Zestaw Julii - Julia set

Zestaw Julii
Trójwymiarowe przekroje przez (czterowymiarowy) zbiór Julii funkcji na kwaternionach

W kontekście dynamiki złożonej , temat matematyki , zbiór Julii i zbiór Fatou są dwoma komplementarnymi zbiorami ( „sznurowadła Julii” i „pyły”) Fatou zdefiniowane z funkcji . Nieformalnie zbiór Fatou funkcji składa się z wartości posiadających właściwość, że wszystkie pobliskie wartości zachowują się podobnie przy powtarzanej iteracji funkcji, a zbiór Julii składa się z wartości takich, że dowolnie małe zakłócenie może spowodować drastyczne zmiany w sekwencji iterowanej funkcji wartości. Zatem zachowanie funkcji w zestawie Fatou jest „regularne”, podczas gdy w zestawie Julia jej zachowanie jest „ chaotyczne ”.

Zbiór Julii funkcji f jest powszechnie oznaczany, a zbiór Fatou jest oznaczany. Zbiory te zostały nazwane na cześć francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou, których prace rozpoczęły badania nad dynamiką zespoloną na początku XX wieku.

Formalna definicja

Niech będzie niestałą funkcją holomorficzną ze sfery Riemanna na nią samą. Takie funkcje są dokładnie niestałymi złożonymi funkcjami wymiernymi , to znaczy gdzie i są złożonymi wielomianami . Załóżmy, że p i q nie mają wspólnych pierwiastków, a przynajmniej jeden ma stopień większy niż 1. Wtedy istnieje skończona liczba zbiorów otwartych , które pozostają niezmienne przez i są takie, że:

  1. Połączenie zbiorów jest gęste w płaszczyźnie i
  2. zachowuje się w sposób regularny i jednakowy na każdym z zestawów .

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że ​​końce ciągów iteracji generowanych przez punkty są albo dokładnie tym samym zbiorem, który jest wówczas cyklem skończonym, albo są to skończone cykle zbiorów o kształcie kołowym lub pierścieniowym, które leżą koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl się przyciąga , w drugim jest neutralny .

Te zestawy są domeny z Fatou , a ich związek jest zbiór Fatou z . Każda z domen Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny z , to jest (Finite) Temperatura z spełniających lub jeżeli stopień licznika jest co najmniej większy niż stopień mianownika , lub jakiegoś C i A funkcja wymierna spełniająca ten warunek.

Dopełnieniem jest zbiorem Julia z . Jeśli wszystkie punkty krytyczne są przedokresowe, to znaczy nie są okresowe, ale ostatecznie lądują w cyklu okresowym, wtedy cała sfera. W przeciwnym razie jest to zbiór nigdzie gęsty (bez punktów wewnętrznych) i zbiór niepoliczalny (o tej samej kardynalności co liczby rzeczywiste). Podobnie jak , pozostaje niezmienne przez , a na tym zbiorze iteracja jest odpychająca, co oznacza, że dla wszystkich w w sąsiedztwie z (w obrębie ). Oznacza to, że zachowuje się chaotycznie na zestawie Julii. Chociaż w zbiorze Julii są punkty, których ciąg iteracji jest skończony, to jest ich tylko policzalna liczba (a stanowią one nieskończenie małą część zbioru Julii). Sekwencje generowane przez punkty poza tym zbiorem zachowują się chaotycznie, zjawisko zwane chaosem deterministycznym .

Przeprowadzono obszerne badania nad zbiorem Fatou i zbiorem Julii iterowanych funkcji wymiernych , znanych jako mapy wymierne. Na przykład wiadomo, że zbiór Fatou mapy wymiernej ma albo 0, 1, 2, albo nieskończenie wiele składowych . Każdy składnik zbioru Fatou mapy wymiernej można zaklasyfikować do jednej z czterech różnych klas .

Równoważne opisy zbioru Julia

  • jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym co najmniej trzy punkty, który jest całkowicie niezmienny pod f .
  • jest zamknięciem zbioru punktów okresowych odpychania .
  • Dla wszystkich punktów, z wyjątkiem co najwyżej dwóch, zbiór Julii jest zbiorem punktów granicznych pełnej orbity wstecznej (sugeruje to prosty algorytm wykreślania zbiorów Julii, patrz poniżej).
  • Jeśli f jest całą funkcją , to jest granicą zbioru punktów, które zbiegają się w nieskończoność podczas iteracji.
  • Jeśli f jest wielomianem, to jest brzegiem wypełnionego zbioru Julii ; to znaczy te punkty, których orbity pod iteracjami f pozostają ograniczone.

Właściwości zbioru Julia i zbioru Fatou

Zbiór Julii i zbiór Fatou z fcałkowicie niezmiennicze w iteracjach funkcji holomorficznej f :

Przykłady

Dla zbioru Julii jest jednostkowe koło i na tym iteracja jest podwojona przez podwojenie kątów (operacja chaotyczna na punktach, których argumentem nie jest ułamek wymierny ). Istnieją dwie domeny Fatou: wewnętrzna i zewnętrzna część koła, z iteracją odpowiednio w kierunku 0 i ∞.

Dla zbioru Julia jest odcinek pomiędzy -2 a 2. Istnieje jedna domena Fatou : punkty nie na odcinku linii iterują w kierunku ∞. (Oprócz przesunięcia i skalowania dziedziny, ta iteracja jest równoważna z interwałem jednostkowym, który jest powszechnie używany jako przykład systemu chaotycznego.)

Funkcje f i g mają postać , gdzie c jest liczbą zespoloną. Dla takiej iteracji zbiór Julii nie jest na ogół prostą krzywą, lecz fraktalem i dla niektórych wartości c może przybierać zaskakujące kształty. Zobacz zdjęcia poniżej.

Zestaw Julii (na biało) dla funkcji wymiernej związanej z metodą Newtona dla f  : zz 3 -1. Zabarwienie Fatou w odcieniach czerwieni, zieleni i błękitu według trzech atraktorów (trzech pierwiastków f ).

Dla niektórych funkcji f ( z ) możemy z góry powiedzieć, że zbiór Julii jest fraktalem, a nie prostą krzywą. Wynika to z następującego wyniku na iteracjach funkcji wymiernej:

Twierdzenie. Każda z domen Fatou ma tę samą granicę, która w konsekwencji jest zbiorem Julii.

Oznacza to, że każdy punkt zbioru Julia jest punktem akumulacji dla każdej z domen Fatou. Dlatego, jeśli istnieje więcej niż dwie domeny Fatou, każdy punkt zbioru Julii musi mieć punkty więcej niż dwóch różnych zbiorów otwartych nieskończenie blisko siebie, a to oznacza, że ​​zbiór Julii nie może być prostą krzywą. Zjawisko to ma miejsce, na przykład, gdy f ( z ) jest iteracją Newtona do rozwiązania równania :

Obraz po prawej pokazuje przypadek n = 3.

Wielomiany kwadratowe

Bardzo popularnym złożonym układem dynamicznym jest rodzina złożonych wielomianów kwadratowych , szczególny przypadek odwzorowań wymiernych . Takie wielomiany kwadratowe można wyrazić jako

gdzie c jest parametrem złożonym. Napraw trochę na tyle duże, że (Na przykład, jeśli c jest w zbiorze Mandelbrota , to możemy po prostu pozwolić ) Wtedy wypełniony zbiór Julii dla tego systemu jest podzbiorem płaszczyzny zespolonej danej przez

gdzie jest n p iteracyjne z Julia zestaw tej funkcji jest granica .

Płaszczyzna parametrów wielomianów kwadratowych – czyli płaszczyzna możliwych wartości c – daje początek słynnemu zbiorowi Mandelbrota . Rzeczywiście, zbiór Mandelbrota jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich c takich, które są połączone . W przypadku parametrów spoza zbioru Mandelbrota zbiór Julii jest przestrzenią Cantora : w tym przypadku jest czasami określany jako pył Fatou .

W wielu przypadkach zbiór c Julii wygląda jak zbiór Mandelbrota w wystarczająco małych sąsiedztwach c . Dotyczy to w szczególności tzw. parametrów Misiurewicza , czyli parametrów c, dla których punkt krytyczny jest przedokresowy. Na przykład:

  • W punkcie c = i , krótszym, przednim palcu przodostopia, zestaw Julii wygląda jak rozgałęziona błyskawica.
  • Przy c = -2, czubku długiego kolczastego ogona, zbiór Julii jest odcinkiem linii prostej.

Innymi słowy, zbiory Julii są lokalnie podobne wokół punktów Misiurewicza .

Uogólnienia

Definicja zbiorów Julia i Fatou łatwo przenosi się na przypadek pewnych map, których obraz zawiera ich domenę; przede wszystkim transcendentalne funkcje meromorficzne i mapy typu skończonego Adama Epsteina .

Zbiory Julii są również powszechnie definiowane w badaniach dynamiki kilku zmiennych złożonych.

Pseudo kod

Poniższe implementacje pseudokodu na stałe kodują funkcje dla każdego fraktala. Rozważ zaimplementowanie złożonych operacji na liczbach, aby umożliwić bardziej dynamiczny i wielokrotnego użytku kod.

Pseudokod dla normalnych zbiorów Julii

R = escape radius  # choose R > 0 such that R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)

for each pixel (x, y) on the screen, do:   
{
    zx = scaled x coordinate of pixel # (scale to be between -R and R)
       # zx represents the real part of z.
    zy = scaled y coordinate of pixel # (scale to be between -R and R)
       # zy represents the imaginary part of z.

    iteration = 0
    max_iteration = 1000
  
    while (zx * zx + zy * zy < R**2  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtemp = zx * zx - zy * zy
        zy = 2 * zx * zy  + cy 
        zx = xtemp + cx
    
        iteration = iteration + 1 
    }
  
    if (iteration == max_iteration)
        return black;
    else
        return iteration;
}

Pseudokod dla zestawów multi-Julia

R = escape radius #  choose R > 0 such that R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)

for each pixel (x, y) on the screen, do:
{
    zx = scaled x coordinate of pixel # (scale to be between -R and R)
    zy = scaled y coordinate of pixel # (scale to be between -R and R)
  
    iteration = 0
    max_iteration = 1000
  
    while (zx * zx + zy * zy < R**2  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtmp = (zx * zx + zy * zy) ^ (n / 2) * cos(n * atan2(zy, zx)) + cx;
	    zy = (zx * zx + zy * zy) ^ (n / 2) * sin(n * atan2(zy, zx)) + cy;
	    zx = xtmp;
    
        iteration = iteration + 1
    } 
    if (iteration == max_iteration)
        return black;
    else
        return iteration;
}

Potencjalna funkcja i rzeczywista liczba iteracji

Zbiór Julii to koło jednostkowe, a na zewnętrznej domenie Fatou funkcja potencjału φ ( z ) jest zdefiniowana przez φ ( z ) = log| z |. Linie ekwipotencjalne dla tej funkcji są koncentrycznymi okręgami. Jak mamy

gdzie jest sekwencją iteracji wygenerowaną przez z . Dla bardziej ogólnej iteracji , udowodniono, że jeśli zbiór Julii jest spójny (to znaczy, jeżeli c należy do (zwykłego) zbioru Mandelbrota), to istnieje biholomorficzne odwzorowanie ψ pomiędzy zewnętrzną domeną Fatou a zewnętrzną domeną koło jednostkowe takie, że . Oznacza to, że potencjalna funkcja na zewnętrznej domenie Fatou określona przez tę korespondencję jest dana wzorem:

Wzór ten ma znaczenie również wtedy, gdy zbiór Julii nie jest połączony, tak że dla wszystkich c możemy zdefiniować potencjalną funkcję na domenie Fatou zawierającej ∞ tym wzorem. Dla ogólnej funkcji wymiernej f ( z ) takiej, że ∞ jest punktem krytycznym i punktem stałym, to znaczy, że stopień m licznika jest co najmniej dwa razy większy niż stopień n mianownika, definiujemy funkcję potencjalną w domenie Fatou zawierającej ∞ przez:

gdzie d = mn jest stopniem funkcji wymiernej.

Jeśli N jest bardzo dużą liczbą (np. 10 100 ), a k jest pierwszą liczbą iteracji taką, że , mamy to

dla pewnej liczby rzeczywistej , którą należy traktować jako rzeczywistą liczbę iteracji , i mamy, że:

gdzie ostatnia liczba należy do przedziału [0, 1).

Dla iteracji w kierunku skończonego cyklu przyciągania rzędu r , mamy, że jeśli jest punktem cyklu, to ( złożenie r- krotne), a liczba

jest atrakcją cyklu. Jeśli w jest punktem bardzo bliskim i w ′ jest w iterowane r razy, to mamy to

Dlatego liczba jest prawie niezależna od k . Definiujemy potencjalną funkcję w domenie Fatou poprzez:

Jeśli ε jest bardzo małą liczbą, a k jest pierwszą liczbą iteracji taką, że , to mamy to

dla pewnej liczby rzeczywistej , którą należy traktować jako rzeczywistą liczbę iteracji, i mamy to:

Jeśli przyciąganiem jest ∞, co oznacza, że ​​cykl jest superprzyciągany , co oznacza ponownie, że jeden z punktów cyklu jest punktem krytycznym, musimy zastąpić α przez

gdzie w ′ jest w iterowane r razy, a wzór na φ ( z ) jest następujący:

A teraz rzeczywistą liczbę iteracji podaje wzór:

Do kolorowania musimy mieć cykliczną skalę kolorów (na przykład skonstruowaną matematycznie) i zawierającą H kolory ponumerowane od 0 do H- 1 (np. H = 500). Liczbę rzeczywistą mnożymy przez ustaloną liczbę rzeczywistą określającą gęstość kolorów na obrazku i bierzemy integralną część tej liczby modulo H .

Definicja funkcji potencjalnej i nasz sposób kolorowania zakładają, że cykl przyciąga, czyli nie jest neutralny. Jeśli cykl jest neutralny, nie możemy w naturalny sposób pokolorować domeny Fatou. Ponieważ koniec iteracji jest ruchem obrotowym, możemy na przykład pokolorować minimalną odległość od cyklu pozostawioną przez iterację.

Linie pola

Linie ekwipotencjalne dla iteracji w kierunku nieskończoności
Linie pól dla iteracji formularza

W każdej dziedzinie Fatou (czyli nie obojętnej) istnieją dwa układy linii prostopadłych do siebie: linie ekwipotencjalne (dla funkcji potencjału lub rzeczywistej liczby iteracji) oraz linie pola .

Jeśli pokolorujemy domenę Fatou zgodnie z numerem iteracji (a nie rzeczywistym numerem iteracji , jak zdefiniowano w poprzedniej sekcji), pasma iteracji pokazują przebieg linii ekwipotencjalnych. Jeśli iteracja jest w kierunku ∞ (jak ma to miejsce w przypadku zewnętrznej domeny Fatou dla zwykłej iteracji ), możemy łatwo pokazać przebieg linii pola, mianowicie zmieniając kolor zgodnie z ostatnim punktem sekwencji iteracji powyżej lub poniżej osi x (pierwszy obrazek), ale w tym przypadku (dokładniej: gdy domena Fatou jest superatrakcyjna) nie możemy spójnie narysować linii pola - przynajmniej nie tą metodą, którą tutaj opisujemy. W tym przypadku linia pola nazywana jest również promieniem zewnętrznym .

Niech z będzie punktem w przyciągającej domenie Fatou. Jeśli iterujemy z dużą liczbę razy, końcem ciągu iteracji jest skończony cykl C , a domeną Fatou jest (z definicji) zbiór punktów, których ciąg iteracji jest zbieżny w kierunku C . Linie pola wychodzą z punktów C iz (nieskończonej liczby) punktów, które iterują do punktu C . I kończą się na zbiorze Julii w punktach, które nie są chaotyczne (czyli generują skończony cykl). Niech r będzie porządkiem cyklu C (jego liczba punktów) i niech będzie punktem w C . Mamy (złożenie r-krotne) i definiujemy liczbę zespoloną α by

Jeśli punkty C są , α jest iloczynem liczb r . Liczba rzeczywista 1/|α| jest przyciąganiem cyklu, a nasze założenie, że cykl nie jest ani neutralny, ani super przyciągający, oznacza, że 1 < 1/| α |< . Punkt jest punktem stałym dla , aw pobliżu tego punktu mapa ma (w połączeniu z liniami pola) charakter obrotu o argumencie β z α (czyli ).

Aby pokolorować domenę Fatou, wybraliśmy małą liczbę ε i ustawiliśmy sekwencje iteracji na zatrzymanie kiedy , a punkt z kolorujemy zgodnie z liczbą k (lub rzeczywistą liczbą iteracji, jeśli wolimy płynne kolorowanie) . Jeżeli wybierzemy kierunek z podanego przez kąt θ , linia pola wychodząca z tego kierunku składa się z punktów z takich, że argument ψ liczby spełnia warunek, że

Jeśli bowiem przejedziemy pasmo iteracji w kierunku linii pola (a poza cyklem), to liczba iteracji k jest zwiększana o 1, a liczba ψ jest zwiększana o β, zatem liczba ta jest stała wzdłuż linii pola.

Zdjęcia w liniach pola dla iteracji formularza

Kolorowanie linii pola domeny Fatou oznacza, że ​​kolorujemy odstępy między parami linii pola: wybieramy kilka regularnie położonych kierunków wychodzących z , i w każdym z tych kierunków wybieramy dwa kierunki wokół tego kierunku. Ponieważ może się zdarzyć, że dwie linie pola pary nie kończą się w tym samym punkcie zbioru Julii, nasze kolorowe linie pola mogą rozgałęziać się (bez końca) w kierunku zbioru Julii. Możemy pokolorować na podstawie odległości od osi linii pola i możemy tę kolorystykę mieszać ze zwykłą kolorystyką. Takie zdjęcia mogą być bardzo dekoracyjne (drugie zdjęcie).

Kolorowa linia pola (domena pomiędzy dwoma liniami pola) jest podzielona przez pasma iteracji, a taką część można umieścić w korespondencji jeden do jednego z kwadratem jednostkowym: jedna współrzędna jest (obliczona z) odległości z jednej z ograniczających linii pola, druga jest (obliczona z) odległością od wewnętrznej strony ograniczających pasm iteracji (liczba ta jest niecałkowitą częścią rzeczywistego numeru iteracji). Dlatego możemy wstawić obrazki w linie pola (trzeci obrazek).

Wykreślanie zestawu Julii

Rozkład binarny wnętrza w przypadku kąta wewnętrznego 0

Metody:

  • Metoda szacowania odległości dla zbioru Julii (DEM/J)
  • Metoda iteracji odwrotnej (IIM)

Korzystanie z iteracji wstecznej (odwrotnej) (IIM)

Wykres zestawu Julii, wygenerowany przy użyciu losowego IIM
Fabuła Julii, wygenerowana za pomocą MIIM

Jak wspomniano powyżej, zbiór Julii można znaleźć jako zbiór punktów granicznych zbioru wstępnych obrazów (zasadniczo) dowolnego danego punktu. Możemy więc spróbować wykreślić zbiór Julii danej funkcji w następujący sposób. Start z dowolnego punktu Z znamy się w zbiorze Julii, taki jak odpychającego punktu okresowych i obliczyć wszystkich wstępnie obrazy Z pod jakimś wysokim iteracyjne z f .

Niestety, ponieważ liczba iterowanych obrazów wstępnych rośnie wykładniczo, nie jest to wykonalne obliczeniowo. Możemy jednak dostosować tę metodę, podobnie jak metodę „gry losowej” dla iterowanych systemów funkcyjnych . Oznacza to, że w każdym kroku wybieramy losowo jeden z odwróconych obrazów f .

Na przykład dla wielomianu kwadratowego f c iteracja wsteczna jest opisana przez

Na każdym kroku losowo wybierany jest jeden z dwóch pierwiastków kwadratowych.

Zauważ, że niektóre części zbioru Julii są dość trudno dostępne za pomocą odwróconego algorytmu Julii. Z tego powodu należy zmodyfikować IIM/J (nazywa się MIIM/J) lub użyć innych metod, aby uzyskać lepsze obrazy.

Korzystanie z DEM/J

Ponieważ zbiór Julii jest nieskończenie cienki, nie możemy go skutecznie narysować poprzez iterację wsteczną z pikseli. Będzie wyglądał na fragmentaryczny z powodu niepraktyczności badania nieskończenie wielu punktów startowych. Ponieważ liczba iteracji zmienia się gwałtownie w pobliżu zbioru Julii, częściowym rozwiązaniem jest sugerowanie zarysu zbioru z najbliższych konturów kolorów, ale zbiór będzie wyglądał na zamulony.

Lepszym sposobem na narysowanie zbioru Julii w czerni i bieli jest oszacowanie odległości pikseli (DEM) od zbioru i pokolorowanie każdego piksela, którego środek znajduje się blisko zbioru. Wzór na estymację odległości wyprowadza się ze wzoru na funkcję potencjału φ ( z ). Gdy linie ekwipotencjalne dla φ ( z ) leżą blisko, liczba jest duża i odwrotnie, dlatego linie ekwipotencjalne dla funkcji powinny leżeć mniej więcej regularnie. Udowodniono, że wartość znaleziona przez ten wzór (do współczynnika stałego) zbiega się w kierunku rzeczywistej odległości dla zbieżności z w kierunku zbioru Julii.

Zakładamy, że f ( z ) jest wymierne, to znaczy, gdzie p ( z ) i q ( z ) są złożonymi wielomianami stopni m i n , i musimy znaleźć pochodną powyższych wyrażeń dla φ ( z ) . A jak to jest tylko który zmienia, musimy obliczyć pochodną od względem Z . Ale as ( k- krotna kompozycja) jest iloczynem liczb , a ciąg ten można obliczyć rekurencyjnie przez , zaczynając od ( przed obliczeniem następnej iteracji ).

Dla iteracji w kierunku ∞ (dokładniej, gdy mn + 2 , więc ∞ jest superprzyciągającym punktem stałym), mamy

( d = mn ) i w konsekwencji:

Dla iteracji w kierunku skończonego cyklu przyciągania (czyli nie superprzyciągania) zawierającego punkt i posiadającego porządek r , mamy

i konsekwentnie:

W przypadku cyklu super-atrakcyjnego wzór jest następujący:

Obliczamy tę liczbę, gdy iteracja się kończy. Zauważ, że oszacowanie odległości jest niezależne od atrakcyjności cyklu. Oznacza to, że ma to znaczenie dla funkcji transcendentalnych „stopnia nieskończoności” (np. sin( z ) i tan( z )).

Oprócz rysowania granic, funkcję odległości można wprowadzić jako trzeci wymiar, aby stworzyć solidny fraktalny krajobraz.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki