Degen ośmiu kwadratowych tożsamość - Degen's eight-square identity

W matematyce , Degen ośmiu kwadratowych tożsamość ustala, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą ośmiu kwadratów, jest sama suma ośmiu kwadratów. Mianowicie:

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = }

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2}, {3} -a_ b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2}, {3} b_ -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5}, {3} -a_ b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5}, {3} b_ + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2}}

Pierwszy odkryta przez Carla Ferdinanda Degen około 1818, tożsamość została niezależnie odnaleziony przez John Thomas Graves (1843) i Arthur Cayley (1845). Te dwa ostatnie pochodzą go podczas pracy nad rozszerzeniem kwaterniony zwanych octonions . W kategoriach algebraicznych identyczność oznacza, że norma stanowi iloczyn dwóch octonions równy iloczyn ich norm: . Podobne stwierdzenia są prawdziwe dla kwaterniony ( Tożsamość czterech kwadratów Eulera ), liczb zespolonych (The Brahmagupta-Fibonacciego dwa-kwadrat tożsamości ) oraz liczb rzeczywistych. W 1898 Adolf Hurwitz okazało się, że nie ma takiego dwuliniowo identyfikacyjny 16 kwadratów ( sedenions w 1960 H. Zassenhaus W. Eichhorn i) lub dowolna inna liczba pól za wyjątkiem 1,2,4 i 8. Jednakże, A. Pfister (samodzielnie) wykazała, że może być nie-dwuliniowo identyfikacyjny 16 kwadratów . ${\ Displaystyle \ | ab \ | = \ | A \ | \ | b \ |}$

Należy pamiętać, że każdy kwadrant redukuje się do wersji Tożsamość czterech kwadratów Eulera :

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2}, {3} -a_ b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2}, {3} b_ -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}}

i podobnie dla pozostałych trzech ćwiartkach. Przez twierdzenia Pfister za , inny rodzaj osiem kwadratowych tożsamości można podać, gdzie wprowadzony poniżej są dla bilinear a jedynie funkcje wymierne ZWIĄZKU . A zatem, ${\ Displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle x_ {i} Y_ {i}}$