Elastyczność (fizyka) - Elasticity (physics)

W fizyki i inżynierii materiałowej , elastyczność jest zdolność organizmu oprzeć zakłócający wpływ i powrócić do swojego pierwotnego kształtu i rozmiaru, gdy ten wpływ lub siła zostanie usunięta. Obiekty stałe ulegną deformacji po przyłożeniu do nich odpowiednich obciążeń ; jeśli materiał jest elastyczny, przedmiot po usunięciu powróci do swojego pierwotnego kształtu i rozmiaru. Jest to przeciwieństwo plastyczności , w której obiekt nie spełnia tego zadania i zamiast tego pozostaje w stanie zdeformowanym.

Fizyczne przyczyny zachowania sprężystego mogą być zupełnie różne dla różnych materiałów. W metali The kraty atomowy zmian rozmiaru i kształtu, gdy siły są stosowane (energia jest dodawany do systemu). Po usunięciu sił sieć powraca do pierwotnego stanu o niższej energii. W przypadku gum i innych polimerów elastyczność jest spowodowana rozciąganiem łańcuchów polimerowych pod wpływem działania sił.

Prawo Hooke'a mówi, że siła potrzebna do odkształcenia obiektów sprężystych powinna być wprost proporcjonalna do odległości odkształcenia, niezależnie od tego, jak duża jest ta odległość. Nazywa się to doskonałą elastycznością , w której dany przedmiot powróci do swojego pierwotnego kształtu bez względu na to, jak mocno zostanie zdeformowany. To tylko idealna koncepcja ; większość materiałów, które w praktyce posiadają elastyczność, pozostaje czysto elastyczna tylko do bardzo małych odkształceń, po których następuje odkształcenie plastyczne (trwałe).

W inżynierii sprężystość materiału określa się ilościowo za pomocą modułu sprężystości, takiego jak moduł Younga , moduł objętościowy lub moduł ścinania, które mierzą wielkość naprężenia potrzebnego do uzyskania jednostki odkształcenia ; wyższy moduł oznacza, że ​​materiał jest trudniejszy do odkształcenia. Jednostką SI tego modułu jest paskal (Pa). Granica sprężystości materiału lub granica plastyczności to maksymalne naprężenie, które może wystąpić przed początkiem odkształcenia plastycznego. Jego jednostką SI jest również paskal (Pa).

Przegląd

Gdy elastyczny materiał ulegnie odkształceniu pod wpływem siły zewnętrznej, napotyka wewnętrzny opór na odkształcenie i przywraca go do stanu pierwotnego, jeśli siła zewnętrzna nie jest już przykładana. Istnieją różne moduły sprężystości , takie jak moduł Younga , moduł ścinania i moduł objętościowy , z których wszystkie są miarami wewnętrznych właściwości sprężystych materiału jako odporności na odkształcenia pod przyłożonym obciążeniem. Różne moduły odnoszą się do różnych rodzajów odkształceń. Na przykład moduł Younga dotyczy rozciągania/ściskania bryły, podczas gdy moduł sprężystości poprzecznej dotyczy jego ścinania . Moduł Younga i moduł sprężystości poprzecznej dotyczą tylko ciał stałych, podczas gdy moduł objętościowy dotyczy ciał stałych, cieczy i gazów.

Elastyczność materiałów jest opisana krzywą naprężenie-odkształcenie , która pokazuje zależność między naprężeniem (średnią wewnętrzną siłą przywracającą na jednostkę powierzchni) a odkształceniem (odkształceniem względnym). Krzywa jest generalnie nieliniowa, ale można ją (za pomocą szeregu Taylora ) aproksymować jako liniową dla wystarczająco małych odkształceń (w których wyrażenia wyższego rzędu są pomijalne). Jeśli materiał jest izotropowy , zlinearyzowaną zależność naprężenie-odkształcenie nazywa się prawem Hooke'a , które często zakłada się, że stosuje się do granicy sprężystości dla większości metali lub materiałów krystalicznych, podczas gdy nieliniowa elastyczność jest zwykle wymagana do modelowania dużych odkształceń materiałów gumowatych nawet w elastyczny zakres. W przypadku jeszcze wyższych naprężeń materiały wykazują zachowanie plastyczne , to znaczy odkształcają się nieodwracalnie i nie wracają do swojego pierwotnego kształtu po zaprzestaniu naprężeń. W przypadku materiałów gumopodobnych , takich jak elastomery , nachylenie krzywej naprężenie-odkształcenie wzrasta wraz z naprężeniem, co oznacza, że ​​gumy stają się coraz trudniejsze do rozciągania, podczas gdy w przypadku większości metali gradient zmniejsza się przy bardzo wysokich naprężeniach, co oznacza, że ​​stopniowo stają się one łatwiejsze rozciągać. Sprężystość przejawiają nie tylko ciała stałe; Płyny nienewtonowskie , takie jak płyny lepkosprężyste , będą również wykazywać elastyczność w pewnych warunkach określanych ilościowo liczbą Deborah . W odpowiedzi na niewielkie, szybko przyłożone i usunięte naprężenie płyny te mogą się odkształcać, a następnie powracać do swojego pierwotnego kształtu. Pod większymi obciążeniami lub naprężeniami stosowanymi przez dłuższy czas, płyny te mogą zacząć płynąć jak lepka ciecz.

Ponieważ sprężystość materiału jest opisana za pomocą relacji naprężenie-odkształcenie, ważne jest, aby terminy naprężenie i odkształcenie były zdefiniowane w sposób jednoznaczny. Zazwyczaj brane są pod uwagę dwa typy relacji. Pierwszy rodzaj dotyczy materiałów, które są elastyczne tylko przy niewielkich odkształceniach. Drugi dotyczy materiałów, które nie ograniczają się do małych odkształceń. Oczywiście, drugi typ relacji jest bardziej ogólny w tym sensie, że musi obejmować pierwszy typ jako przypadek szczególny.

W przypadku małych odkształceń stosowaną miarą naprężenia jest naprężenie Cauchy'ego, a miarą odkształcenia jest nieskończenie mały tensor odkształcenia ; wynikowe (przewidywane) zachowanie materiału nazywa się elastycznością liniową , która (w przypadku mediów izotropowych ) nazywana jest uogólnionym prawem Hooke'a . Materiały elastyczne Cauchy'ego i materiały hipoelastyczne to modele, które rozszerzają prawo Hooke'a, aby uwzględnić możliwość dużych obrotów, dużych zniekształceń oraz wewnętrznej lub indukowanej anizotropii .

W bardziej ogólnych sytuacjach można zastosować dowolną z wielu miar naprężenia i ogólnie pożądane jest (ale nie wymagane), aby relacja naprężenie sprężyste-odkształcenie była sformułowana w kategoriach skończonej miary odkształcenia , która jest sprzężoną z wybraną miarą naprężenia , tj. całka czasowa iloczynu wewnętrznego miary naprężenia z szybkością miary odkształcenia powinna być równa zmianie energii wewnętrznej dla każdego procesu adiabatycznego, który pozostaje poniżej granicy sprężystości.

Elastyczność liniowa

Jak zauważono powyżej, w przypadku małych odkształceń większość materiałów elastycznych, takich jak sprężyny, wykazuje elastyczność liniową i może być opisana przez liniową zależność między naprężeniem a odkształceniem. Ten związek jest znany jako prawo Hooke'a . Zależna od geometrii wersja tej idei została po raz pierwszy sformułowana przez Roberta Hooke'a w 1675 roku jako łaciński anagram „ceiiinosssttuv”. Opublikował odpowiedź w 1678 r.: „ Ut tensio, sic vis ”, co oznacza „ Jako rozszerzenie, więc siła ”, zależność liniowa powszechnie nazywana prawem Hooke'a . Prawo to można określić jako zależność między siłą rozciągającą F a odpowiednim przemieszczeniem wydłużenia x ,

${\displaystyle F=kx}$

gdzie k jest stałą znaną jako szybkość lub stała sprężystości . Można to również określić jako zależność między naprężeniem σ a odkształceniem : ${\displaystyle \varepsilon}$

${\ Displaystyle \ sigma = E \ varepsilon,}$

gdzie E jest znane jako moduł sprężystości lub moduł Younga .

Chociaż ogólna stała proporcjonalności między naprężeniem a odkształceniem w trzech wymiarach jest tensorem czwartego rzędu zwanym sztywnością , systemy wykazujące symetrię , takie jak pręt jednowymiarowy, można często zredukować do zastosowań prawa Hooke'a.

Skończona elastyczność

Elastyczne zachowanie obiektów, które podlegają skończonym deformacjom, zostało opisane za pomocą szeregu modeli, takich jak modele materiałów sprężystych Cauchy'ego, modele materiałów hipoelastycznych i modele materiałów hipersprężystych . Gradientu odkształcenie ( F ) jest podstawowym środkiem odkształcenie stosuje się w teorię szczepu skończonych .

elastyczne materiały Cauchy

Mówi się, że materiał jest sprężysty Cauchy'ego, jeśli tensor naprężenia Cauchy'ego σ jest funkcją samego gradientu odkształcenia F :

${\ Displaystyle \ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}})}$

Generalnie błędne jest twierdzenie, że naprężenie Cauchy'ego jest funkcją jedynie tensora odkształcenia , ponieważ w takim modelu brakuje istotnych informacji o rotacji materiału potrzebnej do uzyskania poprawnych wyników dla ośrodka anizotropowego poddanego pionowemu wydłużeniu w porównaniu z tym samym wydłużeniem przyłożonym poziomo i następnie poddane obrocie o 90 stopni; obie te deformacje mają te same przestrzenne tensory odkształceń, ale muszą dawać różne wartości tensora naprężenia Cauchy'ego.

Chociaż naprężenie w materiale sprężystym Cauchy'ego zależy tylko od stanu odkształcenia, praca wykonana przez naprężenia może zależeć od ścieżki odkształcenia. Dlatego elastyczność Cauchy'ego obejmuje niekonserwatywne modele „niehiperelastyczne” (w których praca deformacji jest zależna od ścieżki) oraz konserwatywne modele „ materiału hiperelastycznego ” (dla których naprężenie można wyprowadzić ze skalarnej funkcji „potencjału sprężystego”).

Materiały hipoelastyczne

Materiał hipoelastyczny można ściśle zdefiniować jako taki, który jest modelowany za pomocą równania konstytutywnego spełniającego następujące dwa kryteria:

1. Naprężenie Cauchy'ego w czasie zależy tylko od kolejności, w jakiej ciało zajmowało swoje przeszłe konfiguracje, ale nie od szybkości przechodzenia przez te przeszłe konfiguracje. W szczególnym przypadku to kryterium obejmuje materiał sprężysty Cauchy'ego , dla którego aktualne naprężenie zależy tylko od aktualnej konfiguracji, a nie od historii poprzednich konfiguracji.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}}$${\displaystyle t}$
2. Istnieje funkcja o wartości tensorowej, taka, w której jest szybkością materiałową tensora naprężeń Cauchy'ego i jest tensorem gradientu prędkości przestrzennej .${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma}}}=G({\boldsymbol {\sigma}}{\boldsymbol {L}})\,,}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

Jeśli tylko te dwa pierwotne kryteria zostaną użyte do zdefiniowania hipoelastyczności, wówczas hiperelastyczność zostałaby uwzględniona jako przypadek szczególny, co skłania niektórych modelarzy konstytutywnych do dołączenia trzeciego kryterium, które w szczególności wymaga, aby model hipoelastyczny nie był hiperelastyczny (tj. hipoelastyczność oznacza, że ​​naprężenie jest nie da się wyprowadzić z potencjału energetycznego). Przyjęcie tego trzeciego kryterium oznacza, że ​​materiał hipoelastyczny może dopuszczać niekonserwatywne ścieżki obciążenia adiabatycznego, które rozpoczynają się i kończą z tym samym gradientem odkształcenia, ale nie zaczynają się i kończą z tą samą energią wewnętrzną.

Należy zauważyć, że drugie kryterium wymaga jedynie, że funkcja istnieje . Jak wyszczególniono w głównym artykule dotyczącym materiałów hipoelastycznych , specyficzne sformułowania modeli hipoelastycznych zazwyczaj wykorzystują tak zwane obiektywne współczynniki, tak że funkcja istnieje tylko niejawnie i jest zwykle potrzebna wyłącznie do aktualizacji naprężeń numerycznych wykonywanych poprzez bezpośrednią integrację rzeczywistego (nieobiektywnego) naprężenia oceniać. ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$

Materiały hiperelastyczne

Materiały hipersprężyste (nazywane również zielonymi materiałami elastycznymi) to konserwatywne modele wyprowadzone z funkcji gęstości energii odkształcenia ( W ). Model jest hiperelastyczny wtedy i tylko wtedy, gdy można wyrazić tensor naprężenia Cauchy'ego jako funkcję gradientu deformacji poprzez zależność formy

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\częściowy W}{\częściowy {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}} ^{\textsf {T}}\quad {\text{gdzie}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

To sformułowanie przyjmuje potencjał energetyczny ( W ) jako funkcję gradientu deformacji ( ). Wymagając również spełnienia materialnej obiektywności , potencjał energetyczny można alternatywnie traktować jako funkcję tensora odkształcenia Cauchy-Greena ( ), w którym to przypadku hiperelastyczny model można zapisać alternatywnie jako ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {C}}: = {\ boldsymbol {F}} ^ {\ textsf {T}} {\ boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma}}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\częściowy W}{\częściowy {\boldsymbol {C}}}} {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{gdzie}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

Aplikacje

Elastyczność liniowa jest szeroko stosowana w projektowaniu i analizie konstrukcji takich jak belki , płyty i powłoki oraz kompozyty warstwowe . Teoria ta jest również podstawą większości mechaniki pękania .

Hiperelastyczność jest używana przede wszystkim do określania reakcji obiektów na bazie elastomerów , takich jak uszczelki, oraz materiałów biologicznych, takich jak tkanki miękkie i błony komórkowe .

Czynniki wpływające na elastyczność

W przypadku materiałów izotropowych obecność pęknięć wpływa na moduł Younga i moduły ścinania prostopadłe do płaszczyzn pęknięć, które maleją (moduł Younga szybciej niż moduł sprężystości poprzecznej) wraz ze wzrostem gęstości pęknięć , co wskazuje, że obecność pęknięć powoduje, że ciała stają się kruche. Mikroskopowo , zależność naprężenie-odkształcenie materiałów jest na ogół rządzona przez energię swobodną Helmholtza , wielkość termodynamiczną . Cząsteczki osadzają się w konfiguracji, która minimalizuje energię swobodną, ​​z zastrzeżeniem ograniczeń wynikających z ich struktury i w zależności od tego, czy dominuje energia czy człon entropii nad energią swobodną, ​​materiały można ogólnie sklasyfikować jako energosprężyste i entropioelastyczne . Jako takie, mikroskopijne czynniki wpływające na energię swobodną, ​​takie jak odległość równowagowa między cząsteczkami, mogą wpływać na elastyczność materiałów: na przykład w materiałach nieorganicznych , gdy odległość równowagowa między cząsteczkami przy 0 K wzrasta, moduł objętościowy maleje. Wpływ temperatury na elastyczność jest trudny do wyizolowania, ponieważ wpływa na to wiele czynników. Na przykład, moduł objętościowy materiału zależy od kształtu jego sieci , jego zachowania podczas rozszerzania , a także wibracji cząsteczek, z których wszystkie zależą od temperatury.

Zobacz też

Bibliografia