Geodezyjne - Geodesic

W geometrii , o geodezyjnej ( / ˌ í ə d ɛ s ɪ k , ˌ í -, - d í -, - z ɪ k / ) jest powszechnie krzywa reprezentująca w pewnym sensie najkrótszą ścieżkę ( łuk ) między dwoma punktami na powierzchni lub bardziej ogólnie w rozmaitości Riemanna . Termin ten ma również znaczenie w dowolnej rozmaitości różniczkowej z połączeniem. Jest to uogólnienie pojęcia „ linii prostej ” na bardziej ogólne ustawienie.

Rzeczownik geodezyjny i przymiotnik geodezyjny wywodzą się z geodezji , nauki o mierzeniu wielkości i kształtu Ziemi , podczas gdy wiele podstawowych zasad można zastosować do dowolnej geometrii elipsoidalnej . W pierwotnym sensie geodezyjnej była najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami na Ziemi powierzchni . Dla kulistej Ziemi , jest to odcinek z wielkim kole (patrz również ortodroma ). Termin został uogólniony, aby objąć pomiary w znacznie bardziej ogólnych przestrzeniach matematycznych; na przykład w teorii grafów można rozważyć geodezję pomiędzy dwoma wierzchołkami /węzłami grafu .

W rozmaitości lub podrozmaitości riemannowskiej geodezyjne charakteryzują się właściwością zanikania krzywizny geodezyjnej . Bardziej ogólnie, w obecności połączenia afinicznego , geodezja jest definiowana jako krzywa, której wektory styczne pozostają równoległe, jeśli są transportowane wzdłuż niej. Stosując to do połączenia Levi-Civita Urządzony riemannowskiej metrycznych odzyskuje poprzedni pojęcie.

Geodezja ma szczególne znaczenie w ogólnej teorii względności . Geodezja podobna do czasu w ogólnej teorii względności opisuje ruch swobodnie spadających cząstek testowych .

Wstęp

Lokalnie najkrótsza ścieżka między dwoma danymi punktami w zakrzywionej przestrzeni, zakłada się Riemanna kolektora , może być zdefiniowane za pomocą równania dla długości z krzywej (funkcja f z przedziału otwartego od R do przestrzeni), a następnie minimalizując tę ​​odległość między punktami za pomocą rachunku wariacyjnego . Wiąże się to z pewnymi drobnymi problemami technicznymi, ponieważ istnieje nieskończenie wymiarowa przestrzeń różnych sposobów parametryzacji najkrótszej ścieżki. Łatwiej jest ograniczyć zbiór krzywych do tych, które są sparametryzowane „ze stałą prędkością” 1, co oznacza, że ​​odległość od f ( s ) do f ( t ) wzdłuż krzywej wynosi | st |. Równoważnie można zastosować inną wielkość, zwaną energią krzywej; minimalizacja energii prowadzi do tych samych równań dla geodezji (tu „stała prędkość” jest konsekwencją minimalizacji). Intuicyjnie można zrozumieć to drugie sformułowanie, zauważając, że elastyczna taśma rozciągnięta między dwoma punktami skróci swoją długość, a tym samym zminimalizuje swoją energię. Powstały kształt opaski jest geodezyjny.

Możliwe, że kilka różnych krzywych między dwoma punktami minimalizuje odległość, tak jak w przypadku dwóch diametralnie przeciwnych punktów na kuli. W takim przypadku każda z tych krzywych jest geodezyjna.

Ciągły segment geodezji jest znowu geodezją.

Ogólnie rzecz biorąc, geodezja to nie to samo, co „najkrótsze krzywe” między dwoma punktami, chociaż te dwie koncepcje są ze sobą ściśle powiązane. Różnica polega na tym, że geodezje są tylko lokalnie najkrótszą odległością między punktami i są sparametryzowane ze „stałą prędkością”. Pokonywanie „długiej drogi” po wielkim okręgu między dwoma punktami na kuli jest geodezyjną, ale nie najkrótszą drogą między punktami. Mapa z przedziału jednostkowego na osi liczb rzeczywistych do siebie daje najkrótszą ścieżkę między 0 a 1, ale nie jest geodezyjną, ponieważ prędkość odpowiedniego ruchu punktu nie jest stała.

Geodezy są powszechnie spotykane w badaniach geometrii riemannowskiej i ogólniej geometrii metrycznej . W ogólnej teorii względności geodezja w czasoprzestrzeni opisuje ruch cząstek punktowych pod wpływem samej grawitacji. W szczególności ścieżka obrana przez spadającą skałę, orbitujący satelita lub kształt orbity planetarnej to wszystko geodezja w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Bardziej ogólnie, temat geometrii subriemannowskiej dotyczy ścieżek, którymi mogą podążać obiekty, gdy nie są wolne, a ich ruch jest ograniczony na różne sposoby.

W artykule przedstawiono formalizm matematyczny związany z definiowaniem, znajdowaniem i udowadnianiem istnienia geodezji w przypadku rozmaitości riemannowskich . Artykuł Połączenie Levi-Civita omawia bardziej ogólny przypadek rozmaitości pseudo-Riemanna, a geodezyjnej (ogólnej teorii względności) bardziej szczegółowo omawia szczególny przypadek ogólnej teorii względności.

Przykłady

Jeśli owad jest umieszczony na powierzchni i ciągle idzie „do przodu”, z definicji wyśledzi geodezję.

Najbardziej znanymi przykładami są linie proste w geometrii euklidesowej . Na sferze obrazy geodezyjne to wielkie koła . Najkrótszą drogę od punktu A do punktu B na sferze wyznacza krótszy łuk wielkiego koła przechodzący przez A i B . Jeśli A i Bantypodami , to między nimi jest nieskończenie wiele najkrótszych ścieżek. Geodezja na elipsoidzie zachowuje się w sposób bardziej skomplikowany niż na sferze; w szczególności generalnie nie są one zamknięte (patrz rysunek).

Trójkąty

Trójkąt geodezyjny na kuli.

Geodezyjnej trójkąta są uformowane przez geodezyjnych łączących każdą parę out trzech punktów na danej powierzchni. Na kuli geodezyjne są łuki wielkiego koła , tworzące sferyczny trójkąt .

Trójkąty geodezyjne w przestrzeniach o krzywiźnie dodatniej (góra), ujemnej (środek) i zerowej (dół).

Geometria metryczna

W geometrii metrycznej , geodezyjna jest krzywą, która jest wszędzie lokalnie odległość Minimizer. Dokładniej, krzywa γ  : IM od przedziału I liczb rzeczywistych do przestrzeni metrycznej M jest geodezyjną, jeśli istnieje stała v ≥ 0 taka, że ​​dla dowolnego tI istnieje sąsiedztwo J z t w I takie że dla dowolnego t 1 ,  t 2J mamy

Uogólnia to pojęcie geodezji dla rozmaitości riemannowskich. Jednak w geometrii metrycznej rozważana geodezja jest często wyposażona w naturalną parametryzację , tj. w powyższej identyczności v  = 1 i

Jeżeli ostatnia równość jest spełniona dla wszystkich t 1 , t 2I , geodezja nazywana jest geodezją minimalizującą lub najkrótszą ścieżką .

Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń metryczna może nie mieć geodezji, z wyjątkiem stałych krzywych. Z drugiej strony, dowolne dwa punkty w przestrzeni metrycznej długości są połączone sekwencją minimalizującą naprawialnych ścieżek , chociaż ta sekwencja minimalizująca nie musi być zbieżna do geodezyjnej.

Geometria Riemanna

W rozmaitości Riemanna M z tensorem metrycznym g , długość L krzywej ciągle różniczkowalnej γ : [ a , b ] →  M jest określona wzorem

Odległość d ( p ,  q ) między dwoma punktami p i q w M jest zdefiniowana jako granica długości pobranej na wszystkich ciągłych, odcinkowo różniczkowalnych krzywych γ : [ a , b ] →  M tak, że γ( a ) =  p i y( b ) =  q . W geometrii riemannowskiej wszystkie geodezyjne są lokalnie ścieżkami minimalizującymi odległość, ale odwrotnie nie jest prawdą. W rzeczywistości geodezyjne są tylko ścieżki, które zarówno lokalnie minimalizują odległość, jak i są sparametryzowane proporcjonalnie do długości łuku. Innym równoważnym sposobem definiowania geodezji na rozmaitości riemannowskiej jest zdefiniowanie ich jako minimów następującego działania lub funkcjonału energii

Wszystkie minima E są również minimami L , ale L jest większym zbiorem, ponieważ ścieżki, które są minimami L mogą być dowolnie przeparametryzowane (bez zmiany ich długości), podczas gdy minima E nie mogą. W przypadku krzywej odcinkiem (bardziej ogólnie krzywej), nierówność Cauchy'ego-Schwarza daje

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy jest równe stałej ae; droga powinna być pokonywana ze stałą prędkością. Zdarza się, że minimalizatory również zminimalizują , bo okazują się sparametryzowane afinicznie, a nierówność jest równością. Użyteczność tego podejścia polega na tym, że problem poszukiwania minimalizatorów E jest bardziej solidnym problemem wariacyjnym. Rzeczywiście, E jest „funkcją wypukłą” , tak więc w ramach każdej izotopowej klasy „rozsądnych funkcji” należy oczekiwać istnienia, jednoznaczności i regularności minimalizatorów. W przeciwieństwie do tego, „minimizery” funkcjonału na ogół nie są zbyt regularne, ponieważ dozwolone są dowolne reparametryzacje.

W Eulera-Lagrange'a równania ruchu funkcjonalnego E są następnie w lokalnych współrzędnych przez

gdzie są symbole Christoffel metryki. Jest to równanie geodezyjne , omówione poniżej .

Rachunek wariacji

Do badania funkcjonału energii E można zastosować techniki klasycznego rachunku wariacyjnego . Pierwsza wariacja energii jest zdefiniowany w lokalnym układzie współrzędnych przez

Te krytyczne punkty pierwszej odmianie są dokładnie geodezyjne. Drugim wariantem jest określona

W odpowiednim sensie zera drugiej wariacji wzdłuż geodezyjnego γ powstają wzdłuż pól Jacobiego . Pola Jacobiego są zatem uważane za wariacje przez geodezję.

Stosując techniki wariacyjne z mechaniki klasycznej , można również traktować geodezję jako przepływy hamiltonowskie . Są to rozwiązania skojarzonych równań Hamiltona , z metryką (pseudo-)Riemanna przyjętą jako hamiltonian .

Geodezja afiniczna

Geodezyjnej na gładkiej kolektora M z afinicznej związku ∇ jest zdefiniowany jako krzywa y ( t ), tak że przeniesienie równoległe wzdłuż krzywej wektor zachowuje stycznej do krzywej, tak

 

 

 

 

( 1 )

w każdym punkcie krzywej, gdzie jest pochodną względem . Dokładniej, aby zdefiniować pochodną kowariantną konieczne jest najpierw rozszerzenie do ciągle różniczkowalnego pola wektorowego w zbiorze otwartym . Jednak wynikowa wartość ( 1 ) jest niezależna od wyboru rozszerzenia.

Używając lokalnych współrzędnych na M , możemy zapisać równanie geodezyjne (stosując konwencję sumowania ) jako

gdzie są współrzędne krzywej γ( t ) i są symbolami Christoffela połączenia ∇. To jest równanie różniczkowe zwyczajne dla współrzędnych. Ma unikalne rozwiązanie, biorąc pod uwagę pozycję początkową i prędkość początkową. Dlatego z punktu widzenia mechaniki klasycznej geodezja może być traktowana jako trajektorie cząstek swobodnych w rozmaitości. Rzeczywiście, równanie oznacza, że wektor przyspieszenia krzywej nie ma składowych w kierunku powierzchni (a zatem jest prostopadły do ​​płaszczyzny stycznej powierzchni w każdym punkcie krzywej). Tak więc ruch jest całkowicie zdeterminowany przez wygięcie powierzchni. Jest to również idea ogólnej teorii względności, w której cząstki poruszają się po geodezji, a zginanie jest powodowane grawitacją.

Istnienie i wyjątkowość

Lokalny istnienie i wyjątkowość twierdzenie dla geodezyjnych stwierdza, że geodezyjnych na gładkiej kolektora z afinicznej połączenia istnieją i są unikatowe. Dokładniej:

Dla dowolnego punktu p w M i dla dowolnego wektora V w T p M ( przestrzeń styczna do M w p ) istnieje unikalna geodezja  : IM taka, że
oraz
gdzie I jest maksymalnym otwartym przedziałem w R zawierającym 0.

Dowód tego twierdzenia wynika z teorii równań różniczkowych zwyczajnych , zauważając, że równanie geodezyjne jest ODE drugiego rzędu. Istnienie i jednoznaczność wynikają zatem z twierdzenia Picarda-Lindelöfa dla rozwiązań ODE z określonymi warunkami początkowymi. γ zależy płynnie zarówno od p jak i  V .

Ogólnie rzecz biorąc, mogę nie być całym R, jak na przykład w przypadku otwartego dysku w R 2 . Dowolne γ rozciąga się na wszystkie wtedy i tylko wtedy, gdy M jest geodezyjnie zupełne .

Przepływ geodezyjny

Przepływ geodezyjny to lokalne R - oddziaływanie na wiązkę styczną TM rozmaitości M zdefiniowanej w następujący sposób

gdzie t  ∈  R , V  ∈  TM i oznacza geodezyjnym z danych wyjściowych . Zatem ( V ) = exp( tV ) jest wykładniczą mapą wektora tV . Zamknięta orbita przepływu geodezyjnego odpowiada zamkniętej orbicie geodezyjnej na  M .

Na rozmaitości (pseudo-)riemannowskiej przepływ geodezyjny jest utożsamiany z przepływem hamiltonowskim na wiązce kostycznej. Hamiltona jest wstrzykiwany przez odwrotność (pseudo-) Riemanna metrycznych oceniano przeciwko kanonicznej jednej postaci . W szczególności przepływ zachowuje metrykę (pseudo-)Riemanna , tj.

W szczególności, gdy V jest wektorem jednostkowym, pozostaje prędkość jednostkowa przez cały czas, więc przepływ geodezyjny jest styczny do wiązki stycznej jednostkowej . Twierdzenie Liouville'a implikuje niezmienność miary kinematycznej na jednostkowej wiązce stycznej.

Spray geodezyjny

Przepływ geodezyjny definiuje rodzinę krzywych w wiązce stycznej . Pochodne tych krzywych definiują pole wektorowe na całkowitej przestrzeni wiązki stycznej, zwane strumieniem geodezyjnym .

Dokładniej, połączenie afiniczne powoduje rozszczepienie podwójnej wiązki stycznej TT M na wiązki poziome i pionowe :

Strumień geodezyjny to unikalne poziome pole wektorowe W satysfakcjonujące

w każdym punkcie v  ∈ T M ; tutaj π  : TT M  → T M oznacza przesunięcie do przodu (różnicowe) wzdłuż rzutu π : T M  →  M związane z wiązką styczną.

Mówiąc ogólnie, ta sama konstrukcja pozwala na skonstruowanie pola wektorowego dla dowolnego połączenia Ehresmanna na wiązce stycznej. Aby powstałe pole wektorowe było rozpryskiem (na usuniętej wiązce stycznej T M  \ {0}) wystarczy, aby połączenie było ekwiwariantne przy dodatnich przeskalowaniach: nie musi być liniowe. Oznacza to, że (por. Ehresmann connection#Wiązki wektorowe i pochodne kowariantne ) wystarczy, że rozkład poziomy spełnia

dla każdego X  ∈ T M  \ {0} i λ > 0. Tutaj d ( S λ ) jest przesunięciem do przodu wzdłuż homotety skalarnej Szczególny przypadek połączenia nieliniowego powstającego w ten sposób jest związany z rozmaitością Finslera .

Geodezja afiniczna i rzutowa

Równanie ( 1 ) jest niezmienne przy reparametryzacji afinicznej; czyli parametryzacje postaci

gdzie a i b są stałymi liczbami rzeczywistymi. Zatem poza określeniem pewnej klasy krzywych osadzonych, równanie geodezyjne wyznacza również preferowaną klasę parametryzacji na każdej z krzywych. W związku z tym rozwiązania punktu ( 1 ) nazywane są geodezją z parametrem afinicznym .

Połączenie afiniczne jest określone przez rodzinę geodezji sparametryzowanych afinicznie, aż do skręcania ( Spivak 1999 , rozdział 6, dodatek I). Samo skręcanie w rzeczywistości nie wpływa na rodzinę geodezyjnych, ponieważ równanie geodezyjne zależy tylko od symetrycznej części połączenia. Dokładniej, jeśli są dwa połączenia takie, że tensor różnicy

jest skośno-symetryczna , to i ma taką samą geodezyjność, z tymi samymi parametrami afinii. Ponadto istnieje unikalne połączenie o takiej samej geodezji jak , ale z zanikającym skręcaniem.

Geodezyjki bez określonej parametryzacji są opisywane połączeniem rzutowym .

Metody obliczeniowe

Wydajne solwery dla minimalnego problemu geodezyjnego na powierzchniach przedstawianych jako równania eikonal zostały zaproponowane przez Kimmela i innych.

Test wstążki

Test wstążki przeprowadzony przez właściciela Vsauce, Michaela Stevensa
Zakrzywiona linia narysowana za pomocą testu wstęgowego jest linią prostą na płaskiej powierzchni. Dzieje się tak, ponieważ stożek można przekształcić w dwuwymiarowy półokrąg.

"Test" wstążki to sposób na znalezienie geodezji na trójwymiarowym zakrzywionym kształcie.

Gdy wstążka jest owinięta wokół stożka, część wstążki nie dotyka powierzchni stożka. Jeśli wstążka jest nawinięta wokół innej zakrzywionej ścieżki, a wszystkie cząstki na wstążce dotykają powierzchni stożka, ścieżka jest geodezyjna .

Aplikacje

Geodezja służy jako podstawa do obliczania:

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki