Identyczne cząstki - Identical particles

Mechanika statystyczna
Termodynamika Teoria kinetyczna
Statystyki cząstek Twierdzenie o statystyce spinowej Identyczne cząstki Maxwell-Boltzmann Bosego-Einsteina Fermi-Dirac Parastatystyka Statystyki Anyonic Statystyki warkoczy
Zespoły termodynamiczne NVE Microcanonical Kanoniczny NVT µVT Wielki kanoniczny NPH izoentalpowo-izobaryczny NPT izotermiczny–izobaryczny
Modele Debye Einstein Śpiewam Potts
Potencjały Energia wewnętrzna Entalpia Energia swobodna Helmholtza Energia swobodna Gibbsa Wielki potencjał / Darmowa energia Landau
Naukowcy Maxwell Boltzmanna Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tołman Debye Fermi Bose
v T mi

W mechanice kwantowej , cząstki identyczne (zwane również do odróżnienia lub odróżnienia cząsteczki ) są cząstki , które nie mogą być odróżnione od siebie, nawet w zasadzie. Gatunki identycznych cząstek obejmują między innymi cząstki elementarne (takie jak elektrony ), złożone cząstki subatomowe (takie jak jądra atomowe ), a także atomy i cząsteczki . Quasicząstki również zachowują się w ten sposób. Chociaż wszystkie znane nierozróżnialne cząstki istnieją tylko w skali kwantowej , nie ma wyczerpującej listy wszystkich możliwych rodzajów cząstek ani wyraźnej granicy stosowalności, co bada się w statystyce kwantowej .

Istnieją dwie główne kategorie identycznych cząstek: bozony , które mogą dzielić stany kwantowe , oraz fermiony , które nie mogą (jak opisuje zasada wykluczania Pauliego ). Przykładami bozonów są fotony , gluony , fonony , jądra helu-4 i wszystkie mezony . Przykładami fermionów są elektrony, neutrina , kwarki , protony , neutrony i jądra helu-3 .

Fakt, że cząstki mogą być identyczne, ma istotne konsekwencje w mechanice statystycznej , gdzie obliczenia opierają się na argumentach probabilistycznych , które są wrażliwe na to, czy badane obiekty są identyczne. W rezultacie identyczne cząstki wykazują wyraźnie odmienne zachowanie statystyczne od cząstek rozróżnialnych. Na przykład nierozróżnialność cząstek została zaproponowana jako rozwiązanie paradoksu mieszania Gibbsa .

Rozróżnianie cząstek

Istnieją dwie metody rozróżniania cząstek. Pierwsza metoda opiera się na różnicach we właściwościach fizycznych cząstek, takich jak masa , ładunek elektryczny i spin . Jeśli istnieją różnice, możliwe jest rozróżnienie cząstek poprzez pomiar odpowiednich właściwości. Jednak faktem empirycznym jest, że mikroskopijne cząstki tego samego gatunku mają całkowicie równoważne właściwości fizyczne. Na przykład, każdy elektron we wszechświecie ma dokładnie taki sam ładunek elektryczny; dlatego można mówić o czymś takim jak „ ładunek elektronu ”.

Nawet jeśli cząstki mają równoważne właściwości fizyczne, pozostaje druga metoda rozróżniania cząstek, która polega na śledzeniu trajektorii każdej cząstki. Dopóki położenie każdej cząstki można zmierzyć z nieskończoną precyzją (nawet gdy cząstki się zderzają), nie byłoby dwuznaczności co do tego, która cząstka jest którą.

Problem z drugim podejściem polega na tym, że jest ono sprzeczne z zasadami mechaniki kwantowej . Zgodnie z teorią kwantową cząstki nie mają określonych pozycji w okresach między pomiarami. Zamiast tego rządzą nimi funkcje falowe, które dają prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w każdej pozycji. W miarę upływu czasu funkcje falowe mają tendencję do rozchodzenia się i nakładania. Gdy tak się stanie, niemożliwe staje się określenie, w kolejnym pomiarze, które z położeń cząstek odpowiadają wcześniejszym pomiarom. Mówi się wtedy, że cząstki są nie do odróżnienia.

Opis mechaniki kwantowej

Stany symetryczne i antysymetryczne

Poniżej znajduje się przykład konkretyzowania powyższej dyskusji, wykorzystując formalizm rozwinięty w artykule o matematycznym ujęciu mechaniki kwantowej .

Niech n oznacza pełny zestaw (dyskretnych) liczb kwantowych do określania stanów pojedynczej cząstki (na przykład, dla cząstki w zadaniu pudełkowym , weź n jako skwantowany wektor falowy funkcji falowej). Dla uproszczenia rozważmy układ złożony dwóch cząstek, które nie oddziałują ze sobą. Załóżmy, że jedna cząstka jest w stanie n ₁ , a druga jest w stanie n ₂ . Intuicyjnie stan kwantowy układu zapisujemy jako

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle}$

gdzie kolejność zapisu stanu ma znaczenie, na przykład pierwszy zapisany stan dotyczy cząstki 1, a drugi zapisany stan dotyczy cząstki 2 (więc jeśli , to cząstka 1 zajmuje stan n _2, podczas gdy cząstka 2 zajmuje stan n ₁ ). Jest to po prostu kanoniczny sposób budowania podstawy dla przestrzeni iloczynu tensorowego połączonego systemu z poszczególnych przestrzeni. Wyrażenie to jest ważne dla cząstek rozróżnialnych, jednak nie jest właściwe dla cząstek nie do odróżnienia, ponieważ iw wyniku wymiany cząstki są ogólnie różnymi stanami. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle}$${\ Displaystyle H \ czasami H}$${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle}$${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle}$

• "cząstka 1 zajmuje stan n _1, a cząstka 2 stan n ₂ " ≠ "cząstka 1 zajmuje stan n ₂ a cząstka 2 stan n ₁ ".

Dwa stany są fizycznie równoważne tylko wtedy, gdy różnią się co najwyżej złożonym współczynnikiem fazowym. W przypadku dwóch nieodróżnialnych cząstek stan przed wymianą cząstek musi być fizycznie równoważny ze stanem po wymianie, więc te dwa stany różnią się co najwyżej złożonym współczynnikiem fazowym. Fakt ten sugeruje, że stan dla dwóch nieodróżnialnych (i nieoddziałujących) cząstek jest określony przez następujące dwie możliwości:

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle}$

Stany, w których jest sumą, nazywane są symetrycznymi , natomiast stany, w których występuje różnica, nazywane są antysymetrycznymi . Mówiąc dokładniej, stany symetryczne mają postać

${\ Displaystyle | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle \ równoważne {\ mbox {stała}} \ razy {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle + | n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

natomiast stany antysymetryczne mają postać

${\ Displaystyle | n_ {1}, n_ {2}; A \ rangle \ równoważne {\ mbox {stała}} \ razy {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle - | n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Zauważ, że jeśli n ₁ i n ₂ są takie same, wyrażenie antysymetryczne daje zero, które nie może być wektorem stanu, ponieważ nie może być znormalizowane. Innymi słowy, więcej niż jedna identyczna cząstka nie może zajmować stanu antysymetrycznego (jeden stan antysymetryczny może zajmować tylko jedna cząstka). Jest to znane jako zasada wykluczania Pauliego i jest podstawowym powodem chemicznych właściwości atomów i stabilności materii .

Symetria wymiany

Znaczenie stanów symetrycznych i antysymetrycznych ostatecznie opiera się na dowodach empirycznych. Wydaje się być faktem naturalnym, że identyczne cząstki nie zajmują stanów o mieszanej symetrii, takich jak

${\ Displaystyle | n_ {1}, n_ {2};? \ rangle = {\ mbox {stała}} \ razy {\ bigg (} | n_ {1} \ rangle | n_ {2} \ rangle + i | n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Od tej reguły istnieje wyjątek, który zostanie omówiony później. Z drugiej strony można wykazać, że stany symetryczne i antysymetryczne są w pewnym sensie szczególne, badając konkretną symetrię stanów wielocząstkowych, znaną jako symetria wymienna .

Zdefiniuj operator liniowy P , zwany operatorem wymiany. Kiedy działa na iloczyn tensorowy dwóch wektorów stanu, wymienia wartości wektorów stanu:

${\ Displaystyle P {\ bigg (} | \ psi \ rangle | \ phi \ rangle {\ big )} \ równoważnik | \ phi \ rangle | \ psi \ rangle }$

P jest zarówno hermitowski, jak i unitarny . Ponieważ jest unitarny, można go traktować jako operator symetrii . Symetrię tę można opisać jako symetrię pod wymianą znaczników przyczepionych do cząstek (tj. do jednocząstkowych przestrzeni Hilberta).

Oczywiście, (operator tożsamości), a zatem wartości własne z P są +1 i -1. Odpowiednimi wektorami własnymi są stany symetryczne i antysymetryczne: ${\ Displaystyle P ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle P | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle = + | n_ {1}, n_ {2}; S \ rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle}$

Innymi słowy, stany symetryczne i antysymetryczne są zasadniczo niezmienione podczas wymiany etykiet cząstek: są one mnożone tylko przez współczynnik +1 lub -1, zamiast być „obrócone” gdzieś indziej w przestrzeni Hilberta. Wskazuje to, że etykiety cząstek nie mają znaczenia fizycznego, zgodnie z wcześniejszą dyskusją na temat nierozróżnialności.

Przypomnijmy, że P jest hermitianem. W rezultacie można go uznać za obserwowalną systemu, co oznacza, że ​​w zasadzie można dokonać pomiaru, aby stwierdzić, czy stan jest symetryczny, czy antysymetryczny. Ponadto równoważność cząstek wskazuje, że hamiltonian można zapisać w postaci symetrycznej, takiej jak

${\ Displaystyle H = {\ Frac {p_ {1} ^ {2}} {2 m}} + {\ Frac {p_ {2} ^ {2}} {2 m}} + U (| x_ {1}-x_ {2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Można wykazać, że takie hamiltoniany spełniają relację komutacyjną

${\ Displaystyle \ lewo [P, H \ prawo] = 0}$

Zgodnie z równaniem Heisenberga oznacza to, że wartość P jest stałą ruchu. Jeśli stan kwantowy jest początkowo symetryczny (antysymetryczny), pozostanie symetryczny (antysymetryczny) w miarę ewolucji układu. Matematycznie mówi to, że wektor stanu jest ograniczony do jednej z dwóch przestrzeni własnych P i nie może rozciągać się na całą przestrzeń Hilberta. Zatem ta przestrzeń własna może być równie dobrze traktowana jako rzeczywista przestrzeń Hilberta systemu. To jest idea przyświecająca definicji przestrzeni Focka .

Fermiony i bozony

Wybór symetrii lub antysymetrii zależy od gatunku cząstki. Na przykład stany symetryczne muszą być zawsze używane przy opisie fotonów lub atomów helu-4 , a stany antysymetryczne przy opisie elektronów lub protonów .

Cząstki wykazujące stany symetryczne nazywane są bozonami . Natura stanów symetrycznych ma istotne konsekwencje dla właściwości statystycznych układów złożonych z wielu identycznych bozonów. Te właściwości statystyczne są opisane jako statystyki Bosego-Einsteina .

Cząstki wykazujące stany antysymetryczne nazywane są fermionami . Antysymetria daje początek zasadzie wykluczenia Pauliego , która zabrania identycznym fermionom współdzielenia tego samego stanu kwantowego. Układy wielu identycznych fermionów opisują statystyki Fermiego-Diraca .

Możliwe są również parastatystyki .

W niektórych systemach dwuwymiarowych może wystąpić symetria mieszana. Te egzotyczne cząstki znane są jako anyony i podlegają statystykom ułamkowym . Eksperymentalne dowody na istnienie anyonów istnieją w ułamkowym kwantowym efekcie Halla , zjawisku obserwowanym w dwuwymiarowych gazach elektronowych, które tworzą warstwę inwersyjną tranzystorów MOSFET . Istnieje inny rodzaj statystyki, znany jako statystyka warkocza , który jest powiązany z cząstkami znanymi jako plektony .

Twierdzenie spin-statystyki dotyczy symetrii wymiany samych cząstek do ich obrocie . Stwierdza, że ​​bozony mają spin całkowity, a fermiony mają spin połówkowy. Anyony mają spin ułamkowy.

N cząstek

Powyższa dyskusja daje się łatwo uogólnić na przypadek cząstek N. Załóżmy, że istnieją cząstki N o liczbach kwantowych n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Jeśli cząstki są bozonami, zajmują całkowicie symetryczny stan , który jest symetryczny po wymianie dowolnych dwóch etykiet cząstek:

${\ Displaystyle | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S \ rangle = {\ sqrt {\ Frac {\ prod _ {n} m_ {n}!} {N!}}} \ suma _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Tutaj suma jest przejmowana przez wszystkie różne stany w ramach permutacji p działających na N elementów. Pierwiastek kwadratowy pozostawiony do sumy jest stałą normalizującą . Wielkość m _n oznacza, ile razy każdy ze stanów pojedynczych cząstek n pojawia się w stanie N -cząstek . Zauważ, że Σ _n m _n = N .

W tym samym duchu fermiony zajmują całkowicie antysymetryczne stany :

${\ Displaystyle | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; A \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {N!}}} \ suma _ {p} \ nazwa operatora {sgn} ( p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Tutaj sgn( p ) jest znakiem każdej permutacji (tzn. jeśli składa się z parzystej liczby transpozycji, a jeśli nieparzysta). Zauważ, że nie ma terminu, ponieważ każdy stan jednocząstkowy może pojawić się tylko raz w stanie fermionowym. W przeciwnym razie suma znowu byłaby zerowa z powodu antysymetrii, reprezentując w ten sposób fizycznie niemożliwy stan. Jest to zasada wykluczania Pauliego dla wielu cząstek. ${\displaystyle +1}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle \ Pi _ {n} m_ {n}}$

Te stany zostały znormalizowane tak, że

${\ Displaystyle \ langle n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S | n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}; S \ rangle =1, \ qquad \ langle n_ {1 }n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Pomiar

Załóżmy, że w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) istnieje układ bozonów N (fermionów)

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle}$

a pomiar jest wykonywany na jakimś innym zestawie dyskretnych obserwabli, m . Ogólnie daje to pewien wynik m ₁ dla jednej cząstki, m ₂ dla innej cząstki i tak dalej. Jeżeli cząstki są bozonami (fermiony), stan po pomiarze musi pozostać symetryczny (antysymetryczny), tj.

${\ Displaystyle | m_ {1} m_ {2} \ cdots m_ {N}; S / A \ rangle }$

Prawdopodobieństwo uzyskania określonego wyniku dla pomiaru m wynosi

${\ Displaystyle P_ {S / A} \ lewo (n_ {1}, \ ldots, n_ {N} \ rightarrow m_ {1}, \ ldots, m_ {N} \ po prawej) \ równoważnik {\ duży |} \ po lewej \langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Można wykazać, że

${\ Displaystyle \ suma _ {m_ {1} \ leq m_ {2} \ leq \ kropki \ leq m_ {N}} P_ {S/A} (n_ {1}, \ ldots, n_ {N} \ rightarrow m_ {1},\ldots ,m_{N})=1}$

co weryfikuje, że całkowite prawdopodobieństwo wynosi 1. Suma musi być ograniczona do uporządkowanych wartości m ₁ , ..., m _N, aby zapewnić, że każdy stan wielocząstkowy nie jest liczony więcej niż raz.

Reprezentacja funkcji falowej

Jak dotąd dyskusja obejmowała tylko dyskretne obserwable. Można go rozszerzyć na ciągłe obserwable, takie jak pozycja  x .

Przypomnijmy, że stan własny ciągłej obserwowalnej reprezentuje nieskończenie mały zakres wartości obserwowalnych, a nie pojedynczą wartość, jak w przypadku obserwowalnych dyskretnych. Na przykład, jeśli cząstka jest w stanie | ψ ⟩, prawdopodobieństwo znalezienia go w obszarze objętości d ³ x otaczającym pewną pozycję x wynosi

${\ Displaystyle | \ langle x | \ psi \ rangle | ^ {2} \; d ^ {3}x}$

W rezultacie ciągłe stany własne | x ⟩ są znormalizowane do funkcji delta zamiast jedności:

${\ Displaystyle \ langle x | x '\ rangle = \ delta ^ {3}(x-x')}$

Symetryczne i antysymetryczne stany wielocząstkowe mogą być konstruowane z ciągłych stanów własnych w taki sam sposób jak poprzednio. Jednak zwyczajowo używa się innej stałej normalizującej:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} | x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {N}; S \ rangle & = {\ Frac {\ prod _ {j} n_ {j}!} {N!} }\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\ rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{N!}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\ left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Można zapisać funkcję falową wielu ciał ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ { N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&= {\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{ p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N }}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_ {1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N}) \end{wyrównany}}}$

gdzie funkcje falowe jednocząstkowe są zdefiniowane, jak zwykle, przez

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) \ równoważnik \ langle x | n \ rangle}$

Najważniejszą właściwością tych funkcji falowych jest to, że wymiana dowolnych dwóch zmiennych współrzędnych zmienia funkcję falową tylko o znak plus lub minus. Jest to przejaw symetrii i antysymetrii w reprezentacji funkcji falowej:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(S)} (\ cdots x_ {i} \ cdots x_ {j} \ cdots) = \ psi _ {n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_ {N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}( \cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{wyrównany}}}$

Funkcja falowa wielu ciał ma następujące znaczenie: jeśli układ jest początkowo w stanie z liczbami kwantowymi n ₁ , ..., n _N , a wykonywany jest pomiar położenia, prawdopodobieństwo znalezienia cząstek w nieskończenie małych objętościach w pobliżu x ₁ , x ₂ , ..., x _N jest

${\ Displaystyle N! \; \ lewo | \ psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S/A)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

Współczynnik N ! pochodzi z naszej stałej normalizującej, która została dobrana tak, aby przez analogię z funkcjami falowymi pojedynczej cząstki,

${\ Displaystyle \ int \! \ int \! \ cdots \! \ int \; \ lewo | \ psi _ {n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {N}} ^ {(S/A)} ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d ^{3}\!x_{N}=1}$

Ponieważ każda całka przebiega przez wszystkie możliwe wartości x , każdy stan wielocząstkowy pojawia się N ! razy w całce. Innymi słowy, prawdopodobieństwo związane z każdym zdarzeniem jest równomiernie rozłożone na N ! punkty równoważne w przestrzeni całkowej. Ponieważ zwykle wygodniej jest pracować z całkami nieograniczonymi niż zastrzeżonymi, stała normalizująca została wybrana, aby to odzwierciedlić.

Wreszcie, antysymetryczna falowa może być zapisana jako wyznacznik z matrycy , znany jako wyznacznik Slater :

${\ Displaystyle \ Psi _ {n_ {1} \ cdots n_ {N}} ^ {(A)} (x_ {1} \ ldots, x_ {N}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N !}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots & \psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{ n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

Podejście operatorskie i parastatystyka

Przestrzeń Hilberta dla cząstek jest dana przez iloczyn tensorowy . Grupa permutacji działa na tej przestrzeni poprzez permutację wpisów. Definicji wartości oczekiwania na zauważalny z odróżnić cząstki powinna być niezmienna przy tych permutacji. Oznacza to, że dla wszystkich i${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ czasami _ {n} H}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ psi \ w H}$${\ Displaystyle \ sigma \ w S_ {n}}$

${\ Displaystyle (\ sigma \ psi) ^ {t} a (\ sigma \ psi) = \ psi ^ {t} a \ psi}$

lub równoważnie dla każdego ${\ Displaystyle \ sigma \ w S_ {n}}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {t} a \ sigma = a}$.

Dwa stany są równoważne, gdy ich wartości oczekiwane pokrywają się dla wszystkich obserwowalnych. Jeśli ograniczymy się do obserwabli identycznych cząstek, a więc obserwabli spełniających powyższe równanie, stwierdzimy, że następujące stany (po normalizacji) są równoważne ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ psi \ sima \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} \ lambda _ {\ sigma} \ sigma \ psi}$.

Klasy równoważności pozostają w relacji bijektywnej z nieredukowalnymi podprzestrzeniami pod . ${\ Displaystyle \ czasami _ {n} H}$${\displaystyle S_{n}}$

Dwie oczywiste podprzestrzenie nieredukowalne to podprzestrzeń jednowymiarowa symetryczna/bozonowa i podprzestrzeń antysymetryczna/fermionowa. Istnieje jednak więcej rodzajów podprzestrzeni nieredukowalnych. Stany związane z tymi innymi nieredukowalnymi podprzestrzeniami nazywane są stanami parastatystycznymi . Młode tablice dostarczają sposobu na klasyfikację wszystkich tych nieredukowalnych podprzestrzeni.

Właściwości statystyczne

Statystyczne skutki nierozróżnialności

Nierozróżnialność cząstek ma głęboki wpływ na ich właściwości statystyczne. Aby to zilustrować, rozważmy układ N rozróżnialnych, nieoddziałujących cząstek. Jeszcze raz niech n _j oznacza stan (tj. liczby kwantowe) cząstki j . Jeżeli cząstki te same właściwości fizycznej, n _j „y prowadzony w tym samym zakresie wartości. Niech ε ( n ) oznacza energię cząstki w stanie n . Ponieważ cząstki nie oddziałują, całkowita energia układu jest sumą energii pojedynczych cząstek. Funkcja partycji systemu to

${\ Displaystyle Z = \ suma _ {n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {N}} \ exp \ lewo \ {- {\ Frac {1} {kT}} \ lewo [\ varepsilon ( n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

gdzie k jest stałą Boltzmanna, a T jest temperaturą . To wyrażenie można rozłożyć na czynniki, aby uzyskać

${\ Displaystyle Z = \ xi ^ {N}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ xi = \ suma _ {n} \ exp \ lewo [-{\ Frac {\ varepsilon (n)} {kT}} \ prawo].}$

Jeśli cząstki są identyczne, to równanie jest nieprawidłowe. Rozważmy stan układu, opisany stanami pojedynczej cząstki [ n ₁ , ..., n _N ]. W równaniu na Z każda możliwa permutacja n występuje raz w sumie, mimo że każda z tych permutacji opisuje ten sam stan wielocząstkowy. W ten sposób przeliczono liczbę stanów.

Jeśli pomija się możliwość nakładania się stanów, co jest ważne, gdy temperatura jest wysoka, to liczba zliczeń każdego stanu wynosi w przybliżeniu N !. Prawidłowa funkcja partycji to

${\ Displaystyle Z = {\ Frac {\ xi ^ {N}} {N!}}.}$

Zauważ, że to przybliżenie „wysokiej temperatury” nie rozróżnia fermionów i bozonów.

Rozbieżność w funkcjach podziału między rozróżnialnymi i nierozróżnialnymi cząstkami była znana już w XIX wieku, przed pojawieniem się mechaniki kwantowej. Prowadzi to do trudności znanej jako paradoks Gibbsa . Gibbs, wykazały, że w równaniu Z = ξ ^N The entropia klasycznego gazu idealnego jest

${\ Displaystyle S = Nk \ ln \ lewo (V \ prawo) + Nf (T)}$

gdzie V jest objętością gazu, a f jest pewną funkcją samego T. Problem z tym wynikiem polega na tym, że S nie jest rozległe – jeśli N i V są podwojone, S nie podwaja się odpowiednio. Taki system nie spełnia postulatów termodynamiki .

Gibbs pokazał również, że używając Z = ξ ^N / N ! zmienia wynik na

${\ Displaystyle S = Nk \ ln \ lewo ({\ Frac {V} {N}} \ po prawej) + Nf (T)}$

który jest doskonale obszerny. Jednak przyczyna tej korekty funkcji podziału pozostała niejasna aż do odkrycia mechaniki kwantowej

Statystyczne właściwości bozonów i fermionów

Istnieją istotne różnice między statystycznym zachowaniem bozonów i fermionów, które są opisane odpowiednio przez statystykę Bosego-Einsteina i statystykę Fermiego-Diraca . Z grubsza mówiąc, bozony mają tendencję do zbijania się w ten sam stan kwantowy, co leży u podstaw zjawisk takich jak laser , kondensacja Bosego-Einsteina i nadciekłość . Z drugiej strony fermiony nie mogą dzielić stanów kwantowych, co prowadzi do powstania systemów takich jak gaz Fermi . Jest to znane jako zasada wykluczenia Pauliego i jest odpowiedzialna za znaczną część chemii, ponieważ elektrony w atomie (fermiony) sukcesywnie wypełniają wiele stanów w powłokach, a nie wszystkie znajdują się w tym samym najniższym stanie energetycznym.

Różnice między statystycznym zachowaniem fermionów, bozonów i rozróżnialnych cząstek można zilustrować za pomocą układu dwóch cząstek. Cząstki są oznaczone jako A i B. Każda cząsteczka może istnieć w dwóch możliwych stanach, oznaczonych i , które mają taką samą energię. ${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

System złożony może ewoluować w czasie, wchodząc w interakcję z hałaśliwym otoczeniem. Ponieważ stany i są energetycznie równoważne, żaden ze stanów nie jest faworyzowany, więc proces ten skutkuje randomizacją stanów. (Jest to omówione w artykule na temat splątania kwantowego ). Po pewnym czasie system złożony będzie miał równe prawdopodobieństwo zajęcia każdego z dostępnych mu stanów. Następnie mierzy się stany cząstek. ${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

Jeśli A i B są unikalne cząstki, a następnie układ kompozytowy ma cztery różne stany: , , i . Prawdopodobieństwo uzyskania dwóch cząstek w stanie wynosi 0,25; prawdopodobieństwo uzyskania dwóch cząstek w stanie wynosi 0,25; a prawdopodobieństwo uzyskania jednej cząstki w stanie, a drugiej w stanie wynosi 0,5. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle}$${\displaystyle |0\rangle |1\rangle}$${\displaystyle |1\rangle |0\rangle}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

Jeśli A i B są identyczne bozony, system kompozytowy ma tylko trzy różne stany: , , i . Po przeprowadzeniu eksperymentu prawdopodobieństwo uzyskania dwóch cząstek w stanie wynosi teraz 0,33; prawdopodobieństwo uzyskania dwóch cząstek w stanie wynosi 0,33; a prawdopodobieństwo uzyskania jednej cząstki w stanie, a drugiej w stanie wynosi 0,33. Zauważ, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstek w tym samym stanie jest stosunkowo większe niż w przypadku rozróżnialnym. Świadczy to o tendencji bozonów do „zbijania się”. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle | 1 \ rangle + | 1 \ rangle | 0 \ rangle )}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

Jeśli A i B są identycznymi fermionami, dla układu złożonego dostępny jest tylko jeden stan: stan całkowicie antysymetryczny . Kiedy przeprowadza się eksperyment, jedna cząstka jest zawsze w stanie, a druga jest w stanie. ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle | 1 \ rangle - | 1 \ rangle | 0 \ rangle )}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

Wyniki podsumowano w Tabeli 1:

Tabela 1: Statystyka dwóch cząstek

Cząstki	Oba 0	Oba 1	Jeden 0 i jeden 1
Rozpoznawalny	0,25	0,25	0,5
Bozony	0,33	0,33	0,33
Fermiony	0	0	1

Jak widać, nawet układ dwóch cząstek wykazuje różne zachowania statystyczne między rozróżnialnymi cząstkami, bozonami i fermionami. W artykułach dotyczących statystyki Fermiego-Diraca i statystyki Bosego-Einsteina zasady te są rozszerzone na dużą liczbę cząstek, z jakościowo podobnymi wynikami.

Klasa homotopii

Aby zrozumieć, dlaczego statystyki cząstek działają w ten sposób, należy najpierw zauważyć, że cząstki są wzbudzeniami punktowymi i że cząstki, które są oddzielone w sposób przestrzenny, nie wchodzą w interakcje. W płaskiej d- wymiarowej przestrzeni M , w dowolnym momencie, konfiguracja dwóch identycznych cząstek może być określona jako element M × M . Jeżeli cząstki nie nakładają się na siebie tak, że nie oddziałują bezpośrednio, to ich położenie musi należeć do przestrzeni [ M × M ]/{punktów zgodności}, czyli do podprzestrzeni z usuniętymi punktami zbieżności. Element ( x ,  y ) opisuje konfigurację z cząstką I w x i cząstką II w y , natomiast ( y ,  x ) opisuje konfigurację zamienną. Przy identycznych cząstkach stan opisany przez ( x ,  y ) powinien być nie do odróżnienia od stanu opisanego przez ( y ,  x ) . Rozważmy teraz klasę homotopii ciągłych ścieżek od ( x ,  y ) do ( y ,  x ) w przestrzeni [ M × M ]/{zbieżności punktów} . Jeśli M wynosi R ^d , gdzie d ≥ 3 , to homotopią grupa ma tylko jeden element. Jeśli M jest R ² , to ta klasa homotopii ma policzalnie wiele elementów (tzn. zamianę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o pół obrotu, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o półtora obrotu, dwa i pół obrotu itd., zamianę w prawo o pół obrotu itp.). W szczególności wymiana przeciwna do ruchu wskazówek zegara o pół obrotu nie jest homotopiczna do wymiany zgodnej z ruchem wskazówek zegara o pół obrotu. Wreszcie, jeśli M jest R , to ta klasa homotopii jest pusta.

Załóżmy najpierw, że d ≥ 3 . Powszechne miejsca pokrycie z [ M x M ] / {zbieżnych punktów}, który nie jest niczym innym niż [ M x M ] / {zbieżne punkty} sobie, ma tylko dwa punkty, które są fizycznie do odróżnienia od ( x ,  y ) , a mianowicie ( x ,  y ) i ( y ,  x ) . Tak więc jedyną dopuszczalną wymianą jest zamiana obu cząstek. Ta wymiana jest inwolucją , więc jej jedynym efektem jest pomnożenie fazy przez pierwiastek kwadratowy z 1. Jeśli pierwiastek wynosi +1, to punkty mają statystykę Bosego, a jeśli pierwiastek wynosi -1, punkty mają statystykę Fermiego.

W przypadku M = R ² , uniwersalna przestrzeń pokrycia [ M × M ]/{punktów zbieżności} ma nieskończenie wiele punktów, które są fizycznie nie do odróżnienia od ( x ,  y ) . Jest to opisane przez nieskończoną grupę cykliczną generowaną przez wymianę półobrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, wykonanie tej wymiany dwa razy z rzędu nie przywraca pierwotnego stanu; więc taka wymiana może generalnie skutkować mnożeniem przez exp( iθ ) dla dowolnego rzeczywistego θ (przez unitarność , wartość bezwzględna mnożenia musi wynosić 1). Nazywa się to statystyką anyoniczną . W rzeczywistości, nawet z dwoma rozróżnialnymi cząstkami, mimo że ( x ,  y ) jest teraz fizycznie odróżnialne od ( y ,  x ) , uniwersalna przestrzeń pokrywająca nadal zawiera nieskończenie wiele punktów, które są fizycznie nie do odróżnienia od pierwotnego punktu, teraz generowanego przez przeciwny do ruchu wskazówek zegara obrót o jeden pełny obrót. Ten generator daje zatem mnożenie przez exp( iφ ). Ten czynnik fazowy nazywamy tutaj wzajemną statystyką .

Wreszcie, w przypadku M = R , przestrzeń [ M × M ]/{punkty zbieżności} nie jest połączona, więc nawet jeśli cząstka I i cząstka II są identyczne, nadal można je odróżnić za pomocą etykiet, takich jak „cząstka na lewo” i „cząstka po prawej”. Nie ma tu symetrii wymiany.

Zobacz też

• Teoria quasi-zbiorów
• Hipoteza DeBrogliego

Przypisy

Bibliografia

• Tuckerman, Mark (2010), Mechanika Statystyczna , ISBN 978-0198525264

Zewnętrzne linki

• Wymiana identycznych i prawdopodobnie nie do odróżnienia cząstek – John S. Denker
• Tożsamość i indywidualność w teorii kwantowej ( Stanford Encyclopedia of Philosophy )
• Wiele państw elektronowych w E. Pavarini, E. Koch i U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter , Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6