Granica odwrotna - Inverse limit

W matematyce The granica odwrotna (zwany również rzutowa ograniczenie ) jest konstrukcja, która pozwala na „sklejania” kilku powiązanych przedmiotów , dokładny proces sklejania, określonego przez morfizmów między przedmiotami. Tak więc granice odwrotne można zdefiniować w dowolnej kategorii, chociaż ich istnienie zależy od kategorii, która jest rozważana. Stanowią szczególny przypadek pojęcia granicy w teorii kategorii.

Pracując w kategorii podwójnej , to znaczy odwracając strzałki, granica odwrotna staje się granicą bezpośrednią lub granicą iniektywną , a granica staje się współgranicą .

Formalna definicja

Obiekty algebraiczne

Zaczynamy od definicji systemu odwrotnego (lub systemu rzutowego) grup i homomorfizmów . Niech ( , ≤) będzie posetem skierowanym (nie wszyscy autorzy wymagają, abym był skierowany). Niech ( A _i ) _{i ∈ I} będzie rodziną grup i załóżmy, że mamy rodzinę homomorfizmów dla wszystkich (zwróć uwagę na kolejność) o następujących właściwościach: ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle f_ {ij}: A_ {j} \ do A_ {i}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$czy tożsamość jest na ,${\ Displaystyle A_ {i}}$
2. ${\ Displaystyle f_ {ik} = f_ {ij} \ circ f_ {jk} \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} \ quad ja \ równoważnik j \ równoważnik k.}$

Następnie para nazywana jest odwrotnym systemem grup i morfizmów nad , a morfizmy nazywane są morfizmami przejściowymi systemu. ${\ Displaystyle ((A_ {i}) _ {i \ w I} (f_ {ij}) _ {i \ równa j \ w I})}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle f_{ij}}$

Określamy ograniczenia odwrotnego układu odwrotnej jako określonej podgrupy w bezpośrednim produktem z „s ${\ Displaystyle ((A_ {i}) _ {i \ w I} (f_ {ij}) _ {i \ równa j \ w I})}$${\ Displaystyle A_ {i}}$

${\ Displaystyle A = \ varprojlim _ {i \ w I {A_ {i}} = \ lewo \ {\ lewo. {\ vec {a}} \ w \ prod _ {i \ w I} A_ {i} \;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ dla wszystkich }}i\leq j{\text{ w }}I\right\}.}$

Granica odwrotna jest wyposażona w naturalne rzuty π  \\  π _i : → , które wyznaczają i- tą składową iloczynu bezpośredniego dla każdego in . Granica odwrotna i projekcje naturalne spełniają uniwersalną własność opisaną w następnym rozdziale. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle I}$

Ta sama konstrukcja może być wykonana, jeśli 's są zbiorami , półgrupami, przestrzeniami topologicznymi, pierścieniami , modułami (nad ustalonym pierścieniem), algebrami (nad ustalonym pierścieniem) itp., a homomorfizmy są morfizmami w odpowiedniej kategorii . Odwrotna granica również będzie należeć do tej kategorii. ${\ Displaystyle A_ {i}}$

Ogólna definicja

Granica odwrotna może być zdefiniowana abstrakcyjnie w dowolnej kategorii za pomocą uniwersalnej własności . Niech będzie odwrotnym systemem obiektów i morfizmów w kategorii C (taka sama definicja jak powyżej). Ograniczenia odwrotnego tego systemu jest przedmiotem X w C razem z morfizmami gatunku _I : X → X _I (tzw rzuty ) spełniającego π _I = ∘ π _J wszystkim i ≤ j . Para ( X , π _i ) musi być uniwersalna w tym sensie, że dla każdej innej takiej pary ( Y , ψ _i ) istnieje unikalny morfizm u : Y → X taki , że diagram ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$${\displaystyle f_{ij}}$

dojeżdża dla wszystkich i ≤ j . Odwrotna granica jest często oznaczana

${\ Displaystyle X = \ varprojlim X_ {i}}$

przy zrozumieniu systemu odwrotnego . ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$

W niektórych kategoriach odwrotna granica niektórych systemów odwrotnych nie istnieje. Jeśli jednak tak jest, to jest unikalny w silnym sensie: przy danych dwóch odwrotnych granicach X i X' układu odwrotnego, istnieje unikalny izomorfizm X ′ → X komutujący z odwzorowaniami projekcji.

Systemy odwrotne i granice odwrotne w kategorii C dopuszczają alternatywny opis w kategoriach funktorów . Każdy częściowo uporządkowany zbiór I można uznać za małą kategorię, w której morfizmy składają się ze strzałek i → j wtedy i tylko wtedy, gdy i ≤ j . System odwrotny jest wtedy tylko funktorem kontrawariantnym I → C . Niech będzie kategorią tych funktorów (z przekształceniami naturalnymi jako morfizmami). Obiekt X z C można uznać za trywialny system odwrotny, w którym wszystkie obiekty są równe X i wszystkie strzałki są identycznością X . Definiuje to „trywialny funktor” od C do Granica bezpośrednia, jeśli istnieje, jest definiowana jako prawe sprzężenie tego trywialnego funktora. ${\ Displaystyle C ^ {I ^ {\ operatorname {op}}}}$${\ Displaystyle C ^ {I ^ {\ operatorname {op}}}.}$

Przykłady

• Pierścień p -adycznych liczb całkowitych jest odwrotną granicą pierścieni (patrz arytmetyka modularna ) ze zbiorem indeksów będącym liczbami naturalnymi w zwykłym porządku, a morfizmami jest "weź resztę". Oznacza to, że jeden uważa sekwencje liczb całkowitych takie, że każdy element sekwencji „projekty” w dół do poprzednich, a mianowicie, że gdy naturalna topologia na str -adic liczb jest jedna domniemanych tutaj, mianowicie topologia produktowa z zestawów cylindrowych jako zestawy otwarte.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\kropki)}$${\ Displaystyle n_ {i} \ równoważne n_ {j} {\ mbox {mod}} p ^ {i}}$${\displaystyle i<j.}$
• P elektromagnetyczny -adic jest granica odwrotna grup topologicznych ze zbiorem czym wskaźnik liczby naturalne ze zwykłymi kolejności i morfizmami jest „ma reszta”. Oznacza to, że rozważa się takie ciągi liczb rzeczywistych , że każdy element ciągu „rzutuje” na poprzednie, a mianowicie, że ilekroć${\ Displaystyle \ mathbb {R} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\kropki)}$${\ Displaystyle x_ {i} \ równoważne x_ {j} {\ mbox {mod}} p ^ {i}}$${\displaystyle i<j.}$
• Pierścień o posiadanie szeregu potęgowego na pierścienia przemiennego R mogą być traktowane jako odwrotność granicy pierścieni , indeksowanej liczb naturalnych, jak zazwyczaj uporządkowane, z morfizmów z aby dana przez naturalne projekcji.${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$${\ Displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n} R [t]}$${\ Displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n + j} R [t]}$${\ Displaystyle \ textstyle R [t] / t ^ {n} R [t]}$
• Grupy proskończone definiuje się jako odwrotne granice (dyskretnych) grup skończonych.
• Niech zbiór indeksów I układu odwrotnego ( X _i , ) ma największy element m . Wtedy naturalne odwzorowanie π _m : X → X _m jest izomorfizmem.${\displaystyle f_{ij}}$
• W kategorii zbiorów każdy system odwrotny ma granicę odwrotną, którą można zbudować w sposób elementarny jako podzbiór iloczynu zbiorów tworzących system odwrotny. Granica odwrotna dowolnego odwrotnego systemu niepustych zbiorów skończonych jest niepusta. Jest to uogólnienie lematu Kőniga w teorii grafów i może być udowodnione za pomocą twierdzenia Tychonoffa , traktując zbiory skończone jako zwarte przestrzenie dyskretne, a następnie stosując charakterystykę zwartości przecięcia skończonego .
• W kategorii przestrzeni topologicznych każdy system odwrotny ma granicę odwrotną. Jest on konstruowany przez umieszczenie początkowej topologii na podstawowej granicy odwrotnej teorii mnogości . Nazywa się to topologią graniczną .
  • Zbiór nieskończonych strun jest odwrotną granicą zbioru skończonych strun, a zatem jest wyposażony w topologię graniczną. Ponieważ oryginalne przestrzenie są dyskretne , przestrzeń graniczna jest całkowicie odłączona . Jest to jeden ze sposobów realizacji
  liczb p- adycznych i zbioru Cantora (jako ciągów nieskończonych).

Funktory pochodne granicy odwrotnej

Dla kategorii abelowej C odwrotny funktor graniczny

${\ Displaystyle \ varprojlim: C ^ {I} \ rightarrow C}$

jest dokładnie . Jeśli że zarządza się (nie tylko częściowo uporządkowane) i policzalny , a C jest kategoria Ab grup abelian warunek Mittag-Leffler jest warunkiem na przejściu morfizmami f _ij który zapewnia Dokładność . W szczególności Eilenberg skonstruował funktor ${\displaystyle \varprojlim}$

${\ Displaystyle \ varprojlim {} ^ {1}: \ nazwa operatora {Ab} ^ {I} \ rightarrow \ Operatorname {Ab}}$

(wym "lim jeden") w taki sposób, że jeżeli ( _I , K _-ij ), ( B _i , g _ij ) i ( C, _I , H _ij ) trzy układy odwrotnej grup abelian i

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow A_ {i} \ rightarrow B_ {i} \ rightarrow C_ {i} \ rightarrow 0}$

to krótka dokładna sekwencja systemów odwrotnych, to

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ varprojlim A_ {i} \ rightarrow \ varprojlim B_ {i} \ rightarrow \ varprojlim C_ {i} \ rightarrow \ varprojlim {} ^ {1} A_ {i}}$

jest dokładną sekwencją w Ab .

Stan Mittaga-Lefflera

Jeżeli zakresy morfizmów systemu odwrotnego grupa przemienna ( _I , f _ij ) są nieruchome , czyli dla każdego k istnieje j ≥ k takie, że dla wszystkich I ≥ j  : jedna mówi, że spełnia systemowe MITTAG - Stan Lefflera . ${\ Displaystyle f_ {kj} (A_ {j}) = f_ {ki} (A_ {i})}$

Nazwa „Mittag-Leffler” dla tego warunku została podana przez Bourbaki w rozdziale o strukturach jednorodnych dla podobnego wyniku o odwrotnych granicach pełnych przestrzeni jednorodnych Hausdorffa. Mittag-Leffler użył podobnego argumentu w dowodzie twierdzenia Mittaga-Lefflera .

Poniższe sytuacje są przykładami, w których spełniony jest warunek Mittaga-Lefflera:

• system, w którym morfizmami f _ij są suriekcją
• system skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych lub skończonych grup abelowych lub modułów o skończonej długości lub modułów artyńskich.

Przykład, w którym jest niezerowe uzyskuje się poprzez że aby być nieujemne liczby całkowite , pozwalając A _i = p ^ı Z , B _i = Z , a C _i = B _i / _I = Z / s ⁱ Z . Następnie ${\ Displaystyle \ varprojlim {} ^ {1}}$

${\ Displaystyle \ varprojlim {} ^ {1} A_ {i} = \ mathbf {Z} _ {p} / \ mathbf {Z}}$

gdzie Z _p oznacza p-adyczne liczby całkowite .

Dalsze wyniki

Bardziej ogólnie, jeśli C jest arbitralną kategorią abelową, która ma wystarczającą liczbę injektywów , to tak samo jest z C ^I , a zatem można zdefiniować prawostronne funktory odwrotnego funktora granicznego. N p prawy pochodzące funktor oznaczamy

${\ Displaystyle R ^ {n} \ varprojlim: C ^ {I} \ rightarrow C.}$

W przypadku, gdy C spełnia aksjomat Grothendiecka (AB4*) , Jan-Erik Roos uogólnił funktor lim ¹ na Ab ^I na szereg funktorów lim ^{n w} taki sposób, że

${\ Displaystyle \ varprojlim {} ^ {n} \ cong R ^ {n} \ varprojlim.}$

Sądzono przez prawie 40 lat, Roos okazały (w sur les foncteurs Dérivés de lim. Applications. ), Które lim ¹ _i = 0 ( A _ı , f _ij ) układ odwrotny z suriekcją morfizmów transformacji i że zestaw nieujemne liczby całkowite (takie systemy odwrotne są często nazywane „ sekwencjami Mittag-Leffler ”). Jednak w 2002 roku Amnon Neeman i Pierre Deligne skonstruowali przykład takiego systemu w kategorii spełniającej (AB4) (oprócz (AB4*)) z lim ¹ A _i ≠ 0. Roos od tego czasu pokazał (w „Funktory pochodne odwrotnych granic ponownie”), że jego wynik jest poprawny, jeśli C ma zbiór generatorów (oprócz spełniających (AB3) i (AB4*)).

Barry Mitchell wykazał (w "cohomological wymiaru kierowanego zestawu"), które w przypadku , że ma liczność (The d p nieskończonej Cardinal ), a następnie R ⁿ lim zero dla wszystkich n ≥ d + 2. Dotyczy to I -indexed wykresy w kategorii modułów R , gdzie R jest pierścieniem przemiennym; niekoniecznie jest to prawdą w dowolnej kategorii abelowej (patrz „Ponowne przeanalizowanie funktorów pochodnych odwrotnych granic” Roosa, aby zapoznać się z przykładami kategorii abelowych, w których lim ⁿ , na diagramach indeksowanych przez zbiór przeliczalny, jest niezerowe dla  n  > 1). ${\ Displaystyle \ aleph _ {d}}$

Pojęcia pokrewne i uogólnienia

Kategoryczny podwójny z limitem odwrotnego jest bezpośrednia granica (granica lub indukcyjne). Bardziej ogólne pojęcia to granice i współgranice teorii kategorii. Terminologia jest nieco myląca: granice odwrotne to klasa granic, podczas gdy granice bezpośrednie to klasa współlimitów.

Zobacz też

• Granica bezpośrednia lub indukcyjna

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), Ogólna topologia: rozdziały 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC  40551485
• Mac Lane, Saunders (wrzesień 1998), Categories for the Working Mathematician (wyd. 2), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Mitchell, Barry (1972), "Pierścienie z kilkoma obiektami", Postępy w matematyce , 8 : 1-161, doi : 10.1016/0001-8708(72)90002-3 , MR  0294454
• Neeman, Amnon (2002), „Kontrprzykład do 1961 „twierdzenia” w algebrze homologicznej (z dodatkiem Pierre Deligne)”, Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397-420, doi : 10.1007/s002220100197 , MR  1906154
• Roos, Jan-Erik (1961), „Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications”, CR Acad. Nauka. Paryż , 252 : 3702–3704, MR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006), "Pochodne funktory granic odwrotnych ponownie", J. London Math. Soc. , Seria 2, 73 (1): 65–83, doi : 10.1112/S0024610705022416 , MR  2197371
• Sekcja 3.5 Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Studia Cambridge z matematyki zaawansowanej. 38 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324 . OCLC  36131259 .