Pierwsza niepoliczalna liczba porządkowa - First uncountable ordinal

W matematyce The pierwszy niezliczona liczba porządkowa tradycyjnie oznaczone Ohm ₁ lub czasami Ohm , to najmniejsza porządkowej liczba że rozpatrywany jako zbiór jest niezliczona . Jest to supremum (najmniejsza górna granica) wszystkich policzalnych liczb porządkowych. Elementami ω ₁ są liczby porządkowe policzalne (w tym liczby porządkowe skończone), których jest niepoliczalnie wiele.

Jak każda liczba porządkowa (w podejściu von Neumanna), ω ₁ jest zbiorem uporządkowanym , przy czym przynależność do zbioru ("∈") służy jako relacja porządku. ω ₁ jest liczbą porządkową graniczną , tzn. nie ma liczby porządkowej α z α + 1 = ω ₁ .

Liczność zestawu omów ₁ jest pierwszym niezliczona liczba Cardinal , ℵ ₁ ( Alef-on ). Liczba porządkowa ω ₁ jest więc początkową liczbą porządkową ℵ ₁ . Zgodnie z hipotezą continuum liczność ₁ jest taka sama jak zbioru liczb rzeczywistych . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

W większości konstrukcji ω ₁ i ℵ ₁ są traktowane jako zestawy. Uogólniając: jeśli α jest dowolną liczbą porządkową, definiujemy ω _α jako początkową liczbę porządkową liczby kardynalnej ℵ _α .

Istnienie ω ₁ można udowodnić bez aksjomatu wyboru . Aby uzyskać więcej informacji, zobacz numer Hartogs .

Właściwości topologiczne

Dowolna liczba porządkowa może zostać przekształcona w przestrzeń topologiczną za pomocą topologii porządku . Patrząc jako przestrzeń topologiczna, ω ₁ jest często zapisywana jako [0,ω ₁ ), aby podkreślić, że jest to przestrzeń składająca się ze wszystkich liczb porządkowych mniejszych niż ω ₁ .

Jeśli aksjomat wyboru przeliczalnego jest spełniony, każdy rosnący ω-ciąg elementów [0,ω ₁ ) zbiega się do granicy w [0,ω ₁ ). Powodem jest to, że suma (tj. supremum) każdego policzalnego zbioru policzalnych liczb porządkowych jest inną policzalną liczbą porządkową.

Przestrzeń topologiczna [0,ω ₁ ) jest sekwencyjnie zwarta , ale nie zwarta . W konsekwencji nie jest metryzowalne . Jest jednak przeliczalnie zwarty, a zatem nie Lindelöf . W kategoriach aksjomatów obliczalności , [0,ω ₁ ) jest przeliczalne do pierwszej , ale nie jest ani rozłączne, ani przeliczalne do drugiej .

Przestrzeń [0, ω ₁ ] = ω ₁  + 1 jest zwarta i niepoliczalna od początku. ω ₁ służy do zdefiniowania długiej linii i deski Tychonowa — dwa ważne kontrprzykłady w topologii .

Zobacz też

• Liczby Epsilon (matematyka)
• Duża liczba porządkowa policzalna
• Arytmetyka porządkowa

Bibliografia

Bibliografia

• Thomas Jech, Teoria mnogości , wydanie 3 tysiąclecia, 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN  3-540-44085-2 .
• Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Kontrprzykłady w topologii . Springer-Verlag, New York, 1978. Przedruk Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (wydanie Dover).