Equational logika - Equational logic

Pierwszego rzędu equational logiczny składa się z kwantyfikator warunkach -Darmowe zwykłej logice pierwszego rzędu , z równości jako jedyny predykatów symbolu . Modelu teorii tej logiki został opracowany do algebry uniwersalnej przez Birkhoff , Gratzer i Cohn . Został on później przekształcony w oddział teorii kategorii przez Lawvere ( „teorie algebraiczne”).

Warunki equational logiki są zbudowane ze zmiennych i stałych z wykorzystaniem symboli funkcyjne (lub operacji).

Sylogizm

Oto cztery zasady wnioskowania logiki . oznacza tekstowej zmiany ekspresji dla zmiennej ekspresji . oznacza równość dla i tego samego typu, zaś lub równoważne, jest zdefiniowany tylko przez i typu wartości logicznej . Dla i typu logicznego, i mają takie samo znaczenie. ${\ Textstyle E}$${\ Textstyle P [x: = e]}$${\ Textstyle E}$${\ Textstyle X}$${\ Textstyle P}$${\ Textstyle b = c}$${\ Textstyle b}$${\ Textstyle C}$${\ Textstyle b \ c} równoważnika$${\ Textstyle b}$${\ Textstyle C}$${\ Textstyle b}$${\ Textstyle C}$${\ Textstyle b = c}$${\ Textstyle b \ c} równoważnika$

Podstawienie	Jeśli jest twierdzeniem, to tak jest . ${\ Textstyle P}$${\ Textstyle P [x: = e]}$	$${\ Displaystyle \ vdash P \ qquad \ rightarrow \ qquad \ vdash P [x: = e]}$$
Leibniz	Jeśli jest twierdzeniem, to tak jest . ${\ Textstyle P = P}$${\ Textstyle E [X: = P] = E [X: = Q]}$	$${\ Displaystyle \ vdash P = P \ qquad \ rightarrow \ qquad \ vdash E [X: = P] = E [X: = Q]}$$
Przechodniość	Jeśli i są twierdzenia, to tak jest . ${\ Textstyle P = P}$${\ Textstyle Q = R}$${\ Textstyle P = R}$	$${\ Displaystyle \ vdash P = Q \; \ vdash P = R \ qquad \ rightarrow \ qquad \ vdash P = R}$$
Spokój umysłu	Jeśli i są twierdzenia, to tak jest . ${\ Textstyle P}$${\ Textstyle P \ równoważnika P}$${\ Textstyle P}$	$${\ Displaystyle \ vdash P \; \ vdash P \ równoważnika P \ qquad \ rightarrow \ qquad \ vdash P}$$

Historia

Equational logika została opracowana przez lata (początek w 1980 roku) przez naukowców w formalnym rozwoju programów, którzy czuli potrzebę skutecznego stylu manipulacji z obliczeń. Zaangażowani byli ludzie tacy jak Roland Carl Backhouse , Edsger Dijkstra , Wim HJ Feijen, David Gries , Carel S. Scholten i Netty van Gasteren. Wim Feijen jest odpowiedzialny za istotne szczegóły formatu próbnym.

Aksjomaty są zbliżone do użytku przez Dijkstra i Scholten ich monografia predykatów i programowych semantyki (Springer Verlag, 1990), ale nasz Kolejność prezentacji jest nieco inna.

W swojej monografii, Dijkstra i Scholten użyj trzech reguł wnioskowania Leibniz, podstawienie i przechodniości. Jednak układ Dijkstra / Scholten nie jest logiczny, jak logicy używają słowa. Niektóre z ich manipulacje są oparte na znaczeń terminów związanych, a nie na jasno przedstawione zasady składniowe manipulacji. Pierwsza próba dokonania prawdziwego logiki z nim pojawił się w logicznym podejściem do dyskretnej Math . Jednak reguła wnioskowania Equanimity brakuje tam i definicja twierdzenia wykrzywioną do odpowiedzialności za to. Wprowadzenie spokojem i jego wykorzystanie w formacie dowód jest spowodowane Gries i Schneider. Jest on używany na przykład w dowodach prawidłowości i kompletności, a pojawi się on w drugiej edycji logicznego podejścia do dyskretnej Math .

Dowód

Wyjaśniamy jak cztery zasady wnioskowania stosowane są dowody, za pomocą dowodu . Te symbole logiczne i wskazać „prawda” i „fałsz”, odpowiednio, i wskazuje na „nie”. Numery twierdzenie odnosi się do twierdzeń logicznego podejścia do dyskretnej Math .${\ Textstyle \ lnot P \ równoważnika P \ równoważnika \} Bot$ ${\ Textstyle \ góry}$${\ Textstyle \} Bot$${\ Textstyle \ lnot}$

$${\ Displaystyle {\ {zaczynać Tablica} {LCL} (0) && \ lnot P \ równoważnika P \ równoważnika \ \\ Bot (1) i = i \ quad \ lewo \ langle \, (3,9), \; \ lnot (p \ równoważnika P) \ równoważnika \ lnot P \ równoważnika P \ {\ tekst {z}} \ q: = p \; \ prawo \ rangle \\ (2) && \ lnot (p \ równoważnika p) \ równoważnika \ \\ robot (3) i = i \ quad \ lewo \ langle \ {\ tekst {Tożsamość}} \ \ (3,9 równoważnika) \ {\ tekst {z}} \ P: = s \; \ prawo \ rangle \\ (4) && \ lnot \ góry \ równoważnika \ Bot i (3,8) \ {koniec tablicy}}}$$

Po pierwsze, linie - wykazują stosowanie reguł wnioskowania Leibniza: ${\ Textstyle (0)}$${\ Textstyle (2)}$

$${\ Displaystyle (0) = (2)}$$

jest zawarcie Leibniza, a jego założeniem jest podana w wierszu . W ten sam sposób, równość na liniach - zostały potwierdzone za pomocą Leibniz. ${\ Textstyle \ lnot (p \ równoważnika p) \ równoważnika \ lnot p \ p} równoważnika$${\ Textstyle (1)}$${\ Textstyle (2)}$${\ Textstyle (4)}$

W „podpowiedź” on line ma dać przesłankę Leibniza, pokazując co podstawienie równymi za równymi jest używany. Przesłanka ta jest twierdzenie z substytucji , czyli ${\ Textstyle (1)}$${\ Textstyle (3,9)}$${\ Textstyle P: = Q}$

$${\ Displaystyle (\ lnot (p \ równoważnika P) \ równoważnika \ lnot P \ równoważnika q) [P: = Q]}$$

To pokazuje, jak reguła wnioskowania Zmiana służy ciągu podpowiedzi.

Od i doszliśmy do wniosku, przez reguły wnioskowania przechodniości tym . To pokazuje, w jaki sposób jest wykorzystywany Przechodniość. ${\ Textstyle (0) = (2)}$${\ Textstyle (2) = (4)}$${\ Textstyle (0) = (4)}$

Wreszcie, należy pamiętać, że linia , jest twierdzenie, wskazane przez nutą po prawej stronie. Stąd, według reguł wnioskowania spokojem, możemy stwierdzić, że linia jest również twierdzenie. I to, co chcieliśmy udowodnić.${\ Textstyle (4)}$${\ Textstyle \ lnot \ góry \ równoważnika \} Bot$${\ Textstyle (0)}$${\ Textstyle (0)}$

Referencje

Linki zewnętrzne

• Sacharowa, Alex. "Equational Logic". Od MathWorld - Wolfram Web zasobów, stworzony przez Eric W. Weisstein.