W geometrii , notacja Coxetera (również symbol Coxetera ) to system klasyfikacji grup symetrii , opisujący kąty między podstawowymi odbiciami grupy Coxetera w notacji nawiasowej wyrażającej strukturę diagramu Coxetera-Dynkina , z modyfikatorami wskazującymi pewne podgrupy. Notacja nosi imię HSM Coxetera i została szerzej zdefiniowana przez Normana Johnsona .
W przypadku grup Coxetera , zdefiniowanych przez czyste odbicia, istnieje bezpośrednia zgodność między zapisem w nawiasie a diagramem Coxetera-Dynkina . Liczby w notacji nawiasowej reprezentują rzędy odbić lustrzanych w gałęziach diagramu Coxetera. Wykorzystuje to samo uproszczenie, tłumiąc 2s między ortogonalnymi zwierciadłami.
Notacja Coxetera jest uproszczona z wykładnikami reprezentującymi liczbę gałęzi w rzędzie dla diagramu liniowego. Tak więc grupa A n jest reprezentowana przez [3 n −1 ], co oznacza n węzłów połączonych gałęziami n−1 rzędu 3. Przykład A 2 = [3,3] = [3 2 ] lub [3 1,1 ] przedstawia diagramy lub .
Coxeter początkowo reprezentował diagramy bifurkacyjne z pionowym rozmieszczeniem liczb, ale później skrócono je za pomocą notacji wykładniczej, np. [...,3 p,q ] lub [3 p,q,r ], zaczynając od [3 1,1,1 ] lub [3,3 1,1 ] = lub jak D 4 . Coxeter dopuścił zera jako przypadki specjalne, aby pasowały do rodziny A n , na przykład A 3 = [3,3,3,3] = [3 4,0,0 ] = [3 4,0 ] = [3 3,1 ] = [3 2,2 ], jak = = .
Grupy Coxetera utworzone przez diagramy cykliczne są reprezentowane przez nawiasy wewnątrz nawiasów, np. [(p,q,r)] = dla grupy trójkątów (pqr). Jeśli rzędy gałęzi są równe, można je pogrupować jako wykładnik długości cyklu w nawiasach, np. [(3,3,3,3)] = [3 [4] ], reprezentujący diagram Coxetera lub . można przedstawić jako [3,(3,3,3)] lub [3,3 [3] ].
Bardziej skomplikowane diagramy pętli można również przedstawić ostrożnie. Parazwartą Grupa Coxetera może być reprezentowana przez notację Coxetera [(3,3,(3),3,3)], z zagnieżdżonymi/nakładającymi się nawiasami pokazującymi dwie sąsiednie pętle [(3,3,3)], a także jest reprezentowana bardziej zwięźle jako [3 [ ]×[ ] ], reprezentujący symetrię rombową diagramu Coxetera. Parakompaktowy kompletny wykres wykresu lub , jest reprezentowana jako [3 [3,3] ] z indeksem górnym [3,3] jako symetrią jego regularnego diagramu czworościanu .
Diagram Coxetera zwykle pozostawia nienarysowane gałęzie rzędu 2, ale notacja nawiasowa zawiera wyraźne 2, aby połączyć podgrafy. Więc diagram Coxetera= A 2 × A 2 = 2 A 2 można przedstawić przez [3]×[3] = [3] 2 = [3,2,3]. Czasami wyraźne 2 rozgałęzienia mogą być dołączone z etykietą 2 lub linią z przerwą: lub , jako identyczna prezentacja jak [3,2,3].
Dla grup afinicznych i hiperbolicznych indeks dolny jest o jeden mniejszy niż liczba węzłów w każdym przypadku, ponieważ każdą z tych grup uzyskano przez dodanie węzła do diagramu grupy skończonej.
Podgrupy
Notacja Coxetera reprezentuje symetrię rotacyjną/translacyjną przez dodanie operatora indeksu górnego + poza nawiasami kwadratowymi, [X] +, który przecina kolejność grupy [X] o połowę, a więc podgrupę o indeksie 2. Ten operator oznacza, że należy zastosować parzystą liczbę operatorów, zastępując odbicia rotacjami (lub translacjami). W przypadku zastosowania do grupy Coxetera, nazywa się to bezpośrednią podgrupą, ponieważ pozostają tylko bezpośrednie izometrie bez symetrii refleksyjnej.
Do + operatorzy mogą być również zastosowane wewnątrz wsporników, na przykład: [X, Y + ] lub [X (Y, Z) + ] i tworzy „iloczynów” podgrupy , które mogą obejmować zarówno odbijająca i generatory nonreflective. Podgrupy półbezpośrednie mogą dotyczyć tylko podgrup grupy Coxetera, do których przylegają nawet gałęzie porządku. Elementom w nawiasach wewnątrz grupy Coxetera można nadać operator indeksu górnego +, co daje efekt dzielenia sąsiednich uporządkowanych gałęzi na pół rzędu, dlatego zwykle stosuje się je tylko z liczbami parzystymi. Na przykład [4,3 + ] i [4,(3,3) + ] ().
Jeśli zostanie zastosowany z sąsiednią nieparzystą gałęzią, nie tworzy podgrupy o indeksie 2, ale zamiast tego tworzy nakładające się domeny podstawowe, takie jak [5,1 + ] = [5/2], które mogą definiować podwójnie zawinięte wielokąty, takie jak pentagram , { 5/2}, a [5,3 + ] odnosi się do trójkąta Schwarza [5/2,3], gęstość 2.
Przykłady w grupach rang 2
Grupa
Zamówienie
Generatory
Podgrupa
Zamówienie
Generatory
Uwagi
[ p ]
2 godz
{0,1}
[ p ] +
P
{01}
Podgrupa bezpośrednia
[2 p + ] = [2 p ] +
2 godz
{01}
[2 p + ] + = [2 p ] +2 = [ p ] +
P
{0101}
[2 pkt ]
4 godz
{0,1}
[1 + ,2 p ] = [ p ]
= =
2 godz
{101,1}
Połowa podgrup
[2 p ,1 + ] = [ p ]
= =
{0,010}
[1 + ,2 p ,1 + ] = [2 p ] +2 = [ p ] +
= =
P
{0101}
Grupa ćwiartkowa
Grupy bez sąsiednich elementów + można zobaczyć w węzłach pierścieniowych Diagram Coxetera-Dynkina dla jednolitych wielotopów i plastra miodu są powiązane z węzłami otworów wokół elementów + , puste koła z usuniętymi węzłami naprzemiennymi. Więc sześcian awanturniczy ,ma symetrię [4,3] + () i czworościan zadarty ,ma symetrię [4,3 + ] () i demicube , h{4,3} = {3,3} ( lub = ) ma symetrię [1 + ,4,3] = [3,3] ( lub = = ).
Uwaga: symetria pirytoedryczna można zapisać jako , oddzielając wykres lukami dla przejrzystości, z generatorami {0,1,2} z grupy Coxetera , wytwarzając generatory pirytoedryczne {0,12}, odbicie i 3-krotny obrót. A chiralną symetrię czworościenną można zapisać jako lub , [1 + ,4,3 + ] = [3,3] + , z generatorami {12,0120}.
Johnson rozszerza operator + do pracy z węzłem zastępczym 1 + , co usuwa duplikaty, podwaja rozmiar domeny podstawowej i zmniejsza kolejność grup o połowę. Ogólnie rzecz biorąc, ta operacja dotyczy tylko pojedynczych lusterek ograniczonych gałęziami parzystego rzędu. 1 przedstawia zwierciadło więc [2P] można postrzegać jako 2P, [ 1 ], [ 1 , 2 p] lub [ 1 , 2p, 1 ], tak jak schemacie lub , z 2 lustrami powiązanymi kątem dwuściennym rzędu 2p. Efektem usunięcia lustra jest powielenie węzłów łączących, co widać na diagramach Coxetera: = , lub w nawiasie:[1 + ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].
Każde z tych luster można usunąć, więc h[2p] = [1 + ,2p,1] = [1,2p,1 + ] = [p], wskaźnik podgrupy refleksyjnej 2. Można to przedstawić na wykresie Coxetera za pomocą dodanie symbolu + nad węzłem: = = .
Jeśli oba zwierciadła zostaną usunięte, generowana jest podgrupa ćwiartkowa, a kolejność rozgałęzień staje się punktem obrotu równym połowie kolejności:
Na przykład (przy p=2): [4,1 + ] = [1 + ,4] = [2] = [ ]×[ ], rząd 4. [1 + ,4,1 + ] = [2] + , zamów 2.
Przeciwieństwem halvingu jest podwojenie, które dodaje lustro, dzieląc podstawową domenę na pół i podwajając porządek grupowy.
[[p]] = [2p]
Operacje zmniejszania o połowę dotyczą grup wyższego rzędu, np. symetria czworościenna jest połową grupy grupy oktaedrycznej : h[4,3] = [1 + ,4,3] = [3,3], usuwając połowę zwierciadeł w 4-gałęziach . Efektem usunięcia lustra jest powielenie wszystkich węzłów łączących, co widać na diagramach Coxetera: = , h[2p,3] = [1 + ,2p,3] = [(p,3,3)].
Jeśli węzły są indeksowane, pół podgrupy można oznaczyć nowymi lustrami jako kompozyty. Lubić, generatory {0,1} mają podgrupę = , generatory {1.010}, w których lustro 0 jest usuwane i zastępowane przez kopię lustra 1 odbitą w poprzek lustra 0. Podano również , generatory {0,1,2}, ma połówkową grupę = , generatory {1.2010}.
Podwojenie przez dodanie lustra ma również zastosowanie przy odwracaniu operacji o połowę: [[3,3]] = [4,3], lub bardziej ogólnie [[(q,q,p)]] = [2p,q].
Radykalna podgrupa jest podobna do alternacji, ale usuwa generatory rotacyjne.
Johnson dodał również operator gwiazdki lub gwiazdki * dla „radykalnych” podgrup, który działa podobnie do operatora + , ale usuwa symetrię obrotową. Indeks podgrupy radykalnej to kolejność usuwanego elementu. Na przykład [4,3*] ≅ [2,2]. Usunięta podgrupa [3] ma rząd 6, więc [2,2] jest podgrupą o indeksie 6 rzędu [4,3].
Podgrupy rodnikowe reprezentują operację odwrotną do operacji symetrii rozszerzonej . Na przykład [4,3*] ≅ [2,2], a na odwrót [2,2] można przedłużyć jako [3[2,2]] ≅ [4,3]. Podgrupy można wyrazić za pomocą diagramu Coxetera: lub ≅ . Usunięty węzeł (lustro) powoduje, że sąsiednie wirtualne lustra stają się prawdziwymi lustrami.
Jeżeli [4,3] ma generatory {0,1,2}, [4,3 + ], indeks 2, ma generatory {0,12}; [1 + ,4,3] ≅ [3,3], indeks 2 ma generatory {010,1,2}; natomiast podgrupa rodnikowa [4,3*] ≅ [2,2], indeks 6, ma generatory {01210, 2, (012) 3 }; i wreszcie [1 + ,4,3*], indeks 12 ma generatory {0(12) 2 0, (012) 2 01}.
Podgrupy trionowe
Przykład rangi 2, [6] podgrupy trionowe z 3 kolorami linii lustrzanych
Przykład symetrii oktaedrycznej: [4,3 ⅄ ] = [2,4].
Przykładowa podgrupa trionowa na symetrii heksagonalnej [6,3] mapuje się na większą symetrię [6,3].
Ranga 3
Przykładowe podgrupy trionowe na symetrii ośmiokątnej [8,3] mapują się na większe symetrie [4,8].
Ranga 4
Trionic podgrupa jest indeksem 3 podgrupy. Istnieje wiele Johnson definiuje podgrupę trionową z operatorem ⅄, indeks 3. Dla grup Coxetera rangi 2 [3], podgrupa trionowa [3 ⅄ ] to [ ], pojedyncze lustro. A dla [3 p ] podgrupą trionową jest [3 p ] ⅄ ≅ [ p ]. Dany, z generatorami {0,1}, ma 3 podgrupy trionowe. Można je rozróżnić, umieszczając symbol ⅄ obok generatora zwierciadeł, który ma zostać usunięty, lub na gałęzi dla obu: [3 p ,1 ⅄ ] = = , = , oraz [3 p ⅄ ] = = z generatorami {0,10101}, {01010,1} lub {101,010}.
Dla grup Coxetera stopnia 3 [ p , 3] istnieje podgrupa trionowa [ p ,3 ⅄ ] ≅ [ p /2, p ], lub = . Na przykład grupa skończona [4,3 ⅄ ] ≅ [2,4], grupa euklidesowa [6,3 ⅄ ] ≅ [3,6] i grupa hiperboliczna [8,3 ⅄ ] ≅ [4,8] .
Sąsiednia gałąź nieparzystego rzędu, p , nie obniży porządku grupowego, ale stworzy nakładające się na siebie domeny podstawowe. Kolejność grup pozostaje taka sama, a gęstość wzrasta. Na przykład symetria dwudziestościanu [5,3] dwudziestościanu foremnego staje się symetrią [5/2,5], symetria 2 wielościanów gwiazd foremnych. Odnosi się również do kafelków hiperbolicznych {p,3} i kafelków hiperbolicznych gwiazd {p/2,p}
Dla rangi 4 [ q ,2 p ,3 ⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))], = .
Na przykład [3,4,3 ⅄ ] = [4,3,3], lub = , generatory {0,1,2,3} w [3,4,3] z podgrupą trionową [4,3,3] generatory {0,1,2,32123}. Dla grup hiperbolicznych [3,6,3 ⅄ ] = [6,3 [3] ] i [4,4,3 ⅄ ] = [4,4,4].
Podgrupy trionowe o symetrii czworościennej
[3,3] ⅄ ≅ [2 + ,4] jako jeden z 3 zestawów 2 zwierciadeł ortogonalnych w rzucie stereograficznym . Czerwony, zielony i niebieski reprezentują 3 zestawy luster, a szare linie usuwają lustra, pozostawiając 2-krotne żyracje (fioletowe romby).
Stosunki trioniczne [3,3]
Johnson zidentyfikował dwie specyficzne podgrupy trionowe [3,3], najpierw podgrupę o indeksie 3 [3,3] ⅄ ≅ [2 + ,4], z [3,3] ( = = ) generatory {0,1,2}. Można go również zapisać jako [(3,3,2 ⅄ )] () jako przypomnienie o jego generatorach {02,1}. Ta redukcja symetrii jest relacją między regularnym czworościanem a czworościanem dwuklinowym , przedstawia rozciąganie czworościanu prostopadłego do dwóch przeciwległych krawędzi.
Po drugie identyfikuje powiązaną podgrupę indeksu 6 [3,3] Δ lub [(3,3,2 ⅄ )] + (), indeks 3 z [3,3] + ≅ [2,2] + , z generatorami {02,1021}, z [3,3] i jego generatorami {0,1,2}.
Te podgrupy mają również zastosowanie w większych grupach Coxetera z [3,3] podgrupą z sąsiednimi gałęziami, wszystkie w kolejności równej.
Trionowe relacje podgrupy [3,3,4]
Na przykład [(3,3) + ,4], [(3,3) ⅄ ,4] i [(3,3) Δ ,4] są podgrupami [3,3,4], indeks 2, 3 i 6. Generatory [(3,3) ⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 + ,8] rzędu 128 są {02,1,3} z [3,3, 4] generatory {0,1,2,3}. A [(3,3) Δ ,4] ≅ [[4,2 + ,4]], rząd 64, ma generatory {02,1021,3}. Również [3 ⅄ ,4,3 ⅄ ] ≅ [(3,3) ⅄ ,4].
Centralna inwersja 2D to obrót o 180 stopni, [2] +
Centralny inwersja , rząd 2 jest roboczo w różny wymiar. Grupa [ ] n = [2 n −1 ] reprezentuje n ortogonalnych zwierciadeł w przestrzeni n-wymiarowej lub n-płaską podprzestrzeń przestrzeni wyższego wymiaru. Zwierciadła grupy [2 n −1 ] są ponumerowane . Kolejność luster nie ma znaczenia w przypadku inwersji. Macierz centralnej inwersji to macierz tożsamości z ujemną na przekątnej.
Na tej podstawie centralna inwersja ma generator jako iloczyn wszystkich zwierciadeł ortogonalnych. W notacji Coxetera ta grupa inwersji jest wyrażona przez dodanie alternatywy + do każdej z dwóch gałęzi. Symetria naprzemienna jest oznaczona na węzłach diagramu Coxetera jako węzły otwarte.
Coxeter-Dynkin schemat może być oznaczona za pomocą wyraźnych 2 oddziały definiując liniową sekwencję luster, otwarte węzłów, a wspólne węzły podwójne otwarte do pokazywania łańcuchowym generatorów odbicia.
Na przykład [2 + ,2] i [2,2 + ] to podgrupy o indeksie 2 z [2,2],i są reprezentowane jako (lub ) oraz (lub ) odpowiednio z generatorami {01,2} i {0,12}. Ich wspólny indeks podgrupy 4 wynosi [2 + ,2 + ] i jest reprezentowany przez (lub ), z podwójnym otwarciem oznaczenie wspólnego węzła w dwóch naprzemiennych i pojedynczy generator odbicia wirnika {012}.
Obroty i odbicia obrotowe są konstruowane przez pojedynczy iloczyn wszystkich odbić grupy pryzmatycznej, [2 p ]×[2 q ]×... gdzie gcd ( p , q ,...)=1, są izomorficzne z abstrakcyjną grupą cykliczną Z n , rzędu n = 2 pq .
4-wymiarowe podwójne obroty [2 p + ,2 + ,2 q + ] (z gcd ( p , q )=1), które zawierają grupę centralną i są wyrażone przez Conwaya jako ±[C p × C q ], zamów 2 szt . Ze schematu Coxetera, generatory {0,1,2,3}, wymaga dwóch generatorów dla [2 p + ,2 + ,2 q + ],jako {0123,0132}. Połówkowe grupy, [2 p + ,2 + ,2 q + ] + , lub wykres cykliczny, [(2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + )],wyrażony przez Conwaya to [C p ×C q ], rząd pq , z jednym generatorem, takim jak {0123}.
Jeśli istnieje wspólny czynnik f , podwójna rotacja może być zapisana jako 1 ⁄ f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] (z gcd ( p , q )=1), generatory {0123,0132}, porządek 2 pqf . Na przykład, p = q =1, f =2, 1 ⁄ 2 [4 + ,2 + ,4 + ] jest porządkiem 4. I 1 ⁄ f [2 pf + ,2 + ,2 qf + ] + , generator { 0123}, to kolejność pqf . Na przykład 1 ⁄ 2 [4 + ,2 + ,4 + ] + to rząd 2, inwersja centralna .
Ogólnie rzecz biorąc, grupa n -rotacyjna, [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] może wymagać do n generatorów, jeśli gcd( p 1 ,.., p n )> 1, jako iloczyn wszystkich luster, a następnie zamiana par sekwencyjnych. Grupa połówkowa [2 p 1 + ,2,2 p 2 + ,2,..., p n + ] + ma generatory do kwadratu. n -odbicia obrotowe są podobne.
Potrójna rotacja: [2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ] + kolejność pqr
7
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ,2 + ]
potrójne odbicie obrotowe
{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}
[2 p + ,2 + ,2 q + ,2 + ,2 r + ,2 + ] +
Podgrupy komutatorów
Podgrupy [4,4], aż do podgrupy komutatorów, indeks 8
Grupy proste z tylko elementami gałęzi nieparzystego rzędu mają tylko jedną podgrupę obrotową/translacyjną rzędu 2, która jest również podgrupą komutatora , przykłady [3,3] + , [3,5] + , [3,3,3] + , [3,3,5] + . Dla innych grup Coxetera z rozgałęzieniami parzystego rzędu podgrupa komutatora ma indeks 2 c , gdzie c jest liczbą odłączonych podgrafów, gdy wszystkie rozgałęzienia parzystego rzędu są usunięte.
Na przykład, [4,4] ma trzy niezależne węzły na diagramie Coxetera po usunięciu 4 s, więc jego podgrupa komutatora ma indeks 2 3 i może mieć różne reprezentacje, wszystkie z trzema + operatorami: [4 + ,4 + ] + , [1 + ,4,1 + ,4,1 + ], [1 + ,4,4,1 + ] + , lub [(4 + ,4 + ,2 + )]. Ogólny zapis może być użyty z + c jako wykładnikiem grupy, np. [4,4] +3 .
Przykładowe podgrupy
Przykładowe podgrupy rang 2
Grupy symetrii dwuściennej z rzędami parzystymi mają kilka podgrup. Ten przykład pokazuje dwa zwierciadła generatora [4] na czerwono i zielono, i przygląda się wszystkim podgrupom przez dzielenie na pół, redukcję rang i ich bezpośrednie podgrupy. Grupa [4], ma dwa generatory zwierciadeł 0 i 1. Każdy z nich generuje dwa wirtualne zwierciadła 101 i 010 poprzez odbicie od drugiego.
Grupa [4,4] ma 15 podgrup o małym indeksie. Ta tabela pokazuje je wszystkie, z żółtą podstawową domeną dla czystych grup refleksyjnych i naprzemiennymi białymi i niebieskimi domenami, które są sparowane, aby utworzyć domeny rotacyjne. Linie lustrzane koloru niebieskozielonego, czerwonego i zielonego odpowiadają tym samym kolorowym węzłom na diagramie Coxetera. Generatory podgrup mogą być wyrażone jako iloczyny oryginalnych 3 zwierciadeł podstawowej domeny {0,1,2}, odpowiadających 3 węzłom diagramu Coxetera,. Iloczyn dwóch przecinających się linii odbicia wykonuje obrót, np. {012}, {12} lub {02}. Usunięcie lustra powoduje powstanie dwóch kopii sąsiednich lustra, w poprzek usuniętego lustra, np. {010} i {212}. Dwa obroty w serii zmniejszają kolejność rotacji o połowę, na przykład {0101} lub {(01) 2 }, {1212} lub {(02) 2 }. Iloczyn wszystkich trzech luster tworzy transrefleksję , jak {012} lub {120}.
W płaszczyźnie euklidesowej grupa Coxetera , [3 [3] ] może być rozszerzona na dwa sposoby do grupy Coxetera , [6,3] i odnosi jednolite kafelki jako diagramy pierścieniowe.
Notacja Coxetera obejmuje notację z podwójnym nawiasem kwadratowym, [[X]], aby wyrazić automorficzną symetrię w diagramie Coxetera. Johnson dodał alternatywne podwojenie za pomocą nawiasu kątowego <[X]>. Johnson dodał również przedrostkowy modyfikator symetrii [Y[X]], gdzie Y może reprezentować symetrię diagramu Coxetera [X] lub symetrię podstawowej dziedziny [X].
Na przykład w 3D te równoważne diagramy geometrii prostokątów i rombów : oraz , pierwszy podwojony z nawiasami kwadratowymi, [[3 [4] ]] lub dwukrotnie podwojony jako [2[3 [4] ]], z [2], 4 rzędu wyższej symetrii. Aby odróżnić drugi, nawiasy skośne są używane do podwojenia, <[3 [4] ]> i dwukrotnie podwojone jako <2[3 [4] ]>, również z inną symetrią [2] rzędu 4. W końcu pełną symetrię, w której wszystkie 4 węzły są równoważne, można przedstawić za pomocą [4[3 [4] ]], z rzędem 8, [4] symetrii kwadratu . Ale biorąc pod uwagę podstawową domenę tetragonalną disfenoid, [4] rozszerzoną symetrię grafu kwadratowego można wyraźniej oznaczyć jako [(2 + ,4)[3 [4] ]] lub [2 + ,4[3 [4] ] ].
Ponadto istnieje symetria w cyklicznej i rozgałęzienia , i wykresów. ma symetrię rzędu 2 n regularnego n- gonu, { n } i jest reprezentowana przez [ n [3 [ n ] ]]. i są reprezentowane odpowiednio przez [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] i [3[3 2,2,2 ]], natomiast przez [(3,3)[3 1,1, 1,1 ]] = [3,3,4,3], z diagramem zawierającym symetrię rzędu 24 czworościanu foremnego , {3,3}. Parazwarta grupa hiperboliczna = [3 1,1,1,1,1 ],, zawiera symetrię komórki 5 , {3,3,3}, a zatem jest reprezentowana przez [(3,3,3)[3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4, 3,3,3].
Gwiazdka * w indeksie górnym są skutecznie operacja odwrotna, tworząc rodniki podgrupy usuwania połączony nieparzystych uporządkowane luster.
Patrząc na generatory, podwójna symetria jest postrzegana jako dodanie nowego operatora, który odwzorowuje symetryczne pozycje na diagramie Coxetera, przez co niektóre oryginalne generatory są zbędne. Dla grup przestrzennych 3D i grup punktów 4D Coxeter definiuje indeks dwa podgrupy [[X]], [[X] + ], które definiuje jako iloczyn oryginalnych generatorów [X] przez generator podwajający. Wygląda to podobnie do [[X]] + , która jest chiralną podgrupą [[X]]. Na przykład grupy przestrzenne 3D [[4,3,4]] + (I432, 211) i [[4,3,4] + ] (Pm 3 n, 223) są odrębnymi podgrupami [[4,3, 4]] (Im 3 m, 229).
W jednym wymiarze dwustronna grupa [ ] reprezentuje symetrię pojedynczego lustrzaną, abstrakcyjną Dih 1 lub Z 2 , porządek symetrii 2. Jest reprezentowana jako diagram Coxetera-Dynkina z pojedynczym węzłem,. Grupa tożsamościowa to bezpośrednia podgrupa [ ] + , Z 1 , porządek symetrii 1. Indeks górny + po prostu sugeruje, że alternatywne odbicia lustrzane są ignorowane, pozostawiając grupę tożsamościową w tym najprostszym przypadku. Coxeter użył pojedynczego otwartego węzła do reprezentowania alternatywy,.
Sześciokąt foremny z oznaczeniami na krawędziach i wierzchołkach ma 8 symetrii: [6], [3], [2], [1], [6] + , [3] + , [2] + , [1] + , z [3] i [1] występującymi w dwóch formach, w zależności od tego, czy lustra znajdują się na krawędziach czy wierzchołkach.
W dwóch wymiarach grupa prostokątna [2], abstrakcyjna D 2 2 lub D 4 , może być również reprezentowana jako iloczyn bezpośredni [ ]×[ ], będący iloczynem dwóch grup dwustronnych, reprezentuje dwa ortogonalne zwierciadła, z diagramem Coxetera,, z rzędem 4. 2 w [2] pochodzi z linearyzacji podwykresów ortogonalnych w diagramie Coxetera, jakoz wyraźnym porządkiem rozgałęzień 2. Grupa rombowa , [2] + ( lub ), połowa grupy prostokątnej, punktowa symetria odbicia , Z 2 , rząd 2.
Notacja Coxetera, aby umożliwić 1 symbol zastępczy dla niższych grup rang, więc [1] to to samo co [ ], a [1 + ] lub [1] + to to samo co [ ] + i diagram Coxetera.
Pełna grupa p-GONAL [P], streszczenie dwuściennej grupy D 2 P ( nieabelowe dla p> 2), w celu 2 p , jest generowany przez dwa lustra pod kątem gatunku / s , przedstawiony schemat Coxeter. P GONAL podgrupy [u] + , cykliczną grupę Z P , zlecenia s , generowany przez kąt obrotu gatunku / P .
Notacja Coxetera wykorzystuje podwójne nawiasy klamrowe do reprezentowania automorficznego podwojenia symetrii przez dodanie dwusiecznego lustra do domeny podstawowej . Na przykład [[p]] dodaje dwusieczne lustro do [p] i jest izomorficzne z [2p].
W granicy, schodząc do jednego wymiaru, pełna grupa apeirogonalna jest uzyskiwana, gdy kąt dochodzi do zera, więc [∞], abstrakcyjnie nieskończona grupa dwuścienna D ∞ , reprezentuje dwa równoległe zwierciadła i ma diagram Coxetera. Grupa apeirogonalna [∞] + ,, Abstract nieskończoności cykliczną grupę Z ∞ , izomorficzny w dodatku grupę o całkowitymi , są generowane przez jeden translacji niezerowej.
W płaszczyźnie hiperbolicznej występuje pełna grupa pseudogonalna [ iπ/λ ] oraz podgrupa pseudogonalna [ iπ/λ ] + ,. Grupy te istnieją w regularnych wielokątach o nieskończonych bokach, o długości krawędzi λ. Wszystkie lustra są prostopadłe do jednej linii.
Przykład rang 2 symetrie skończone i hiperboliczne
W trzech wymiarach pełna grupa rombowa lub ortoprostokątna [2,2], abstrakcyjnie Z 2 3 , rząd 8, reprezentuje trzy ortogonalne zwierciadła (również reprezentowane przez diagram Coxetera jako trzy oddzielne kropki). Może być również reprezentowana jako iloczyn bezpośredni [ ]×[ ]×[ ], ale wyrażenie [2,2] pozwala na zdefiniowanie podgrup:
Najpierw istnieje podgrupa „półbezpośrednia”, grupa rombowa , [2,2 + ] ( lub ), abstrakcyjnie Z 2 × Z 2 , rzędu 4. Gdy + jest podany wewnątrz nawiasów, oznacza to odbicia generowane tylko z sąsiednich luster (zgodnie z diagramem Coxetera,) są naprzemienne. Ogólnie rzecz biorąc, rzędy gałęzi sąsiadujące z węzłem + muszą być parzyste. W tym przypadku [2,2 + ] i [2 + ,2] reprezentują dwie izomorficzne podgrupy, które są geometrycznie różne. Pozostałe podgrupy to grupa pararombowa [2,2] + ( lub ), kolejność 4 i wreszcie grupę centralną [2 + ,2 + ] ( lub ) z rzędu 2.
Dalej jest pełna grupa orto- p- gonalna , [2,p] (), abstrakcyjnie Z 2 × D 2 p , rzędu 4p, reprezentującego dwa zwierciadła pod dwuściennym kątem π/ p i oba są prostopadłe do trzeciego zwierciadła. Jest również reprezentowany przez diagram Coxetera jako.
Podgrupę bezpośrednią nazywamy grupą para- p- gonalną, [2,p] + ( lub ), abstrakcyjnie D 2 p , rzędu 2p, a inna podgrupa to [2,p + ] () abstrakcyjnie Z 2 × Z p , również rzędu 2p.
Pełny żyroskop p-GONAL grupę [2 + 2 s ] ( lub ), abstrakcyjnie D 4 p , rzędu 4 p . Grupa żyro- p- gonalna, [2 + ,2p + ] ( lub ), abstrakcyjnie Z 2 p , rzędu 2 p jest podgrupą zarówno [2 + ,2 p ] jak i [2,2 p + ].
We wszystkich tych symetriach można usunąć odbicia naprzemienne, tworząc rotacyjny czworościan [3,3] + (), oktaedryczny [3,4] + () i dwudziestościan [3,5] + () grupy rzędu 12, 24 i 60. Grupa oktaedryczna ma również unikalną podgrupę indeksu 2 zwaną grupą symetrii pirytoedrycznej [3 + , 4] ( lub ) rzędu 12, z połączeniem symetrii obrotowej i odbiciowej. Symetria pirytoedryczna jest również podgrupą indeksu 5 symetrii dwudziestościennej: --> , z wirtualnym lustrem 1 w poprzek 0 , {010} i 3-krotnym obrotem {12}.
Grupa tetraedryczna [3,3] (), ma podwojenie [[3,3]] (które mogą być reprezentowane przez kolorowe węzły ), mapując pierwsze i ostatnie zwierciadła na siebie, co daje w wyniku [3,4] ( lub ) Grupa. Podgrupa [3,4,1 + ] ( lub ) jest tym samym co [3,3], oraz [3 + ,4,1 + ] ( lub ) jest tym samym co [3,3] + .
Przykładowa ranga 3 skończone grupy Coxetera podgrupy drzew
Na płaszczyźnie euklidesowej znajdują się 3 podstawowe grupy refleksyjne generowane przez 3 lustra, reprezentowane przez diagramy Coxetera , , oraz , i są podane w notacji Coxetera jako [4,4], [6,3] i [(3,3,3)]. Nawiasy ostatniej grupy implikują cykl diagramu, a także mają notację skróconą [3 [3] ].
[[4,4]] jako podwojenie grupy [4,4] dało taką samą symetrię obróconą o π/4 z oryginalnego zestawu luster.
Bezpośrednie podgrupy symetrii obrotowej to: [4,4] + , [6,3] + , oraz [(3,3,3)] + . [4 + ,4] i [6,3 + ] są podgrupami półbezpośrednimi.
W , grupa pasterzy rangi 1, porządek p , jest reprezentowany jako p [], [] p lub ] p [. Ma pojedynczy generator, reprezentujący obrót w radianach 2 π / p w płaszczyźnie zespolonej : .
Coxeter zapisuje grupę zespoloną rang 2, p [ q ] r reprezentuje diagram Coxetera . P i R powinny być zniesione tylko wtedy, gdy oba są 2, który jest rzeczywistym przypadku [ P ]. Rząd grupy rang 2 p [ q ] r to .
Podgrupy indeksu 2 istnieją przez usunięcie rzeczywistego odbicia: p [2 q ] 2 → p [ q ] p . Również podgrupy indeksu r istnieją dla 4 gałęzi: p [4] r → p [ r ] p .
Dla nieskończonej rodziny p [4] 2 , dla dowolnego p = 2, 3, 4,... istnieją dwie podgrupy: p [4] 2 → [ p ], indeks p , while i p [4] 2 → p []× p [], indeks 2.
Obliczenia z macierzami odbić jako generatorami symetrii
Grupa Coxetera, reprezentowana przez diagram Coxetera , otrzymuje notację Coxetera [p,q] dla rzędów gałęzi. Każdy węzeł na diagramie Coxetera reprezentuje lustro, umownie nazywane ρ i (i macierz R i ). Te generatory z tej grupy [s, q] odbicia są: ρ 0 , ρ 1 i p 2 . Podsymetria obrotowa jest wyrażona jako iloczyn odbić: σ 0,1 (i macierz S 0,1 ) = ρ 0 ρ 1 reprezentuje obrót o kąt π/p, a σ 1,2 = ρ 1 ρ 2 jest obrót o kąt π/q, a σ 0,2 = ρ 0 ρ 2 reprezentuje obrót o kąt π/2.
[p,q] + ,, jest podgrupą indeksu 2 reprezentowaną przez dwa generatory obrotu, z których każdy jest iloczynem dwóch odbić: σ 0,1 , σ 1,2 , i reprezentujących obroty odpowiednio kątów π/ p i π/ q .
Z jedną parzystą gałęzią [ p + ,2 q ], lub , to kolejna podgrupa o indeksie 2, reprezentowana przez generator rotacji σ 0,1 i odbicie ρ 2 .
Przy parzystych gałęziach [2 p + ,2 q + ],, jest podgrupą o indeksie 4 z dwoma generatorami, skonstruowanymi jako iloczyn wszystkich trzech macierzy odbić: umownie jako: ψ 0,1,2 i ψ 1,2,0 , które są odbiciami obrotowymi , reprezentującymi odbicie i obrót lub odbicie.
W przypadku pokrewnych grup Coxetera, takich jak , lub , jedno lustro, zwykle ostatnie, jest tłumaczone ze źródła. Tłumaczenie generatora τ 0,1 (a macierz T 0,1 ) jest wykonany jako iloczyn dwóch (lub numeru nawet) odbicia, tym afinicznej odbicie. Transreflection (odbicie a także po angielsku) może być produktem z nieparzystą liczbę odbić cp 0,1,2 (i macierzy V, 0,1,2 ), na przykład w tabeli 4 podgrupy: [4 + ,4 + ] =.
Inny generator złożony, umownie jako ζ (i macierz Z), reprezentuje inwersję , odwzorowując punkt na jego odwrotność. Dla [4,3] i [5,3], ζ = (ρ 0 ρ 1 ρ 2 ) h/2 , gdzie h wynosi odpowiednio 6 i 10, liczba Coxetera dla każdej rodziny. Dla grupy 3D Coxetera [p,q] (), ta podgrupa jest odbiciem obrotowym [2 + ,h + ].
Grupy Coxetera są kategoryzowane według ich rangi, czyli liczby węzłów na diagramie Coxetera-Dynkina . Struktura grup jest również podana wraz z ich abstrakcyjnymi typami grup: W tym artykule abstrakcyjne grupy dwuścienne są reprezentowane jako Dih n , a grupy cykliczne są reprezentowane przez Z n , gdzie Dih 1 = Z 2 .
Przykład, w 2D, grupa Coxetera [ p ] () jest reprezentowana przez dwie macierze odbicia R 0 i R 1 , Symetria cykliczna [ p ] + () jest reprezentowany przez generator obrotów o macierzy S 0,1 .
[ p ],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
P
Matryca
[2],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
2
Matryca
[3],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
3
Matryca
[4],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
4
Matryca
[6],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
6
Matryca
[8],
Refleksje
Obrót
Nazwa
R 0
R 1
S 0,1 =R 0 ×R 1
Zamówienie
2
2
8
Matryca
Ranga 3
Grupy Coxetera o skończonej randze 3 to [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] i [3,5].
Aby odzwierciedlić punkt przez płaszczyznę (która przechodzi przez początek układu współrzędnych ), można użyć , gdzie jest macierzą jednostkową 3×3 i jest trójwymiarowym wektorem jednostkowym wektora normalnej płaszczyzny. Jeśli norma L2 z i jedność, macierz transformacji może być wyrażona jako:
[ p ,2]
Przykładowe dziedziny podstawowe, [5,2], jako trójkąty sferyczne
Redukowalna trójwymiarowa skończona grupa refleksyjna to symetria dwuścienna , [ p , 2], rząd 4 p ,. Generatorami odbicia są macierze R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 3 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [ p ,2] + () jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Odbicie rzędu p jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.
[p,2],
Refleksje
Obrót
Odbicie rotacyjne
Nazwa
R 0
R 1
R 2
S 0,1
S 1,2
S 0,2
V 0,1,2
Grupa
Zamówienie
2
2
2
P
2
2 godz
Matryca
[3,3]
linie odbicia dla [3,3] =
Najprostszą nieredukowalną 3-wymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria tetraedryczna [3,3], rząd 24,. Generatory odbicia, ze D 3 = a 3 konstrukcji są macierzami R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 3 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [3,3] + () jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Trionic podgrupy , izomorficzna [2 + , 4] Kolejność 8, jest generowany przez S 0,2 i R 1 . Odbicie wirnika rzędu 4 jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.
[3,3],
Refleksje
Obroty
Odbicie rotacyjne
Nazwa
R 0
R 1
R 2
S 0,1
S 1,2
S 0,2
V 0,1,2
Nazwa
Zamówienie
2
2
2
3
2
4
Matryca
(0,1,−1) n
(1,−1,0) n
(0,1,1) n
(1,1,1) oś
(1,1,−1) oś
(1,0,0) oś
[4,3]
Linie odbicia dla [4,3] =
Inną nieredukowalną 3-wymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria oktaedryczna [4,3], rząd 48,. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 4 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. Chiralna symetria oktaedryczna, [4,3] + , () jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . Symetria pirytoedryczna [4,3 + ], () Jest generowana przez odbicia R 0 i obrót S 1,2 . Odbicie 6-krotne jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.
[4,3],
Refleksje
Obroty
Odbicie rotacyjne
Nazwa
R 0
R 1
R 2
S 0,1
S 1,2
S 0,2
V 0,1,2
Grupa
Zamówienie
2
2
2
4
3
2
6
Matryca
(0,0,1) n
(0,1,−1) n
(1,−1,0) n
(1,0,0) oś
(1,1,1) oś
(1,−1,0) oś
[5,3]
Linie odbicia dla [5,3] =
Ostatnią nieredukowalną trójwymiarową skończoną grupą refleksyjną jest symetria dwudziestościenna [5,3], rząd 120,. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 . R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 =(R 0 × R 1 ) 5 = (R 1 × R 2 ) 3 =(R 0 × R 2 ) 2 = Tożsamość. [5,3] + () jest generowany przez 2 z 3 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , i S 0,2 . 10-krotne odbicie obrotowe jest generowane przez V 0,1,2 , iloczyn wszystkich 3 odbić.
Istnieją 4 nieredukowalne grupy Coxetera w 4 wymiarach: [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,4], [5,3,3] , a także nieskończoną rodzinę grup duopryzmatycznych [ p ,2, q ].
[ p ,2, q ]
Grupa dupryzmatyczna [ p ,2, q ] ma rząd 4 pq .
[ p ,2, q ],
Refleksje
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
Element grupy
Zamówienie
2
2
2
2
Matryca
[[ p ,2, p ]]
Grupa duopryzmatyczna może podwoić się w kolejności do 8 p 2 , z dwukrotnym obrotem między dwiema płaszczyznami.
[[ p ,2, p ]],
Obrót
Refleksje
Nazwa
T
R 0
R 1
R 2 = TR 1 T
R 3 = TR 0 T
Element
Zamówienie
2
2
2
Matryca
[3,3,3]
Symetrię hipertetraedryczną [3,3,3], rząd 120, najłatwiej przedstawić za pomocą 4 luster w 5-wymiarach, jako podgrupę [4,3,3,3].
[3,3,3],
Refleksje
Obroty
Odbicia rotacyjne
Podwójna rotacja
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
S 0,1
S 1,2
S 2,3
S 0,2
S 1,3
S 2,3
V 0,1,2
V 0,1,3
W 0,1,2,3
Nazwa
Zamówienie
2
2
2
2
3
2
4
6
5
Matryca
(0,0,0,1,-1) n
(0,0,1,−1,0) n
(0,1,−1,0,0) n
(1,−1,0,0,0) n
[[3,3,3]]
Rozszerzona grupa [[3,3,3]], rząd 240, jest podwojona przez dwukrotną macierz rotacji T, tutaj odwracającą kolejność współrzędnych i znak: Istnieją 3 generatory {T, R 0 , R 1 }. Ponieważ T jest samoodwrotnością R 3 = TR 0 T, a R 2 = TR 1 T.
[[3,3,3]],
Obrót
Refleksje
Nazwa
T
R 0
R 1
TR 1 , T = R 2
TR 0 T=R 3
Grupa elementów
Zamówienie
2
2
2
2
2
Matryca
(0,0,0,1,-1) n
(0,0,1,−1,0) n
(0,1,−1,0,0) n
(1,−1,0,0,0) n
[4,3,3]
Nieredukowalna 4-wymiarowa skończona grupa refleksyjna to grupa hiperoktaedryczna (lub grupa heksadekazorowa (dla 16 komórek ), B 4 = [4,3,3], rząd 384,. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 4 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 = (R 1 x R 3 ) 2 = (R 0 x R 3 ) 2 = tożsamości.
Chiralna symetria hiperoktaedryczna, [4,3,3] + , () jest generowany przez 3 z 6 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 , S 0,3 . Symetria hiperpirytoedryczna [4,(3,3) + ], () jest generowany przez odbicie R 0 i obroty S 1,2 i S 2,3 . 8-krotny podwójny obrót jest generowany przez W 0,1,2,3 , iloczyn wszystkich 4 odbić.
[4,3,3],
Refleksje
Obroty
Odbicie rotacyjne
Podwójna rotacja
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
S 0,1
S 1,2
S 2,3
S 0,2
S 1,3
S 0,3
V 1,2,3
V 0,1,3
V 0,1,2
V 0,2,3
W 0,1,2,3
Grupa
Zamówienie
2
2
2
2
4
3
2
4
6
8
Matryca
(0,0,0,1) n
(0,0,1,−1) n
(0,1,−1,0) n
(1,−1,0,0) n
[3,3 1,1 ]
Połowa grupy [4,3,3] to [3,3 1,1 ],, zamówienie 192. Współdzieli 3 generatory z grupą [4,3,3], ale ma dwie kopie sąsiedniego generatora, z których jedna odbija się w poprzek usuniętego lustra.
[3,3 1,1 ],
Refleksje
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
Grupa
Zamówienie
2
2
2
2
Matryca
(1,−1,0,0) n
(0,1,−1,0) n
(0,0,1,−1) n
(0,0,1,1) n
[3,4,3]
Nieredukowalna 4-wymiarowa skończona grupa refleksyjna to Icositetrachoric group (dla 24 komórek ), F 4 = [3,4,3], rząd 1152,. Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 3 =(R 1 ×R 2 ) 4 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 = (R 1 x R 3 ) 2 = (R 0 x R 3 ) 2 = tożsamości.
Chiralna symetria ikozytotrachoryczna, [3,4,3] + , () jest generowany przez 3 z 6 obrotów: S 0,1 , S 1,2 , S 2,3 , S 0,2 , S 1,3 , S 0,3 . Jonowy zmniejszone [3,4,3 + ], grupę () jest generowany przez odbicie R 0 i obroty S 1,2 i S 2,3 . 12-krotnie dwukrotnie obrotowy jest generowany przez W 0,1,2,3 , produkt wszystkich 4 odbicia.
[3,4,3],
Refleksje
Obroty
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
S 0,1
S 1,2
S 2,3
S 0,2
S 1,3
S 0,3
Grupa elementów
Zamówienie
2
2
2
2
3
4
3
2
Matryca
(1,−1,0,0) n
(0,1,−1,0) n
(0,0,0,0) n
(−1,−1,−1,−1) n
[3,4,3],
Odbicie rotacyjne
Podwójna rotacja
Nazwa
V 1,2,3
V 0,1,3
V 0,1,2
V 0,2,3
W 0,1,2,3
Grupa elementów
Zamówienie
6
12
Matryca
[[3,4,3]]
Grupa [[3,4,3]] rozszerza [3,4,3] o dwukrotny obrót, T, podwajając rząd do 2304.
Symetria hiperikozaedryczna [5,3,3], rząd 14400, . Macierzami generatorów odbicia są R 0 , R 1 , R 2 , R 3 . R 0 2 =R 1 2 =R 2 2 =R 3 2 =(R 0 ×R 1 ) 5 =(R 1 ×R 2 ) 3 =(R 2 ×R 3 ) 3 =(R 0 ×R 2 ) 2 =(R 0 × R 3 ) 2 =(R 1 × R 3 ) 2 = Tożsamość. [5,3,3] + () jest generowany przez 3 obroty: S 0,1 = R 0 ×R 1 , S 1,2 = R 1 ×R 2 , S 2,3 = R 2 ×R 3 , itd.
[5,3,3],
Refleksje
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
Grupa elementów
Zamówienie
2
2
2
2
Matryca
(1,0,0,0) n
(φ,1,φ−1,0) n
(0,1,0,0) n
(0,−1,φ,1−φ) n
Ranga 8
[3 4,2,1 ]
Grupa Coxetera E8 , [3 4,2,1 ],, ma 8 węzłów lustrzanych, zamów 696729600 (192x10!). E7 i E6, [3 3,2,1 ],, oraz [3 2,2,1 ], można skonstruować, ignorując odpowiednio pierwsze lustro lub dwa pierwsze lustra.
E8=[3 4,2,1 ],
Refleksje
Nazwa
R 0
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
R 6
R 7
Grupa elementów
Zamówienie
2
2
2
2
2
2
2
2
Matryca
(1,-1,0,0,0,0,0,0) n
(0,1,-1,0,0,0,0,0) n
(0,0,1,-1,0,0,0,0) n
(0,0,0,1,-1,0,0,0) n
(0,0,0,0,1,-1,0,0) n
(0,0,0,0,0,1,-1,0) n
(0,0,0,0,0,1,1,0) n
(1,1,1,1,1,1,1,1,1) n
Pozycja afiniczna 2
Macierze afiniczne są reprezentowane przez dodanie dodatkowego wiersza i kolumny, przy czym ostatni wiersz wynosi zero, z wyjątkiem ostatniego wpisu 1. Ostatnia kolumna reprezentuje wektor translacji.
[∞]
Grupa afiniczna [∞], , może być dana przez dwie macierze odbicia, x=0 i x=1.
Grupa afiniczna [4,4], , (p4m), mogą być podane przez trzy macierze odbić, odbicia w poprzek osi x (y=0), przekątną (x=y) i afiniczne odbicie w poprzek linii (x=1). [4,4] + () (p4) jest generowane przez S 0,1 S 1,2 i S 0,2 . [4 + ,4 + ] () (pgg) jest generowany przez dwukrotny obrót S 0,2 i odbicie poślizgu (transrefleksję) V 0,1,2 . [4 + ,4] () (P4G) jest generowana przez S 0,1 i R 3 . Grupa [(4,4,2 + )] () (Cmm) jest generowany przez 2-krotne obrotu S 1,3 i współczynnik odbicia R 2 .
Grupę afiniczną [3 [3] ] można skonstruować jako połówkową grupę. R 2 jest zastąpione przez R' 2 = R 2 × R 1 × R 2 , przedstawione przez hiperpłaszczyznę: y+(√3/2)x=2. Domeną podstawową jest trójkąt równoboczny o długości krawędzi 2.
Grupa afiniczna to [4,3,4] (), mogą być podane przez cztery macierze odbicia. Lustro R 0 można umieścić na płaszczyźnie z=0. Lustro R 1 można umieścić na płaszczyźnie y=z. Lustro R 2 można umieścić na płaszczyźnie x=y. Lustro R 3 można umieścić na płaszczyźnie x=1. [4,3,4] + () jest generowany przez S 0,1 , S 1,2 i S 2,3 .
Rozszerzona grupa [[4,3,4]] podwaja kolejność grup, dodając z 2-krotną macierzą rotacji T, ze stałą osią przechodzącą przez punkty (1,1/2,0) i (1/2,1/ 2,1/2). Generatory to {R 0 ,R 1 ,T}. R 2 = T x R 1 x T i R 3 = T x R 0 x T.
Grupę [3 [4] ] można skonstruować z [4,3,4], usuwając pierwsze i ostatnie lustra, [1 + ,4,3,4,1 + ],Przez R ' 1 = R 0 x R 1 x R 0 i R' 3 = R 3 x R 2 x R 3 .
Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
John H. Conway i Derek A. Smith, O Quaternions i Octonions , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
The Symetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 Ch.22 35 grup w przestrzeniach pierwszych , rozdział 25 184 złożone grupy przestrzenne , rozdział 26 Jeszcze wyższy , grupy punktów 4D