Linearyzacja sprzężenia zwrotnego - Feedback linearization

Schemat blokowy ilustrujący linearyzację sprzężenia zwrotnego układu nieliniowego

Linearyzacja sprzężenia zwrotnego jest powszechnym podejściem stosowanym w kontrolowaniu systemów nieliniowych . Podejście to obejmuje wymyślenie transformacji systemu nieliniowego w równoważny system liniowy poprzez zmianę zmiennych i odpowiednie wejście sterujące. Linearyzację sprzężenia zwrotnego można zastosować do nieliniowych układów formy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad i (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {aligned}}}$

gdzie jest wektorem stanu, jest wektorem wejść i jest wektorem wyjść. Celem jest opracowanie wejścia sterującego ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m.}}$

${\ Displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

który renderuje liniową mapę wejścia-wyjścia pomiędzy nowym wejściem a wyjściem. Następnie można zastosować strategię sterowania pętlą zewnętrzną dla wynikowego systemu sterowania liniowego. ${\ displaystyle v}$

Linearyzacja sprzężenia zwrotnego systemów SISO

W tym miejscu rozważmy przypadek linearyzacji sprzężenia zwrotnego systemu z jednym wejściem i jednym wyjściem (SISO). Podobne wyniki można rozszerzyć na systemy z wieloma wejściami i wieloma wyjściami (MIMO). W tym przypadku i . Celem jest znalezienie transformacji współrzędnych, która przekształci układ (1) w tak zwaną postać normalną, która ujawni prawo sprzężenia zwrotnego postaci ${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle Z = T (x)}$

${\ Displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

który wyrenderuje liniową mapę wejścia-wyjścia z nowego wejścia do wyjścia . Aby zapewnić, że przekształcony system jest równoważną reprezentacją oryginalnego systemu, transformacja musi być dyfeomorfizmem . Oznacza to, że transformacja musi być nie tylko odwracalna (tj. Bijektywna), ale zarówno transformacja, jak i jej odwrotność muszą być gładkie , aby różniczkowalność w pierwotnym układzie współrzędnych została zachowana w nowym układzie współrzędnych. W praktyce transformacja może być tylko lokalnie diffeomorficzna, a wyniki linearyzacji są zachowane tylko w tym mniejszym obszarze. ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y}$

Do rozwiązania tego problemu potrzeba kilku narzędzi.

Pochodna kłamstwa

Celem linearyzacji sprzężenia zwrotnego jest wytworzenie przekształconego układu, którego stany są wyjściem i jego pierwszymi pochodnymi. Aby zrozumieć strukturę tego systemu docelowego, używamy pochodnej Lie . Rozważmy pochodną czasu z (2), którą można obliczyć za pomocą reguły łańcuchowej , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {aligned}}}$

Teraz możemy zdefiniować pochodną Lie wzdłuż jako, ${\ Displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle L_ {f} h (x) = {\ Frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

i podobnie, pochodna Lie wzdłuż as, ${\ Displaystyle h (x)}$${\ Displaystyle g (x)}$

${\ Displaystyle L_ {g} h (x) = {\ Frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

Dzięki tej nowej notacji możemy wyrazić jako: ${\ displaystyle {\ kropka {y}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Zauważ, że notacja pochodnych Liego jest wygodna, gdy bierzemy wiele pochodnych w odniesieniu do tego samego pola wektorowego lub innego. Na przykład,

${\ Displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ Frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

i

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ Frac {\ operatorname {d} (L_ {f} h (x))} {\ operatorname {d} x}} g (x). }$

Względny stopień

W naszym zlinearyzowanym systemie sprzężenia zwrotnego, składającym się z wektora stanu wyjścia i jego pierwszych pochodnych, musimy zrozumieć, w jaki sposób wejście wchodzi do systemu. Aby to zrobić, wprowadzamy pojęcie względnego stopnia. Mówi się, że nasz system podany przez (1) i (2) ma względny stopień w punkcie, jeśli: ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}$ w sąsiedztwie z i wszystko ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle k \ leq r-2}$

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

Biorąc pod uwagę tę definicję względnego stopnia w świetle wyrażenia pochodnej czasowej wyniku , możemy rozważyć względny stopień naszego systemu (1) i (2) jako liczbę razy, kiedy musimy zróżnicować wynik przed wejściem pojawia się wyraźnie. W systemie LTI stopień względny jest różnicą między stopniem wielomianu mianownika funkcji przejścia (tj. Liczbą biegunów ) a stopniem wielomianu licznika (tj. Liczbą zer ). ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

Linearyzacja przez sprzężenie zwrotne

W poniższej dyskusji założymy, że względny stopień systemu wynosi . W tym przypadku, po zróżnicowaniu czasów wyjściowych, które mamy, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y & = h (x) \\ {\ kropka {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {aligned}}}$

gdzie notacja wskazuje na th pochodną . Ponieważ założyliśmy, że względny stopień systemu jest równy, wszystkie pochodne Liego postaci for są równe zeru. Oznacza to, że wkład nie ma bezpośredniego wkładu w żadną z pierwszych pochodnych. ${\ Displaystyle y ^ {(n)}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ displaystyle i = 1, \ kropki, n-2}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (n-1)}$

Transformacja współrzędnych, która nadaje układowi normalną postać, pochodzi z pierwszych pochodnych. W szczególności, ${\ Displaystyle T (x)}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle z = T (x) = {\ początek {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ koniec {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

przekształca trajektorie z oryginalnego układu współrzędnych do nowego układu współrzędnych. Dopóki ta transformacja jest dyfeomorfizmem , gładkie trajektorie w oryginalnym układzie współrzędnych będą miały unikalne odpowiedniki w układzie współrzędnych, które również są gładkie. Te trajektorie zostaną opisane przez nowy system, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} {\ kropka {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ kropka {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {przypadki}}.}$

Stąd prawo kontroli sprzężenia zwrotnego

${\ Displaystyle u = {\ Frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

renderuje liniową mapę wejścia-wyjścia od do . Powstały zlinearyzowany system ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z_ {1} = y}$

${\ displaystyle {\ begin {przypadki} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {sprawy}}}$

jest kaskadą integratorów, a sterowanie w pętli zewnętrznej może być wybrane przy użyciu standardowej metodologii systemu liniowego. W szczególności prawo kontroli ze sprzężeniem zwrotnym stanu ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

gdzie wektor stanu jest wyjściem i jego pierwszymi pochodnymi, daje w wyniku system LTI${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ kropka {z}} = Az}$

z,

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 i 0 i \ ldots i 0 \\ 0 i 0 i 1 i \ ldots i 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 i 0 i 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Tak więc, przy odpowiednim wyborze , możemy dowolnie umieścić bieguny z zamkniętą pętlą systemu zlinearyzowanego. ${\ displaystyle k}$

Niestabilna zerowa dynamika

Linearyzację sprzężenia zwrotnego można przeprowadzić w systemach, które mają względny stopień mniejszy niż . Jednak normalna postać systemu będzie zawierała zerową dynamikę (tj. Stany, których nie można zaobserwować na wyjściu systemu), które mogą być niestabilne. W praktyce niestabilna dynamika może mieć szkodliwy wpływ na system (np. Może być niebezpieczny dla nieograniczonych stanów wewnętrznych układu). Te nieobserwowalne stany mogą być kontrolowane lub przynajmniej stabilne, dlatego można podjąć środki, aby zapewnić, że te stany nie powodują problemów w praktyce. Systemy z minimalną fazą zapewniają pewien wgląd w zerową dynamikę. ${\ displaystyle n}$

Zobacz też

• Kontrola nieliniowa

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

• ECE 758: Modelowanie i nieliniowe sterowanie jednym połączeniem elastycznym manipulatorem przegubowym  - zawiera wyjaśnienie i zastosowanie linearyzacji sprzężenia zwrotnego.
• ECE 758: Przykład linearyzacji typu kulka w rurze  - trywialne zastosowanie linearyzacji dla systemu już w postaci normalnej (tj. Nie jest konieczna transformacja współrzędnych).
• Funkcje języka Wolfram wykonują linearyzację sprzężenia zwrotnego , obliczają rzędy względne i określają dynamikę zerową .