Wielościan podwójny - Dual polyhedron

Podwójny sześcian to ośmiościan . Wierzchołki jednego odpowiadają ścianom drugiego, a krawędzie odpowiadają sobie nawzajem.

W geometrii każdy wielościan jest powiązany z drugą podwójną figurą, gdzie wierzchołki jednego odpowiadają ścianom drugiego, a krawędzie pomiędzy parami wierzchołków jednego odpowiadają krawędziom pomiędzy parami ścian drugiego. Takie podwójne figury pozostają wielościanami kombinatorycznymi lub abstrakcyjnymi , ale nie wszystkie są również wielościanami geometrycznymi. Zaczynając od dowolnego wielościanu, podwójna jego podwójna jest pierwotnym wielościanem.

Dualność zachowuje symetrie wielościanu. Dlatego dla wielu klas wielościanów zdefiniowanych przez ich symetrie, bliźniaki należą do odpowiedniej klasy symetrii. Na przykład regularne wielościany - przycisk (wypukły) Platońskie cząstek stałych i (gwiazdka) Kepler-Poinsot wielościany  - o podwójnym pary, w których regularne Tetrahedron jest samo podwójne . Podwójny wielościan izogonalny (ten, w którym dowolne dwa wierzchołki są równoważne pod symetriami wielościanu) to wielościan izogonalny (ten, w którym dowolne dwie ściany są równoważne [...]) i na odwrót. Podwójny izotoksal wielościan (ten, w którym dowolne dwie krawędzie są równoważne [...]) również jest izotoksalny.

Dualność jest ściśle związana z wzajemnością lub biegunowością , transformacją geometryczną, która po zastosowaniu do wielościanu wypukłego, realizuje wielościan podwójny jako inny wielościan wypukły.

Rodzaje dwoistości

Podwójna bryła platońska może być skonstruowana poprzez połączenie centrów twarzy. Na ogół tworzy to tylko topologiczną dualność .
Obrazy z Kepler „s Harmonices Mundi (1619)

Istnieje wiele rodzajów dualizmu. Rodzaje najbardziej istotne dla elementarnych wielościanów to wzajemność biegunowa i dwoistość topologiczna lub abstrakcyjna.

Odwrotność biegunowa

W przestrzeni euklidesowej dwójka wielościanu jest często definiowana w kategoriach odwrotności biegunowej wokół kuli. Tutaj każdy wierzchołek (biegun) jest powiązany z płaszczyzną czołową (płaszczyzną biegunową lub po prostu biegunową), tak że promień od środka do wierzchołka jest prostopadły do ​​płaszczyzny, a iloczyn odległości od środka do każdego z nich jest równy kwadrat promienia.

Gdy sfera ma promień i jest wyśrodkowana w punkcie początkowym (tak, że jest zdefiniowana równaniem ), wtedy polarny dual wielościanu wypukłego definiuje się jako

dla wszystkich IN

gdzie oznacza standardowe iloczyn skalarny z i .

Zazwyczaj, gdy w konstrukcji duala nie określono żadnej sfery, wtedy używana jest sfera jednostkowa, co ma znaczenie w powyższych definicjach.

Dla każdej płaszczyzny ściany opisanej równaniem liniowym

odpowiedni wierzchołek wielościanu podwójnego będzie miał współrzędne . Podobnie, każdy wierzchołek odpowiada płaszczyźnie , a każda linia krawędzi odpowiada linii krawędzi . Korespondencja między wierzchołkami, krawędziami i ścianami oraz odwraca włączenie. Na przykład, jeśli krawędź zawiera wierzchołek, odpowiadająca jej krawędź będzie zawarta w odpowiedniej ścianie.

W przypadku wielościanu ze środkiem symetrii powszechnie używa się kuli wyśrodkowanej na tym punkcie, tak jak w konstrukcji Dormana Luke'a (wspomnianej poniżej). W przypadku braku tego, w przypadku wielościanu z sferą wpisaną, sferą wpisaną lub sferą środkową (jedna ze wszystkimi krawędziami jako stycznymi), można to wykorzystać. Jednak możliwe jest odwzajemnienie wielościanu wokół dowolnej kuli, a wynikowa forma liczby podwójnej będzie zależeć od rozmiaru i położenia kuli; jak sfera jest zróżnicowana, tak samo jest z formą dualną. Wybór centrum dla kuli jest wystarczający do określenia dualizmu aż do podobieństwa.

Jeśli wielościan w przestrzeni euklidesowej ma płaszczyznę ściany, linię krawędzi lub wierzchołek leżący w środku kuli, odpowiadający mu element jego dualu będzie szedł w nieskończoność. Ponieważ przestrzeń euklidesowa nigdy nie osiąga nieskończoności, ekwiwalent rzutowy, zwany rozszerzoną przestrzenią euklidesową, można utworzyć przez dodanie wymaganej „płaszczyzny w nieskończoności”. Niektórzy teoretycy wolą trzymać się przestrzeni euklidesowej i twierdzą, że nie ma dualizmu. Tymczasem Wenninger (1983) znalazł sposób na przedstawienie tych nieskończonych dualności w sposób odpowiedni do tworzenia modeli (o pewnej skończonej części).

Pojęcie dwoistości jest tutaj ściśle związane z dwoistością w geometrii rzutowej , gdzie linie i krawędzie są zamienione. Biegunowość rzutowa działa wystarczająco dobrze w przypadku wielościanów wypukłych. Jednak w przypadku figur niewypukłych, takich jak wielościany gwiaździste, gdy staramy się rygorystycznie zdefiniować tę formę wielościanu dualności w kategoriach biegunowości rzutowej, pojawiają się różne problemy. Ze względu na problemy definicyjne dla geometrycznej dualności wielościanów niewypukłych Grünbaum (2007) twierdzi, że każda prawidłowa definicja wielościanu niewypukłego powinna zawierać pojęcie wielościanu podwójnego.

Podwójne kanoniczne

Kanoniczny podwójny związek sześcianu (jasny) i rombowy (ciemny). Pary krawędzi spotykają się na wspólnej środkowej kuli .

Każdy wielościan wypukły może zostać zniekształcony do postaci kanonicznej , w której jednostka środkowa (lub międzysfera) istnieje stycznie do każdej krawędzi i taka, że ​​średnie położenie punktów styczności jest środkiem sfery. Ta forma jest unikalna aż do kongruencji.

Jeśli odwzajemnimy taki kanoniczny wielościan wokół jego środkowej sfery, podwójny wielościan będzie dzielić te same punkty styczności krawędzi, a zatem również będzie kanoniczny. Jest to kanoniczny dualizm, a oba razem tworzą kanoniczny dualny związek.

Konstrukcja Dorman Luke

W przypadku jednostajnego wielościanu każda ściana podwójnego wielościanu może być wyprowadzona z odpowiadającej figury wierzchołka oryginalnego wielościanu za pomocą konstrukcji Dormana Luke'a .

Dwoistość topologiczna

Nawet jeśli pary wielościanów nie można uzyskać przez wzajemne odwzajemnienie, można je nazwać bliźniaczkami, o ile wierzchołki jednej odpowiadają powierzchniom drugiej, a krawędzie jednej odpowiadają krawędziom drugiej , w sposób chroniący zapadalność. Takie pary wielościanów są nadal topologicznie lub abstrakcyjnie dualne.

Wierzchołki i krawędzie wielościanu wypukłego tworzą graf ( 1-szkielet wielościanu), osadzony na powierzchni wielościanu (sfera topologiczna). Ten wykres można rzutować, tworząc diagram Schlegla na płaskiej płaszczyźnie. Wykres utworzony przez wierzchołki i krawędzie wielościanu podwójnego jest grafem dualnym oryginalnego grafu.

Bardziej ogólnie, dla każdego wielościanu, którego ściany tworzą zamkniętą powierzchnię, wierzchołki i krawędzie wielościanu tworzą wykres osadzony na tej powierzchni, a wierzchołki i krawędzie (abstrakcyjnego) podwójnego wielościanu tworzą podwójny wykres oryginalnego grafu.

Streszczenie wielościan jest pewnego rodzaju częściowo uporządkowanego (poset) elementów, takich, że częstość występowania lub połączeń między elementami zbioru odpowiadają częstości pomiędzy elementami (ścianami, krawędzie wierzchołków) o wielościanu. Każdy taki poset ma podwójny poset, utworzony przez odwrócenie wszystkich relacji porządku. Jeśli poset jest wizualizowany jako diagram Hassego , podwójny poset można zwizualizować po prostu odwracając diagram Hassego do góry nogami.

Każdy wielościan geometryczny odpowiada w ten sposób abstrakcyjnemu wielościanowi i ma abstrakcyjny wielościan podwójny. Jednak w przypadku niektórych typów niewypukłych wielościanów geometrycznych wielościany dualne mogą nie być możliwe do zrealizowania geometrycznie.

Self-dual wielościany

Topologicznie samopodwójny wielościan to taki, którego podwójny ma dokładnie taką samą łączność między wierzchołkami, krawędziami i ścianami. Abstrakcyjnie, mają ten sam diagram Hassego .

Geometrycznie samopodwójny wielościan jest nie tylko topologicznie samopodwójny, ale jego biegunowa odwrotność względem pewnego punktu, zazwyczaj jego środka ciężkości, jest podobną figurą. Na przykład, dual regularnego czworościanu jest innym regularnym czworościanem, odzwierciedlonym przez początek .

Każdy wielokąt jest topologicznie samopodwójny (ma taką samą liczbę wierzchołków jak krawędzie, które są przełączane przez dualność), ale generalnie nie będzie geometrycznie samopodwójny (na przykład do ruchu sztywnego). Każdy wielokąt ma regularną formę, która jest geometrycznie samodwoista względem swojej międzysfery: wszystkie kąty są przystające, podobnie jak wszystkie krawędzie, więc w dualności te przystaje zamieniają się.

Podobnie, każdy topologicznie samopodwójny wielościan wypukły może być zrealizowany przez równoważny geometrycznie samopodwójny wielościan, jego wielościan kanoniczny , odwrotność względem środka sfery środkowej .

Istnieje nieskończenie wiele geometrycznie samopodwójnych wielościanów. Najprostszą nieskończoną rodziną są piramidy kanoniczne o n bokach. Inna nieskończona rodzina, wydłużone piramidy , składa się z wielościanów, które można z grubsza opisać jako piramidę znajdującą się na szczycie pryzmatu (o tej samej liczbie boków). Dodanie frustum (piramidy z odciętą górą) poniżej pryzmatu generuje kolejną nieskończoną rodzinę i tak dalej.

Istnieje wiele innych wypukłych, samopodwójnych wielościanów. Na przykład jest 6 różnych z 7 wierzchołkami i 16 z 8 wierzchołkami.

Samopodwójny niewypukły dwudziestościan o sześciokątnych ścianach został zidentyfikowany przez Brücknera w 1900 r. Znaleziono inne niewypukłe samopodwójne wielościany, zgodnie z pewnymi definicjami wielościanów niewypukłych i ich podwójnych.

Rodzina piramid
Czworościan.jpg
3
Kwadratowa piramida.png
4
Piramida pięciokątna.png
5
Heksagonalna piramida.png
6
Rodzina wydłużonych piramid
Wydłużona trójkątna piramida.png
3
Wydłużona piramida kwadratowa.png
4
Wydłużona piramida pięciokątna.png
5
Rodzina zmniejszonych trapezów
Zmniejszony trójkątny trapezhedron.png
3
Zmniejszony kwadratowy trapezhedron.png
4
Zmniejszony pięciokątny trapezhedron.png
5
Zmniejszony sześciokątny trapezohedron.png
6
Zmniejszony siedmiokątny trapezohedron.png
7

Podwójne politopy i teselacje

Dualność można uogólnić na n- wymiarową przestrzeń i dualne polytopes ; w dwóch wymiarach nazywane są wielokątami podwójnymi .

Wierzchołki jednego politopu odpowiadają elementom ( n − 1) wymiarowym lub fasetom drugiego, a punkty j, które definiują element ( j − 1)-wymiarowy, będą odpowiadać j hiperpłaszczyznom, które przecinają się, dając ( nj )-element wymiarowy. Podobnie można zdefiniować dualizm n- wymiarowej teselacji lub plastra miodu .

Ogólnie rzecz biorąc, fasety duala polytope'u będą topologicznymi dualami figur wierzchołkowych polytope'u. W przypadku odwrotności biegunowych politopów regularnych i jednorodnych , podwójne ścianki będą odwrotnościami biegunowymi figury wierzchołkowej oryginału. Na przykład w czterech wymiarach figura wierzchołka 600-komórki to dwudziestościan ; podwójna komórka 600 to komórka 120 , której fasetami są dwunastościan , które są podwójnymi dwudziestościanem.

Self-dual polytopes i teselacje

Kwadratowe płytki {4,4}, z własnym podwójnym, jak to pokazano w tych czerwonych i niebieskich tilings
Nieskończonej celu apeirogonal płytki {∞, ∞} kolor czerwony, a jego położenie w podwójnej niebieski

Podstawową klasą samodwuliniowych politopów są regularne politopy z palindromicznymi symbolami Schläfliego . Wszystkie wielokąty foremne, {a} są samopodwójne, wielościany postaci {a,a}, 4-politopy postaci {a,b,a}, 5-politopy postaci {a,b,b,a } itp.

Samopodwójne regularne politopy to:

Samopodwójne (nieskończone) regularne plastry euklidesowe to:

Samopodwójne (nieskończone) regularne hiperboliczne plastry miodu to:

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

  • Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modele matematyczne (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
  • Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 36 (6): 617-642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID  120818796.
  • Grünbaum, Branko (2003), "Czy twoje wielościany są takie same jak moje wielościany?", w Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, Janos ; Sharir, Micha (red.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift , Algorithms and Combinatorics, 25 , Berlin: Springer, s. 461–488, CiteSeerX  10.1.1.102.755 , doi : 10.1007/978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR  2038487.
  • Grünbaum, Branko (2007), „Wykresy wielościanów; wielościany jako wykresy”, Matematyka dyskretna , 307 (3-5): 445-463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , MR  2287486.
  • Grünbauma, Branko ; Shephard, GC (2013), „Duality of polyhedra”, w Senechal, Marjorie (red.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometryczna wyobraźnia , New York: Springer, s. 211–216, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8, MR  3077226.
  • Wenninger, Magnus (1983), modele podwójne , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR  0730208.
  • Barvinok, Alexander (2002), Kurs wypukłości , Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

Zewnętrzne linki