tabela nieredukowalnych rodzin politopów
Rodzina
nr
n- simpleks n- hipersześcian n- ortopleks n- demicube 1 k2 2 k1 k 21 wielokąt pięciokątny
Grupa A n B n
I 2 (P) D n
E 6 E 7 E 8 F 4 G 2
H n
2 2-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Trójkąt

2-sześcian.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Kwadrat

Regularny wielokąt 7.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png
p-gon
(przykład: p=7 )
Wielokąt foremny 6.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Sześciokąt
Wielokąt foremny 5.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Pięciokąt
3 3-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Czworościan
3-kostka t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Sześcian
3-kostkowy t2.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Oktaedr
3-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.png
Czworościan
  Projekcja dwunastościanu H3.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dwunastościan
Projekcja dwudziestościanu H3.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
dwudziestościan
4 4-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-ogniwowy
4-sześcian t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Teserakt

4-kostki t3.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
16-ogniwowy
4-demicube t0 D4.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Demitesseract

24-komorowy t0 F4.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24-komorowy
Wykres 120 komórek H4.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120-ogniwowy
Wykres 600 komórek H4.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
600-ogniwowy
5 5-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-simplex
5-sześcianowy wykres.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-kostka
5-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-ortopleks
5-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
5-demicube
   
6 6-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-simplex
6-sześcianowy wykres.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6-kostek
6-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6-ortopleks
6-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
6-demicube
W górę 1 22 t0 E6.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngOddział CDel 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
1 22
E6 wykres.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngWęzeł CDel 1.png
2 21
 
7 7-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-simplex
Wykres 7-kostkowy.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7-kostka
7-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
7-ortopleks
7-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7-demicube
Gosset 1 32 petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngOddział CDel 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
1 32
Gosset 2 31 polytope.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngWęzeł CDel 1.png
2 31
E7 wykres.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
3 21
 
8 8-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-simplex
8-kostka.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8-kostka
8-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
8-ortopleks
8-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8-demicube
Gosset 1 42 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngOddział CDel 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
1 42
2 41 polytope petrie.svg
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngWęzeł CDel 1.png
2 41
Gosset 4 21 polytope petrie.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
4 21
 
9 9-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-simplex
9-kostka.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9-kostka
9-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
9-ortopleks
9-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9-demicube
 
10 10-simplex t0.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10-simplex
10-kostka.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10 kostek
10-ortoplex.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
10-ortopleks
10-demicube.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10-demicube
 


Grupy Affine Coxetera

Diagramy Coxetera dla grup Affine Coxetera
Schemat Stiefela dla systemu korzeniowego

W afiniczne grupy Coxeter tworzą drugą ważną szereg grup Coxeter. Nie są one skończone same w sobie, ale każda zawiera normalną podgrupę abelową, tak że odpowiednia grupa ilorazowa jest skończona. W każdym przypadku grupa ilorazowa sama jest grupą Coxetera, a graf Coxetera afinicznej grupy Coxetera uzyskuje się z grafu Coxetera grupy ilorazowej przez dodanie kolejnego wierzchołka i jednej lub dwóch dodatkowych krawędzi. Na przykład, dla n  ≥ 2, wykres składający się z n +1 wierzchołków w okręgu jest otrzymywany w ten sposób z A n , a odpowiadająca grupa Coxetera jest afiniczną grupą Weyla z A n ( afiniczna grupa symetryczna ). Dla n  = 2 można to przedstawić jako podgrupę grupy symetrii standardowego kafelkowania płaszczyzny za pomocą trójkątów równobocznych.

Ogólnie rzecz biorąc, mając system korzeniowy, można skonstruować powiązany diagram Stiefela , składający się z hiperpłaszczyzn prostopadłych do korzeni wraz z pewnymi translacjami tych hiperpłaszczyzn. Afiniczna grupa Coxetera (lub afiniczna grupa Weyla) jest wtedy grupą generowaną przez (afiniczne) odbicia dotyczące wszystkich hiperpłaszczyzn na diagramie. Diagram Stiefela dzieli płaszczyznę na nieskończenie wiele połączonych elementów zwanych wnękami , a afiniczna grupa Coxetera działa swobodnie i przechodnie na wnękach, tak jak zwykła grupa Weyla działa swobodnie i przechodnie na komory Weyla. Rysunek po prawej ilustruje diagram Stiefela dla systemu korzeniowego.

Załóżmy, że jest to nieredukowalny system rangowy i niech będzie zbiorem prostych pierwiastków. Niech też, oznaczają najwyższą korzeń. Następnie afiniczna grupa Coxetera jest generowana przez zwykłe (liniowe) odbicia wokół hiperpłaszczyzn prostopadłych do , wraz z odbiciami afinicznymi o przesunięciu hiperpłaszczyzny prostopadłej do . Wykres Coxetera dla afinicznej grupy Weyla jest diagramem Coxetera-Dynkina dla , wraz z jednym dodatkowym węzłem związanym z . W tym przypadku jedną wnękę diagramu Stiefela można uzyskać, biorąc podstawową komorę Weyla i przecinając ją o przesunięcie hiperpłaszczyzny prostopadłej do .

Lista afinicznych grup Coxetera jest następująca:


Symbol grupy

Symbol Witta
Notacja nawiasowa
Wykres Coxetera
Powiązane teselacje jednolite
[3 [ n ] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
lub
CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
Simplectic o strukturze plastra miodu
[4,3 n − 3 ,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png Plaster miodu demihipersześciennego
[4,3 n -2 ,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Hipersześcienny plaster miodu
[ 3 1,1 ,3 n -4 ,3 1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png Plaster miodu demihipersześciennego
[3 2,2,2 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png lub CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 2 22
[3 3,3,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png lub CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 3 31 , 1 33
[3 5,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 5 21 , 2 51 , 1 52
[3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 16-komórkowy plaster miodu
24-komórkowy plaster miodu
[6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Płytki sześciokątne i
płytki trójkątne
[∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Apeirogon

Indeks dolny symbolu grupy jest o jeden mniejszy niż liczba węzłów w każdym przypadku, ponieważ każda z tych grup została uzyskana przez dodanie węzła do grafu skończonej grupy.

Hiperboliczne grupy Coxetera

Istnieje nieskończenie wiele hiperbolicznych grup Coxetera opisujących grupy odbicia w przestrzeni hiperbolicznej , w szczególności obejmujące hiperboliczne grupy trójkątne.

Zamówienia częściowe

Wybór generatorów odbić powoduje powstanie funkcji długości na grupie Coxetera, a mianowicie minimalnej liczby zastosowań generatorów wymaganych do wyrażenia elementu grupy; jest to dokładnie długość w słowie metryka na wykresie Cayleya . Wyrażenie na v używające generatorów ( v ) jest słowem zredukowanym . Na przykład permutacja (13) w S 3 ma dwa zredukowane słowa, (12)(23)(12) i (23)(12)(23). Funkcja definiuje mapę uogólniającą mapę znaków dla grupy symetrycznej.

Stosujące zredukowaną słowy taką można określić trzy częściowe rozkazów w grupie Coxeter, (z prawej strony), słaby rzędu The absolutna rzędu i kolejności G. Bruhat (nazwany Francois G. Bruhat ). Element v przewyższa element u w porządku Bruhata, jeśli jakieś (lub równoważnie dowolne) zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako podłańcuch, w którym niektóre litery (w dowolnej pozycji) są opuszczane. W słabym porządku v  ≥  u jeśli jakieś zredukowane słowo dla v zawiera zredukowane słowo dla u jako początkowy segment. Rzeczywiście, długość słowa sprawia, że ​​staje się to pozycją stopniowaną . Te schematy Hasse odpowiadające tych rozkazów są przedmiotem badań, i są związane z wykresu Cayley określona przez wytwórców. Porządek absolutny definiuje się analogicznie do porządku słabego, ale z generowaniem zbioru/alfabetu składającego się ze wszystkich sprzężonych generatorów Coxetera.

Na przykład, permutacja (1 2 3) w S 3 ma tylko jedno zredukowane słowo, (12)(23), więc obejmuje (12) i (23) w porządku Bruhata, ale obejmuje tylko (12) w słabym porządku.

Homologia

Ponieważ grupa Coxetera jest generowana przez skończenie wiele elementów rzędu 2, jej abelianizacja jest elementarną grupą abelową 2 , tj. jest izomorficzna z sumą bezpośrednią kilku kopii grupy cyklicznej . To może być przekształcone w zakresie pierwszej grupy homologii z .

Schur mnożnik , odpowiadającą drugiej grupy homologii , został obliczony ( Ihara i Yokonuma 1965 ) dla każdego odbicia skończonych oraz ( Yokonuma 1965 ) dla każdego afinicznych odbicia, o bardziej ujednoliconym uwagę podany w ( Howlett 1988 ). We wszystkich przypadkach mnożnik Schura jest również podstawową grupą abelową. Dla każdej nieskończonej rodziny skończonych lub afinicznych grup Weyla, ranga stabilizuje się w nieskończoność.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Vinberg, Ernest B. (1984), „Brak krystalograficznych grup odbić w przestrzeniach Łobaczewskiego o dużym wymiarze”, Trudy Moskov. Mata. Obszcz. , 47
  • Yokonuma, Takeo (1965), „Na drugich grupach kohomologii (mnożników Schura) nieskończonych dyskretnych grup refleksyjnych”, J. Fac. Nauka. Uniw. Tokio, Sekt. 1 , 11 : 173-186, hdl : 2261/6049 , Zbl  0136.28803

Linki zewnętrzne