Element Coxetera - Coxeter element

W matematyce The liczba Coxeter H jest zamówienie z elementu Coxeter z nieredukowalnego grupy Coxeter . Jego nazwa pochodzi od HSM Coxetera .

Definicje

Zauważ, że ten artykuł zakłada skończoną grupę Coxetera. W przypadku nieskończonych grup Coxetera istnieje wiele klas sprzężeń elementów Coxetera i mają one nieskończony porządek.

Istnieje wiele różnych sposobów zdefiniowania liczby Coxetera h nieredukowalnego systemu korzeniowego.

Element Coxetera jest produktem wszystkich prostych odbić. Produkt zależy od kolejności, w jakiej są brane, ale różne porządki tworzą elementy sprzężone , które mają tę samą kolejność .

• Liczba Coxetera to kolejność dowolnego elementu Coxetera; .
• Liczba Coxetera to 2 m / n , gdzie n to ranga, a m to liczba odbić. W przypadku krystalograficznym m jest połową liczby pierwiastków ; a 2m + n jest wymiarem odpowiadającej półprostej algebry Liego .
• Jeśli najwyższym pierwiastkiem jest Σ m _i α _i dla prostych pierwiastków α _i , to liczba Coxetera wynosi 1 + Σ m _i .
• Liczba Coxetera jest najwyższym stopniem niezmiennika fundamentalnego grupy Coxetera działającego na wielomianach.

Numer Coxetera dla każdego typu Dynkin podano w poniższej tabeli:

Grupa Coxetera		Schemat Coxetera	Schemat Dynkina	Odbicia m = nh /2	Liczba Coxetera h	Podwójny numer Coxetera	Stopnie niezmienników fundamentalnych
A n	[3,3...,3]	...	...	n ( n +1)/2	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	n 2	2 n	2 n - 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n			...			n + 1
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	n ( n -1)	2 n - 2	2 n - 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F 4	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G 2	[6]			6	6	4	2, 6
H 3	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H 4	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
ja 2 ( p )	[P]		-	P	P		2, p

Niezmienniki grupy Coxetera działające na wielomiany tworzą algebrę wielomianów, której generatorami są podstawowe niezmienniki; ich stopnie są podane w powyższej tabeli. Zauważ, że jeśli m jest stopniem niezmiennika fundamentalnego, to tak samo jest z h  + 2 −  m .

Wartości własne elementu Coxetera to liczby e ^{2π i ( m  − 1)/ h,} gdy m przebiega przez stopnie podstawowych niezmienników. Ponieważ ten rozpoczyna się z m  = 2, obejmują one prymitywny h p głównego jedności , ζ _h  =  e ^{2π I / h} , co jest ważne w płaszczyźnie Coxeter poniżej.

Zamówienie grupowe

Istnieją relacje między porządkiem g grupy Coxetera a liczbą Coxetera h :

• [p]: 2h/g _p = 1
• [p,q]: 8/g _p,q = 2/p + 2/q -1
• [p,q,r]: 64h/g _p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
• [p,q,r,s]: 16/g _p,q,r,s = 8/g _p,q,r + 8/g _q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1 /q - 1/r - 1/s +1
• ...

Na przykład [3,3,5] ma h =30, więc 64*30/g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, więc g = 1920*15/2 = 960*15 = 14400.

Elementy Coxetera

Wyraźne elementy Coxetera odpowiadają orientacjom diagramu Coxetera (tj. kołczanom Dynkina ): proste odbicia odpowiadające wierzchołkom źródłowym są zapisywane jako pierwsze, wierzchołki dolne później, a ujścia na końcu. (Wybór kolejności wśród niesąsiadujących wierzchołków nie ma znaczenia, ponieważ odpowiadają one odbiciom przemiennym). Szczególnym wyborem jest orientacja przemienna, w której proste odbicia są dzielone na dwa zestawy niesąsiadujących ze sobą wierzchołków, a wszystkie krawędzie są zorientowane od pierwszego do drugiego zestawu. Naprzemienna orientacja tworzy specjalny element Coxetera w spełniający , gdzie w ₀ jest najdłuższym elementem , pod warunkiem, że liczba Coxetera h jest parzysta. ${\ Displaystyle w ^ {h/2} = w_ {0}}$

Dla , symetrycznej grupy na n elementach, elementy Coxetera są pewnymi n- cyklami: iloczynem prostych odbić jest element Coxetera . Dla parzystego n , przemienny element orientacji Coxetera to: ${\ Displaystyle A_ {n-1} \ cong S_ {n}}$${\ Displaystyle (1,2) (2,3) \ cdots (n {-} 1 \ n)}$${\displaystyle (1,2,3,\kropki,n)}$

${\ Displaystyle (1, 2) (3,4) \ cdots (2, 3) (4,5) \ cdots = (2, 4, 6, \ ldots, n {-} 2, n, n {-} 1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$

Wśród n- cykli występują wyraźne elementy Coxetera . ${\ Displaystyle 2 ^ {n-2}}$${\ Displaystyle (n {-} 1)!}$

Grupa dwuścienna Dih _p jest generowana przez dwa odbicia, które tworzą kąt , a zatem dwa elementy Coxetera są ich iloczynem w dowolnej kolejności, co jest obrotem o . ${\displaystyle 2\pi/2p}$${\ Displaystyle \ pm 2 \ pi / p}$

Samolot Coxetera

Rzut systemu korzeniowego E ₈ na płaszczyznę Coxetera, wykazujący 30-krotną symetrię.

Dla danego elementu Coxetera w istnieje unikalna płaszczyzna P, na której w działa poprzez obrót o 2π/ h. Nazywa się to płaszczyzną Coxetera i jest to płaszczyzna, na której P ma wartości własne e ^{2π i / h} oraz e ^{−2π i / h}  =  e ^{2π i ( h −1)/ h} . Płaszczyzna ta była po raz pierwszy systematycznie badana w ( Coxeter 1948 ), a następnie użyta w ( Steinberg 1959 ) w celu dostarczenia jednolitych dowodów dotyczących właściwości pierwiastków Coxetera.

Płaszczyzna Coxetera jest często używana do rysowania diagramów wielowymiarowych wielokątów i systemów korzeniowych – wierzchołki i krawędzie wielokąta lub korzeni (i niektóre krawędzie łączące je) są rzutowane prostopadle na płaszczyznę Coxetera, dając wielokąt Petriego z h - złóż symetrię obrotową. Dla systemów korzeniowych nie ma map korzeniowych do zera, co odpowiada elementowi Coxetera nie ustalającemu żadnego korzenia lub raczej osi (nie posiadającej wartości własnej 1 lub -1), więc rzuty orbit pod w tworzą h -krotnie układy kołowe i jest pusta centrum, jak na schemacie E ₈ u góry po prawej. W przypadku polytopes wierzchołek może być odwzorowany na zero, jak pokazano poniżej. Projekcje na płaszczyznę Coxetera są przedstawione poniżej dla brył platońskich .

W trzech wymiarach, symetria w regularnych wielościanu {P, Q} jednym skierowanym Wielokąt Petriego oznakowany, określona jako złożona z 3 odbicia ma rotoinversion symetrii S _h [2 ⁺ , H ⁺ ], kolejność h . Dodając lustro, symetrię można podwoić do symetrii antypryzmatycznej, D _hd , [2 ⁺ ,h], rząd 2h . W rzucie ortogonalnym 2D staje się to symetrią dwuścienną , Dih _h , [h], rząd 2 h .

Grupa Coxetera	A 3 T d	B 3 O H		h 3 ja h
Wielościan regularny	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Symetria	S 4 , [2 + ,4 + ], (2×) D 2d , [2 + ,4], (2*2)	S 6 , [2 + ,6 + ], (3×) D 3d , [2 + ,6], (2*3)		S 10 , [2 + ,10 + ], (5×) D 5d , [2 + ,10], (2*5)
Symetria płaszczyzny Coxetera	Dih 4 , [4], (*4•)	Dih 6 , [6], (*6•)		Dih 10 , [10], (*10•)
Wielokąty Petriego brył platońskich, wykazujące symetrię 4-krotną, 6-krotną i 10-krotną.

W czterech wymiarach symetria polichoronu foremnego {p,q,r} z zaznaczonym jednym wielokątem skierowanym Petrie jest rotacją podwójną , zdefiniowaną jako złożenie 4 odbić, o symetrii + ¹ / _h [C _h × C _h ] ( John H. Conway ) (C _2H / C ₁ C _2H / C ₁ ) (1' , Patrick du Val (1964)), kolejność h .

Grupa Coxetera	4	B 4		F 4	H 4
Regularna polichoron	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Symetria	+ 1 / 5 [C 5 × C 5 ]	+ 1 / 8 [° C 8 x C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 × C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 × C 30 ]
Symetria płaszczyzny Coxetera	Dih 5 , [5], (*5•)	Dih 8 , [8], (*8•)		Dih 12 , [12], (*12•)	Dih 30 , [30], (*30•)
Wielokąty Petriego regularnych brył 4D, wykazujące symetrię 5-krotną, 8-krotną, 12-krotną i 30-krotną.

W pięciu wymiarach symetria regularnego 5-politopu {p,q,r,s}, z zaznaczonym jednym ukierunkowanym wielokątem Petriego, jest reprezentowana przez złożenie 5 odbić.

Grupa Coxetera	5	B 5		D 5
Regularny polyteron	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	godz.{4,3,3,3}
Symetria płaszczyzny Coxetera	Dih 6 , [6], (*6•)	Dih 10 , [10], (*10•)		Dih 8 , [8], (*8•)

W wymiarach od 6 do 8 występują 3 wyjątkowe grupy Coxetera; jeden jednolity politop z każdego wymiaru reprezentuje korzenie wyjątkowych grup Liego E _n . Elementy Coxetera to odpowiednio 12, 18 i 30.

E _n grupy

Grupa Coxetera	E6	E7	E8
Wykres	1 22	2 31	4 21
Symetria płaszczyzny Coxetera	Dih 12 , [12], (*12•)	Dih 18 , [18], (*18•)	Dih 30 , [30], (*30•)

Zobacz też

• Najdłuższy element grupy Coxeter

Uwagi

Bibliografia