Kohomologia de Rama - De Rham cohomology

Pole wektorowe odpowiadające postaci różniczkowej na płaszczyźnie przebicia, która jest zamknięta, ale nie dokładna, co pokazuje, że kohomologia de Rhama tej przestrzeni nie jest trywialna.

W matematyce , Kompleks de Rhama (nazwany Georges de Rham ) jest narzędziem, należące zarówno do topologii algebraicznej i różnicowej topologii , zdolne do ekspresji podstawowe informacje topologiczne o gładkich rur rozgałęźnych w formie, w szczególności przystosowana do obliczania i reprezentacją betonowej klas kohomologii . Jest to teoria kohomologii oparta na istnieniu form różniczkowych o określonych właściwościach.

Każda dokładna forma jest zamknięta, ale niekoniecznie jest odwrotnie. Z drugiej strony istnieje związek między brakiem dokładności a istnieniem „dziur”. Grupy kohomologii de Rhama są zbiorem niezmienników gładkich rozmaitości, które czynią wspomnianą relację ilościową i zostaną omówione w niniejszym artykule.

Koncepcja integracji na formach ma fundamentalne znaczenie w topologii różniczkowej, geometrii i fizyce, a także dostarcza jednego z najważniejszych przykładów kohomologii , mianowicie kohomologii de Rhama , która (w przybliżeniu) mierzy dokładnie stopień, w jakim podstawowe twierdzenie rachunek różniczkowy zawodzi w wyższych wymiarach i na rozmaitościach ogólnych.
—  Terence Tao , Formy różniczkowe i integracja

Definicja

Kompleksu de Rham jest cochain złożony z różnicowej formy w niektórych gładkich rur, M , przy czym zewnętrzna pochodnej jako różniczkowych

${\ Displaystyle 0 \ do \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ do}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ do}} \ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\do }}\ \Omega ^{3}(M)\do \cdots ,}$

gdzie Ω ⁰ ( M ) jest przestrzenią gładkich funkcji na M , Ω ¹ ( M ) jest przestrzenią 1- form i tak dalej. Formy, które są obrazami innych form pod pochodną zewnętrzną , plus funkcja stałej 0 w Ω ⁰ ( M ) , nazywane są dokładnymi, a formy, których pochodna zewnętrzna wynosi 0, nazywane są zamkniętymi (patrz Zamknięte i dokładne formy różniczkowe ); zależność d ² = 0 mówi, że dokładne formy są zamknięte.

Natomiast formy zamknięte niekoniecznie są dokładne. Przykładowym przypadkiem jest okrąg jako rozmaitość i forma 1 odpowiadająca pochodnej kąta od punktu odniesienia w jego środku, zwykle zapisywana jako dθ (opisana w formach różniczkowych zamkniętych i dokładnych ). Nie ma funkcji θ zdefiniowanej na całym okręgu takiej, że dθ jest jego pochodną; wzrost o 2 π przy jednokrotnym okrążeniu okręgu w kierunku dodatnim implikuje funkcję wielowartościową θ . Usunięcie jednego punktu okręgu pozwala temu zapobiec, zmieniając jednocześnie topologię rozmaitości.

Ideą kohomologii de Rhama jest zdefiniowanie klas równoważności form zamkniętych na rozmaitości. Jedna klasyfikuje dwie formy zamknięte α , β ∈ Ω ^k ( M ) jako kohomologiczne, jeśli różnią się dokładną formą, to znaczy, jeśli α − β jest dokładne. Klasyfikacja ta indukuje relację równoważności na przestrzeni form zamkniętych w Ω ^k ( M ) . Jeden następnie określa k -tego de Rham grupy kohomologii się zbiór grup równoważnych, to znaczy, że zbiór zamkniętych formach w omów ^k ( M ) modulo dokładnej formy. ${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR}} ^ {k} (M)}$

Zauważ, że dla dowolnego rozgałęźnika M złożonego z m niepołączonych elementów, z których każdy jest połączony , mamy to

${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR}} ^ {0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Wynika to z faktu, że każda gładka funkcja na M z pochodną zerową wszędzie jest oddzielnie stała na każdym z połączonych składowych M .

Obliczono kohomologię de Rhama

Często można znaleźć ogólne kohomologie de Rhama dla rozmaitości, wykorzystując powyższy fakt o kohomologii zerowej i ciągu Mayera–Vietorisa . Innym użytecznym faktem jest to, że kohomologia de Rhama jest niezmiennikiem homotopii . Chociaż obliczenia nie są podane, poniżej przedstawiono obliczoną kohomologie de Rhama dla niektórych typowych obiektów topologicznych :

N -sphere

Dla n -sfery , , a także w połączeniu z iloczynem przedziałów otwartych, mamy co następuje. Niech n > 0, m ≥ 0 i będę otwartym przedziałem rzeczywistym. Następnie ${\ Displaystyle S ^ {n}}$

${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {dR}} ^ {k} (S ^ {n} \ razy I ^ {m}) \ simeq {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {R} & k = 0 {\ tekst {lub }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ i }}k\neq n.\end{przypadki}}}$

N -torus

-Torus stanowi iloczyn kartezjański: . Podobnie, pozwalając tutaj, otrzymujemy ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ razy \ cdots \ razy S ^ {1}} _ {n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n \ wybierz k}.}$

Możemy również znaleźć wyraźne generatory dla kohomologii de Rhama torusa bezpośrednio przy użyciu form różniczkowych. Mając rozmaitość ilorazową i formę różniczkową możemy powiedzieć, że jest -niezmiennicza, jeśli dany dyfeomorfizm indukowany przez , mamy . W szczególności, wycofanie dowolnej formy jest -niezmiennicze. Cofnięcie jest również morfizmem iniekcyjnym. W naszym przypadku formy różniczkowe są -niezmiennicze ponieważ . Zauważ jednak, że for nie jest formą niezmienną . To z wstrzykiwaniem oznacza, że ${\ Displaystyle \ pi : X \ do X / G}$${\ Displaystyle \ omega \ w \ Omega ^ {k} (X)}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ cdot g: X \ do X}$${\ Displaystyle (\ cdot g) ^ {*} (\ omega) = \ omega}$${\ Displaystyle X/G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ Displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}}$${\displaystyle x_{i}+\alfa}$${\ Displaystyle \ alfa \ w \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 0}$

${\ Displaystyle [dx_ {i}] \ w H_ {DR} ^ {1} (T ^ {n})}$

Ponieważ pierścień kohomologii torusa jest generowany przez , branie zewnętrznych produktów tych form daje wszystkie wyraźne reprezentacje kohomologii torusa de Rama. ${\ Displaystyle H ^ {1}}$

Przebita przestrzeń euklidesowa

Przebita przestrzeń euklidesowa jest po prostu z usuniętym początkiem. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle H_ {\ tekst {dR}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {R} ^ {2} &n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}.}$

Wstęga Möbiusa

Możemy wywnioskować z faktu, że pas Möbiusa , M , może być deformacją cofniętą do 1 -sfery (tj. rzeczywistego okręgu jednostkowego), że:

${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR} } ^ {k} (M) \ simeq H_ {\ operatorname {DR}} ^ {k} (S ^ {1}).}$

Twierdzenie de Rama

Stokes' twierdzenie jest wyrazem dualizmu pomiędzy Kompleks de Rhama i homologii z łańcuchami . Mówi, że parowanie form różniczkowych i łańcuchów, poprzez całkowanie, daje homomorfizm z kohomologii de Rhama do pojedynczych grup kohomologicznych Twierdzenie De Rhama , udowodnione przez Georgesa de Rhama w 1931 roku, stwierdza, że ​​dla gładkiej rozmaitości M , ta mapa jest w rzeczywistości izomorfizmem . ${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR}} ^ {k} (M)}$ ${\ Displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$

Dokładniej, rozważ mapę

${\ Displaystyle I: H _ {\ operatorname {dR} } ^ {p} (M) \ do H ^ {p} (M; \ mathbb {R})}$

zdefiniowana w następujący sposób: dla any , niech I ( ω ) będzie elementem, który działa w następujący sposób: ${\ Displaystyle [\ omega] \ w H_ {\ operatorname {DR}} ^ {p} (M)}$${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H ^ {p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Twierdzenie de Rhama twierdzi, że jest to izomorfizm między kohomologią de Rhama a kohomologią osobliwą.

Produkt zewnętrzny nadaje się bezpośredni sumę tych grup z pierścieniowej struktury. Kolejnym wynikiem twierdzenia jest to, że dwa pierścienie kohomologii są izomorficzne (jako pierścienie stopniowane ), gdzie analogicznym iloczynem w osobliwej kohomologii jest iloczyn kubkowy .

Teoretyczny snop izomorfizmu de Rama

De Rham cohomology jest izomorficzna do kohomologiami Čech , gdzie jest snop z grupa przemienna określa dla wszystkich podłączonych zbiorów otwartych , a do zbiorów otwartych taki, że The morfizmem grupa jest wyrażona mapie tożsamości na i gdzie jest to dobre pokrycie otwarte z (tj. wszystkie otwarte zbiory w otwartej okładce są kurczliwe do punktu, a wszystkie skończone przecięcia zbiorów w są albo puste, albo kurczliwe do punktu). Innymi słowy jest to stały snop podany przez snopek przypisania stałego wstępnego snopa . ${\ Displaystyle H ^ {*} ({\ matematyka {U}} F)}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle U \ podzbiór M}$${\ Displaystyle U, V}$${\ Displaystyle U \ podzbiór V}$${\ Displaystyle {\ tekst {res}} _ {V, U}: {\ podkreślenie {\ mathbb {R} }} (V) \ do {\ podkreślenie {\ mathbb {R} }} (U)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {U}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {U}}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R} }$

Innymi słowy, jeśli jest zwartą C ^{m +1} rozmaitością wymiaru , to dla każdego , istnieje izomorfizm ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle k\leq m}$

${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR} } ^ {k} (M) \ cong {\ check {H}} ^ {k} (M {\ podkreślenie {\ mathbb {R}}})}$

gdzie lewa strona to -ta grupa kohomologii de Rhama, a prawa strona to kohomologia Čecha dla stałego snopa z włóknem${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Dowód

Niech oznaczamy snop zarazków z -forms na (z snopa funkcji na ). Zgodnie z lematem Poincaré , następująca sekwencja snopów jest dokładna (w kategorii snopów): ${\ Displaystyle \ Omega ^ {k}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {0}}$${\ Displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle 0 \ do {\ podkreślenie {\ mathbb {R} }} \ do \ Omega ^ {0}\, \ xrightarrow {d} \ \ Omega ^ {1} \ \ xrightarrow {d} \ \ \ Omega ^{2}\,\xrightarrow {d} \dots \xrightarrow {d} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Ta sekwencja dzieli się teraz na krótkie, dokładne sekwencje

${\ Displaystyle 0 \ do d \ Omega ^ {k-1} \ {\ xrightarrow {\ podzbiór}} \ \ Omega ^ {k} \ {\ xrightarrow {d}} \ d \ Omega ^ {k }\do 0.}$

Każdy z nich indukuje długą, dokładną sekwencję w kohomologii. Ponieważ snop funkcji na rozmaitości dopuszcza podziały jedności , kohomologia snopa znika dla . Tak więc długie, dokładne sekwencje kohomologii ostatecznie rozdzielają się na łańcuch izomorfizmów. Na jednym końcu łańcucha znajduje się kohomologia Čecha, a na drugim kohomologia de Rama. ${\ Displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ Displaystyle H ^ {i} (\ Omega ^ {k})}$${\displaystyle i>0}$

Powiązane pomysły

Kohomologia de Rhama zainspirowała wiele pomysłów matematycznych, w tym kohomologię Dolbeaulta , teorię Hodge'a i twierdzenie o indeksie Atiyaha -Singera . Jednak nawet w bardziej klasycznych kontekstach twierdzenie to zainspirowało wiele zmian. Po pierwsze, teoria Hodge'a dowodzi, że istnieje izomorfizm między kohomologią składającą się z form harmonicznych a kohomologią de Rhama składającą się z form zamkniętych modulo dokładnych. Opiera się to na odpowiedniej definicji form harmonicznych i twierdzeniu Hodge'a. Więcej szczegółów można znaleźć w teorii Hodge'a .

Formy harmoniczne

Jeśli M jest zwartą rozmaitością Riemanna , to każda klasa równoważności w zawiera dokładnie jedną postać harmoniczną . Oznacza to, że każdy element danej klasy równoważności form zamkniętych można zapisać jako ${\ Displaystyle H_ {\ operatorname {DR}} ^ {k} (M)}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = \ alfa + \ gamma}$

gdzie jest dokładne i harmoniczne: . ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Delta \ Gamma = 0}$

Każda funkcja harmoniczna na zwartej połączonej rozmaitości riemannowskiej jest stałą. Zatem ten konkretny reprezentatywny element może być rozumiany jako ekstremum (minimum) wszystkich kohomologicznie równoważnych form na rozmaitości. Na przykład, w ciągu 2 - torusa , można wyobrazić sobie stałą 1 postać a jako ten, w którym wszystkie „włosy” czesany starannie w tym samym kierunku (a wszystkie „włosy” o tej samej długości). W tym przypadku istnieją dwa kohomologicznie różne czesania; wszystkie pozostałe to kombinacje liniowe. W szczególności oznacza to, że pierwsza liczba Betti na 2- torusie to dwa. Bardziej ogólnie, na dwuwymiarowym torusie , można rozważyć różne kombinacje -form na torusie. Do wyboru są takie czesania, które mogą być użyte do utworzenia wektorów bazowych dla ; -ta liczba Betti za de Rham grupy kohomologii dla -torus jest więc wybierać . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T ^ {n}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle H_ {\ tekst {DR}} ^ {k} (T ^ {n})}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Dokładniej, dla rozmaitości różnicowej M można ją wyposażyć w pewną pomocniczą metrykę Riemanna . Wtedy Laplace'a definiuje się przez ${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$

z tej zewnętrznej pochodnej i na codifferential . Laplasjan jest jednorodny (w klasyfikacji ) liniowy różnicowego operatora działającego na zewnątrz Algebra o zróżnicowanych postaciach : można spojrzeć na działanie na każdej części stopnia oddzielnie. ${\displaystyle d}$${\ Displaystyle \ delta}$ ${\displaystyle k}$

Jeśli jest kompaktowy i zorientowanych The wymiar z jądrem w Laplace'a działając na przestrzeni k -forms jest wtedy równe (przez teorię Hodge ) do tej z de Rham grupy kohomologii w stopniu : laplasjan wybiera unikalny harmonicznego postaci w każda klasa kohomologii form zamkniętych . W szczególności, przestrzeń wszystkich form harmonicznych jest izomorficzna z Wymiarem każdej takiej przestrzeni jest skończony i jest określony przez -tą liczbę Bettiego . ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$${\displaystyle k}$

Rozkład Hodge'a

Niech będzie zorientowaną zwartą rozmaitością Riemanna . W Hodge rozkładu stwierdza, że każdy -forma na wyjątkowo dzieli się sumą trzech L ² elementów: ${\ Displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ omega = \ alfa + \ beta + \ gamma,}$

gdzie jest dokładne, dokładne i harmonijne. ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Mówi się, że forma jest współzamknięta jeśli i współdokładna jeśli dla jakiejś formy , a to jest harmonijne, jeśli laplacian wynosi zero, . Wynika to z faktu, że dokładne i współdokładne formy są ortogonalne; dopełnienie ortogonalne składa się wówczas z form zarówno zamkniętych, jak i współzamkniętych, czyli z form harmonicznych. Tutaj ortogonalność jest zdefiniowana w odniesieniu do iloczynu skalarnego L ² na : ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ Displaystyle \ beta = \ delta \ eta }$${\displaystyle \eta}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Delta \ Gamma = 0}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$

${\ Displaystyle (\ alfa \ beta) = \ int _ {M} \ alfa \ klin {\ gwiazda \ beta}.}$

Wykorzystując przestrzenie lub rozkłady Sobolewa , dekompozycja może zostać rozszerzona na przykład do pełnej (zorientowanej lub nie) rozmaitości Riemanna.

Zobacz też

• Teoria Hodge'a
• Całkowanie wzdłuż włókien (w przypadku kohomologii de Rhama posunięcie naprzód jest określane przez całkowanie )

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Idea projektu De Rham Cohomology w Mathifold Project
• "Kohomologia De Rham" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]