Bank filtrów - Filter bank

W przetwarzaniu sygnału , A bank filtrów (lub filtrów ) jest tablicą filtrów środkowo-przepustowych , który rozdziela sygnał wejściowy na wiele elementów, z których każdy przenosi pojedyncze częstotliwości sub-pasma pierwotnego sygnału. Jednym z zastosowań banku filtrów jest korektor graficzny , który może w różny sposób tłumić składowe i łączyć je w zmodyfikowaną wersję oryginalnego sygnału. Proces dekompozycji wykonywany przez bank filtrów nazywa się analizą (co oznacza analizę sygnału pod kątem jego składowych w każdym podpasmie); wynik analizy jest określany jako sygnał podpasmowy z tyloma podpasmami, ile jest filtrów w banku filtrów. Proces rekonstrukcji nazywamy syntezą , czyli rekonstytucją pełnego sygnału powstałego w wyniku procesu filtrowania.

W cyfrowym przetwarzaniu sygnałów termin bank filtrów jest również powszechnie stosowany w odniesieniu do banku odbiorników. Różnica polega na tym, że odbiorniki również konwertują podpasma w dół do niskiej częstotliwości środkowej, która może być ponownie próbkowana ze zmniejszoną szybkością. Ten sam wynik można czasem osiągnąć przez podpróbkowanie podpasm pasmowoprzepustowych.

Innym zastosowaniem banków filtrów jest kompresja sygnału, gdy niektóre częstotliwości są ważniejsze niż inne. Po rozkładzie ważne częstotliwości można zakodować z dużą rozdzielczością. Małe różnice przy tych częstotliwościach są znaczące i należy zastosować schemat kodowania , który je zachowuje. Z drugiej strony mniej ważne częstotliwości nie muszą być dokładne. Można zastosować grubszy schemat kodowania, nawet jeśli niektóre z drobniejszych (ale mniej ważnych) szczegółów zostaną utracone w kodowaniu.

Vocoder wykorzystuje bank filtrów w celu określenia informacji amplituda podzakresów pasma sygnału modulatora (takich jak głos) i wykorzystuje je do sterowania amplitudy podzakresów pasma sygnału nośnego (np wyjściu gitary lub syntezator) narzucając w ten sposób dynamiczne charakterystyki modulatora na nośną.

Przedstawienie implementacji i działania banku filtrów z ważonym nakładaniem się (WOLA). Zawijanie okrągłego bufora wejściowego służy do kompensacji nieciągłości fazowych, spowodowanych brakiem rzeczywistego odniesienia czasu dla transformacji Fouriera (DFT).

Banki filtrów FFT

Bank odbiorników może być utworzony przez wykonanie sekwencji FFT na nakładających się segmentach wejściowego strumienia danych. Do każdego segmentu stosowana jest funkcja ważenia (inaczej funkcja okna ) w celu kontrolowania kształtu odpowiedzi częstotliwościowych filtrów. Im szerszy kształt, tym częściej FFT muszą być wykonywane, aby spełnić kryteria pobierania próbek Nyquist . W przypadku stałej długości segmentu wielkość nakładania się określa, jak często wykonywane są FFT (i vice versa). Ponadto im szerszy kształt filtrów, tym mniej filtrów jest potrzebnych do rozciągnięcia pasma wejściowego. Eliminacja zbędnych filtrów (tj. dziesiątkowanie częstotliwości) odbywa się skutecznie, traktując każdy ważony segment jako sekwencję mniejszych bloków , a FFT jest wykonywana tylko na sumie bloków. Zostało to określone jako nakładanie się wagi (WOLA) i ważona pre-sum FFT . (patrz § Próbkowanie DTFT )

Szczególny przypadek ma miejsce, gdy zgodnie z projektem długość bloków jest całkowitą wielokrotnością odstępu między FFT. Następnie bank filtrów FFT można opisać w kategoriach jednej lub większej liczby struktur filtrów wielofazowych, w których fazy są rekombinowane przez FFT zamiast prostego sumowania. Liczba bloków na segment to długość (lub głębokość ) odpowiedzi impulsowej każdego filtra. Wydajności obliczeniowe struktur FFT i wielofazowych na procesorze ogólnego przeznaczenia są identyczne.

Synteza (tj. rekombinacja sygnałów wyjściowych wielu odbiorników) polega w zasadzie na upsamplingu każdego z nich z szybkością współmierną do całkowitego pasma, które ma zostać utworzone, przetłumaczeniu każdego kanału na jego nową częstotliwość środkową i zsumowaniu strumieni próbek. W tym kontekście filtr interpolacyjny związany z upsamplingiem nazywany jest filtrem syntezy . Odpowiedź częstotliwościowa netto każdego kanału jest iloczynem filtra syntezy z odpowiedzią częstotliwościową banku filtrów ( filtr analizy ). Idealnie, odpowiedzi częstotliwościowe sąsiednich kanałów sumują się do stałej wartości na każdej częstotliwości między środkami kanałów. Ten stan określa się mianem doskonałej rekonstrukcji .

Filtruj banki jako rozkłady czasowo-częstotliwościowe

W przetwarzaniu sygnałów czasowo-częstotliwościowych , bank filtrów to specjalny kwadratowy rozkład czasowo-częstotliwościowy (TFD), który reprezentuje sygnał we wspólnej domenie czasowo-częstotliwościowej . Jest to powiązane z rozkładem Wignera-Ville'a przez dwuwymiarowe filtrowanie, które definiuje klasę kwadratowych (lub dwuliniowych) rozkładów czasowo-częstotliwościowych . Bank filtrów i spektrogram to dwa najprostsze sposoby wytwarzania kwadratowego TFD; są one w istocie podobne do tego, jak jeden (spektrogram) uzyskuje się dzieląc domenę czasu na wycinki, a następnie przyjmując transformatę Fouriera, podczas gdy drugi (bank filtrów) uzyskuje się poprzez podzielenie domeny częstotliwości na wycinki tworzące filtry pasmowe, które są wzbudzone analizowanym sygnałem.

Wielostopniowy bank filtrów

Wieloszybki bank filtrów dzieli sygnał na pewną liczbę podpasm, które mogą być analizowane z różnymi szybkościami odpowiadającymi szerokości pasm pasm częstotliwości. Implementacja wykorzystuje downsampling (dziesiątkowanie) i upsampling (ekspansja) . Zobacz Przekształcenie Fouriera w czasie dyskretnym § Właściwości i Przekształcenie Z § Właściwości , aby uzyskać dodatkowy wgląd w skutki tych operacji w domenach transformacji.

Wąski filtr dolnoprzepustowy

Można zdefiniować wąski filtr dolnoprzepustowy jako filtr dolnoprzepustowy z wąskim pasmem przepuszczania. Aby stworzyć wielostopniowy wąski dolnoprzepustowy filtr FIR, można zastąpić niezmienny w czasie filtr FIR dolnoprzepustowym filtrem antyaliasingowym i decymatorem wraz z interpolatorem i dolnoprzepustowym filtrem antyobrazowym. W ten sposób powstały system z wieloma szybkościami jest zmiennym w czasie filtrem fazy liniowej za pośrednictwem decymatora i interpolatora. Filtr dolnoprzepustowy składa się z dwóch filtrów wielofazowych, jednego dla decymatora i jednego dla interpolatora.

Bank filtrów dzieli sygnał wejściowy na zestaw sygnałów . W ten sposób każdy z generowanych sygnałów odpowiada innemu regionowi w widmie . W tym procesie regiony mogą się nakładać (lub nie, w zależności od aplikacji). ${\displaystyle x\lewy(n\prawy)}$${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$${\displaystyle x\lewy(n\prawy)}$

Wygenerowane sygnały mogą być generowane za pomocą zestawu filtrów pasmowych o szerokościach pasma i częstotliwościach środkowych (odpowiednio). Wielokrotny bank filtrów wykorzystuje pojedynczy sygnał wejściowy, a następnie generuje wiele wyjść sygnału poprzez filtrowanie i podpróbkowanie. W celu rozbicia sygnału wejściowego na dwa lub więcej sygnałów można zastosować system analizy-syntezy. ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$${\displaystyle {\rm {KW_{1},KW_{2},KW_{3},...}}}$${\ Displaystyle f_ {c1}, f_ {c2}, f_ {c3}, ...}$

Sygnał podzieliłby się za pomocą czterech filtrów dla k =0,1,2,3 na 4 pasma o tych samych szerokościach (w banku analiz), a następnie każdy podsygnał jest dziesiątkowany przez współczynnik 4. W każdym paśmie dzieląc sygnał w każdym paśmie otrzymalibyśmy różne charakterystyki sygnału. ${\ Displaystyle H_ {k} (z)}$

W sekcji syntezy filtr zrekonstruuje oryginalny sygnał: najpierw upsampling 4 podsygnałów na wyjściu jednostki przetwarzającej o współczynnik 4, a następnie przefiltruje przez 4 filtry syntezy dla k = 0,1,2,3. Na koniec dodawane są wyjścia tych czterech filtrów. ${\ Displaystyle F_ {k} (z)}$

Wielowymiarowe banki filtrów

Krata kwinkunksa

Filtrowanie wielowymiarowe , downsampling i upsampling to główne elementy systemów wieloprzepływowych i banków filtrów.

Kompletny bank filtrów składa się ze strony analizy i syntezy. Bank filtrów analizy dzieli sygnał wejściowy na różne podpasma o różnych widmach częstotliwości. Część syntezy ponownie składa różne sygnały podzakresów pasma i generuje zrekonstruowany sygnał. Dwa podstawowe elementy składowe to decymator i ekspander. Na przykład sygnał wejściowy dzieli się na cztery kierunkowe podpasma, z których każde pokrywa jeden z klinowych obszarów częstotliwości. W systemach jednowymiarowych decymatory M-fold zatrzymują tylko te próbki, które są wielokrotnościami M, a resztę odrzucają. natomiast w systemach z wieloma trójwymiarowe decimators są D x D nieosobliwa całkowitą macierzy. uwzględnia tylko te próbki, które znajdują się na siatce generowanej przez decymator. Powszechnie używanym decymatorem jest decymator quincunx, którego sieć jest generowana z macierzy Quincunx, która jest zdefiniowana przez${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ -1 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

Sieć kwinkunksowa generowana przez macierz kwinkunksowa jest pokazana; część syntezy jest podwójna do części analizy. Banki filtrów mogą być analizowane z perspektywy w dziedzinie częstotliwości pod względem dekompozycji i rekonstrukcji podpasm. Jednak równie ważna jest interpretacja banków filtrów w przestrzeni Hilberta , która odgrywa kluczową rolę w geometrycznych reprezentacjach sygnałów. Dla ogólnego banku filtrów K- kanałowych, z filtrami analizy , filtrami syntezy i macierzami próbkowania . Po stronie analizy możemy zdefiniować wektory w as ${\ Displaystyle \ lewo \ {h_ {k} [n] \ prawo \} _ {k = 1} ^ {K}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {g_ {k} [n] \ prawo \} _ {k = 1} ^ {K}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {M_ {k} [n] \ prawo \} _ {k = 1} ^ {K}}$${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbf {Z} ^ {d})}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {k, m} [n] {\ stackrel {\ rm {def}}}} h_ {k} ^ {*} [M_ {k} mn]}$,

każdy indeks o dwa parametry: i . ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik k\ równoważnik K}$${\ Displaystyle m \ w \ mathbf {Z} ^ {2}}$

Podobnie dla filtrów syntezy możemy zdefiniować . ${\displaystyle g_{k}[n]}$${\ Displaystyle \ psi _ {k, m} [n] {\ stackrel {\ rm {def}}}} g_ {k} ^ {*} [M_ {k} mn]}$

Biorąc pod uwagę definicję stron analizy/syntezy możemy to zweryfikować i dla części rekonstrukcyjnej: ${\ Displaystyle c_ {k} [m] = \ langle x [n], \ varphi _ {k, m} [n] \ rangle}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} [n] = \ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik K, m \ w \ mathbf {Z} ^ {2}} c_ {k} [m] \ psi _ { k,m}[n]}$.

Innymi słowy, bank filtrów analizy oblicza iloczyn wewnętrzny sygnału wejściowego i wektor ze zbioru analizy. Ponadto zrekonstruowany sygnał w kombinacji wektorów ze zbioru syntezy i współczynników kombinacji obliczonych iloczynów wewnętrznych, co oznacza, że

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} [n] = \ suma _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik K, m \ w \ mathbf {Z} ^ {2}} \ langle x [n] \ varphi _ { k,m}[n]\rangle \psi _{k,m}[n]}$

Jeśli nie ma strat w dekompozycji i późniejszej rekonstrukcji, bank filtrów nazywa się rekonstrukcją doskonałą . (w takim przypadku mielibyśmy . Rysunek przedstawia ogólny wielowymiarowy bank filtrów z N kanałami i wspólną macierzą próbkowania M . Część analityczna przekształca sygnał wejściowy na N przefiltrowanych i downsamplingowanych wyjść . Część syntezy odzyskuje oryginalny sygnał przez upsampling i Ten rodzaj konfiguracji jest używany w wielu aplikacjach, takich jak kodowanie podzakresów pasma , akwizycja wielokanałowa i dyskretne transformacje falkowe . ${\ Displaystyle x [n] = {\ kapelusz {x [n]}}}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y_{j}[n],}$ ${\displaystyle j=0,1,...,N-1}$${\displaystyle y_{j}[n]}$

Idealne banki filtrów rekonstrukcyjnych

Możemy użyć reprezentacji wielofazowej, więc sygnał wejściowy może być reprezentowany przez wektor jego składowych wielofazowych . Oznacz Więc mielibyśmy , gdzie oznacza j- ty składnik wielofazowy filtra . ${\displaystyle x[n]}$${\ Displaystyle x (z) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} (X_ {0}(z), ..., X_ {| M | -1} (z)) ^ {T} }$${\ Displaystyle y (z) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} (Y_ {0}(z), ... Y_ {| N | -1} (z)) ^ {T} .}$
${\ Displaystyle y (z) = H (z) x (z)}$${\ Displaystyle H_ {i, j} (z)}$${\ Displaystyle H_ {i} (z)}$

Podobnie dla sygnału wyjściowego mielibyśmy , gdzie . Również G jest macierzą, w której oznacza i składnik wielofazowy j-tego filtra syntezy Gj(z). ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (z) = G (z) y (z)}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (z) {\ stos {\ rm {def}} {=}} ({\ kapelusz {X}} _ {0} (z), ... {\ kapelusz {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$${\ Displaystyle G_ {i, j} (z)}$

Bank filtrów ma doskonałą rekonstrukcję dla dowolnego wejścia lub równoważnie, co oznacza, że ​​G(z) jest lewostronną odwrotnością H(z). ${\ Displaystyle x (z) = {\ kapelusz {x}} (z)}$${\ Displaystyle I_ {| M |} = G (z) H (z)}$

Wielowymiarowa konstrukcja filtra

Bank filtrów 1D

Bank filtrów 2D

Banki filtrów 1-D są dobrze rozwinięte do dziś. Jednak wiele sygnałów, takich jak obraz, wideo, dźwięk 3D, radar, sonar, jest wielowymiarowych i wymaga zaprojektowania wielowymiarowych banków filtrów.

Wraz z szybkim rozwojem technologii komunikacji, system przetwarzania sygnału potrzebuje więcej miejsca do przechowywania danych podczas przetwarzania, transmisji i odbioru. Aby zredukować ilość przetwarzanych danych, zaoszczędzić pamięć i zmniejszyć złożoność, wprowadzono techniki próbkowania wieloczęstotliwościowego, aby osiągnąć te cele. Banki filtrów mogą być używane w różnych obszarach, takich jak kodowanie obrazu, kodowanie głosu, radar i tak dalej.

Wiele problemów z filtrami 1D zostało dobrze zbadanych, a badacze zaproponowali wiele podejść do projektowania banków filtrów 1D. Jednak nadal istnieje wiele wielowymiarowych problemów projektowych zespołu filtrów, które wymagają rozwiązania. Niektóre metody mogą nie rekonstruować dobrze sygnału, niektóre są złożone i trudne do zaimplementowania.

Najprostszym podejściem do zaprojektowania wielowymiarowego banku filtrów jest kaskadowanie banków filtrów 1D w postaci struktury drzewiastej, w której macierz decymacji jest ukośna, a dane są przetwarzane w każdym wymiarze osobno. Takie systemy nazywane są systemami rozdzielnymi. Jednak region wsparcia dla banków filtrów może nie być rozdzielny. W takim przypadku projektowanie banku filtrów staje się skomplikowane. W większości przypadków mamy do czynienia z systemami nierozłącznymi.

Bank filtrów składa się z etapu analizy i etapu syntezy. Każdy stopień składa się z zestawu filtrów równolegle. Projekt banku filtrów to projekt filtrów na etapach analizy i syntezy. Filtry analizy dzielą sygnał na nakładające się lub nienakładające się podpasma w zależności od wymagań aplikacji. Filtry syntezy powinny być zaprojektowane do rekonstrukcji sygnału wejściowego z powrotem z podpasm, gdy wyjścia tych filtrów są ze sobą połączone. Przetwarzanie odbywa się zazwyczaj po etapie analizy. Te banki filtrów mogą być zaprojektowane jako nieskończona odpowiedź impulsowa (IIR) lub skończona odpowiedź impulsowa (FIR). W celu zmniejszenia szybkości transmisji danych, downsampling i upsampling są przeprowadzane odpowiednio na etapach analizy i syntezy.

Istniejące podejścia

Poniżej przedstawiono kilka podejść do projektowania wielowymiarowych banków filtrów. Aby uzyskać więcej informacji, zapoznaj się z ORYGINALNYMI referencjami.

Wielowymiarowe banki filtrów o doskonałej rekonstrukcji

Gdy zachodzi potrzeba zrekonstruowania podzielonego sygnału z powrotem do oryginalnego, można zastosować banki filtrów doskonałej rekonstrukcji (PR).

Niech H( z ) będzie transmitancją filtra. Rozmiar filtra jest zdefiniowany jako kolejność odpowiadającego wielomianu w każdym wymiarze. Symetria lub antysymetria wielomianu określa właściwość fazy liniowej odpowiedniego filtra i jest związana z jego wielkością. Podobnie jak w przypadku 1D, termin aliasingowy A(z) i funkcja transferu T(z) dla 2-kanałowego banku filtrów to:

A ( z ) = 1/2 (H ₀ (- oo ) F ₀ ( z ) + H ₁ (- oo ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), gdzie H ₀ i H ₁ są filtrami dekompozycji, a F ₀ i F ₁ są rekonstrukcjami filtry.

Sygnał wejściowy może być doskonale zrekonstruowany, jeśli termin aliasowy zostanie anulowany, a T( z ) równe jednomianowi. Zatem koniecznym warunkiem jest to, że T'( z ) jest ogólnie symetryczne i ma nieparzysty rozmiar.

Filtry liniowej fazy PR są bardzo przydatne do przetwarzania obrazu. Ten dwukanałowy bank filtrów jest stosunkowo łatwy do wdrożenia. Ale czasami dwa kanały to za mało. Dwukanałowe banki filtrów można łączyć kaskadowo w celu generowania wielokanałowych banków filtrów.

Wielowymiarowe kierunkowe zespoły filtrów i powierzchnie powierzchni

Banki filtrów analizy wielowymiarowej

M-wymiarowe kierunkowe banki filtrów (MDFB) to rodzina banków filtrów, które mogą osiągnąć kierunkową dekompozycję dowolnych M-wymiarowych sygnałów z prostą i wydajną konstrukcją o strukturze drzewa. Posiada wiele charakterystycznych właściwości, takich jak: rozkład kierunkowy, wydajna konstrukcja drzewa, rozdzielczość kątowa i doskonała rekonstrukcja. W ogólnym przypadku M-wymiarowym idealnymi nośnikami częstotliwości MDFB są hiperpiramidy oparte na hipersześcianach. Pierwszy stopień rozkładu dla MDFB uzyskuje się przez bank filtrów undecimated N-kanałowego, którego składnikiem są filtry MD „klepsydry” filtr w kształcie litery wyrównane z w ₁ , ..., W _M odpowiednio osi. Następnie sygnał wejściowy jest dalej rozkładany przez serię 2-D iteracyjnie resampowanych banków filtrów szachownicy IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M), gdzie IRC _li ^{( Li )} działa na 2- D plastry sygnału wejściowego reprezentowany przez parę wymiar (n = ₁ , n _i ) i górny (Li) oznacza, że poziom rozkładu do banku filtrów-tego poziomu. Zauważ, że zaczynając od drugiego poziomu, dołączamy bank filtrów IRC do każdego kanału wyjściowego z poprzedniego poziomu, a zatem cały filtr ma w sumie 2 ^{( L ₁ +...+ L _N )} kanały wyjściowe.

Wielowymiarowe banki filtrów z nadpróbkowaniem

Wielowymiarowe banki filtrów syntezy

Banki filtrów z nadpróbkowaniem to banki filtrów o wielu szybkościach, w których liczba próbek wyjściowych na etapie analizy jest większa niż liczba próbek wejściowych. Proponuje się do wytrzymałych zastosowań. Jedną szczególną klasą banków filtrów z nadpróbkowaniem są banki filtrów bez podpróbkowania bez downsamplingu lub upsamplingu. Idealny warunek rekonstrukcji dla banku filtrów z nadpróbkowaniem można określić jako problem odwrotny macierzy w domenie wielofazowej.

Dla banku filtrów z nadpróbkowaniem IIR, doskonałą rekonstrukcję badano w Wolovich i Kailath. w kontekście teorii sterowania. Podczas gdy dla banku filtrów z nadpróbkowaniem FIR musimy użyć innej strategii dla 1-D i MD. Filtry FIR są bardziej popularne, ponieważ są łatwiejsze do wdrożenia. W przypadku jednowymiarowych nadpróbkowanych banków filtrów FIR algorytm euklidesowy odgrywa kluczową rolę w zagadnieniu odwrotności macierzy. Jednak algorytm euklidesowy zawodzi dla filtrów wielowymiarowych (MD). W przypadku filtru MD możemy przekonwertować reprezentację FIR na reprezentację wielomianową. Następnie użyj geometrii algebraicznej i baz Gröbnera, aby uzyskać strukturę i warunki rekonstrukcji wielowymiarowych nadpróbkowanych banków filtrów.

Wielowymiarowe niepodpróbkowane banki filtrów FIR

Niepodpróbkowane banki filtrów to szczególne banki filtrów z nadpróbkowaniem bez downsamplingu lub upsamplingu. Idealny warunek rekonstrukcji dla niepodpróbkowanych banków filtrów FIR prowadzi do problemu odwrotnego do wektorów: filtry analizy są podane i FIR, a celem jest znalezienie zadowalającego zestawu filtrów syntezy FIR . ${\ Displaystyle \ {H_ {1}, ..., H_ {N} \}}$${\ Displaystyle \ {G_ {1}, ..., G_ {N} \}}$

Korzystanie z baz Gröbnera

Wielowymiarowe M-kanałowe banki filtrów

Ponieważ wielowymiarowe banki filtrów mogą być reprezentowane przez wielowymiarowe macierze wymierne, ta metoda jest bardzo skutecznym narzędziem, które można wykorzystać do radzenia sobie z wielowymiarowymi bankami filtrów.

W Charo wprowadzono i omówiono wielowymiarowy wielomianowy algorytm faktoryzacji macierzy. Najczęstszym problemem są wielowymiarowe banki filtrów do doskonałej rekonstrukcji. W niniejszym artykule omówiono metodę osiągnięcia tego celu, która spełnia warunek związany z fazą liniową.

Zgodnie z opisem artykułu, omówiono niektóre nowe wyniki faktoryzacji i zastosowano je do zagadnień wielowymiarowej liniowej rekonstrukcji z perfekcyjną rekonstrukcją banków filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. Podstawowa koncepcja zasad Gröbnera jest podana w Adams.

To podejście oparte na wielowymiarowej faktoryzacji macierzy może być stosowane w różnych obszarach. Algorytmiczną teorię ideałów i modułów wielomianowych można modyfikować w celu rozwiązania problemów związanych z przetwarzaniem, kompresją, transmisją i dekodowaniem sygnałów wielowymiarowych.

Ogólny bank filtrów wielowymiarowa (Figura 7) może być reprezentowane przez parę analizy i syntezy wielofazowych matrycy i wielkości i , gdzie N jest liczbą kanałów i jest wartością bezwzględną wyznacznika matrycy próbek. Również i są transformacją z wielofazowych składników filtrów analizy i syntezy. Dlatego są to wielowymiarowe wielomiany Laurenta , które mają ogólną postać: ${\ Displaystyle H (z)}$${\ Displaystyle G (z)}$${\ Displaystyle N \ razy M}$${\ Displaystyle M \ razy N}$${\ Displaystyle M {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} | M |}$${\ Displaystyle H (z)}$${\ Displaystyle G (z)}$

${\ Displaystyle F (z) = \ suma _ {k \ w \ mathbf {Z} ^ {d}} f [k] z ^ {k} = \ suma _ {k \ w \ mathbf {Z} ^ {d }}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$.

Aby zaprojektować doskonałe banki filtrów rekonstrukcji, należy rozwiązać równanie macierzowe wielomianu Laurenta:

${\ Displaystyle G (z) H (z) = I_ {| M |}}$.

W przypadku wielowymiarowym z wielomianami wielowymiarowymi musimy skorzystać z teorii i algorytmów baz Gröbnera.

Bazy Gröbnera można wykorzystać do scharakteryzowania wielowymiarowych banków filtrów doskonałej rekonstrukcji, ale najpierw należy rozszerzyć je z macierzy wielomianowych do macierzy wielomianowych Laurenta .

Obliczenie na podstawie Gröbnera można traktować równoważnie jako eliminację Gaussa do rozwiązywania równania macierzy wielomianów . Jeśli mamy zbiór wektorów wielomianowych ${\ Displaystyle G (z) H (z) = I_ {| M |}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {moduł} \ lewo \ {h_ {1} (z), ..., h_ {N} (z) \ prawo \ { \ stackrel {\ rm {def}} {=}} \ {c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

gdzie są wielomiany. ${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$

Moduł jest analogiczny do rozpiętości zbioru wektorów w algebrze liniowej. Teoria baz Gröbnera implikuje, że Moduł ma unikalną zredukowaną bazę Gröbnera dla danego rzędu iloczynów mocy w wielomianach.

Jeśli zdefiniujemy bazę Gröbnera jako , to można ją otrzymać przez skończoną sekwencję kroków redukcji (dzielenia). ${\ Displaystyle \ lewo \ {b_ {1} (z), ..., b_ {N} (z) \ po prawej \}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {h_ {1} (z), ..., h_ {N} (z) \ prawo \}}$

Korzystając z inżynierii odwrotnej, możemy obliczyć wektory bazowe w kategoriach wektorów oryginalnych poprzez macierz transformacji jako: ${\displaystyle b_{i}(z)}$${\ Displaystyle h_ {j} (z)}$${\ Displaystyle K \ razy N}$${\ Displaystyle W_ {ij} (z)}$

${\ Displaystyle b_ {i} (z) = \ suma _ {j = 1} ^ {N} W_ {ij} (z) h_ {j} (z), i = 1, ..., K}$

Wielowymiarowe banki filtrów oparte na mapowaniu

Projektowanie filtrów o dobrych odpowiedziach częstotliwościowych jest wyzwaniem przy zastosowaniu podejścia opartego na podstawach Gröbnera.
Konstrukcja oparta na mapowaniu jest powszechnie stosowana do projektowania nieseparowalnych wielowymiarowych banków filtrów o dobrych odpowiedziach częstotliwościowych.

Podejścia do mapowania mają pewne ograniczenia dotyczące rodzaju filtrów; przynosi jednak wiele ważnych korzyści, takich jak efektywne wdrożenie za pomocą konstrukcji podnoszących/drabinowych. Tutaj podajemy przykład dwukanałowych banków filtrów w 2D z macierzą próbkowania. Mielibyśmy kilka możliwych wyborów idealnych odpowiedzi częstotliwościowych filtra kanałowego i . (Zauważ, że pozostałe dwa filtry i są obsługiwane w regionach komplementarnych.) Wszystkie regiony częstotliwości na rysunku mogą być próbkowane krytycznie przez prostokątną sieć rozpiętą przez . Więc wyobraź sobie, że bank filtrów osiąga idealną rekonstrukcję z filtrami FIR. Następnie z charakteryzacji domeny polifazowej wynika, że ​​filtry H1(z) i G1(z) są całkowicie określone odpowiednio przez H0(z) i G0(z). Dlatego musimy zaprojektować H0(x) i G0(z), które mają pożądane odpowiedzi częstotliwościowe i spełniają warunki domeny wielofazowej. Istnieją różne techniki mapowania, które można wykorzystać, aby uzyskać wyższy wynik.
${\ Displaystyle D_ {1} = \ lewo [{\ zacząć {tablica} {cc} 2 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {tablica}} \ prawej]}$${\displaystyle H_{0}(\xi)}$${\displaystyle G_{0}(\xi)}$${\displaystyle H_{1}(\xi)}$${\displaystyle G_{1}(\xi)}$
${\displaystyle D_{1}}$
${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2}) G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$

Konstrukcja banku filtrów w domenie częstotliwości

Gdy doskonała rekonstrukcja nie jest potrzebna, problem projektowy można uprościć, pracując w dziedzinie częstotliwości zamiast używania filtrów FIR.
Należy zauważyć, że metoda w dziedzinie częstotliwości nie ogranicza się do projektowania niepodpróbkowanych banków filtrów (odczyt).

Bezpośrednia optymalizacja w dziedzinie częstotliwości

Wiele istniejących metod projektowania 2-kanałowych banków filtrów opiera się na technice transformacji zmiennych. Na przykład transformatę McClellana można wykorzystać do zaprojektowania 1-D 2-kanałowych banków filtrów. Chociaż banki filtrów 2-D mają wiele podobnych właściwości do prototypu 1-D, trudno jest rozszerzyć je na więcej niż przypadki 2-kanałowe.

W Nguyen autorzy mówią o projektowaniu wielowymiarowych banków filtrów poprzez bezpośrednią optymalizację w dziedzinie częstotliwości. Proponowana tutaj metoda skupia się głównie na projektowaniu M-kanałowych banków filtrów 2D. Metoda jest elastyczna w stosunku do konfiguracji obsługi częstotliwości. Banki filtrów 2D zaprojektowane przez optymalizację w dziedzinie częstotliwości zostały wykorzystane w Wei i Lu. W artykule Nguyena proponowana metoda nie ogranicza się do projektowania dwukanałowych banków filtrów 2D; podejście jest uogólnione do M-kanałowych banków filtrów z dowolną krytyczną macierzą podpróbkowania. Zgodnie z implementacją w artykule, można go wykorzystać do uzyskania projektu do 8-kanałowych banków filtrów 2D.

(6) Matryca odwróconej kurtki

W artykule Lee z 1999 roku autorzy mówią o wielowymiarowym projekcie banku filtrów przy użyciu macierzy odwróconego płaszcza . Niech H będzie macierzą Hadamarda rzędu n , transpozycja H jest ściśle związana z jej odwrotnością. Prawidłowe formuła: , gdzie _n jest n x n macierzy tożsamości i H ^T jest transpozycją H . W pracy z 1999 r. autorzy uogólniają macierz odwróconego płaszcza [RJ] _N przy użyciu macierzy Hadamarda i ważonych macierzy Hadamarda. ${\ Displaystyle HH ^ {T} = I_ {n}}$

W niniejszej pracy autorzy zaproponowali, aby filtr FIR ze 128 odczepami był stosowany jako filtr podstawowy, a współczynnik decymacji obliczano dla macierzy RJ. Przeprowadzili symulacje oparte na różnych parametrach i osiągnęli dobrą jakość wyników przy niskim współczynniku dziesiątkowania.

Kierunkowe banki filtrów

Bamberger i Smith zaproponowali kierunkowy bank filtrów 2D (DFB). DFB jest skutecznie implementowany poprzez 1- poziomową dekompozycję o strukturze drzewa, która prowadzi do podpasm z podziałem częstotliwości w kształcie klina (patrz rysunek). Oryginalna konstrukcja DFB polega na modulowaniu sygnału wejściowego i zastosowaniu filtrów w kształcie rombu. Ponadto, aby uzyskać pożądany podział częstotliwości, należy przestrzegać skomplikowanej zasady rozszerzania drzewa. W rezultacie obszary częstotliwości dla wynikowych podpasm nie są zgodne z prostą kolejnością, jak pokazano na fig. 9 w oparciu o indeksy kanałów. ${\ Displaystyle 2 ^ {l}}$

Pierwszą zaletą DFB jest to, że nie tylko nie jest redundantną transformacją, ale także oferuje doskonałą rekonstrukcję. Kolejną zaletą DFB jest jego kierunkowość i wydajna konstrukcja. Ta zaleta sprawia, że ​​DFB jest odpowiednim podejściem do wielu zastosowań przetwarzania sygnału i obrazu. (np. piramida Laplace'a, skonstruowane konturówki, rzadka reprezentacja obrazu, obrazowanie medyczne itp.).

Kierunkowe banki filtrów można rozbudować do większych wymiarów. Może być używany w 3D, aby uzyskać podział częstotliwości.

Nadajnik-odbiornik banku filtrów

Banki filtrów są ważnymi elementami warstwy fizycznej w szerokopasmowej komunikacji bezprzewodowej, gdzie problemem jest wydajne przetwarzanie wielu kanałów w paśmie podstawowym. Architektura nadawczo-odbiorcza oparta na banku filtrów eliminuje problemy skalowalności i wydajności obserwowane przez poprzednie schematy w przypadku kanałów nieciągłych. Odpowiednia konstrukcja filtra jest konieczna, aby zmniejszyć pogorszenie wydajności spowodowane przez zespół filtrów. Aby uzyskać projekty o uniwersalnym zastosowaniu, można przyjąć łagodne założenia dotyczące formatu fali, statystyk kanałów oraz schematu kodowania/dekodowania. Można zastosować zarówno heurystyczną, jak i optymalną metodologię projektowania, a doskonała wydajność jest możliwa przy niskiej złożoności, o ile transceiver działa z dość dużym współczynnikiem nadpróbkowania. Praktycznym zastosowaniem jest transmisja OFDM, gdzie zapewniają bardzo dobrą wydajność przy niewielkiej dodatkowej złożoności.

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Harris, Fredric J. (2004). Wieloszybkościowe przetwarzanie sygnałów dla systemów komunikacyjnych . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. Numer ISBN 0-13-146511-2.