Odwrócone wahadło - Inverted pendulum

Wózek wyważający, prosty system robotyki około 1976 r. Wózek zawiera system serwo, który monitoruje kąt pręta i przesuwa wózek do przodu i do tyłu, aby utrzymać go w pozycji pionowej.

Odwrócone wahadło jest wahadło , które ma swój środek ciężkości powyżej jego obrotu punktu. Jest niestabilny i bez dodatkowej pomocy przewróci się. Można go stabilnie zawiesić w tej odwróconej pozycji za pomocą systemu sterowania do monitorowania kąta słupa i przesunięcia punktu obrotu w poziomie z powrotem pod środek ciężkości, gdy zaczyna się przewracać, utrzymując go w równowadze. Odwrócone wahadło jest klasycznym problemem w dynamice i teorii sterowania i jest używane jako punkt odniesienia do testowania strategii sterowania. Często jest realizowany z punktem obrotu zamontowanym na wózku, który może poruszać się poziomo pod kontrolą elektronicznego układu serwomechanizmu, jak pokazano na zdjęciu; nazywa się to wózkiem i aparatem tyczkowym. Większość zastosowań ogranicza wahadło do 1 stopnia swobody poprzez przymocowanie drążka do osi obrotu . Zważywszy, że normalne wahadło jest stabilne, gdy zwisa w dół, odwrócone wahadło jest z natury niestabilne i musi być aktywnie wyważone, aby pozostać w pozycji pionowej; można to zrobić albo przez przyłożenie momentu obrotowego w punkcie obrotu, przez przesunięcie punktu obrotu w poziomie w ramach układu sprzężenia zwrotnego , zmianę szybkości obrotu masy zamontowanej na wahadle na osi równoległej do osi obrotu, a tym samym generowanie moment obrotowy netto działający na wahadło lub przez oscylację punktu obrotu w pionie. Prostą demonstrację przesuwania punktu obrotu w systemie sprzężenia zwrotnego uzyskuje się poprzez wyważenie odwróconej miotły na końcu palca.

Drugim typem wahadła odwróconego jest przechyłomierz do wysokich konstrukcji, który składa się z drutu zakotwiczonego w dnie fundamentu i przymocowanego do pływaka w kałuży oleju na szczycie konstrukcji, który ma urządzenia do pomiaru ruchu neutralnego położenie pływaka z dala od jego pierwotnego położenia.

Przegląd

Wahadło z bobem wiszącym bezpośrednio pod przegubem wspornika znajduje się w stabilnym punkcie równowagi ; nie ma momentu obrotowego na wahadle, więc pozostanie ono w bezruchu, a jeśli zostanie przesunięte z tego położenia, wystąpi moment przywracający, który przywróci go do położenia równowagi. Wahadło z bobem w pozycji odwróconej, wsparte na sztywnym pręcie bezpośrednio nad przegubem, 180 ° od jego stabilnej pozycji równowagi, znajduje się w niestabilnym punkcie równowagi . W tym miejscu ponownie nie ma momentu obrotowego na wahadle, ale najmniejsze odchylenie od tego położenia spowoduje na wahadło moment grawitacyjny, który przyspieszy wahadło od równowagi i przewróci się.

Aby ustabilizować wahadło w tym odwróconym położeniu, można zastosować układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym , który monitoruje kąt wahadła i przesuwa położenie punktu obrotu na boki, gdy wahadło zaczyna się przewracać, aby utrzymać je w równowadze. Wahadło odwrócone jest klasycznym problemem w dynamice i teorii sterowania i jest szeroko stosowane jako wzorzec do testowania algorytmów sterowania ( regulatory PID , reprezentacja przestrzeni stanów , sieci neuronowe , sterowanie rozmyte , algorytmy genetyczne itp.). Odmiany tego problemu obejmują wiele połączeń, umożliwiających sterowanie ruchem wózka przy jednoczesnym utrzymywaniu wahadła i równoważenie układu wahadłowego wózka na huśtawce. Odwrócone wahadło jest związane z naprowadzaniem rakiety lub pocisku, gdzie środek ciężkości znajduje się za środkiem oporu, powodując niestabilność aerodynamiczną. Zrozumienie podobnego problemu może pokazać prosta robotyka w postaci balansującego wózka. Równoważenie odwróconej miotły na końcu palca to prosta demonstracja, a problem rozwiązują samobalansujące się transportery osobiste, takie jak Segway PT , samobalansujący się hoverboard i samobalansujący monocykl .

Innym sposobem ustabilizowania odwróconego wahadła, bez żadnego sprzężenia zwrotnego lub mechanizmu sterującego, jest gwałtowne oscylowanie osi w górę iw dół. Nazywa się to wahadłem Kapicy . Jeśli oscylacja jest dostatecznie silna (pod względem przyspieszenia i amplitudy), odwrócone wahadło może wyjść z perturbacji w uderzająco sprzeczny z intuicją sposób. Jeśli punkt sterujący porusza się w prostym ruchu harmonicznym, ruch wahadła jest opisany równaniem Mathieu .

Równania ruchu

Te równania ruchu odwróconych wahadeł są zależne od tego, co ograniczenia są wprowadzane na ruch wahadła. Odwrócone wahadła można tworzyć w różnych konfiguracjach, co skutkuje szeregiem równań ruchu opisujących zachowanie wahadła.

Stacjonarny punkt obrotu

W konfiguracji, w której punkt obrotu wahadła jest ustalony w przestrzeni, równanie ruchu jest podobne do równania dla wahadła nieodwróconego . Poniższe równanie ruchu zakłada brak tarcia lub inny opór ruchu, sztywny pręt bez masy i ograniczenie do ruchu dwuwymiarowego .

Gdzie jest kątowe przyspieszenie wahadła, to standardowa grawitacja na powierzchni Ziemi, to długość wahadła, to przemieszczenie kątowe mierzone od położenia równowagi.

Po dodaniu po obu stronach będzie miał ten sam znak, co termin przyspieszenia kątowego:

W ten sposób odwrócone wahadło będzie przyspieszać od pionowej niestabilnej równowagi w kierunku początkowo przesuniętym, a przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do długości. Wysokie wahadła opadają wolniej niż krótkie.

Wyprowadzenie na podstawie momentu obrotowego i bezwładności:

Schematyczny rysunek odwróconego wahadła na wózku. Wędka jest uważana za bezmasową. Masę wózka i masę punktową na końcu pręta oznaczono M i m. Wędka ma długość l.

Zakłada się, że wahadło składa się z masy punktowej , przymocowanej do końca bezmasowego sztywnego pręta o długości , przymocowanej do punktu obrotu na końcu przeciwległym do masy punktowej.

Moment obrotowy netto układu musi być równy momentowi bezwładności pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe:

Moment grawitacyjny zapewniający moment obrotowy netto:

Gdzie jest kąt mierzony od odwróconej pozycji równowagi.

Wynikowe równanie:

Moment bezwładności dla masy punktowej:

W przypadku odwróconego wahadła promień jest długość pręta .

Zastępowanie w

Masa i jest podzielona z każdej strony, w wyniku czego:

Odwrócone wahadło na wózku

Odwrócone wahadło na wózku składa się z masy znajdującej się na szczycie słupa o długości obrotowej na poruszającej się poziomo podstawie, jak pokazano na sąsiednim obrazku. Wózek jest ograniczony do ruchu liniowego i podlega siłom powodującym lub utrudniającym ruch.

Podstawy stabilizacji

Podstawy stabilizacji odwróconego wahadła można podsumować jakościowo w trzech krokach.

Prosty system sterowania stabilizacją używany na wózku z kieliszkiem do wina powyżej.

1. Jeśli kąt przechyłu jest w prawo, wózek musi przyspieszyć w prawo i odwrotnie.

2. Pozycja wózka względem środka toru jest stabilizowana przez nieznaczną modulację kąta zerowego (błąd kąta, który system sterowania próbuje zerować) przez położenie wózka, czyli kąt zerowy, gdzie jest mały. To sprawia, że ​​słupek chce się lekko pochylić w kierunku środka toru i ustabilizować w środku toru, gdzie kąt nachylenia jest dokładnie pionowy. Każde przesunięcie czujnika przechyłu lub nachylenia toru, które w przeciwnym razie spowodowałoby niestabilność, przekłada się na stabilne przesunięcie pozycji. Dodatkowe przesunięcie zapewnia kontrolę położenia.

3. Normalne wahadło podlegające ruchomemu punktowi obrotu, na przykład ładunkowi podnoszonemu przez dźwig, ma szczytową reakcję przy radianowej częstotliwości wahadła . Aby zapobiec niekontrolowanemu kołysaniu, widmo częstotliwości ruchu obrotowego powinno być w pobliżu tłumione . Odwrócone wahadło wymaga tego samego filtra tłumiącego, aby uzyskać stabilność.

Zwróć uwagę, że w konsekwencji strategii modulacji kąta zerowego sprzężenie zwrotne położenia jest dodatnie, to znaczy nagłe polecenie ruchu w prawo spowoduje początkowy ruch wózka w lewo, a następnie ruch w prawo w celu ponownego wyważenia wahadła. Interakcja niestabilności wahadła i niestabilności sprzężenia zwrotnego dodatniego położenia w celu stworzenia stabilnego układu jest cechą, która sprawia, że ​​analiza matematyczna jest interesującym i trudnym problemem.

Z równań Lagrange'a

Równania ruchu można wyprowadzić za pomocą równań Lagrange'a . Odsyłamy do rysunku po prawej stronie, gdzie jest kąt długości wahadła względem kierunku pionowego, a działającymi siłami są grawitacja i siła zewnętrzna F w kierunku x. Zdefiniuj jako pozycję wózka.

Kinetyka systemu to:

gdzie jest prędkością wózka i jest prędkością masy punktowej . i można ją wyrazić jako x i zapisując prędkość jako pierwszą pochodną pozycji;

Uproszczenie wyrażenia na prowadzi do:

Energia kinetyczna jest teraz określona przez:

Uogólnione współrzędne systemu to i każda z nich ma uogólnioną siłę. Na osi uogólnioną siłę można obliczyć poprzez jej wirtualną pracę

na osi uogólnioną siłę można również obliczyć poprzez jej wirtualną pracę

Zgodnie z równaniami Lagrange'a równania ruchu to:

podstawienie w tych równaniach i uproszczenie prowadzi do równań opisujących ruch odwróconego wahadła:

Te równania są nieliniowe, ale ponieważ celem systemu sterowania byłoby utrzymanie wahadła w pozycji pionowej, równania można zlinearyzować wokół .

Z równań Eulera-Lagrange'a

Uogólniona siły mogą być zarówno w formie pisemnej jak energia potencjalna i ,

Siły uogólnione Energia potencjalna

Zgodnie z zasadą D'Alemberta uogólnione siły i energia potencjalna są połączone:

Jednak w pewnych okolicznościach energia potencjalna nie jest dostępna, dostępne są tylko uogólnione siły.

Po uzyskaniu Lagrangianu możemy również użyć równania Eulera – Lagrange'a do rozwiązania równań ruchu:

,
.

Jedyną różnicą jest to, czy włączyć uogólnione siły do ​​energii potencjalnej, czy zapisać je wyraźnie, ponieważ po prawej stronie wszystkie prowadzą do tych samych równań w finale.

Z drugiego prawa Newtona

Często korzystne jest użycie drugiego prawa Newtona zamiast równań Lagrange'a, ponieważ równania Newtona określają siły reakcji na połączeniu wahadła i wózka. Z równań tych wynikają dwa równania dla każdego ciała; jeden w kierunku x, a drugi w kierunku y. Równania ruchu wózka pokazane są poniżej, gdzie LHS to suma sił działających na ciało, a RHS to przyspieszenie.

W powyższych równaniach i są siły reakcji w połączeniu. to normalna siła działająca na wózek. To drugie równanie zależy tylko od pionowej siły reakcji, dlatego można je wykorzystać do obliczenia siły normalnej. Pierwsze równanie można wykorzystać do obliczenia poziomej siły reakcji. Aby uzupełnić równania ruchu, należy obliczyć przyspieszenie masy punktowej przymocowanej do wahadła. Położenie masy punktowej można podać we współrzędnych bezwładnościowych jako

Biorąc dwie pochodne, otrzymujemy wektor przyspieszenia w inercjalnym układzie odniesienia.

Następnie, korzystając z drugiego prawa Newtona, można zapisać dwa równania w kierunku x i w kierunku y. Należy zwrócić uwagę, że siły reakcji są dodatnie, gdy działają na wahadło, i ujemne, gdy działają na wózek. Wynika to z trzeciej zasady Newtona.

Pierwsze równanie pozwala na jeszcze inny sposób obliczenia poziomej siły reakcji w przypadku, gdy przyłożona siła nie jest znana. Drugie równanie można wykorzystać do obliczenia pionowej siły reakcji. Pierwsze równanie ruchu wyprowadza się przez podstawienie, do którego ustąpi

Po sprawdzeniu to równanie jest identyczne z wynikiem uzyskanym w metodzie Lagrange'a. Aby otrzymać drugie równanie, równanie ruchu wahadła musi być kropkowane wektorem jednostkowym, który przez cały czas przebiega prostopadle do wahadła i jest zwykle zapisywany jako współrzędna x ramy ciała. We współrzędnych bezwładnościowych wektor ten można zapisać za pomocą prostej dwuwymiarowej transformacji współrzędnych

Równanie ruchu wahadła zapisane w postaci wektorowej to . Rozsypanie z obu stron daje następujące wyniki na LHS (zauważ, że transpozycja jest tym samym, co iloczyn skalarny )

W powyższym równaniu wykorzystano zależność między składowymi ramy nadwozia siłami reakcji a składowymi bezwładności ramy sił reakcji. Założenie, że pręt łączący masę punktową z wózkiem jest bezmasowy, oznacza, że ​​pręt ten nie może przenosić żadnego obciążenia prostopadłego do pręta. Zatem bezwładnościowe składowe ramy sił reakcji można zapisać po prostu jako, co oznacza, że ​​pręt może przenosić obciążenia tylko wzdłuż osi samego pręta. Daje to początek innym równaniu, którego można użyć do obliczenia naprężenia samego pręta

RHS równania oblicza się w podobny sposób poprzez kropkowanie z przyspieszeniem wahadła. Wynik (po pewnym uproszczeniu) pokazano poniżej.

Połączenie LHS z RHS i podzielenie przez m plonów

co znowu jest identyczne z wynikiem metody Lagrange'a. Zaletą stosowania metody Newtona jest ujawnienie wszystkich sił reakcji, aby zapewnić, że nic nie zostanie uszkodzone.

Warianty

Osiągnięcie stabilności odwróconego wahadła stało się powszechnym wyzwaniem inżynieryjnym dla naukowców. Istnieją różne odmiany odwróconego wahadła na wózku, od pręta na wózku do wieloczęściowego odwróconego wahadła na wózku. Inna odmiana umieszcza pręt odwróconego wahadła lub segmentowy pręt na końcu zespołu obrotowego. W obu (wózku i systemie obrotowym) odwrócone wahadło może spaść tylko w płaszczyźnie. Odwrócone wahadła w tych projektach mogą być wymagane do utrzymania równowagi dopiero po osiągnięciu pozycji równowagi lub do samodzielnego osiągnięcia równowagi. Kolejną platformą jest dwukołowe odwrócone wahadło równoważące. Platforma dwukołowa ma możliwość obracania się w miejscu, co zapewnia dużą manewrowość. Jeszcze inna wariacja salda w jednym punkcie. Bączek , A monocyklu , albo odwrócone wahadło na szczycie kuli sferycznej wszystko bilansu na jednym punkcie.

Rysunek pokazujący, jak można zbudować wahadło Kapitza: silnik obraca korbą z dużą prędkością, korba wibruje ramieniem dźwigni w górę iw dół, do którego wahadło jest przymocowane przegubem.

Wahadło Kapitzy

Odwrócone wahadło, w którym sworzeń waha się szybko w górę iw dół, może być stabilne w pozycji odwróconej. Nazywa się to wahadłem Kapicy od nazwiska rosyjskiego fizyka Piotra Kapitzy, który jako pierwszy je przeanalizował. Równanie ruchu wahadła połączonego z bezmasową, oscylującą podstawą wyprowadza się w taki sam sposób, jak dla wahadła na wózku. Położenie masy punktowej jest teraz określone przez:

a prędkość znajdujemy, biorąc pierwszą pochodną położenia:

Działki dla odwróconego wahadła na podstawie oscylacyjnej. Pierwszy wykres przedstawia odpowiedź wahadła na powolnej oscylacji, drugi odpowiedź na szybkiej oscylacji

Lagrange'a dla tego systemu można zapisać jako:

a równanie ruchu wynika z:

w wyniku:

Jeżeli Y oznacza prosty ruchu harmonicznego , następujące równania różniczkowego jest:

To równanie nie ma elementarnych rozwiązań w postaci zamkniętej, ale można je badać na wiele sposobów. Jest ona ściśle przybliżona przez równanie Mathieu , na przykład, gdy amplituda oscylacji jest niewielka. Analizy pokazują, że wahadło pozostaje wyprostowane dla szybkich oscylacji. Pierwszy wykres pokazuje, że przy powolnych oscylacjach wahadło szybko się przewraca, gdy jest poruszane z pozycji pionowej. Po krótkim czasie kąt przekracza 90 °, co oznacza, że ​​wahadło spadło na ziemię. Jeśli oscylacja jest szybka, wahadło może być stabilne wokół pozycji pionowej. Drugi wykres pokazuje, że wahadło, poruszone z pozycji pionowej, zaczyna oscylować wokół pozycji pionowej ( ). Odchylenie od pozycji pionowej pozostaje niewielkie, a wahadło się nie przewraca.

Przykłady

Prawdopodobnie najbardziej rozpowszechnionym przykładem stabilnego odwróconego wahadła jest człowiek . Osoba stojąca w pozycji wyprostowanej działa jak odwrócone wahadło, a jej stopy są obrotem i bez ciągłych niewielkich regulacji mięśni przewróci się. Ludzki układ nerwowy zawiera nieświadomy system kontroli sprzężenia zwrotnego , zmysł równowagi lub odruch prostowania , który wykorzystuje proprioceptywne sygnały z oczu, mięśni i stawów oraz dane orientacyjne z układu przedsionkowego składającego się z trzech półkolistych kanałów w uchu wewnętrznym oraz dwa narządy otolitowe , aby nieustannie dokonywać niewielkich korekt mięśni szkieletowych, abyśmy mogli stać prosto. Chodzenie, bieganie lub balansowanie na jednej nodze stawia dodatkowe wymagania temu systemowi. Niektóre choroby i zatrucie alkoholem lub narkotykami mogą zakłócać ten odruch, powodując zawroty głowy i nierównowagę , niezdolność do wyprostowania się. Test trzeźwości field używane przez policję do kierowców testowych dla wpływem alkoholu lub narkotyków, testuje ten odruch pod kątem utraty wartości.

Niektóre proste przykłady obejmują ręczne wyważanie mioteł lub drążków miernika.

Odwrócone wahadło zostało zastosowane w różnych urządzeniach, a próba wyważenia odwróconego wahadła stanowi dla naukowców wyjątkowy problem inżynieryjny. Odwrócone wahadło było centralnym elementem konstrukcji kilku wczesnych sejsmometrów ze względu na jego nieodłączną niestabilność, która skutkowała mierzalną odpowiedzią na wszelkie zakłócenia.

Odwrócony model wahadła był używany w niektórych ostatnich transporterach osobistych , takich jak dwukołowe samobalansujące skutery i jednokołowe elektryczne monocykle . Urządzenia te są niestabilne kinematycznie i używają elektronicznego układu serwo sprzężenia zwrotnego , aby utrzymać je w pozycji pionowej.

Wychylanie wahadła na wózku do jego odwróconego stanu wahadła jest uważane za tradycyjny problem / punkt odniesienia dla optymalnej zabawki sterującej.

Trajektoria ruchu obrotowego wózka w ustalonym czasie, która minimalizuje kwadrat siły

Zobacz też

Bibliografia

  • D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer), s. 89 i nast

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne