Notacja Coxetera - Coxeter notation

Podstawowe dziedziny refleksyjnych grup punktowych 3D
CDel node.png, [ ]=[1]
C 1v
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, [2]
C 2v
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3]
C 3v
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, [4]
C 4v
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, [5]
C 5v
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, [6]
C 6v
Kulisty dwukątny hosohedron.png
Zamówienie 2
Kulisty kwadratowy hosohedron.png
Zamówienie 4
Kulisty sześciokątny hosohedron.png
Zamówienie 6
Kulisty ośmiokątny hosohedron.png
Zamówienie 8
Kulisty dekagonalny hosohedron.png
Zamów 10
Sferyczny dwunastokątny hosohedron.png
Zamówienie 12
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]=[2,1]
D 1h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2,2]
D 2h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[2,3]
D 3h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[2,4]
D 4h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[2,5]
D 5h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
[2,6]
D 6h
Kulista dwukątna bipiramida.png
Zamówienie 4
Kulisty kwadrat bipiramidy.png
Zamówienie 8
Sferyczna sześciokątna bipiramida.png
Zamówienie 12
Kulista ośmiokątna bipiramida.png
Zamów 16
Sferyczna dziesięciokątna bipiramida.png
Zamów 20
Sferyczna dwunastokątna bipiramida.png
Zamówienie 24
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3,3], T d CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [4,3], O h CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [5,3], ja h
Kulisty tetrakis hexahedron-3edge-color.png
Zamówienie 24
Kulisty disdyakis dwunastościan-3and1-kolor.png
Zamówienie 48
Kulisty związek pięciu octahedra.png
Zamówienie 120
Notacja Coxetera wyraża grupy Coxetera jako listę rzędów gałęzi diagramu Coxetera , podobnie jak grupy wielościenne ,CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png= [p,q]. grupy dwuścienne ,CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png, może być wyrażona jako iloczyn [ ]×[n] lub w pojedynczym symbolu z wyraźnie określoną gałęzią rzędu 2, [2,n].

W geometrii , notacja Coxetera (również symbol Coxetera ) to system klasyfikacji grup symetrii , opisujący kąty między podstawowymi odbiciami grupy Coxetera w notacji nawiasowej wyrażającej strukturę diagramu Coxetera-Dynkina , z modyfikatorami wskazującymi pewne podgrupy. Notacja nosi imię HSM Coxetera i została szerzej zdefiniowana przez Normana Johnsona .

Grupy refleksyjne

W przypadku grup Coxetera , zdefiniowanych przez czyste odbicia, istnieje bezpośrednia zgodność między zapisem w nawiasie a diagramem Coxetera-Dynkina . Liczby w notacji nawiasowej reprezentują rzędy odbić lustrzanych w gałęziach diagramu Coxetera. Wykorzystuje to samo uproszczenie, tłumiąc 2s między ortogonalnymi zwierciadłami.

Notacja Coxetera jest uproszczona z wykładnikami reprezentującymi liczbę gałęzi w rzędzie dla diagramu liniowego. Tak więc grupa A n jest reprezentowana przez [3 n −1 ], co oznacza n węzłów połączonych gałęziami n−1 rzędu 3. Przykład A 2 = [3,3] = [3 2 ] lub [3 1,1 ] przedstawia diagramyCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png lub CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png.

Coxeter początkowo reprezentował diagramy bifurkacyjne z pionowym rozmieszczeniem liczb, ale później skrócono je za pomocą notacji wykładniczej, np. [...,3 p,q ] lub [3 p,q,r ], zaczynając od [3 1,1,1 ] lub [3,3 1,1 ] =CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel oddział3.pngCDel node.png lub CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngjak D 4 . Coxeter dopuścił zera jako przypadki specjalne, aby pasowały do rodziny A n , na przykład A 3 = [3,3,3,3] = [3 4,0,0 ] = [3 4,0 ] = [3 3,1 ] = [3 2,2 ], jakCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png.

Grupy Coxetera utworzone przez diagramy cykliczne są reprezentowane przez nawiasy wewnątrz nawiasów, np. [(p,q,r)] = CDel pqr.pngdla grupy trójkątów (pqr). Jeśli rzędy gałęzi są równe, można je pogrupować jako wykładnik długości cyklu w nawiasach, np. [(3,3,3,3)] = [3 [4] ], reprezentujący diagram CoxeteraCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png lub CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png. CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.pngmożna przedstawić jako [3,(3,3,3)] lub [3,3 [3] ].

Bardziej skomplikowane diagramy pętli można również przedstawić ostrożnie. Parazwartą Grupa Coxetera CDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.pngCDel split2.pngCDel node.pngmoże być reprezentowana przez notację Coxetera [(3,3,(3),3,3)], z zagnieżdżonymi/nakładającymi się nawiasami pokazującymi dwie sąsiednie pętle [(3,3,3)], a także jest reprezentowana bardziej zwięźle jako [3 [ ]×[ ] ], reprezentujący symetrię rombową diagramu Coxetera. Parakompaktowy kompletny wykres wykresuCDel tet.png lub CDel oddział.pngCDel splitcross.pngCDel oddział.png, jest reprezentowana jako [3 [3,3] ] z indeksem górnym [3,3] jako symetrią jego regularnego diagramu czworościanu .

Diagram Coxetera zwykle pozostawia nienarysowane gałęzie rzędu 2, ale notacja nawiasowa zawiera wyraźne 2, aby połączyć podgrafy. Więc diagram CoxeteraCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png= A 2 × A 2 = 2 A 2 można przedstawić przez [3]×[3] = [3] 2 = [3,2,3]. Czasami wyraźne 2 rozgałęzienia mogą być dołączone z etykietą 2 lub linią z przerwą:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png lub CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, jako identyczna prezentacja jak [3,2,3].

Grupy skończone
Ranga
Symbol grupy

Notacja nawiasowa

Schemat Coxetera
2 2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 B 2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 H 2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 G 2 [6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
2 ja 2 ( p ) [P] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 I H , H 3 [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 T d , A 3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 O h , B 3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 B 4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 D 4 [3 1,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 F 4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 H 4 [5,3,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n A n [ 3n- 1 ] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n B n [4,3 n- 2 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n D n [3 n−3,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 E 6 [3 2,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 E 7 [3 3,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 E 8 [3 4,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grupy afiniczne

Symbol grupy

Notacja nawiasowa
Schemat Coxetera
[∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
[3 [3] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.png
[4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3 [4] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[4,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[3 [5] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
[4,3,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 3 1,1,1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3 [n+1] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
lub
CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
[4,3 n−3 ,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3 n−2 ,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 3 1,1 ,3 n-4 ,3 1,1 ] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[3 2,2,2 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branchbranch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3 3,3,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3 5,2,1 ] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grupy hiperboliczne

Symbol grupy

Notacja nawiasowa

Schemat Coxetera
[p,q]
gdzie 2(p + q) < pq
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
[(p,q,r)]
z
CDel pqr.png
[4,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[3,5,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png 
[(3,3,3,5)] Etykieta CDel5.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png 
[(3,4,3,4)] CDel label4.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.pngCDel label4.png
[(3,4,3,5)] CDel label4.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.pngEtykieta CDel5.png
[(3,5,3,5)] Etykieta CDel5.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.pngEtykieta CDel5.png
[3,3,3,5] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[4,3,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,3 1,1 ] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Dla grup afinicznych i hiperbolicznych indeks dolny jest o jeden mniejszy niż liczba węzłów w każdym przypadku, ponieważ każdą z tych grup uzyskano przez dodanie węzła do diagramu grupy skończonej.

Podgrupy

Notacja Coxetera reprezentuje symetrię rotacyjną/translacyjną przez dodanie operatora indeksu górnego + poza nawiasami kwadratowymi, [X] +, który przecina kolejność grupy [X] o połowę, a więc podgrupę o indeksie 2. Ten operator oznacza, że ​​należy zastosować parzystą liczbę operatorów, zastępując odbicia rotacjami (lub translacjami). W przypadku zastosowania do grupy Coxetera, nazywa się to bezpośrednią podgrupą, ponieważ pozostają tylko bezpośrednie izometrie bez symetrii refleksyjnej.

Do + operatorzy mogą być również zastosowane wewnątrz wsporników, na przykład: [X, Y + ] lub [X (Y, Z) + ] i tworzy „iloczynów” podgrupy , które mogą obejmować zarówno odbijająca i generatory nonreflective. Podgrupy półbezpośrednie mogą dotyczyć tylko podgrup grupy Coxetera, do których przylegają nawet gałęzie porządku. Elementom w nawiasach wewnątrz grupy Coxetera można nadać operator indeksu górnego +, co daje efekt dzielenia sąsiednich uporządkowanych gałęzi na pół rzędu, dlatego zwykle stosuje się je tylko z liczbami parzystymi. Na przykład [4,3 + ] i [4,(3,3) + ] (CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png).

Jeśli zostanie zastosowany z sąsiednią nieparzystą gałęzią, nie tworzy podgrupy o indeksie 2, ale zamiast tego tworzy nakładające się domeny podstawowe, takie jak [5,1 + ] = [5/2], które mogą definiować podwójnie zawinięte wielokąty, takie jak pentagram , { 5/2}, a [5,3 + ] odnosi się do trójkąta Schwarza [5/2,3], gęstość 2.

Przykłady w grupach rang 2
Grupa Zamówienie Generatory Podgrupa Zamówienie Generatory Uwagi
[ p ] Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png 2 godz {0,1} [ p ] + Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png P {01} Podgrupa bezpośrednia
[2 p + ] = [2 p ] + Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png 2 godz {01} [2 p + ] + = [2 p ] +2 = [ p ] + Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png P {0101}
[2 pkt ] Węzeł CDel n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png 4 godz {0,1} [1 + ,2 p ] = [ p ] Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png 2 godz {101,1} Połowa podgrup
[2 p ,1 + ] = [ p ] CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h0.png = CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png = CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png {0,010}
[1 + ,2 p ,1 + ] = [2 p ] +2 = [ p ] + Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel h2.pngCDel 2c.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel 2c.pngWęzeł CDel h2.png = Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png P {0101} Grupa ćwiartkowa

Grupy bez sąsiednich elementów + można zobaczyć w węzłach pierścieniowych Diagram Coxetera-Dynkina dla jednolitych wielotopów i plastra miodu są powiązane z węzłami otworów wokół elementów + , puste koła z usuniętymi węzłami naprzemiennymi. Więc sześcian awanturniczy ,Węzeł CDel h.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngma symetrię [4,3] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) i czworościan zadarty ,CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngma symetrię [4,3 + ] (CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) i demicube , h{4,3} = {3,3} (Węzeł CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png lub Węzły CDel 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png) ma symetrię [1 + ,4,3] = [3,3] (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png lub Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png).

Uwaga: symetria pirytoedryczna CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png można zapisać jako CDel node.pngCDel 4.pngCDel 2c.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png, oddzielając wykres lukami dla przejrzystości, z generatorami {0,1,2} z grupy Coxetera Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png, wytwarzając generatory pirytoedryczne {0,12}, odbicie i 3-krotny obrót. A chiralną symetrię czworościenną można zapisać jako Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 2c.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png, [1 + ,4,3 + ] = [3,3] + , z generatorami {12,0120}.

Dzielenie podgrup i grup rozszerzonych

Przykładowe operacje dzielenia na pół
Domeny symetrii dwuściennej 4.png Symetria dwuścienna 4 half1.png
Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c3.png
[ 1 , 4, 1 ] = [4]
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c3.png = Węzeł CDel c3.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel c3.png = Węzeł CDel c3.pngCDel 2.pngWęzeł CDel c3.png
[1 + ,4, 1 ]=[2]=[ ]×[ ]
Symetria dwuścienna 4 half2.png Symetria cykliczna 4 half.png
Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel c1.png = Węzeł CDel c1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel c1.png
[ 1 ,4,1 + ]=[2]=[ ]×[ ]
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png = Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
[1 + ,4,1 + ] = [2] +

Johnson rozszerza operator + do pracy z węzłem zastępczym 1 + , co usuwa duplikaty, podwaja rozmiar domeny podstawowej i zmniejsza kolejność grup o połowę. Ogólnie rzecz biorąc, ta operacja dotyczy tylko pojedynczych lusterek ograniczonych gałęziami parzystego rzędu. 1 przedstawia zwierciadło więc [2P] można postrzegać jako 2P, [ 1 ], [ 1 , 2 p] lub [ 1 , 2p, 1 ], tak jak schemacieCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png lub Węzeł CDel c1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel c3.png, z 2 lustrami powiązanymi kątem dwuściennym rzędu 2p. Efektem usunięcia lustra jest powielenie węzłów łączących, co widać na diagramach Coxetera:Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel c3.png = CDel labelp.pngOddział CDel c3.png, lub w nawiasie:[1 + ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].

Każde z tych luster można usunąć, więc h[2p] = [1 + ,2p,1] = [1,2p,1 + ] = [p], wskaźnik podgrupy refleksyjnej 2. Można to przedstawić na wykresie Coxetera za pomocą dodanie symbolu + nad węzłem:Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h0.png = CDel labelp.pngCDel oddział.png.

Jeśli oba zwierciadła zostaną usunięte, generowana jest podgrupa ćwiartkowa, a kolejność rozgałęzień staje się punktem obrotu równym połowie kolejności:

q[2p] = [1 + ,2p,1 + ] = [p] + , podgrupa rotacyjna o indeksie 4.Węzeł CDel h2.pngCDel 2c.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel 2c.pngWęzeł CDel h2.png = Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png = Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h0.png = CDel labelp.pngOddział CDel h2h2.png.

Na przykład (przy p=2): [4,1 + ] = [1 + ,4] = [2] = [ ]×[ ], rząd 4. [1 + ,4,1 + ] = [2] + , zamów 2.

Przeciwieństwem halvingu jest podwojenie, które dodaje lustro, dzieląc podstawową domenę na pół i podwajając porządek grupowy.

[[p]] = [2p]

Operacje zmniejszania o połowę dotyczą grup wyższego rzędu, np. symetria czworościenna jest połową grupy grupy oktaedrycznej : h[4,3] = [1 + ,4,3] = [3,3], usuwając połowę zwierciadeł w 4-gałęziach . Efektem usunięcia lustra jest powielenie wszystkich węzłów łączących, co widać na diagramach Coxetera:Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.png = CDel labelp.pngOddział CDel c1.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c2.png, h[2p,3] = [1 + ,2p,3] = [(p,3,3)].

Jeśli węzły są indeksowane, pół podgrupy można oznaczyć nowymi lustrami jako kompozyty. LubićWęzeł CDel n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png, generatory {0,1} mają podgrupę Węzeł CDel h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png = CDel 2 n0.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png, generatory {1.010}, w których lustro 0 jest usuwane i zastępowane przez kopię lustra 1 odbitą w poprzek lustra 0. Podano również Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png, generatory {0,1,2}, ma połówkową grupę Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png = Węzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngCDel 3 n0.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2 n0.png, generatory {1.2010}.

Podwojenie przez dodanie lustra ma również zastosowanie przy odwracaniu operacji o połowę: [[3,3]] = [4,3], lub bardziej ogólnie [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Symetria czworościenna Symetria ośmiościenna
Grupa symetrii kuli td.png
T d , [33] = [1 + , 4,3]
Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c1.png = Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png
(Zamówienie 24)
Grupa symetrii kuli oh.png
O h , [4,3] = [[3,3]]
Węzeł CDel c2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png
(Zamówienie 48)

Podgrupy radykalne

Radykalna podgrupa jest podobna do alternacji, ale usuwa generatory rotacyjne.

Johnson dodał również operator gwiazdki lub gwiazdki * dla „radykalnych” podgrup, który działa podobnie do operatora + , ale usuwa symetrię obrotową. Indeks podgrupy radykalnej to kolejność usuwanego elementu. Na przykład [4,3*] ≅ ​​[2,2]. Usunięta podgrupa [3] ma rząd 6, więc [2,2] jest podgrupą o indeksie 6 rzędu [4,3].

Podgrupy rodnikowe reprezentują operację odwrotną do operacji symetrii rozszerzonej . Na przykład [4,3*] ≅ ​​[2,2], a na odwrót [2,2] można przedłużyć jako [3[2,2]] ≅ [4,3]. Podgrupy można wyrazić za pomocą diagramu Coxetera:Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png lub Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel x.pngCDel 3.pngWęzeł CDel x.pngCDel nodeab c1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel c1.png. Usunięty węzeł (lustro) powoduje, że sąsiednie wirtualne lustra stają się prawdziwymi lustrami.

Jeżeli [4,3] ma generatory {0,1,2}, [4,3 + ], indeks 2, ma generatory {0,12}; [1 + ,4,3] ≅ [3,3], indeks 2 ma generatory {010,1,2}; natomiast podgrupa rodnikowa [4,3*] ≅ ​​[2,2], indeks 6, ma generatory {01210, 2, (012) 3 }; i wreszcie [1 + ,4,3*], indeks 12 ma generatory {0(12) 2 0, (012) 2 01}.

Podgrupy trionowe

Przykład rangi 2, [6] podgrupy trionowe z 3 kolorami linii lustrzanych
Przykład symetrii oktaedrycznej: [4,3 ] = [2,4].
Przykładowa podgrupa trionowa na symetrii heksagonalnej [6,3] mapuje się na większą symetrię [6,3].
Ranga 3
Przykładowe podgrupy trionowe na symetrii ośmiokątnej [8,3] mapują się na większe symetrie [4,8].
Ranga 4

Trionic podgrupa jest indeksem 3 podgrupy. Istnieje wiele Johnson definiuje podgrupę trionową z operatorem ⅄, indeks 3. Dla grup Coxetera rangi 2 [3], podgrupa trionowa [3 ] to [ ], pojedyncze lustro. A dla [3 p ] podgrupą trionową jest [3 p ] ≅ [ p ]. DanyWęzeł CDel n0.pngCDel 3x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png, z generatorami {0,1}, ma 3 podgrupy trionowe. Można je rozróżnić, umieszczając symbol ⅄ obok generatora zwierciadeł, który ma zostać usunięty, lub na gałęzi dla obu: [3 p ,1 ] =Węzeł CDel n0.pngCDel 3x.pngCDel p.pngCDel node trionic.png = Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n0.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2 n0.pngCDel 2 n1.png, CDel node trionic.pngCDel 3x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png = CDel 2 n0.pngCDel 2 n1.pngWęzeł CDel n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png, oraz [3 p ] =Węzeł CDel n0.pngCDel 3x.pngCDel 3trionic.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png = CDel 2 n0.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngCDel 3 n1.pngWęzeł CDel n0.pngCDel 2 n1.png z generatorami {0,10101}, {01010,1} lub {101,010}.

Podgrupy trionowe o symetrii czworościennej : [3,3] ≅ [2 + ,4], odnoszące się do symetrii czworościanu foremnego i czworościanu dwuklinowego .

Dla grup Coxetera stopnia 3 [ p , 3] istnieje podgrupa trionowa [ p ,3 ] ≅ [ p /2, p ], lubWęzeł CDel n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3trionic.pngWęzeł CDel n2.png = CDel 2 n2.pngCDel 2 n1.pngWęzeł CDel n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel p.pngWęzeł CDel n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png. Na przykład grupa skończona [4,3 ] ≅ [2,4], grupa euklidesowa [6,3 ] ≅ [3,6] i grupa hiperboliczna [8,3 ] ≅ [4,8] .

Sąsiednia gałąź nieparzystego rzędu, p , nie obniży porządku grupowego, ale stworzy nakładające się na siebie domeny podstawowe. Kolejność grup pozostaje taka sama, a gęstość wzrasta. Na przykład symetria dwudziestościanu [5,3] dwudziestościanu foremnego staje się symetrią [5/2,5], symetria 2 wielościanów gwiazd foremnych. Odnosi się również do kafelków hiperbolicznych {p,3} i kafelków hiperbolicznych gwiazd {p/2,p}

Dla rangi 4 [ q ,2 p ,3 ] = [2 p ,((p,q,q))],CDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3trionic.pngCDel node.png = CDel labelq.pngCDel oddział.pngCDel split2-pq.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png.

Na przykład [3,4,3 ] = [4,3,3], lubWęzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3trionic.pngWęzeł CDel n3.png = CDel 2 n3.pngCDel 2 n2.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 3 n3.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png, generatory {0,1,2,3} w [3,4,3] z podgrupą trionową [4,3,3] generatory {0,1,2,32123}. Dla grup hiperbolicznych [3,6,3 ] = [6,3 [3] ] i [4,4,3 ] = [4,4,4].

Podgrupy trionowe o symetrii czworościennej

[3,3] ≅ [2 + ,4] jako jeden z 3 zestawów 2 zwierciadeł ortogonalnych w rzucie stereograficznym . Czerwony, zielony i niebieski reprezentują 3 zestawy luster, a szare linie usuwają lustra, pozostawiając 2-krotne żyracje (fioletowe romby).
Stosunki trioniczne [3,3]

Johnson zidentyfikował dwie specyficzne podgrupy trionowe [3,3], najpierw podgrupę o indeksie 3 [3,3] ≅ [2 + ,4], z [3,3] (Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.pngEtykieta CDel2.png) generatory {0,1,2}. Można go również zapisać jako [(3,3,2 )] (CDel node.pngCDel split1.pngCDel 2c.pngOddział CDel h2h2.pngEtykieta CDel2.png) jako przypomnienie o jego generatorach {02,1}. Ta redukcja symetrii jest relacją między regularnym czworościanem a czworościanem dwuklinowym , przedstawia rozciąganie czworościanu prostopadłego do dwóch przeciwległych krawędzi.

Po drugie identyfikuje powiązaną podgrupę indeksu 6 [3,3] Δ lub [(3,3,2 )] + (Węzeł CDel h2.pngCDel split1.pngCDel 2c.pngOddział CDel h2h2.pngEtykieta CDel2.png), indeks 3 z [3,3] + ≅ [2,2] + , z generatorami {02,1021}, z [3,3] i jego generatorami {0,1,2}.

Te podgrupy mają również zastosowanie w większych grupach Coxetera z [3,3] podgrupą z sąsiednimi gałęziami, wszystkie w kolejności równej.

Trionowe relacje podgrupy [3,3,4]

Na przykład [(3,3) + ,4], [(3,3) ,4] i [(3,3) Δ ,4] są podgrupami [3,3,4], indeks 2, 3 i 6. Generatory [(3,3) ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 + ,8] rzędu 128 są {02,1,3} z [3,3, 4] generatory {0,1,2,3}. A [(3,3) Δ ,4] ≅ [[4,2 + ,4]], rząd 64, ma generatory {02,1021,3}. Również [3 ,4,3 ] ≅ [(3,3) ,4].

Również spokrewniony [3 1,1,1 ] = [3,3,4,1 + ] ma podgrupy trionowe : [3 1,1,1 ] = [(3,3) ,4,1 + ], porządek 64 i 1=[3 1,1,1 ] Δ = [(3,3) Δ ,4,1 + ] ≅ [[4,2 + ,4]] + , rząd 32.

Centralna inwersja

Centralna inwersja 2D to obrót o 180 stopni, [2] +

Centralny inwersja , rząd 2 jest roboczo w różny wymiar. Grupa [ ] n = [2 n −1 ] reprezentuje n ortogonalnych zwierciadeł w przestrzeni n-wymiarowej lub n-płaską podprzestrzeń przestrzeni wyższego wymiaru. Zwierciadła grupy [2 n −1 ] są ponumerowane . Kolejność luster nie ma znaczenia w przypadku inwersji. Macierz centralnej inwersji to macierz tożsamości z ujemną na przekątnej.

Na tej podstawie centralna inwersja ma generator jako iloczyn wszystkich zwierciadeł ortogonalnych. W notacji Coxetera ta grupa inwersji jest wyrażona przez dodanie alternatywy + do każdej z dwóch gałęzi. Symetria naprzemienna jest oznaczona na węzłach diagramu Coxetera jako węzły otwarte.

Coxeter-Dynkin schemat może być oznaczona za pomocą wyraźnych 2 oddziały definiując liniową sekwencję luster, otwarte węzłów, a wspólne węzły podwójne otwarte do pokazywania łańcuchowym generatorów odbicia.

Na przykład [2 + ,2] i [2,2 + ] to podgrupy o indeksie 2 z [2,2],CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngi są reprezentowane jako Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png (lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png) oraz CDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png (lub CDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) odpowiednio z generatorami {01,2} i {0,12}. Ich wspólny indeks podgrupy 4 wynosi [2 + ,2 + ] i jest reprezentowany przezWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png (lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png), z podwójnym otwarciem Węzeł CDel h4.pngoznaczenie wspólnego węzła w dwóch naprzemiennych i pojedynczy generator odbicia wirnika {012}.

Wymiar notacja Coxetera Zamówienie Schemat Coxetera Operacja Generator
2 [2] + 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Obrót o 180° , C 2 {01}
3 [2 + ,2 + ] 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png odbicie wirnika , C i lub S 2 {012}
4 [2 + ,2 + ,2 + ] 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png podwójna rotacja {0123}
5 [2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png podwójne odbicie obrotowe {01234}
6 [2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójna rotacja {012345}
7 [2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] 2 Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójne odbicie obrotowe {0123456}

Obroty i odbicia obrotowe

Obroty i odbicia obrotowe są konstruowane przez pojedynczy iloczyn wszystkich odbić grupy pryzmatycznej, [2 p ]×[2 q ]×... gdzie gcd ( p , q ,...)=1, są izomorficzne z abstrakcyjną grupą cykliczną Z n , rzędu n = 2 pq .

4-wymiarowe podwójne obroty [2 p + ,2 + ,2 q + ] (z gcd ( p , q )=1), które zawierają grupę centralną i są wyrażone przez Conwaya jako ±[C p × C q ], zamów 2 szt . Ze schematu CoxeteraWęzeł CDel n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel n3.png, generatory {0,1,2,3}, wymaga dwóch generatorów dla [2 p + ,2 + ,2 q + ],Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h2.pngjako {0123,0132}. Połówkowe grupy, [2 p + ,2 + ,2 q + ] + , lub wykres cykliczny, [(2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + )],CDel 3.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngwyrażony przez Conwaya to [C p ×C q ], rząd pq , z jednym generatorem, takim jak {0123}.

Jeśli istnieje wspólny czynnik f , podwójna rotacja może być zapisana jako 1f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] (z gcd ( p , q )=1), generatory {0123,0132}, porządek 2 pqf . Na przykład, p = q =1, f =2, 12 [4 + ,2 + ,4 + ] jest porządkiem 4. I 1f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] + , generator { 0123}, to kolejność pqf . Na przykład 12 [4 + ,2 + ,4 + ] + to rząd 2, inwersja centralna .

Ogólnie rzecz biorąc, grupa n -rotacyjna, [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] może wymagać do n generatorów, jeśli gcd( p 1 ,.., p n )> 1, jako iloczyn wszystkich luster, a następnie zamiana par sekwencyjnych. Grupa połówkowa [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] + ma generatory do kwadratu. n -odbicia obrotowe są podobne.

Przykłady
Wymiar notacja Coxetera Zamówienie Schemat Coxetera Operacja Generatory Podgrupa bezpośrednia
2 [2 pkt ] + 2 godz Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png Obrót {01} [2 pkt ] +2 Prosta rotacja:
[2 p ] +2 = [ p ] +
rząd p
3 [2 pkt + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png odbicie obrotowe {012} [2 p + ,2 + ] +
4 [2 p + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png podwójna rotacja {0123} [2 p + ,2 + ,2 + ] +
5 [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png podwójne odbicie obrotowe {01234} [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ] +
6 [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójna rotacja {012345} [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] +
7 [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójne odbicie obrotowe {0123456} [2 p + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] +
4 [2 p + ,2 + ,2 q + ] 2 pq Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h2.png podwójna rotacja {0123,
0132}
[2 p + ,2 + ,2 q + ] + Podwójna rotacja:
[2 p + ,2 + ,2 q + ] +
rząd pq
5 [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png podwójne odbicie obrotowe {01234,
01243}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ] +
6 [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójna rotacja {012345,
012354,
013245}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 + ] +
7 [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójne odbicie obrotowe {0123456,
0123465,
0124356,
0124356}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 + ,2 + ] +
6 [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ] 2 pqr Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel r.pngWęzeł CDel h2.png potrójna rotacja {012345,
012354,
013245}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ] + Potrójna rotacja:
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ] +
kolejność pqr
7 [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel r.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png potrójne odbicie obrotowe {0123456,
0123465,
0124356,
0213456}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ,2 + ] +

Podgrupy komutatorów

Podgrupy [4,4], aż do podgrupy komutatorów, indeks 8

Grupy proste z tylko elementami gałęzi nieparzystego rzędu mają tylko jedną podgrupę obrotową/translacyjną rzędu 2, która jest również podgrupą komutatora , przykłady [3,3] + , [3,5] + , [3,3,3] + , [3,3,5] + . Dla innych grup Coxetera z rozgałęzieniami parzystego rzędu podgrupa komutatora ma indeks 2 c , gdzie c jest liczbą odłączonych podgrafów, gdy wszystkie rozgałęzienia parzystego rzędu są usunięte.

Na przykład, [4,4] ma trzy niezależne węzły na diagramie Coxetera po usunięciu 4 s, więc jego podgrupa komutatora ma indeks 2 3 i może mieć różne reprezentacje, wszystkie z trzema + operatorami: [4 + ,4 + ] + , [1 + ,4,1 + ,4,1 + ], [1 + ,4,4,1 + ] + , lub [(4 + ,4 + ,2 + )]. Ogólny zapis może być użyty z + c jako wykładnikiem grupy, np. [4,4] +3 .

Przykładowe podgrupy

Przykładowe podgrupy rang 2

Grupy symetrii dwuściennej z rzędami parzystymi mają kilka podgrup. Ten przykład pokazuje dwa zwierciadła generatora [4] na czerwono i zielono, i przygląda się wszystkim podgrupom przez dzielenie na pół, redukcję rang i ich bezpośrednie podgrupy. Grupa [4],Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.png ma dwa generatory zwierciadeł 0 i 1. Każdy z nich generuje dwa wirtualne zwierciadła 101 i 010 poprzez odbicie od drugiego.

Ranga 3 Przykładowe podgrupy euklidesowe

Grupa [4,4] ma 15 podgrup o małym indeksie. Ta tabela pokazuje je wszystkie, z żółtą podstawową domeną dla czystych grup refleksyjnych i naprzemiennymi białymi i niebieskimi domenami, które są sparowane, aby utworzyć domeny rotacyjne. Linie lustrzane koloru niebieskozielonego, czerwonego i zielonego odpowiadają tym samym kolorowym węzłom na diagramie Coxetera. Generatory podgrup mogą być wyrażone jako iloczyny oryginalnych 3 zwierciadeł podstawowej domeny {0,1,2}, odpowiadających 3 węzłom diagramu Coxetera,Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png. Iloczyn dwóch przecinających się linii odbicia wykonuje obrót, np. {012}, {12} lub {02}. Usunięcie lustra powoduje powstanie dwóch kopii sąsiednich lustra, w poprzek usuniętego lustra, np. {010} i {212}. Dwa obroty w serii zmniejszają kolejność rotacji o połowę, na przykład {0101} lub {(01) 2 }, {1212} lub {(02) 2 }. Iloczyn wszystkich trzech luster tworzy transrefleksję , jak {012} lub {120}.

Hiperboliczne podgrupy przykładowe

Ten sam zestaw 15 małych podgrup istnieje we wszystkich grupach trójkątów z elementami parzystego rzędu, jak [6,4] w płaszczyźnie hiperbolicznej:

Rozszerzona symetria


Grupa tapet

Symetria trójkąta
Rozszerzona
symetria
Rozszerzony
schemat
Rozszerzona
grupa
Plastry miodu
p3m1 (*333) a1 Symetria trójkąta1.png [3 [3] ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.png (Żaden)
p6m (*632) i2 Symetria trójkąta3.png [[3 [3] ]] ↔ [6,3] Węzeł CDel c1.pngCDel split1.pngOddział CDel c2.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 6.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel split1.pngCDel oddział.png 1 ,CDel node.pngCDel split1.pngOddział CDel 11.png 2
p31m (3*3) g3 Symetria trójkąta2.png [3 + [3 [3] ]] ↔ [6,3 + ] CDel oddział.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png (Żaden)
s.6 (632) r6 Symetria trójkąta4.png [3[3 [3] ]] + ↔ [6,3] + Oddział CDel c1.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c1.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Oddział CDel hh.pngCDel split2.pngWęzeł CDel h.png (1)
p6m (*632) [3[3 [3] ]] ↔ [6,3] Oddział CDel 11.pngCDel split2.pngWęzeł CDel 1.png 3
W płaszczyźnie euklidesowej grupa Coxetera , [3 [3] ] może być rozszerzona na dwa sposoby do grupy Coxetera , [6,3] i odnosi jednolite kafelki jako diagramy pierścieniowe.

Notacja Coxetera obejmuje notację z podwójnym nawiasem kwadratowym, [[X]], aby wyrazić automorficzną symetrię w diagramie Coxetera. Johnson dodał alternatywne podwojenie za pomocą nawiasu kątowego <[X]>. Johnson dodał również przedrostkowy modyfikator symetrii [Y[X]], gdzie Y może reprezentować symetrię diagramu Coxetera [X] lub symetrię podstawowej dziedziny [X].

Na przykład w 3D te równoważne diagramy geometrii prostokątów i rombów :CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png oraz CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png, pierwszy podwojony z nawiasami kwadratowymi, [[3 [4] ]] lub dwukrotnie podwojony jako [2[3 [4] ]], z [2], 4 rzędu wyższej symetrii. Aby odróżnić drugi, nawiasy skośne są używane do podwojenia, <[3 [4] ]> i dwukrotnie podwojone jako <2[3 [4] ]>, również z inną symetrią [2] rzędu 4. W końcu pełną symetrię, w której wszystkie 4 węzły są równoważne, można przedstawić za pomocą [4[3 [4] ]], z rzędem 8, [4] symetrii kwadratu . Ale biorąc pod uwagę podstawową domenę tetragonalną disfenoid, [4] rozszerzoną symetrię grafu kwadratowego można wyraźniej oznaczyć jako [(2 + ,4)[3 [4] ]] lub [2 + ,4[3 [4] ] ].

Ponadto istnieje symetria w cyklicznej i rozgałęzienia , i wykresów. ma symetrię rzędu 2 n regularnego n- gonu, { n } i jest reprezentowana przez [ n [3 [ n ] ]]. i są reprezentowane odpowiednio przez [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] i [3[3 2,2,2 ]], natomiast przez [(3,3)[3 1,1, 1,1 ]] = [3,3,4,3], z diagramem zawierającym symetrię rzędu 24 czworościanu foremnego , {3,3}. Parazwarta grupa hiperboliczna = [3 1,1,1,1,1 ],CDel node.pngCDel oddział3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, zawiera symetrię komórki 5 , {3,3,3}, a zatem jest reprezentowana przez [(3,3,3)[3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4, 3,3,3].

Gwiazdka * w indeksie górnym są skutecznie operacja odwrotna, tworząc rodniki podgrupy usuwania połączony nieparzystych uporządkowane luster.

Przykłady:

Przykład Grupy rozszerzone i podgrupy radykalne
Rozszerzone grupy Podgrupy radykalne Diagramy Coxetera Indeks
[3[2,2]] = [4,3] [4,3*] = [2,2] Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png = Węzeł CDel c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.png 6
[(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3] [4,(3,3)*] = [2,2,2] Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.png = CDel nodeab c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.png 24
[1[3 1,1 ]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1 + ] = [3,3] Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.png 2
[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] [3*,4,3] = [3 1,1,1 ] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.png = Węzeł CDel c1.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c2.png 6
[2[3 1,1,1,1 ]] = [4,3,3,4] [1 + ,4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1 ] Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c3.png 4
[3[3,3 1,1,1 ]] = [3,3,4,3] [3*,4,3,3] = [3 1,1,1,1 ] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.png = Węzeł CDel c1.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.png 6
[(3,3)[3 1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*] = [3 1,1,1,1 ] Węzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 24
[2[3,3 1,1,1,1 ]] = [3,(3,4) 1,1 ] [3,(3,4,1 + ) 1,1 ] = [3,3 1,1,1,1 ] Węzeł CDel c4.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png = Węzeł CDel c4.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.png 4
[(2,3)[ 1,1 3 1,1,1 ]] = [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1,1,1 ] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c3.png 12
[(3,3)[3,3 1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*] = [3 1,1,1,1,1 ] Węzeł CDel c3.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.png = Węzeł CDel c3.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 24
[(3,3,3)[3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*] = [3 1,1,1,1,1 ] Węzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.png = Węzeł CDel c1.pngCDel oddział3 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 120
Rozszerzone grupy Podgrupy radykalne Diagramy Coxetera Indeks
[1[3 [3] ]] = [3,6] [3,6,1 + ] = [3 [3] ] Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel split1.pngOddział CDel c2.png 2
[3[3 [3] ]] = [6,3] [6,3*] = [3 [3] ] Węzeł CDel c1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png = Węzeł CDel c1.pngCDel split1.pngOddział CDel c1.png 6
[1[3,3 [3] ]] = [3,3,6] [3,3,6,1 + ] = [3,3 [3] ] Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c3.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel split1.pngOddział CDel c3.png 2
[(3,3)[3 [3,3] ]] = [6,3,3] [6,(3,3)*] = [3 [3,3] ] Węzeł CDel c1.pngCDel 6.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.png = Węzeł CDel c1.pngCDel splitsplit1.pngCDel oddział4 c1.pngCDel splitsplit2.pngWęzeł CDel c1.png 24
[1[∞] 2 ] = [4,4] [4,1 + ,4] = [∞] 2 = [∞,2,∞] Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c2.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngOddział CDel c1-2.pngCDel labelinfin.png 2
[2[∞] 2 ] = [4,4] [1 + ,4,4,1 + ] = [(4,4,2*)] = [∞] 2 Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c2.pngCDel 2.pngOddział CDel c2.pngCDel labelinfin.png 4
[4[∞] 2 ] = [4,4] [4,4*] = [∞] 2 Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 4sg.pngWęzeł CDel g.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngOddział CDel c1.pngCDel labelinfin.png 8
[2[3 [4] ]] = [4,3,4] [1 + ,4,3,4,1 + ] = [(4,3,4,2*)] = [3 [4] ] Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png = Węzeł CDel c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.pngCDel split2.pngWęzeł CDel c1.png = CDel nodeab c1.pngCDel splitcross.pngCDel nodeab c2.png 4
[3[∞] 3 ] = [4,3,4] [4,3*,4] = [∞] 3 = [∞,2,∞,2,∞] Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c2.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.png 6
[(3,3)[∞] 3 ] = [4,3 1,1 ] [4,(3 1,1 )*] = [∞] 3 Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.png 24
[(4,3)[∞] 3 ] = [4,3,4] [4,(3,4)*] = [∞] 3 Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 4g.pngWęzeł CDel g.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.png 48
[(3,3)[∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4] = [∞] 4 Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c2.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1-2.png 24
[(4,3,3)[∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*] = [∞] 4 Węzeł CDel c1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3g.pngWęzeł CDel g.pngCDel 3sg.pngWęzeł CDel g.pngCDel 4g.pngWęzeł CDel g.png = CDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngOddział CDel c1.png 384

Patrząc na generatory, podwójna symetria jest postrzegana jako dodanie nowego operatora, który odwzorowuje symetryczne pozycje na diagramie Coxetera, przez co niektóre oryginalne generatory są zbędne. Dla grup przestrzennych 3D i grup punktów 4D Coxeter definiuje indeks dwa podgrupy [[X]], [[X] + ], które definiuje jako iloczyn oryginalnych generatorów [X] przez generator podwajający. Wygląda to podobnie do [[X]] + , która jest chiralną podgrupą [[X]]. Na przykład grupy przestrzenne 3D [[4,3,4]] + (I432, 211) i [[4,3,4] + ] (Pm 3 n, 223) są odrębnymi podgrupami [[4,3, 4]] (Im 3 m, 229).

Grupy rangowe

W jednym wymiarze dwustronna grupa [ ] reprezentuje symetrię pojedynczego lustrzaną, abstrakcyjną Dih 1 lub Z 2 , porządek symetrii 2. Jest reprezentowana jako diagram Coxetera-Dynkina z pojedynczym węzłem,CDel node.png. Grupa tożsamościowa to bezpośrednia podgrupa [ ] + , Z 1 , porządek symetrii 1. Indeks górny + po prostu sugeruje, że alternatywne odbicia lustrzane są ignorowane, pozostawiając grupę tożsamościową w tym najprostszym przypadku. Coxeter użył pojedynczego otwartego węzła do reprezentowania alternatywy,Węzeł CDel h2.png.

Grupa notacja Coxetera Schemat Coxetera Zamówienie Opis
C 1 [ ] + Węzeł CDel h2.png 1 Tożsamość
D 2 [ ] CDel node.png 2 Grupa refleksji

Ranguj dwie grupy

Sześciokąt foremny z oznaczeniami na krawędziach i wierzchołkach ma 8 symetrii: [6], [3], [2], [1], [6] + , [3] + , [2] + , [1] + , z [3] i [1] występującymi w dwóch formach, w zależności od tego, czy lustra znajdują się na krawędziach czy wierzchołkach.

W dwóch wymiarach grupa prostokątna [2], abstrakcyjna D 2 2 lub D 4 , może być również reprezentowana jako iloczyn bezpośredni [ ]×[ ], będący iloczynem dwóch grup dwustronnych, reprezentuje dwa ortogonalne zwierciadła, z diagramem Coxetera,CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, z rzędem 4. 2 w [2] pochodzi z linearyzacji podwykresów ortogonalnych w diagramie Coxetera, jakoCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.pngz wyraźnym porządkiem rozgałęzień 2. Grupa rombowa , [2] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png), połowa grupy prostokątnej, punktowa symetria odbicia , Z 2 , rząd 2.

Notacja Coxetera, aby umożliwić 1 symbol zastępczy dla niższych grup rang, więc [1] to to samo co [ ], a [1 + ] lub [1] + to to samo co [ ] + i diagram CoxeteraWęzeł CDel h2.png.

Pełna grupa p-GONAL [P], streszczenie dwuściennej grupy D 2 P ( nieabelowe dla p> 2), w celu 2 p , jest generowany przez dwa lustra pod kątem gatunku / s , przedstawiony schemat CoxeterCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png. P GONAL podgrupy [u] + , cykliczną grupę Z P , zlecenia s , generowany przez kąt obrotu  gatunku / P .

Notacja Coxetera wykorzystuje podwójne nawiasy klamrowe do reprezentowania automorficznego podwojenia symetrii przez dodanie dwusiecznego lustra do domeny podstawowej . Na przykład [[p]] dodaje dwusieczne lustro do [p] i jest izomorficzne z [2p].

W granicy, schodząc do jednego wymiaru, pełna grupa apeirogonalna jest uzyskiwana, gdy kąt dochodzi do zera, więc [∞], abstrakcyjnie nieskończona grupa dwuścienna D , reprezentuje dwa równoległe zwierciadła i ma diagram CoxeteraCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png. Grupa apeirogonalna [∞] + ,Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.png, Abstract nieskończoności cykliczną grupę Z , izomorficzny w dodatku grupę o całkowitymi , są generowane przez jeden translacji niezerowej.

W płaszczyźnie hiperbolicznej występuje pełna grupa pseudogonalna [ iπ/λ ] oraz podgrupa pseudogonalna [ iπ/λ ] + ,Węzeł CDel h2.pngCDel ultra.pngWęzeł CDel h2.png. Grupy te istnieją w regularnych wielokątach o nieskończonych bokach, o długości krawędzi λ. Wszystkie lustra są prostopadłe do jednej linii.

Grupa Międzynarodowy Orbifold Coxeter Schemat Coxetera Zamówienie Opis
Skończone
Z n n n• [n] + Węzeł CDel h2.pngCDel n.pngWęzeł CDel h2.png n Cykliczne: n- krotne obroty. Grupa abstrakcyjna Z n , grupa liczb całkowitych pod addycją modulo n .
D 2 n n m *n• [n] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png 2 n Dwuścienny: cykliczny z refleksami. Grupa abstrakcyjna Dih n , grupa dwuścienna .
Affine
Z ∞• [∞] + Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.png Cykliczny: grupa apeirogonalna . Grupa abstrakcyjna Z , grupa dodawanych liczb całkowitych.
DIH m *∞• [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Dwuścienne: odbicia równoległe. Abstrakcyjna nieskończona grupa dwuścienna Dih .
Hiperboliczny
Z [πi/λ] + Węzeł CDel h2.pngCDel ultra.pngWęzeł CDel h2.png grupa pseudogonalna
DIH [πi/λ] CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png pełna grupa pseudogonalna

Ranguj trzy grupy

Grupy punktowe w 3 wymiarach można wyrazić w notacji nawiasowej związanej z grupą Coxetera rang 3:

W trzech wymiarach pełna grupa rombowa lub ortoprostokątna [2,2], abstrakcyjnie Z 2 3 , rząd 8, reprezentuje trzy ortogonalne zwierciadła (również reprezentowane przez diagram Coxetera jako trzy oddzielne kropkiCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png). Może być również reprezentowana jako iloczyn bezpośredni [ ]×[ ]×[ ], ale wyrażenie [2,2] pozwala na zdefiniowanie podgrup:

Najpierw istnieje podgrupa „półbezpośrednia”, grupa rombowa , [2,2 + ] (CDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png lub CDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png), abstrakcyjnie Z 2 × Z 2 , rzędu 4. Gdy + jest podany wewnątrz nawiasów, oznacza to odbicia generowane tylko z sąsiednich luster (zgodnie z diagramem Coxetera,CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png) są naprzemienne. Ogólnie rzecz biorąc, rzędy gałęzi sąsiadujące z węzłem + muszą być parzyste. W tym przypadku [2,2 + ] i [2 + ,2] reprezentują dwie izomorficzne podgrupy, które są geometrycznie różne. Pozostałe podgrupy to grupa pararombowa [2,2] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png), kolejność 4 i wreszcie grupę centralną [2 + ,2 + ] (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) z rzędu 2.

Dalej jest pełna grupa orto- p- gonalna , [2,p] (CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png), abstrakcyjnie Z 2 × D 2 p , rzędu 4p, reprezentującego dwa zwierciadła pod dwuściennym kątem π/ p i oba są prostopadłe do trzeciego zwierciadła. Jest również reprezentowany przez diagram Coxetera jakoCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

Podgrupę bezpośrednią nazywamy grupą para- p- gonalną, [2,p] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png), abstrakcyjnie D 2 p , rzędu 2p, a inna podgrupa to [2,p + ] (CDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png) abstrakcyjnie Z 2 × Z p , również rzędu 2p.

Pełny żyroskop p-GONAL grupę [2 + 2 s ] (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel p.pngCDel node.png), abstrakcyjnie D 4 p , rzędu 4 p . Grupa żyro- p- gonalna, [2 + ,2p + ] (Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png), abstrakcyjnie Z 2 p , rzędu 2 p jest podgrupą zarówno [2 + ,2 p ] jak i [2,2 p + ].

Do grupy wielościenne w oparciu o symetrii platonicznych stałych : w Tetrahedron , ośmiościanu , kostki , dwudziestościanu i dwunastościanu , ze symbol schläfliego {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} i odpowiednio {5,3}. Grupy Coxetera dla nich to: [3,3] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), [3,4] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png), [3,5] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png) O nazwie pełnej czworościennych symetrii , ośmiościenny symetrii i ikozahedralnymi symetrii z rzędów 24, 48 i 120.

Symetria pirytoedryczna [3+,4] jest podgrupą indeksu 5 symetrii dwudziestościennej [5,3].

We wszystkich tych symetriach można usunąć odbicia naprzemienne, tworząc rotacyjny czworościan [3,3] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png), oktaedryczny [3,4] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png) i dwudziestościan [3,5] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 5.pngWęzeł CDel h2.png) grupy rzędu 12, 24 i 60. Grupa oktaedryczna ma również unikalną podgrupę indeksu 2 zwaną grupą symetrii pirytoedrycznej [3 + , 4] (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngCDel node.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel 4.pngCDel node.png) rzędu 12, z połączeniem symetrii obrotowej i odbiciowej. Symetria pirytoedryczna jest również podgrupą indeksu 5 symetrii dwudziestościennej:Węzeł CDel n0.pngCDel 5.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png --> CDel 2 n0.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3 n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngWęzeł CDel h2.png, z wirtualnym lustrem 1 w poprzek 0 , {010} i 3-krotnym obrotem {12}.

Grupa tetraedryczna [3,3] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), ma podwojenie [[3,3]] (które mogą być reprezentowane przez kolorowe węzły Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png), mapując pierwsze i ostatnie zwierciadła na siebie, co daje w wyniku [3,4] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png lub Węzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 4.pngCDel node.png) Grupa. Podgrupa [3,4,1 + ] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2c.pngCDel 4.pngCDel 2c.pngWęzeł CDel h2.png lub CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png) jest tym samym co [3,3], oraz [3 + ,4,1 + ] (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2c.pngCDel 4.pngCDel 2c.pngWęzeł CDel h2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png) jest tym samym co [3,3] + .

Affine

Na płaszczyźnie euklidesowej znajdują się 3 podstawowe grupy refleksyjne generowane przez 3 lustra, reprezentowane przez diagramy Coxetera CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, oraz CDel node.pngCDel split1.pngCDel oddział.png, i są podane w notacji Coxetera jako [4,4], [6,3] i [(3,3,3)]. Nawiasy ostatniej grupy implikują cykl diagramu, a także mają notację skróconą [3 [3] ].

[[4,4]] jako podwojenie grupy [4,4] dało taką samą symetrię obróconą o π/4 z oryginalnego zestawu luster.

Bezpośrednie podgrupy symetrii obrotowej to: [4,4] + , [6,3] + , oraz [(3,3,3)] + . [4 + ,4] i [6,3 + ] są podgrupami półbezpośrednimi.

Semiaffine ( grupy fryzowe )
IUC Kula. Geo Sch. Coxeter
p1 ∞∞ p 1 C [∞] = [∞,1] + = [∞ + ,2,1 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.png = Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h0.png
p1m1 *∞∞ p1 C ∞v [∞] = [∞,1] = [∞,2,1 + ] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel h0.png
p11g ∞× P. g 1 S 2∞ [∞ + ,2 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
p11m * P. 1 C ∞h [∞ + ,2] Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png
p2 22∞ p 2 D [∞,2] + Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
p2mg 2*∞ p2 g D d [∞,2 + ] CDel node.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
p2mm *22∞ p2 D ∞h [∞,2] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Affine ( grupy tapet )
IUC Kula. Geo. Coxeter
p2 2222 p 2 [4,1 + ,4] + CDel labelh.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngOddział CDel h2h2.pngEtykieta CDel2.png
p2gg 22× p g 2 g [4 + ,4 + ] Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png
p2mm *2222 p2 [4,1 + ,4] CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.pngCDel 4.pngCDel node.png
c2mm 2*22 c2 [[4 + ,4 + ]] Węzeł CDel h4b.pngCDel split1-44.pngWęzły CDel h2h2.png
p4 442 p 4 [4,4] + Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png
p4gm 4*2 p g 4 [4 + ,4] Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngCDel node.png
p4mm *442 p4 [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
p3 333 p 3 [1 + ,6,3 + ] = [3 [3] ] + Węzeł CDel h0.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png = Oddział CDel h2h2.pngCDel split2.pngWęzeł CDel h2.png
p3m1 *333 p3 [1 + ,6,3] = [3 [3] ] Węzeł CDel h0.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel oddział.pngCDel split2.pngCDel node.png
p31m 3*3 h3 [6,3 + ] = [3[3 [3] ] + ] CDel node.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
p6 632 p 6 [6,3] + = [3[3 [3] ]] + Węzeł CDel h2.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
p6mm *632 p6 [6,3] = [3[3 [3] ]] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Podane w notacji Coxetera ( notacja orbifold ), niektóre podgrupy afiniczne o niskim indeksie to:


Grupa refleksyjna

Podgrupa refleksyjna

Podgrupa mieszana

Podgrupa rotacji
Niewłaściwa rotacja /
translacja

Podgrupa komutatorów
[4,4], (*442) [1 + ,4,4], (*442)
[4,1 + ,4], (*2222)
[1 + ,4,4,1 + ], (*2222)
[4 + ,4], (4*2)
[(4,4,2 + )], (2*22)
[1 + ,4,1 + ,4], (2*22)
[4,4] + , (442)
[1 + ,4,4 + ], (442)
[1 + ,4,1 + 4,1 + ], (2222)
[4 + ,4 + ], (22×) [4 + ,4 + ] + , (2222)
[6,3], (*632) [1 + ,6,3] = [3 [3] ], (*333) [3 + ,6], (3*3) [6,3] + , (632)
[1 + ,6,3 + ], (333)
[1 + ,6,3 + ], (333)

Zaszereguj cztery grupy

Drzewo grupy polichóralnej.png
Relacje podgrup

Grupy punktowe

Ranga cztery grupy zdefiniowały 4-wymiarowe grupy punktów :

Grupy skończone
[ ]: CDel node.png
Symbol Zamówienie
[1] + 1,1
[1] = [ ] 2,1
[2]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[1 + ,2] + 1,1
[2] + 2,1
[2] 4.1
[2,2]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[2 + ,2 + ] +
= [(2 + ,2 + ,2 + )]
1,1
[2 + ,2 + ] 2,1
[2,2] + 4.1
[2 + ,2] 4.1
[2,2] 8.1
[2,2,2]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[(2 + ,2 + ,2 + ,2 + )]
= [2 + ,2 + ,2 + ] +
1,1
[2 + ,2 + ,2 + ] 2,1
[2 + ,2,2 + ] 4.1
[(2,2) + ,2 + ] 4
[[2 + ,2 + ,2 + ]] 4
[2,2,2] + 8
[2 + ,2,2] 8.1
[(2,2) + ,2] 8
[[2 + ,2,2 + ]] 8.1
[2,2,2] 16,1
[[2,2,2]] + 16
[[2,2 + ,2]] 16
[[2,2,2]] 32
[ p ]:CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[ p ] + P
[ p ] 2p
[p,2]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[ p ,2] + 2 godz
[ p ,2] 4 godz
[2p,2 + ]:CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[2 pkt ,2 + ] 4 godz
[2 pkt + ,2 + ] 2 godz
[ p ,2,2]:CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[ p + ,2,2 + ] 2 godz
[( p ,2) + ,2 + ] 2 godz
[ p ,2,2] + 4 godz
[ p ,2,2 + ] 4 godz
[p + ,2,2] 4 godz
[(p,2) + ,2] 4 godz
[p,2,2] 8 godz
[2 p ,2 + ,2]:CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[2 p + ,2 + ,2 + ] + P
[2 p + ,2 + ,2 + ] 2 godz
[2 p + ,2 + ,2] 4 godz
[2 p + ,(2,2) + ] 4 godz
[2 pkt ,(2,2) + ] 8 godz
[2 pkt ,2 + ,2] 8 godz
[ p ,2, q ]:CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[ p + ,2, q + ] pq
[ p ,2, q ] + 2 pq
[ p + ,2, q ] 2 pq
[ p ,2, q ] 4 pq
[( p ,2) + ,2 q ]:CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[( p ,2) + ,2 q + ] 2 pq
[( p ,2) + ,2 q ] 4 pq
[2 p ,2,2 q ]:CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[2 p + ,2 + ,2 q + ] + =
[(2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + )]
pq
[2 p + ,2 + ,2 q + ] 2pq
[2 p ,2 + ,2 q + ] 4 pq
[((2 p ,2) + ,(2 q ,2) + )] 4 pq
[2 p ,2 + ,2 q ] 8 pq
[[ p ,2, p ]]:CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[[ p + ,2, p + ]] 2 pkt 2
[[ p ,2, p ]] + 4 pkt 2
[[ p ,2, p ] + ] 4 pkt 2
[[ p ,2, p ]] 8 pkt 2
[[2 p ,2,2 p ]]:CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[[(2 p + ,2 + ,2 p + ,2 + )]] 2 pkt 2
[[2 p + ,2 + ,2 p + ]] 4 pkt 2
[[((2 p ,2) + ,(2 p ,2) + )]] 8 pkt 2
[[2 p ,2 + ,2 p ]] 16 pkt 2
[3,3,2]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[(3,3) Δ ,2,1 + ]
≅ [2,2] +
4
[(3,3) Δ ,2]
≅ [2,(2,2) + ]
8
[(3,3) ,2,1 + ]
≅ [4,2 + ]
8
[(3,3) + ,2,1 + ]
= [3,3] +
12,5
[(3,3) ,2]
≅ [2,4,2 + ]
16
[3,3,2,1 + ]
= [3,3]
24
[(3,3) + ,2] 24.10
[3,3,2] + 24.10
[3,3,2] 48,36
[4,3,2]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[1 + ,4,3 + ,2,1 + ]
= [3,3] +
12
[3 + ,4,2 + ] 24
[(3,4) + ,2 + ] 24
[1 + ,4,3 + ,2]
= [(3,3) + ,2]
24.10
[3 + ,4,2,1 + ]
= [3 + ,4]
24.10
[(4,3) + ,2,1 + ]
= [4,3] +
24.15
[1 + ,4,3,2,1 + ]
= [3,3]
24
[1 + ,4,(3,2) + ]
= [3,3,2] +
24
[3,4,2 + ] 48
[4,3 + ,2] 48,22
[4,(3,2) + ] 48
[(4,3) + ,2] 48,36
[1 + ,4,3,2]
= [3,3,2]
48,36
[4,3,2,1 + ]
= [4,3]
48,36
[4,3,2] + 48,36
[4,3,2] 96,5
[5,3,2]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[(5,3) + ,2,1 + ]
= [5,3] +
60,13
[5,3,2,1 + ]
= [5,3]
120,2
[(5,3) + ,2] 120,2
[5,3,2] + 120,2
[5,3,2] 240 (bk)
[3 1,1,1 ]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Symbol Zamówienie
[3 1,1,1 ] Δ
≅[[4,2 + ,4]] +
32
[3 1,1,1 ] 64
[3 1,1,1 ] + 96,1
[3 1,1,1 ] 192,2
<[3,3 1,1 ]>
= [4,3,3]
384,1
[3[3 1,1,1 ]]
= [3,4,3]
1152.1
[3,3,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[3,3,3] + 60,13
[3,3,3] 120,1
[[3,3,3]] + 120,2
[[3,3,3] + ] 120,1
[[3,3,3]] 240,1
[4,3,3]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[1 + ,4,(3,3) Δ ]
= [3 1,1,1 ] Δ
≅ [[4,2 + ,4]] +
32
[4,(3,3) Δ ]
= [2 + ,4[2,2,2] + ]
≅[[4,2 + ,4]]
64
[1 + ,4,(3,3) ]
= [3 1,1,1 ]
64
[1 + ,4,(3,3) + ]
= [3 1,1,1 ] +
96,1
[4 (3,3) ]
≅ [[4,2,4]]
128
[1 + ,4,3,3]
= [3 1,1,1 ]
192,2
[4,(3,3) + ] 192.1
[4,3,3] + 192,3
[4,3,3] 384,1
[3,4,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[3 + ,4,3 + ] 288.1
[3,4,3 ]
= [4,3,3]
384,1
[3,4,3] + 576,2
[3 + ,4,3] 576,1
[[3 + ,4,3 + ]] 576 (bk)
[3,4,3] 1152.1
[[3,4,3]] + 1152 (bk)
[[3,4,3] + ] 1152 (bk)
[[3,4,3]] 2304 (bk)
[5,3,3]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Symbol Zamówienie
[5,3,3] + 7200 (bk)
[5,3,3] 14400 (nc)

Podgrupy

Grupy kosmiczne

Uszereguj cztery grupy jako 3-wymiarowe grupy przestrzenne
Trójklinika (1-2)
Coxeter Grupa kosmiczna
[∞ + ,2,∞ + ,2,∞ + ] (1) P1
Jednoskośna (3-15)
Coxeter Grupa kosmiczna
[(∞,2,∞) + ,2,∞ + ] (3) P2
[∞ + ,2,∞ + ,2,∞] (6) Pm
[(∞,2,∞) + ,2,∞] (10) P2/m²
rombowy (16-74)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Coxeter Grupa kosmiczna
[∞,2,∞,2,∞] + (16) P222
[[∞,2,∞,2,∞]] + (23) I222
[∞ + ,2,∞,2,∞] (25) Pmm2
[∞,2,∞,2,∞] (47)
[[∞,2,∞,2,∞]] (71)
[∞ + ,2,∞ + ,2,∞ + ]
[∞,2,∞,2 + ,∞]
[∞,2 + ,∞,2 + ,∞]
Tetragonalnej (75-142)
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Coxeter Grupa kosmiczna
[(4,4) + ,2,∞ + ] (75) P4
[2 + [(4,4) + ,2,∞ + ]] (79) I4
[(4,4) + ,2,∞] (83) P4/m²
[2 + [(4,4) + ,2,∞]] (87) I4/m
[4,4,2,∞] + (89) P422
[2 + [4,4,2,∞]] + (97) I422
[4,4,2,∞ + ] (99) P4mm
[4,4,2,∞] (123) P4/mmm
[2 + [4,4,2,∞]] (139) I4/mmm
[4,(4,2) + ,∞] (140) I4/mcm
[4,4,2 + ,∞]
[(4,4) + ,2 + ,∞]
[4,4,2 + ,∞ + ]
[(4,4) + ,2 + ,∞ + ]
[4 + ,4 + ,2 + ,∞]
[4,4 + ,2,∞]
[4,4 + ,2 + ,∞]
[((4,2 + ,4)),2,∞]
[4,4 + ,2,∞ + ]
[4,4 + ,2 + ,∞ + ]
[((4,2 + ,4)),2,∞ + ]
Trójkątna (143-167), romboedryczna
Coxeter Grupa kosmiczna
Sześciokątny (168-194)
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
[(6,3) + ,2,∞ + ] (168) P6
[(6,3) + ,2,∞] (175) P6/m²
[6,3,2,∞] + (177) P622
[6,3,2,∞ + ] (183) P6mm
[6,3,2,∞] (191) P6/mmm
[(3 [3] ) + ,2,∞ + ]
[3 [3] ,2,∞]
[6,3 + ,2,∞]
[6,3 + ,2,∞ + ]
[3 [3] ,2,∞] +
[3 [3] ,2,∞ + ]
[(3 [3] ) + ,2,∞]
Sześcienny (195-230)
Grupa Coxeter Grupa kosmiczna Indeks
[[4,3,4]] [[4,3,4]] (229) Jestem 3 m 1
[[4,3,4]] + (211) I432 2
[[4,3,4] + ] (223) Pm 3 n 2
[[4,3 + ,4]] (204) Ja 3 2
[[(4,3,4,2 + )]] (217) I 4 3m 2
[[4,3 + ,4]] + (197) I23 4
[[4,3,4] + ] + (208) P4 2 32 4
[[4,3 + ,4)] + ] (201) Pn 4 3 4
[[(4,3,4,2 + )] + ] (218) P 4 3n 4
[4,3,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[4,3,4] (221) pm 3 m 2
[4,3,4] + (207) P432 4
[4,3 + ,4] (200) po południu 3 4
[4,(3,4) + ] (226) Fm 3 c 4
[(4,3,4,2 + )] (215) P 4 3m 4
[[{4,(3} + ,4) + ]] (228) Fd 3 c 4
[4,3 + ,4] + (195) P23 8
[{4,(3} + ,4) + ] (219) F 4 3c 8
[4,3 1,1 ]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png
[4,3 1,1 ] (225) Fm 3 m 4
[4,(3 1,1 ) + ] (202) Fm 3 8
[4,3 1,1 ] + (209) F432 8
[[3 [4] ]]
CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
[(4 + ,2 + )[3 [4] ]] (222) Pn 3 n 2
[[3 [4] ]] (227) Fd 3 m 4
[[3 [4] ]] + (203) Fd 3 8
[[3 [4] ] + ] (210) F4 1 32 8
[3 [4] ]
CDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.png
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png
[3 [4] ] (216) F 4 3m 8
[3 [4] ] + (196) F23 16

Grupy linii

Czwarta ranga grup określała również 3-wymiarowe grupy liniowe :

Grupa duopryzmatyczna

Czwarta ranga grup określała 4-wymiarowe grupy duopryzmatyczne. W limicie, gdy p i q idą w nieskończoność, degenerują się na 2 wymiary i grupy tapet.

Grupy tapet

Czwarte grupy zdefiniowały również niektóre z dwuwymiarowych grup tapet , jako ograniczające przypadki czterowymiarowych grup duopryzmowych:

Podgrupy [∞,2,∞], (*2222) można wyrazić aż do indeksu 16 podgrupy komutatorów:

Złożone refleksje

Wszystkie relacje podgrup w grupach Shepharda rangi 2.

Notacja Coxetera została rozszerzona do przestrzeni zespolonej , C n , gdzie węzły są unitarnymi odbiciami okresu 2 lub większego. Węzły są oznaczone indeksem, który przyjmuje się, że wynosi 2 dla zwykłego rzeczywistego odbicia, jeśli jest stłumiony. Złożone grupy refleksyjne nazywane są grupami Shepharda, a nie grupami Coxetera i mogą być używane do konstruowania złożonych politopów .

W , grupa pasterzy rangi 1CDel pnode.png, porządek p , jest reprezentowany jako p [], [] p lub ] p [. Ma pojedynczy generator, reprezentujący obrót w radianach 2 π / p w płaszczyźnie zespolonej : .

Coxeter zapisuje grupę zespoloną rang 2, p [ q ] r reprezentuje diagram Coxetera CDel pnode.pngCDel 3.pngCDel q.pngCDel 3.pngCDel rnode.png. P i R powinny być zniesione tylko wtedy, gdy oba są 2, który jest rzeczywistym przypadku [ P ]. Rząd grupy rang 2 p [ q ] r to .

Rozwiązania rangi 2 generujące wielokąty zespolone to: p [4] 2 ( p to 2,3,4,...), 3 [3] 3 , 3 [6] 2 , 3 [4] 3 , 4 [3 ] 4 , 3 [8] 2 , 4 [6] 2 , 4 [4] 3 , 3 [5] 3 , 5 [3] 5 , 3 [10] 2 , 5 [6] 2 , 5 [4] 3 z diagramami CoxeteraCDel pnode.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel 3node.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, CDel 3node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 3node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, CDel 4node.pngCDel 3.pngCDel 4node.png, CDel 3node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel 4node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 4node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, CDel 3node.pngCDel 5.pngCDel 3node.png, CDel 5node.pngCDel 3.pngCDel 5node.png, CDel 3node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel 5node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 5node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png.

Niektóre relacje podgrup między nieskończonymi grupami Pasterza

Nieskończone grupy to 3 [12] 2 , 4 [8] 2 , 6 [6] 2 , 3 [6] 3 , 6 [4] 3 , 4 [4] 4 i 6 [3] 6 lubCDel 3node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel 4node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel 6node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel 3node.pngCDel 6.pngCDel 3node.png, CDel 6node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, CDel 4node.pngCDel 4.pngCDel 4node.png, CDel 6node.pngCDel 3.pngCDel 6node.png.

Podgrupy indeksu 2 istnieją przez usunięcie rzeczywistego odbicia: p [2 q ] 2p [ q ] p . Również podgrupy indeksu r istnieją dla 4 gałęzi: p [4] rp [ r ] p .

Dla nieskończonej rodziny p [4] 2 , dla dowolnego p = 2, 3, 4,... istnieją dwie podgrupy: p [4] 2 → [ p ], indeks p , while i p [4] 2p []× p [], indeks 2.

Obliczenia z macierzami odbić jako generatorami symetrii

Grupa Coxetera, reprezentowana przez diagram Coxetera Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel q.pngWęzeł CDel n2.png, otrzymuje notację Coxetera [p,q] dla rzędów gałęzi. Każdy węzeł na diagramie Coxetera reprezentuje lustro, umownie nazywane ρ i (i macierz R i ). Te generatory z tej grupy [s, q] odbicia są: ρ 0 , ρ 1 i p 2 . Podsymetria obrotowa jest wyrażona jako iloczyn odbić: σ 0,1 (i macierz S 0,1 ) = ρ 0 ρ 1 reprezentuje obrót o kąt π/p, a σ 1,2 = ρ 1 ρ 2 jest obrót o kąt π/q, a σ 0,2 = ρ 0 ρ 2 reprezentuje obrót o kąt π/2.

[p,q] + ,Węzeł CDel h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel q.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngWęzeł CDel h2.png, jest podgrupą indeksu 2 reprezentowaną przez dwa generatory obrotu, z których każdy jest iloczynem dwóch odbić: σ 0,1 , σ 1,2 , i reprezentujących obroty odpowiednio kątów π/ p i π/ q .

Z jedną parzystą gałęzią [ p + ,2 q ],Węzeł CDel h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel n2.png lub Węzeł CDel h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2c.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel n2.png, to kolejna podgrupa o indeksie 2, reprezentowana przez generator rotacji σ 0,1 i odbicie ρ 2 .

Przy parzystych gałęziach [2 p + ,2 q + ],Węzeł CDel h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngWęzeł CDel h2.png, jest podgrupą o indeksie 4 z dwoma generatorami, skonstruowanymi jako iloczyn wszystkich trzech macierzy odbić: umownie jako: ψ 0,1,2 i ψ 1,2,0 , które są odbiciami obrotowymi , reprezentującymi odbicie i obrót lub odbicie.

W przypadku pokrewnych grup Coxetera, takich jak Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png, lub Węzeł CDel n0.pngCDel infin.pngWęzeł CDel n1.png, jedno lustro, zwykle ostatnie, jest tłumaczone ze źródła. Tłumaczenie generatora τ 0,1 (a macierz T 0,1 ) jest wykonany jako iloczyn dwóch (lub numeru nawet) odbicia, tym afinicznej odbicie. Transreflection (odbicie a także po angielsku) może być produktem z nieparzystą liczbę odbić cp 0,1,2 (i macierzy V, 0,1,2 ), na przykład w tabeli 4 podgrupyWęzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png: [4 + ,4 + ] =Węzeł CDel h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png.

Inny generator złożony, umownie jako ζ (i macierz Z), reprezentuje inwersję , odwzorowując punkt na jego odwrotność. Dla [4,3] i [5,3], ζ = (ρ 0 ρ 1 ρ 2 ) h/2 , gdzie h wynosi odpowiednio 6 i 10, liczba Coxetera dla każdej rodziny. Dla grupy 3D Coxetera [p,q] (CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png), ta podgrupa jest odbiciem obrotowym [2 + ,h + ].

Grupy Coxetera są kategoryzowane według ich rangi, czyli liczby węzłów na diagramie Coxetera-Dynkina . Struktura grup jest również podana wraz z ich abstrakcyjnymi typami grup: W tym artykule abstrakcyjne grupy dwuścienne są reprezentowane jako Dih n , a grupy cykliczne są reprezentowane przez Z n , gdzie Dih 1 = Z 2 .

Ranga 2

Grupy dwuścienne Grupy cykliczne
Domeny symetrii dwuściennej 2.png
[2]
Symetria cykliczna 2.png
[2] +
Domeny symetrii dwuściennej 3.png
[3]
Symetria cykliczna 3.png
[3] +
Domeny symetrii dwuściennej 4.png
[4]
Symetria cykliczna 4.png
[4] +
Domeny symetrii dwuściennej 6.png
[6]
Symetria cykliczna 6.png
[6] +

Przykład, w 2D, grupa Coxetera [ p ] (CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png) jest reprezentowana przez dwie macierze odbicia R 0 i R 1 , Symetria cykliczna [ p ] + (Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png) jest reprezentowany przez generator obrotów o macierzy S 0,1 .

[ p ],Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 P
Matryca

[2], Węzeł CDel n0.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2
Matryca

[3], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 3
Matryca

[4], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 4
Matryca

[6], Węzeł CDel n0.pngCDel 6.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 6
Matryca

[8], Węzeł CDel n0.pngCDel 8.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Obrót
Nazwa R 0
Węzeł CDel n0.png
R 1
Węzeł CDel n1.png
S 0,1 =R 0 ×R 1
Węzeł CDel h2.pngCDel 8.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 8
Matryca

Ranga 3

Grupy Coxetera o skończonej randze 3 to [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] i [3,5].

Aby odzwierciedlić punkt przez płaszczyznę (która przechodzi przez początek układu współrzędnych ), można użyć , gdzie jest macierzą jednostkową 3×3 i jest trójwymiarowym wektorem jednostkowym wektora normalnej płaszczyzny. Jeśli norma L2 z i jedność, macierz transformacji może być wyrażona jako:

[ p ,2]

Przykładowe dziedziny podstawowe, [5,2], jako trójkąty sferyczne

Redukowalna trójwymiarowa skończona grupa refleksyjna to symetria dwuścienna , [ p , 2], rząd 4 p ,Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n2.png. Generatorami odbicia są macierze R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 3 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [ p ,2] + (Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Odbicie rzędu p jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.

[p,2], Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obrót Odbicie rotacyjne
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2
Grupa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel p.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 P 2 2 godz
Matryca

[3,3]

linie odbicia dla [3,3] = Węzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png

Najprostszą nieredukowalną 3-wymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria tetraedryczna [3,3], rząd 24,Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png. Generatory odbicia, ze D 3 = a 3 konstrukcji są macierzami R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 3 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [3,3] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Trionic podgrupy , izomorficzna [2 + , 4] Kolejność 8, jest generowany przez S 0,2 i R 1 . Odbicie wirnika rzędu 4 jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.

[3,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obroty Odbicie rotacyjne
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2
Nazwa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 3 2 4
Matryca

(0,1,−1) n (1,−1,0) n (0,1,1) n (1,1,1) (1,1,−1) (1,0,0)

[4,3]

Linie odbicia dla [4,3] = Węzeł CDel c2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel c1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c1.png

Inną nieredukowalną 3-wymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria oktaedryczna [4,3], rząd 48,Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 4 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. Chiralna symetria oktaedryczna, [4,3] + , (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Symetria pirytoedryczna [4,3 + ], (Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) Jest generowana przez odbicia R 0 i obrót S 1,2 . Odbicie 6-krotne jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.

[4,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obroty Odbicie rotacyjne
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2
Grupa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 4 3 2 6
Matryca

(0,0,1) n (0,1,−1) n (1,−1,0) n (1,0,0) (1,1,1) (1,−1,0)

[5,3]

Linie odbicia dla [5,3] = Węzeł CDel c2.pngCDel 5.pngWęzeł CDel c2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel c2.png

Ostatnią nieredukowalną trójwymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria dwudziestościenna [5,3], rząd 120,Węzeł CDel n0.pngCDel 5.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 5 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [5,3] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . 10-krotne odbicie obrotowe jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.

[5,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 5.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obroty Odbicie rotacyjne
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2
Grupa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 5.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngCDel 2c.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 5 3 2 10
Matryca
(1,0,0) n (φ,1,φ−1) n (0,1,0) n (φ,1,0) (1,1,1) (1,0,0)

Ranga 4

Istnieją 4 nieredukowalne grupy Coxetera w 4 wymiarach: [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,4], [5,3,3] , a także nieskończoną rodzinę grup duopryzmatycznych [ p ,2, q ].

[ p ,2, q ]

Grupa dupryzmatyczna [ p ,2, q ] ma rząd 4 pq .

[ p ,2, q ],Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n2.pngCDel q.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3
Element grupy Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2
Matryca

[[ p ,2, p ]]

Grupa duopryzmatyczna może podwoić się w kolejności do 8 p 2 , z dwukrotnym obrotem między dwiema płaszczyznami.

[[ p ,2, p ]],Węzeł CDel n0.pngCDel p.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel n2.pngCDel p.pngWęzeł CDel n3.png
Obrót Refleksje
Nazwa T R 0 R 1 R 2 = TR 1 T R 3 = TR 0 T
Element Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2
Matryca

[3,3,3]

Symetrię hipertetraedryczną [3,3,3], rząd 120, najłatwiej przedstawić za pomocą 4 luster w 5-wymiarach, jako podgrupę [4,3,3,3].

[3,3,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje Obroty Odbicia rotacyjne Podwójna rotacja
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3 S 0,1 S 1,2 S 2,3 S 0,2 S 1,3 S 2,3 V 0,1,2 V 0,1,3 W 0,1,2,3
Nazwa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel label1.pngEtykieta CDel0.pngOddział CDel h4h4.pngCDel 3ab.pngOddział CDel h4h4.png
Zamówienie 2 2 2 2 3 2 4 6 5
Matryca

(0,0,0,1,-1) n (0,0,1,−1,0) n (0,1,−1,0,0) n (1,−1,0,0,0) n
[[3,3,3]]

Rozszerzona grupa [[3,3,3]], rząd 240, jest podwojona przez dwukrotną macierz rotacji T, tutaj odwracającą kolejność współrzędnych i znak: Istnieją 3 generatory {T, R 0 , R 1 }. Ponieważ T jest samoodwrotnością R 3 = TR 0 T, a R 2 = TR 1 T.

[[3,3,3]], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Obrót Refleksje
Nazwa T R 0 R 1 TR 1 , T = R 2 TR 0 T=R 3
Grupa elementów Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2 2
Matryca

(0,0,0,1,-1) n (0,0,1,−1,0) n (0,1,−1,0,0) n (1,−1,0,0,0) n

[4,3,3]

Nieredukowalna 4-wymiarowa skończona grupa refleksyjna to grupa hiperoktaedryczna (lub grupa heksadekazorowa (dla 16 komórek ), B 4 = [4,3,3], rząd 384,Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 4 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 = (R 1 x R 3 ) 2 = (R 0 x R 3 ) 2 = tożsamości.

Chiralna symetria hiperoktaedryczna, [4,3,3] + , (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 3 z 6 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 , S 0,3 . Symetria hiperpirytoedryczna [4,(3,3) + ], (Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez odbicie R 0 i obroty S 1,2 i S 2,3 . 8-krotny podwójny obrót jest generowany przez W 0,1,2,3 , iloczyn wszystkich 4 odbić.

[4,3,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje Obroty Odbicie rotacyjne Podwójna rotacja
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3 S 0,1 S 1,2 S 2,3 S 0,2 S 1,3 S 0,3 V 1,2,3 V 0,1,3 V 0,1,2 V 0,2,3 W 0,1,2,3
Grupa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png Węzeł CDel h2.pngCDel 8.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 2 4 3 2 4 6 8
Matryca

(0,0,0,1) n (0,0,1,−1) n (0,1,−1,0) n (1,−1,0,0) n
[3,3 1,1 ]

Połowa grupy [4,3,3] to [3,3 1,1 ],Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 2 n2.pngCDel 2b n3.png, zamówienie 192. Współdzieli 3 generatory z grupą [4,3,3], ale ma dwie kopie sąsiedniego generatora, z których jedna odbija się w poprzek usuniętego lustra.

[3,3 1,1 ],CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Refleksje
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3
Grupa Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2
Matryca

(1,−1,0,0) n (0,1,−1,0) n (0,0,1,−1) n (0,0,1,1) n

[3,4,3]

Nieredukowalna 4-wymiarowa skończona grupa refleksyjna to Icositetrachoric group (dla 24 komórek ), F 4 = [3,4,3], rząd 1152,Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 3 =(R 1 ×R 2 ) 4 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 = (R 1 x R 3 ) 2 = (R 0 x R 3 ) 2 = tożsamości.

Chiralna symetria ikozytotrachoryczna, [3,4,3] + , (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 3 z 6 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 , S 0,3 . Jonowy zmniejszone [3,4,3 + ], grupę (Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez odbicie R 0 i obroty S 1,2 i S 2,3 . 12-krotnie dwukrotnie obrotowy jest generowany przez W 0,1,2,3 , produkt wszystkich 4 odbicia.

[3,4,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje Obroty
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3 S 0,1 S 1,2 S 2,3 S 0,2 S 1,3 S 0,3
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 2 3 4 3 2
Matryca

(1,−1,0,0) n (0,1,−1,0) n (0,0,0,0) n (−1,−1,−1,−1) n
[3,4,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Odbicie rotacyjne Podwójna rotacja
Nazwa V 1,2,3 V 0,1,3 V 0,1,2 V 0,2,3 W 0,1,2,3
Grupa elementów Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 2.pngCDel node.png Węzeł CDel h2.pngCDel 12.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 6 12
Matryca

[[3,4,3]]

Grupa [[3,4,3]] rozszerza [3,4,3] o dwukrotny obrót, T, podwajając rząd do 2304.

[[3,4,3]], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Obrót Refleksje
Nazwa T R 0 R 1 R 2 = TR 1 T R 3 = TR 0 T
Grupa elementów Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2 2
Matryca

(1,−1,0,0) n (0,1,−1,0) n (0,0,0,0) n (−1,−1,−1,−1) n

[5,3,3]

Projekcje stereograficzne
Coxeter 533 kolejność-5 osi gyration.png
[5,3,3] + 72 rzędy -5 wirowań
Coxeter 533 zamówienie-3 osie gyration.png
[5,3,3] + 200 rzędów-3 wirowania
Coxeter 533 kolejność-2 osie gyration.png
[5,3,3] + 450 rzędów-2 gyrations
Coxeter 533 wszystkie osie gyration.png
[5,3,3] + wszystkie wirowania

Symetria hiperikozaedryczna [5,3,3], rząd 14400, Węzeł CDel n0.pngCDel 5.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 5 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =(R 0 × R 3 ) 2 =(R 1 × R 3 ) 2 = Tożsamość. [5,3,3] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez 3 obroty: S 0,1 = R 0 ×R 1 , S 1,2 = R 1 ×R 2 , S 2,3 = R 2 ×R 3 , itd.

[5,3,3], Węzeł CDel n0.pngCDel 5.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2
Matryca
(1,0,0,0) n (φ,1,φ−1,0) n (0,1,0,0) n (0,−1,φ,1−φ) n

Ranga 8

[3 4,2,1 ]

Grupa Coxetera E8 , [3 4,2,1 ],CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png, ma 8 węzłów lustrzanych, zamów 696729600 (192x10!). E7 i E6, [3 3,2,1 ],CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png, oraz [3 2,2,1 ],CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png można skonstruować, ignorując odpowiednio pierwsze lustro lub dwa pierwsze lustra.

E8=[3 4,2,1 ],CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel oddział.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Refleksje
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel n4.png Węzeł CDel n5.png Węzeł CDel n6.png Węzeł CDel n7.png
Zamówienie 2 2 2 2 2 2 2 2
Matryca
(1,-1,0,0,0,0,0,0) n (0,1,-1,0,0,0,0,0) n (0,0,1,-1,0,0,0,0) n (0,0,0,1,-1,0,0,0) n (0,0,0,0,1,-1,0,0) n (0,0,0,0,0,1,-1,0) n (0,0,0,0,0,1,1,0) n (1,1,1,1,1,1,1,1,1) n

Pozycja afiniczna 2

Macierze afiniczne są reprezentowane przez dodanie dodatkowego wiersza i kolumny, przy czym ostatni wiersz wynosi zero, z wyjątkiem ostatniego wpisu 1. Ostatnia kolumna reprezentuje wektor translacji.

[∞]

Grupa afiniczna [∞], Węzeł CDel n0.pngCDel infin.pngWęzeł CDel n1.png, może być dana przez dwie macierze odbicia, x=0 i x=1.

[∞], Węzeł CDel n0.pngCDel infin.pngWęzeł CDel n1.png
Refleksje Tłumaczenie
Nazwa R 0 R 1 S 0,1
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2
Matryca

Hiperplan x=0 x=1

Pozycja afiniczna 3

[4,4]

Grupa afiniczna [4,4], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png, (p4m), mogą być podane przez trzy macierze odbić, odbicia w poprzek osi x (y=0), przekątną (x=y) i afiniczne odbicie w poprzek linii (x=1). [4,4] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png) (p4) jest generowane przez S 0,1 S 1,2 i S 0,2 . [4 + ,4 + ] (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png) (pgg) jest generowany przez dwukrotny obrót S 0,2 i odbicie poślizgu (transrefleksję) V 0,1,2 . [4 + ,4] (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngCDel node.png) (P4G) jest generowana przez S 0,1 i R 3 . Grupa [(4,4,2 + )] (CDel node.pngCDel split1-44.pngOddział CDel h2h2.pngEtykieta CDel2.png) (Cmm) jest generowany przez 2-krotne obrotu S 1,3 i współczynnik odbicia R 2 .

[4,4], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obroty ślizgi
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2 V 0,2,1
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 4 2 (2)
Matryca

Hiperplan y=0 x=y x=1

[3,6]

Grupa afiniczna [3,6], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 6.pngWęzeł CDel n2.png, (p6m), można podać za pomocą trzech macierzy odbić, odbić w poprzek osi x (y=0), linii y=(√3/2)x i linii pionowej x=1.

[3,6], Węzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 6.pngWęzeł CDel n2.png
Refleksje Obroty ślizgi
Nazwa R 0 R 1 R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2 V 0,2,1
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 3 6 2 (2)
Matryca

Hiperplan y=0 y=(√3/2)x x=1

[3 [3] ]

Grupę afiniczną [3 [3] ] można skonstruować jako połówkową grupęWęzeł CDel n0.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h0.png. R 2 jest zastąpione przez R' 2 = R 2 × R 1 × R 2 , przedstawione przez hiperpłaszczyznę: y+(√3/2)x=2. Domeną podstawową jest trójkąt równoboczny o długości krawędzi 2.

[3 [3] ],Węzeł CDel n0.pngCDel split1.pngCDel oddział.pngCDel 2 n1.pngCDel 2b n2.png
Refleksje Obroty ślizgi
Nazwa R 0 R 1 R' 2 = R 2 × R 1 × R 2 S 0,1 S 1,2 S 0,2 V 0,1,2 V 0,2,1
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 3 (2)
Matryca

Hiperplan y=0 y=(√3/2)x y+(√3/2)x=2

Pozycja afiniczna 4

[4,3,4]

[4,3,4] domena podstawowa

Grupa afiniczna to [4,3,4] (Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n3.png), mogą być podane przez cztery macierze odbicia. Lustro R 0 można umieścić na płaszczyźnie z=0. Lustro R 1 można umieścić na płaszczyźnie y=z. Lustro R 2 można umieścić na płaszczyźnie x=y. Lustro R 3 można umieścić na płaszczyźnie x=1. [4,3,4] + (Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png) jest generowany przez S 0,1 , S 1,2 i S 2,3 .

[4,3,4], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n3.png
Refleksje Obroty Transfleksje Oś śruby
Nazwa R 0 R 1 R 2 R 3 S 0,1 S 1,2 S 2,3 S 0,2 S 0,3 S 1,3 T 0,1,2 T 1,2,3 U 0,1,2,3
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel infin.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h4.pngCDel 6.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 2 4 3 4 2 6 (3)
Matryca

Hiperplan z=0 y=z x=y x=1
[[4,3,4]]

Rozszerzona grupa [[4,3,4]] podwaja kolejność grup, dodając z 2-krotną macierzą rotacji T, ze stałą osią przechodzącą przez punkty (1,1/2,0) i (1/2,1/ 2,1/2). Generatory to {R 0 ,R 1 ,T}. R 2 = T x R 1 x T i R 3 = T x R 0 x T.

[[4,3,4]], Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n3.png
Obrót Refleksje
Nazwa T R 0 R 1 R 2 = T x R 1 x T R 3 = T x R 0 x T
Grupa elementów Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png
Zamówienie 2 2 2 2 2
Matryca

Hiperplan Punkt (1/2,1/2,1/2)
Oś (-1,0,1)
z=0 y=z x=y x=1

[4,3 1,1 ]

[4,3 1,1 ] dziedzina podstawowa

Grupę [4,3 1,1 ] można skonstruować z [4,3,4], obliczając [4,3,4,1 + ],Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.pngjako R' 3 =R 3 ×R 2 ×R 3 , z nowym R' 3 jako obrazem R 2 w poprzek R 3 .

[4,3 1,1 ],Węzeł CDel n0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 2 n2.pngCDel 2b n3.png
Refleksje Obroty
Nazwa R 0 R 1 R 2 R' 3 S 0,1 S 1,2 S 1,3 S 0,2 S 0,3 S 2,3
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 2 3 3 3 2
Matryca

Hiperplan z=0 y=z x=y x+y=2

[3 [4] ]

[3 [4] ] domena podstawowa

Grupę [3 [4] ] można skonstruować z [4,3,4], usuwając pierwsze i ostatnie lustra, [1 + ,4,3,4,1 + ],Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel n1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel n2.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.pngPrzez R ' 1 = R 0 x R 1 x R 0 i R' 3 = R 3 x R 2 x R 3 .

[3 [4] ]CDel 2b n1.pngCDel 2 n0.pngCDel oddział.pngCDel 3ab.pngCDel oddział.pngCDel 2 n3.pngCDel 2b n2.png
Refleksje Obroty
Nazwa R' 0 R 1 R 2 R' 3 S 0,1 S 1,2 S 1,3 S 0,2 S 0,3 S 2,3
Grupa elementów Węzeł CDel n0.png Węzeł CDel n1.png Węzeł CDel n2.png Węzeł CDel n3.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png Węzeł CDel h2.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h2.png
Zamówienie 2 2 2 2 3 3 3 2
Matryca

Hiperplan y=-z y=z x=y x+y=2

Uwagi

Bibliografia