Indeks odmienności - Index of dissimilarity

Indeks odmienności jest demograficzna miarą równości z których dwie grupy są rozmieszczone w poprzek składowych obszarach geograficznych, które składają się na większy obszar. Wynik indeksu można również interpretować jako odsetek jednej z dwóch grup uwzględnionych w obliczeniach, które musiałyby przenieść się do różnych obszarów geograficznych, aby uzyskać rozkład zgodny z rozkładem większego obszaru. Wskaźnik niepodobieństwa może być użyty jako miara segregacji .

Podstawowa formuła

Podstawowy wzór na wskaźnik odmienności to:

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lewo | {\ Frac {a_ {i}} {A}} - {\ Frac {b_ { ja}}{B}}\prawo|}$

gdzie (porównując na przykład populację czarno-białą):

a _i = populacja grupy A na i- ^tym obszarze, np. obwód spisowy

A = całkowita populacja w grupie A w dużej jednostce geograficznej, dla której obliczany jest wskaźnik niepodobieństwa.

b _i = populacja grupy B na i- ^tym obszarze

B = całkowita populacja w grupie B w dużej jednostce geograficznej, dla której obliczany jest wskaźnik niepodobieństwa.

Indeks niepodobieństwa ma zastosowanie do każdej zmiennej kategorycznej (demograficznej lub nie) i ze względu na swoje proste właściwości jest przydatny do wprowadzania danych do wielowymiarowych programów skalujących i grupujących. Jest szeroko stosowany w badaniu mobilności społecznej do porównywania rozkładów pochodzenia (lub przeznaczenia) kategorii zawodowych.

Perspektywa algebry liniowej

Formuła indeksu odmienności może być znacznie bardziej zwięzła i sensowna, rozważając ją z perspektywy algebry liniowej . Załóżmy, że badamy rozkład ludzi bogatych i biednych w mieście (np. Londyn ). Załóżmy, że nasze miasto zawiera bloki: ${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ {{\ tekst {blok 1}}, {\ tekst {blok 2}}, \ ldots, {\ tekst {blok N}} \}}$

Stwórzmy wektor, który pokazuje liczbę bogatych ludzi w każdym bloku naszego miasta: ${\displaystyle \mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = [r_ {1}, r_ {2}, \ cdots, r_ {N}]}$

Podobnie stwórzmy wektor, który pokazuje liczbę biednych ludzi w każdym bloku naszego miasta: ${\displaystyle \mathbf {p}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = [p_ {1}, p_ {2}, \ cdots, p_ {N}]}$

Teraz -norma wektora jest po prostu sumą (wielkości) każdego wpisu w tym wektorze. Oznacza to, że dla wektora mamy -normę: ${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = [v_ {1}, v_ {2}, \ cdots, v_ {N}]}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$

${\ Displaystyle | \ mathbf {v} | _ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} | v_ {i} |}$

Jeśli oznaczymy jako całkowitą liczbę bogatych ludzi w naszym mieście, to zwięzłym sposobem obliczenia byłoby użycie -normy: ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$

${\ Displaystyle R = | \ mathbf {R} | _ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} | r_ {i} |}$

Podobnie, jeśli oznaczymy jako całkowitą liczbę biednych ludzi w naszym mieście, to: ${\displaystyle P}$

${\ Displaystyle P = | \ mathbf {p} | _ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} | p_ {i} |}$

Kiedy podzielimy wektor przez jego normę, otrzymamy tak zwany wektor znormalizowany lub wektor jednostkowy : ${\displaystyle \mathbf {v}}$ ${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {v}}}}$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {v}}}={\frac {\mathbf {v}}}{|\mathbf {v} |_{1}}}}$

Znormalizujmy wektor bogaty i biedny : ${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {R} }} = {\ Frac {\ mathbf {R}} {| \ mathbf {R} |_ {1}}} = {\ Frac {\ mathbf {R}} {R}}}$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {p}}}={\frac {\mathbf {p}}{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p}} {P}}}$

W końcu wracamy do wzoru na Indeks odmienności ( ); jest po prostu równy połowie -normy różnicy między wektorami a : ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {p}}}}$

Przykład liczbowy

Rozważ miasto składające się z czterech bloków po 2 osoby. Jeden blok składa się z 2 bogatych ludzi. Jeden blok składa się z 2 biednych ludzi. Dwa bloki składają się z 1 osoby bogatej i 1 osoby biednej. Jaki jest wskaźnik odmienności dla tego miasta?

Nasze fikcyjne miasto ma 4 bloki: jeden blok zawierający 2 bogatych ludzi; inny zawierający 2 biednych ludzi; oraz dwa bloki zawierające 1 osobę bogatą i 1 osobę biedną.

Najpierw znajdźmy bogaty i ubogi wektor : ${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = [2,0,1,1]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = [0,2,1,1]}$

Następnie obliczmy całkowitą liczbę bogatych i biednych ludzi w naszym mieście:

${\ Displaystyle R = 2 + 0 + 1 + 1 = 4}$

${\ Displaystyle P = 0 + 2 + 1 + 1 = 4}$

Następnie znormalizujmy wektory bogate i biedne:

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}={\frac {\mathbf {r}}{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]= [0,5,0,0,25,0.25]}$

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {p}}}={\frac {\mathbf {p}}{p}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]= [0,0.5,0.25,0.25]}$

Teraz możemy obliczyć różnicę : ${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}-{\kapelusz {\mathbf {p}}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {r} }} - {\ kapelusz {\ mathbf {p}}} = [0,5,0,0,25,0,25] - [0,0,5,0,0,25,0,25] = [0,5, -0,5,0,0]}$

Na koniec znajdźmy indeks odmienności ( ): ${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} | {\ kapelusz {\ mathbf {r} }} - {\ kapelusz {\ mathbf {p}}} | _ {1} = {\ Frac {1 }{2}}(|0,5|+|-0,5|)=0,5}$

Równoważność formuł formula

Możemy udowodnić, że liniowy wzór algebraiczny na jest identyczny z podstawowym wzorem na . Zacznijmy od wzoru Linear Algebraic: ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} | {\ kapelusz {\ mathbf {r} }} - {\ kapelusz {\ mathbf {p} }} | _ {1}}$

Załóżmy zastąpić znormalizowane wektory oraz z: ${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} \ lewo | {\ Frac {\ mathbf {R}} {R}} - {\ Frac {\ mathbf {p}} {P}} \ po prawej | _{1}}$

Wreszcie z definicji normy - wiemy, że możemy ją zastąpić sumowaniem: ${\ Displaystyle L ^ {1}}$

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} | {\ Frac {R_ {i}} {R}} - {\ Frac {p_ {i} {P}}|}$

W ten sposób dowodzimy, że wzór algebry liniowej na wskaźnik niepodobieństwa jest równoważny z podstawowym wzorem na niego:

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1} {2}} | {\ kapelusz {\ mathbf {r} }} - {\ kapelusz {\ mathbf {p}}} | _ {1} = {\ Frac {1 }{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}$

Zero segregacji

Gdy wskaźnik odmienności wynosi zero, oznacza to, że badana przez nas społeczność ma zerową segregację. Na przykład, jeśli badamy segregację bogatych i biednych ludzi w mieście, to jeśli , oznacza to, że: ${\ Displaystyle D = 0}$

• W mieście nie ma bloków, które są „bogatymi blokami”, ani w mieście nie ma bloków, które są „biednymi blokami”
• W całym mieście występuje jednorodna dystrybucja ludzi bogatych i biednych

Jeśli ustawimy liniową formułę algebraiczną, otrzymamy warunek konieczny dla zerowej segregacji: ${\ Displaystyle D = 0}$

${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {r}} =\mathbf {\kapelusz {p}}}$

Załóżmy na przykład, że masz miasto z 2 blokami. Każdy blok ma 4 bogatych i 100 biednych ludzi:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = [4, 4]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = [100 100]}$

Wtedy całkowita liczba bogatych to , a całkowita liczba biednych to . A zatem: ${\ Displaystyle R = 4 + 4 = 8}$${\ Displaystyle P = 100 + 100 = 200}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {r}} = [4/8,4/8] = [0,5,0,5]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {p}} = [100/200 100/200] = [0,5, 0,5]}$

Bo w ten sposób to miasto ma zerową segregację. ${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {r}} =\mathbf {\kapelusz {p}}}$

Jako inny przykład załóżmy, że masz miasto z 3 blokami:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = [1,2,3]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = [100 200 300]}$

Wtedy w naszym mieście są bogaci i biedni. A zatem: ${\ Displaystyle R = 1 + 2 + 3 = 6}$${\ Displaystyle P = 100 + 200 + 300 = 600}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {r}} = [1/6, 2/6, 3/6]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {p}} = [100/600 200/600 300/600] = [1/6, 2/6, 3/6]}$

Znowu dlatego, że to miasto również ma zerową segregację. ${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {r}} =\mathbf {\kapelusz {p}}}$

Zobacz też

• Rozbieżność Kullbacka-Leiblera
• Wskaźnik izolacji
• samoodmienność

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html