Trójkąt równoboczny - Equilateral triangle

Trójkąt równoboczny
Rodzaj	Wielokąt foremny
Krawędzie i wierzchołki	3
Symbol Schläfli	{3}
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	D 3
Powierzchnia	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
Kąt wewnętrzny ( stopnie )	60°

W geometrii An równoboczny trójkąt jest trójkąt , w którym wszystkie trzy boki mają taką samą długość. W znanej geometrii euklidesowej trójkąt równoboczny jest również równokątny ; to znaczy, że wszystkie trzy kąty wewnętrzne są również przystające do siebie i każdy ma 60°. Jest to również wielokąt foremny , więc jest również określany jako trójkąt foremny .

Główne właściwości

Oznaczając wspólną długość boków trójkąta równobocznego jako , możemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa określić, że: ${\displaystyle a}$

• Obszar jest ,${\ Displaystyle A = {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$
• Obwód jest ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• Promień opisanego okręgu wynosi${\ Displaystyle R = {\ Frac {a} {\ sqrt {3}}}}$
• Promień okręgu wpisanego wynosi lub${\ Displaystyle r = {\ Frac {\ sqrt {3}}{6}} a}$${\ Displaystyle r = {\ Frac {R} {2}}}$
• Geometryczny środek trójkąta jest środkiem okręgów opisanych i wpisanych
• Wysokość (wysokość) z każdej strony jest${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Oznaczając promień opisanego okręgu jako R , możemy wyznaczyć za pomocą trygonometrii, że:

• Pole trójkąta to ${\ Displaystyle \ operatorname {A} = {\ Frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}}$

Wiele z tych wielkości ma prosty związek z wysokością („h”) każdego wierzchołka z przeciwnej strony:

• Obszar jest ${\ Displaystyle A = {\ Frac {h ^ {2}} {\ sqrt {3}}}}$
• Wysokość środka z każdej strony lub apothem wynosi${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• Promień okręgu opisującego trzy wierzchołki wynosi ${\ Displaystyle R = {\ Frac {2h} {3}}}$
• Promień okręgu wpisanego wynosi ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

W trójkącie równobocznym wysokości, dwusieczne kąta, dwusieczne prostopadłe i mediany po obu stronach są zbieżne.

Charakterystyki

Trójkąta ABC , która ma boki , b , c , semiperimeter s , obszar T , exradii r , R _b , R _c (styczna do , b , c , odpowiednio), i gdzie R i R są promienie okręgu opisanego i odpowiednio incircle jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy którekolwiek ze stwierdzeń w następujących dziewięciu kategoriach jest prawdziwe. Są to zatem właściwości, które są unikalne dla trójkątów równobocznych, a wiedza, że ​​którakolwiek z nich jest prawdziwa, oznacza bezpośrednio, że mamy trójkąt równoboczny.

boki

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Frac {1} {a}} + {\ Frac {1} {b}} + {\ Frac {1} {c}} = {\ Frac {\ sqrt {25RR-2r ^ { 2}}}{4Rr}}}$

Półobwód

• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12 Rr}$
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}} {2}} R}$

Kąty

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle A = B = C = 60 ^ {\ circ}}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ cos {A} + \ cos {B} + \ cos {C} = {\ Frac {3}{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ grzech {\ Frac {A} {2}} \ grzech {\ Frac {B} {2}} \ grzech {\ Frac {C} {2}} = {\ Frac {1} {8 }}}$

Powierzchnia

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle T = {\ Frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}$( Weitzenböck )
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle T = {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ {\ Frac {2} {3}}}}$

Circumradius, inradius i exradii

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle R = 2r \ quad {\ tekst {(Chapple-Euler)}}}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Równi cevian

Trzy rodzaje cevian pokrywają się i są równe dla (i tylko dla) trójkątów równobocznych:

• Trzy wysokości mają równe długości.
• Trzy mediany mają równe długości.
• Trzy dwusieczne kątowe mają równe długości.

Centra trójkąta koincydencji

Każdy środek trójkąta równobocznego pokrywa się z jego środkiem ciężkości , co oznacza, że ​​trójkąt równoboczny jest jedynym trójkątem bez linii Eulera łączącej niektóre środki. W przypadku niektórych par centrów trójkątów sam fakt ich zbieżności wystarcza, aby trójkąt był równoboczny. W szczególności:

• Trójkąt jest równoboczny, jeśli dowolne dwa z okręgu circumcenter , incenter , centroid lub orthocenter pokrywają się.
• Jest również równoboczna, jeśli jej środek okręgu pokrywa się z punktem Nagela lub jeśli środek pokrywa się z jego środkiem dziewięciopunktowym .

Sześć trójkątów utworzonych przez podział przez mediany

W przypadku dowolnego trójkąta trzy mediany dzielą trójkąt na sześć mniejszych trójkątów.

• Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne trzy mniejsze trójkąty mają ten sam obwód lub ten sam promień.
• Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy środki opisane w dowolnych trzech z mniejszych trójkątów mają tę samą odległość od środka ciężkości.

Punkty w samolocie

• Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu P na płaszczyźnie, z odległościami p , q i r do boków trójkąta i odległościami x , y i z do jego wierzchołków,

${\ Displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) \ geq x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Warte uwagi twierdzenia

Twierdzenie Morleya o trisektorach mówi, że w dowolnym trójkącie trzy punkty przecięcia sąsiednich trisektorów tworzą trójkąt równoboczny.

Twierdzenie Napoleona mówi, że jeśli trójkąty równoboczne są zbudowane na bokach dowolnego trójkąta, wszystkie na zewnątrz lub wszystkie do wewnątrz, środki tych trójkątów równobocznych same tworzą trójkąt równoboczny.

Wersja nierówności izoperymetrycznej dla trójkątów mówi, że trójkąt o największej powierzchni spośród wszystkich o danym obwodzie jest równoboczny.

Twierdzenie Vivianiego mówi, że dla dowolnego punktu wewnętrznego P w trójkącie równobocznym o odległościach d , e i f od boków i wysokości h ,

${\displaystyle d+e+f=h}$

niezależnie od lokalizacji P .

Twierdzenie Pompeiu mówi, że jeśli P jest dowolnym punktem w płaszczyźnie trójkąta równobocznego ABC, ale nie na jego okręgu opisanym , to istnieje trójkąt o bokach o długościach PA , PB i PC . Oznacza to, że PA , PB i PC spełniają nierówność trójkąta, że suma dowolnych dwóch z nich jest większa niż trzecia. Jeśli P jest na okręgu opisanym, to suma dwóch mniejszych jest równa najdłuższej, a trójkąt zdegenerował się w prostą, przypadek ten jest znany jako twierdzenie Van Schootena .

Inne właściwości

Przez nierówność Eulera trójkąt równoboczny ma najmniejszy stosunek R / r promienia okręgu do promienia dowolnego trójkąta: konkretnie R / r = 2.

Trójkąt największego pola wszystkich wpisanych w dany okrąg jest równoboczny; a trójkąt o najmniejszym polu ze wszystkich opisanych wokół danego okręgu jest równoboczny.

Stosunek powierzchni okręgu do powierzchni trójkąta równobocznego , jest większy niż w przypadku dowolnego trójkąta nierównobocznego. ${\displaystyle {\frac {\pi}{3{\sqrt {3}}}}}$

Stosunek powierzchni do kwadratu obwodu trójkąta równobocznego jest większy niż w przypadku każdego innego trójkąta. ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

Jeśli segment dzieli trójkąt równoboczny na dwa obszary o równych obwodach i obszarach A ₁ i A ₂ , to

${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}} \leq {\frac {9}{7}}.}$

Jeśli trójkąt jest umieszczony na płaszczyźnie zespolonej o złożonych wierzchołkach z ₁ , z ₂ i z ₃ , wtedy dla każdego nierzeczywistego pierwiastka sześciennego z 1 trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ omega}$

${\displaystyle z_{1}+\omegaz_{2}+\omega^{2}z_{3}=0.}$

Biorąc pod uwagę punkt P we wnętrzu trójkąta równobocznego, stosunek sumy jego odległości od wierzchołków do sumy jego odległości od boków jest większy lub równy 2, przy czym równość utrzymuje się, gdy P jest środkiem ciężkości. W żadnym innym trójkącie nie ma punktu, dla którego stosunek ten byłby tak mały jak 2. Jest to nierówność Erdősa-Mordella ; silniejszym wariantem jest nierówność Barrowa , która zastępuje prostopadłe odległości do boków odległościami od P do punktów, w których dwusieczne kątów ∠ APB , ∠ BPC i ∠ CPA przecinają boki ( A , B i C są wierzchołki).

Dla dowolnego punktu P na płaszczyźnie, z odległościami p , q i t odpowiednio od wierzchołków A , B i C ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} +a^{2})^{2}.}$

Dla dowolnego punktu P na płaszczyźnie, z odległościami p , q i t od wierzchołków,

${\ Displaystyle \ Displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2})}$

oraz

${\ Displaystyle \ Displaystyle p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} = 3 [(R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2 R ^ {2} L ^ {2}],}$

gdzie R jest promieniem opisanym, a L jest odległością między punktem P a środkiem ciężkości trójkąta równobocznego.

Dla dowolnego punktu P na okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, z odległościami p , q i t od wierzchołków,

${\ Displaystyle \ Displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2}) = 5a ^ {2}}$

oraz

${\ Displaystyle \ Displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.}$

Dla dowolnego punktu P na małym łuku BC okręgu opisanego w odległościach p , q i t odpowiednio od A, B i C,

${\displaystyle \displaystyle p=q+t}$

oraz

${\displaystyle \displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};}$

ponadto, jeśli punkt D na stronie BC dzieli PA na odcinki PD i DA, przy czym DA ma długość z i PD ma długość y , to

${\ Displaystyle Z = {\ Frac {t ^ {2} + tq + ^ {2}} {t + q}}}$

co również jest równe, jeśli t ≠ q ; oraz ${\ Displaystyle {\ tfrac {t ^ {3}-q ^ {3}}{t ^ {2}-q ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {q}} + {\ Frac {1} {t}} = {\ Frac {1} {y}}}$

które jest równaniem optycznym .

Istnieje wiele nierówności trójkątów, które są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest równoboczny.

Trójkąt równoboczny jest najbardziej symetrycznym trójkątem, posiadającym 3 linie odbicia i obrotową symetrię rzędu 3 wokół jego środka. Jego grupa symetrii to grupa dwuścienna rzędu 6 D ₃ .

Trójkąty równoboczne są jedynymi trójkątami, których elipsa Steinera jest kołem (w szczególności jest to incircle).

Trójkąt równoboczny o bokach całkowitych jest jedynym trójkątem o bokach całkowitych i trzech kątach wymiernych mierzonych w stopniach.

Trójkąt równoboczny jest jedynym trójkątem ostrym, który jest podobny do trójkąta ortogonalnego (z wierzchołkami u stóp wysokości ) ( trójkąt siedmiokątny jest jedynym trójkątem rozwartym).

Trójkąty równoboczne można znaleźć w wielu innych konstrukcjach geometrycznych. Przecięcie okręgów, których środki są oddalone od siebie na szerokość promienia, to para łuków równobocznych, z których każdy może być wpisany w trójkąt równoboczny. Tworzą ściany o regularnych i jednolitych wielościanach . Trzy z pięciu brył platońskich składają się z trójkątów równobocznych. W szczególności czworościan foremny ma cztery trójkąty równoboczne dla twarzy i można go uznać za trójwymiarowy odpowiednik kształtu. Płaszczyzna może być wyłożona płytkami za pomocą trójkątów równobocznych dając trójkątne kafelki .

Konstrukcja geometryczna

Trójkąt równoboczny można łatwo skonstruować za pomocą liniału mierniczego i cyrkla , ponieważ 3 to liczba pierwsza Fermata . Narysuj linię prostą i umieść punkt cyrkla na jednym końcu linii i przesuń łuk od tego punktu do drugiego punktu segmentu linii. Powtórz z drugą stroną linii. Na koniec połącz punkt, w którym dwa łuki przecinają się z każdym końcem odcinka linii

Alternatywną metodą jest narysowanie okręgu o promieniu r , umieszczenie czubka cyrkla na okręgu i narysowanie kolejnego okręgu o takim samym promieniu. Dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Trójkąt równoboczny można zbudować, biorąc dwa środki okręgów i jeden z punktów przecięcia.

W obu metodach produktem ubocznym jest powstawanie vesica piscis .

Dowód, że uzyskana liczba jest trójkąt równoboczny jest pierwsza propozycja w księdze I Euklidesa Elements .

Wyprowadzenie wzoru powierzchni

Wzór na pole w odniesieniu do długości boku a można wyprowadzić bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa lub za pomocą trygonometrii. ${\ Displaystyle A = {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$

Korzystanie z twierdzenia Pitagorasa

Obszar trójkąta stanowi połowę jednej strony a razy wysokość H z drugiej strony;

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} ah.}$

Odnogi każdego trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość trójkąta równobocznego stanowią połowę podstawy a , a przeciwprostokątna jest bokiem a trójkąta równobocznego. Wysokość trójkąta równobocznego można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {2}} \ prawej) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}}$

aby

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$

Podstawiając h do wzoru pola (1/2) ah otrzymujemy wzór pola dla trójkąta równobocznego:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.}$

Korzystanie z trygonometrii

Używając trygonometrii , pole trójkąta o dowolnych dwóch bokach a i b oraz kącie C między nimi wynosi

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} ab \ sin C.}$

Każdy kąt trójkąta równobocznego wynosi 60°, więc

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} ab \ sin 60 ^ {\ circ}}.$

Sinus 60° to . Zatem ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={ \frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

ponieważ wszystkie boki trójkąta równobocznego są równe.

W kulturze i społeczeństwie

Trójkąty równoboczne często pojawiały się w konstrukcjach wykonanych przez człowieka:

• Kształt występuje we współczesnej architekturze np. w przekroju Gateway Arch .
• Jego zastosowania we flagach i heraldyce obejmują flagę Nikaragui i flagę Filipin .
• Jest to kształt różnego rodzaju znaków drogowych , w tym znaku ustępu .

Zobacz też

• Prawie równoboczny trójkąt Heronia
• Trójkąt równoramienny
• Działka trójargumentowa
• Współrzędne trójliniowe

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Trójkąt równoboczny” . MatematykaŚwiat .

v T mi Podstawowe wypukłe politopy regularne i jednolite o wymiarach 2–10
Rodzina	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Wielokąt foremny	Trójkąt	Kwadrat	p-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
Jednolity wielościan	Czworościan	Ośmiościan • kostka	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednolita polichoron	Pentachoron	16-ogniwowy • Tesseract	Demitesseract	24-komorowy	120-ogniwowy • 600-ogniwowy
Jednolity 5-politop	5-simplex	5-ortopleks • 5-kostka	5-demicube
Jednolity 6-politop	6-simplex	6-ortopleks • 6-kostka	6-demicube	1 22 • 2 21
Jednolity 7-politop	7-simplex	7-ortopleks • 7-kostka	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Jednolity 8-politop	8-simplex	8-ortopleks • 8-kostka	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Jednolity 9-politop	9-simplex	9-ortopleks • 9-kostka	9-demicube
Jednolity 10-politop	10-simplex	10-ortopleks • 10-kostka	10-demicube
Jednolity n - polytope	n - simpleks	n - ortoplex • n - sześcian	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny Polytope • Regularny polytope • Lista regularnych polytopów i związków