Impredykatywność - Impredicativity

W matematyce , logice i filozofii matematyki czymś, co jest impredykacyjne, jest definicja odnosząca się do samych siebie . Z grubsza rzecz biorąc, definicja jest nieredykowana, jeśli odwołuje się (wspomina lub kwantyfikuje) do definiowanego zbioru lub (częściej) do innego zbioru, który zawiera definiowaną rzecz. Nie ma ogólnie przyjętej dokładnej definicji, co to znaczy być predykatywnym lub impredykatywnym. Autorzy podali różne, ale powiązane definicje.

Przeciwieństwem impredykatywności jest predykatywność, która zasadniczo pociąga za sobą budowanie teorii warstwowych (lub rozgałęzionych), w których kwantyfikacja na niższych poziomach daje zmienne jakiegoś nowego typu, odróżnianego od typów niższych, którymi waha się zmienna. Prototypowym przykładem jest intuicjonistyczna teoria typów , która zachowuje rozgałęzienie, aby odrzucić nieredykatywność.

Paradoks Russella jest słynnym przykładem impredykatywnej konstrukcji - a mianowicie zbioru wszystkich zbiorów, które same siebie nie zawierają. Paradoksem jest to, że taki zestaw nie może istnieć: jeśli to istnieje, można zadać pytanie, czy zawiera on sam, czy nie - jeśli tak, to z definicji nie powinno, a jeśli tak się nie stanie wówczas z definicji powinien.

Kres dolny z ustalonym X , GLB ( X ) , ma również impredicative znaczenie: R = GLB ( X ) , wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich elementów x w X , Y jest mniejszy niż lub równą X , a każdy z mniej niż lub równe wszystkim elementom X jest mniejsze lub równe y . Ta definicja określa ilościowo zbiór (potencjalnie nieskończony , w zależności od danego porządku ), którego składnikami są dolne granice X , z których jednym jest sam glb. Stąd predykatywizm odrzuciłby tę definicję.

Historia

Terminy „predykatywna” i „impredykatywna” zostały wprowadzone przez Russella (1907) , chociaż od tego czasu ich znaczenie nieco się zmieniło.

Solomon Feferman przedstawia historyczny przegląd predykatywności, łącząc ją z aktualnymi, nierozstrzygniętymi problemami badawczymi.

Zasada błędnego koła została zasugerowana przez Henri Poincaré (1905-6, 1908) i Bertranda Russella w następstwie paradoksów jako wymóg legalnych specyfikacji zestawu. Zestawy, które nie spełniają tego wymagania, nazywane są impredykatywnymi .

Pierwszy nowoczesny paradoks pojawił się wraz z pytaniem Cesare Burali-Forti z 1897 roku o liczby nieskończone i stał się znany jako paradoks Burali-Forti . Cantor najwyraźniej odkrył ten sam paradoks w swojej „naiwnej” teorii mnogości (Cantora) i stało się to znane jako paradoks Cantora . Świadomość Russella problemu powstał w czerwcu 1901 roku z jego lektury Frege „s traktacie logiki matematycznej, jego 1879 Begriffsschrift ; karny wyrok w Frege jest następujący:

Z drugiej strony może się również zdarzyć, że argument jest określony, a funkcja nieokreślona.

Innymi słowy, biorąc pod uwagę f ( a ) funkcja f jest zmienną, a a jest niezmienną częścią. Więc dlaczego nie zastąpić wartość f ( a ) do f siebie? Russell natychmiast napisał do Frege list, w którym wskazał, że:

Twierdzisz ... że funkcja również może działać jako nieokreślony element. Wcześniej w to wierzyłem, ale teraz ten pogląd wydaje mi się wątpliwy z powodu następującej sprzeczności. Niech w będzie orzeczeniem: być orzeczeniem, którego sam z siebie nie można orzekać. Może w być orzekana o sobie? Z każdej odpowiedzi wynika odwrotność. W tym miejscu musimy wywnioskować, że w nie jest predykatem. Podobnie nie ma klasy (jako całości) tych klas, z których każda traktowana jako całość nie należą do siebie. Z tego dochodzę do wniosku, że w pewnych okolicznościach dający się zdefiniować zbiór nie tworzy całości.

Frege niezwłocznie odpisał Russellowi, informując o problemie:

Twoje odkrycie sprzeczności wywołało we mnie największe zdziwienie i, powiedziałbym prawie, konsternację, gdyż zachwiało podstawą, na której zamierzałem zbudować arytmetykę.

Chociaż problem miał negatywne konsekwencje osobiste dla obu mężczyzn (obaj mieli prace przy drukarkach, które musiały zostać naprawione), van Heijenoort zauważa, że ​​„Paradoks wstrząsnął światem logików, a dudnienia są nadal odczuwalne.… Paradoks Russella , która używa podstawowych pojęć zbioru i elementu, wpisuje się wprost w dziedzinę logiki. Paradoks został po raz pierwszy opublikowany przez Russella w Podstawach matematyki (1903) i jest tam szczegółowo omówiony ... ”. Russell, po sześciu latach fałszywych startów, ostatecznie odpowiedziałby na tę kwestię swoją teorią typów z 1908 r., „Przedstawiając swój aksjomat redukowalności . Mówi ona, że ​​każda funkcja jest współistotna z tym, co nazywa funkcją predykatywną : funkcją, w której typy pozorne zmienne nie są wyższe niż typy argumentów ”. Ale ten „aksjomat” spotkał się z oporem ze wszystkich stron.

Odrzucenie nieredykcyjnie zdefiniowanych obiektów matematycznych (przy jednoczesnym przyjęciu klasycznie rozumianych liczb naturalnych ) prowadzi do pozycji w filozofii matematyki zwanej predykatywizmem, którą bronili Henri Poincaré i Hermann Weyl w swoim Das Kontinuum . Poincaré i Weyl argumentowali, że impredykatywne definicje są problematyczne tylko wtedy, gdy jeden lub więcej bazowych zbiorów jest nieskończonych.

Ernst Zermelo w swoim 1908 r. „Nowy dowód możliwości dobrego uporządkowania” przedstawia całą sekcję „b. Zarzut dotyczący niepredykatywnej definicji ”, w którym argumentował przeciwko „Poincaré (1906, s. 307) [który stwierdza, że] definicja jest „predykatywny” i logicznie dopuszczalny tylko wtedy, gdy wyklucza wszystkie przedmioty zależne od zdefiniowanego pojęcia, to znaczy takie, które w jakikolwiek sposób mogą być przez nie określone ”. Podaje dwa przykłady impredykatywnych definicji - (i) pojęcie łańcuchów Dedekinda oraz (ii) „w analizie, gdziekolwiek maksimum lub minimum z wcześniej zdefiniowanego„ kompletnego ”zbioru liczb Z jest używane do dalszych wniosków. Dzieje się tak na przykład , w znanym dowodzie Cauchy'ego… ”. Kończy swoją sekcję następującą obserwacją: „Definicja może bardzo dobrze opierać się na pojęciach, które są równoważne definiowanemu; w istocie w każdej definicji definiens i definiendum są pojęciami równoważnymi, a ścisłe przestrzeganie postulatu Poincarégo uczyniłoby każdą definicję stąd cała nauka jest niemożliwa ”.

Przykład Zermelo minimum i maksimum wcześniej zdefiniowanego „ukończonego” zbioru liczb pojawia się ponownie w Kleene 1952: 42-42, gdzie Kleene używa przykładu najmniejszej górnej granicy w swojej dyskusji nad nieredykatywnymi definicjami; Kleene nie rozwiązuje tego problemu. W następnych paragrafach omawia próbę WEYL w jego 1918 Das Kontinuum ( continuum ), aby wyeliminować definicje impredicative i jego niewydolności, aby zachować „twierdzenie, że dowolny niepusty zbiór M od liczb rzeczywistych mającą górna granica ma kres górny ( por. także Weyl 1919) ”.

Ramsey argumentował, że „impredykatywne” definicje mogą być nieszkodliwe: na przykład definicja „najwyższej osoby w pokoju” jest impredykatywna, ponieważ zależy od zbioru rzeczy, których jest elementem, a mianowicie zbioru wszystkich osób w Pokój. Jeśli chodzi o matematykę, przykładem impredykatywnej definicji jest najmniejsza liczba w zbiorze, która jest formalnie zdefiniowana jako: y = min ( X ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich elementów x z X , y jest mniejsze lub równe x , oraz Y jest X .

Burgess (2005) omawia prognozowanego i impredicative teorie w pewnej długości, w związku z Frege logiczne „S, Peano arytmetycznych , drugiego rzędu arytmetycznych i aksjomatycznej teorii .

Zobacz też

• Gödel, Escher, Bach
• Impredykatywny polimorfizm
• Logicyzm
• Paradoks Richarda

Uwagi

Bibliografia

• „Definicje predykatywne i impredykatywne” . Internetowa encyklopedia filozofii .
• Artykuł PlanetMath o predykatywizmie
• John Burgess , 2005. Naprawianie Frege . Princeton Univ. Naciśnij.
• Solomon Feferman , 2005, „ Predicativity ” w The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic . Oxford University Press: 590–624.
• Russell, B. (1907), „O niektórych trudnościach w teorii liczb nieskończonych i typów porządkowych” , Proc. Natl. London Math. Soc. , s2–4 (1): 29–53, doi : 10,1112 / plms / s2–4,1,29
• Stephen C. Kleene 1952 (wydanie z 1971 r.), Introduction to Metamathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN   0-7204-2103-9 . W szczególności por. jego §11 Paradoksy (s. 36–40) i §12 Pierwsze wnioski z paradoksów DEFINICJA IMPREDYKACYJNA (s. 42). Stwierdza, że ​​jego około 6 (słynnych) przykładów paradoksów (antynomii) jest przykładami impredykatywnej definicji, i mówi, że Poincaré (1905–6, 1908) i Russell (1906, 1910) "ogłosili przyczynę paradoksów do kłamstwa w tych impredykatywnych definicjach "(s. 42) jednak" fragmenty matematyki, które chcemy zachować, a zwłaszcza analiza, również zawierają nieredykatywne definicje ". (tamże). Weyl w swoim 1918 („Das Kontinuum”) usiłował wyprowadzić jak najwięcej analiz bez użycia impredykatywnych definicji, „ale nie twierdzenie, że arbitralny niepusty zbiór M liczb rzeczywistych posiadający górną granicę ma co najmniej górna granica (CF. także Weyl 1919) ”(s. 43).
• Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic , Dover Publications, Inc., NY, ISBN   0-486-24004-5 . Por. jego §40. Antynomie i teoria typów (s. 218 - gdzie demonstruje, jak tworzyć antynomie, w tym definicję samego siebie nieprzewidywalnego („Czy definicja„ nieprzewidywalnego ”jest niemożliwa?”). Twierdzi, że pokazuje metody eliminowania „paradoksów” składni "(" logiczne paradoksy ") - używając teorii typów - i" paradoksów semantyki "- używając metajęzyka (jego" teoria poziomów języka "). Sugestię tego pojęcia przypisuje Russella, a konkretniej Ramseya.
• Jean van Heijenoort 1967, trzecie wydanie 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN   0-674-32449-8 (pbk.)