Funkcjonalny pierwiastek kwadratowy - Functional square root
W matematyce , A funkcjonalny pierwiastek kwadratowy (czasami nazywany pół iteracji ) jest pierwiastkiem kwadratowym z funkcji w odniesieniu do działania kompozycji funkcji . Innymi słowy, funkcjonalny pierwiastek kwadratowy z funkcji g jest funkcją f spełniającą f ( f ( x )) = g ( x ) dla wszystkich x .
Notacja
Zapisy wyrażające, że f jest funkcjonalnym pierwiastkiem kwadratowym z g to f = g [1/2] i f = g 1/2 .
Historia
- Funkcjonalny pierwiastek kwadratowy z funkcji wykładniczej (obecnie znanej jako funkcja półwykładnicza ) został zbadany przez Hellmutha Knesera w 1950 roku.
- Roztwory F ( F ( x )) = x powyżej (na Inwolucja tych liczb rzeczywistych ) były najpierw analizowane przez Charles Babbage w 1815 roku, a równanie to nazywa Babbage'a równanie funkcyjne . Szczególnym rozwiązaniem jest f ( x ) = ( b − x )/(1 + cx ) dla bc ≠ −1 . Babbage zauważył, że dla dowolnego rozwiązania f , jego sprzężenie funkcjonalne Ψ −1 ∘ f ∘ Ψ przez dowolną funkcję odwracalną Ψ również jest rozwiązaniem. Innymi słowy, grupa wszystkich funkcji odwracalnych na prostej rzeczywistej działa na podzbiór składający się z rozwiązań równania funkcyjnego Babbage'a przez sprzężenie .
Rozwiązania
Systematyczna procedura tworzenia dowolnych funkcjonalnych n -pierwiastków (w tym dowolnej liczby rzeczywistej, ujemnej i nieskończenie małej n ) funkcji g : ℂ →ℂ opiera się na rozwiązaniach równania Schrödera . Nieskończenie wiele trywialnych rozwiązań istnieje, gdy dziedzina funkcji pierwiastka f może być wystarczająco większa niż dziedzina g .
Przykłady
- F ( x ) = 2 x 2 jest funkcjonalnym pierwiastek kwadratowy g ( x ) = 8 x 4 .
- Funkcjonalny pierwiastek kwadratowy z n- tego wielomianu Czebyszewa , g ( x ) = T n ( x ) , to f ( x ) = cos( √ n arccos ( x )) , który na ogół nie jest wielomianem .
- f ( x ) = x /( √ 2 + x (1 − √ 2 )) jest funkcjonalnym pierwiastkiem kwadratowym z g ( x ) = x /(2 − x ) .
- sin [2] ( x ) = sin(sin( x )) [ krzywa czerwona ]
- sin [1] ( x ) = sin( x ) = rin(rin( x )) [ niebieska krzywa]
- sin [½] ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x )) [ krzywa pomarańczowa ]
- sin [¼] ( x ) = qin( x ) [czarna krzywa nad pomarańczową krzywą]
- sin [–1] ( x ) = arcsin( x ) [krzywa przerywana]
(Patrz. Dla notacji, zobacz [1] .)
Zobacz też
|
Bibliografia