Prawa Lanchestera - Lanchester's laws

Prawa Lanchestera to matematyczne wzory do obliczania względnej siły sił zbrojnych . Równania Lanchestera są równaniami różniczkowymi opisującymi zależność czasową sił dwóch armii A i B w funkcji czasu, przy czym funkcja zależy tylko od A i B.

W latach 1915 i 1916, podczas I wojny światowej , M. Osipov i Frederick Lanchester niezależnie opracowali szereg równań różniczkowych, aby zademonstrować relacje mocy między przeciwstawnymi siłami. Wśród nich jest to, co jest znane jako prawo liniowe Lanchestera (dla starożytnej walki ) i prawo kwadratowe Lanchestera (dla współczesnej walki z bronią dalekiego zasięgu, taką jak broń palna).

Zoolodzy odkryli, że szympansy intuicyjnie przestrzegają prawa Lanchestera, zanim zaatakują kolejny oddział szympansów. Grupa szympansów nie zaatakuje innej grupy, chyba że przewaga liczebna wynosi co najmniej współczynnik 1,5.

Prawo liniowe Lanchestera

W starożytnej walce, między falangami żołnierzy z włóczniami , powiedzmy, jeden żołnierz mógł walczyć tylko z dokładnie jednym żołnierzem na raz. Jeśli każdy żołnierz zabije i zostanie zabity przez dokładnie jednego drugiego, to liczba żołnierzy pozostających na koniec bitwy jest po prostu różnicą między większą armią a mniejszą, zakładając identyczną broń.

Prawo liniowe odnosi się również do ostrzału bez celu na obszar zajęty przez wroga. Szybkość ścierania zależy od gęstości dostępnych celów w obszarze docelowym oraz liczby strzelanych broni. Jeśli dwa oddziały, zajmujące ten sam obszar lądowy i używające tej samej broni, strzelają losowo w ten sam obszar docelowy, oboje poniosą tę samą liczbę ofiar, aż do ostatecznego wyeliminowania mniejszej siły: większe prawdopodobieństwo jednego strzału uderzenie z większą siłą jest równoważone większą liczbą strzałów skierowanych w mniejszą siłę.

Prawo kwadratowe Lanchestera

Prawo kwadratowe Lanchestera jest również znane jako prawo N-kwadratowe .

Opis

Wyidealizowana symulacja dwóch sił niszczących się nawzajem z pominięciem wszystkich innych okoliczności niż 1) Wielkość armii 2) Współczynnik niszczenia. Rysunek ilustruje zasadę kwadratury Lanchestera.

Z bronią palną atakującą się bezpośrednio z celowanym strzelaniem z dystansu, mogą atakować wiele celów i mogą otrzymać ogień z wielu kierunków. Tempo zużycia zależy teraz tylko od liczby strzelanych broni. Lanchester ustalił, że siła takiej siły jest proporcjonalna nie do liczby jej jednostek , ale do kwadratu liczby jednostek. Jest to znane jako prawo kwadratowe Lanchestera.

Dokładniej, prawo określa straty, jakie siła strzelania zada przez pewien czas, w stosunku do strat zadanych przez siły przeciwne. W swojej podstawowej formie prawo jest przydatne tylko do przewidywania wyników i ofiar na podstawie ścierania. Nie dotyczy to całych armii, gdzie taktyczne rozmieszczenie oznacza, że ​​nie wszystkie oddziały będą zaangażowane przez cały czas. Działa tylko wtedy, gdy każda jednostka (żołnierz, statek itp.) może zabić tylko jedną równoważną jednostkę na raz. Z tego powodu prawo nie dotyczy karabinów maszynowych, artylerii ani broni jądrowej. Prawo wymaga założenia, że ​​ofiary kumulują się w czasie: nie działa w sytuacjach, w których przeciwne oddziały zabijają się nawzajem natychmiast, albo strzelając jednocześnie, albo oddając pierwszy strzał jednej ze stron i zadając wiele ofiar.

Zauważ, że kwadratowe prawo Lanchestera nie dotyczy siły technologicznej, tylko siły liczbowej; więc wymaga N-kwadratowego wzrostu jakości, aby skompensować N-krotny spadek ilości.

Przykładowe równania

Załóżmy, że dwie armie, Czerwona i Niebieska, walczą ze sobą w walce. Czerwony strzela ciągłym strumieniem pocisków w Niebieskiego. Tymczasem Blue strzela nieprzerwanym strumieniem pocisków w Red.

Niech symbol A oznacza liczbę żołnierzy w oddziałach Czerwonych. Każdy z nich ma ofensywną siłę ognia α , czyli liczbę wrogich żołnierzy, których może obezwładnić (np. zabić lub zranić) na jednostkę czasu. Podobnie niebieski ma B żołnierzy, każdy z ofensywną siłą ognia β .

Kwadratowe prawo Lanchestera oblicza liczbę żołnierzy straconych po każdej stronie przy użyciu następującej pary równań. Tutaj dA/dt reprezentuje tempo, w jakim liczba czerwonych żołnierzy zmienia się w danym momencie. Wartość ujemna oznacza utratę żołnierzy. Podobnie dB/dt reprezentuje tempo zmian liczby żołnierzy Niebieskich.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} A}{\ operatorname {d} t}} = - \ beta B}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} B}{\ operatorname {d} t}} = - \ alfa A}$

Rozwiązanie tych równań pokazuje, że:

• Jeśli α = β , tzn. obie strony mają jednakową siłę ognia, wygra strona z większą liczbą żołnierzy na początku bitwy;
• Jeżeli A = B , czyli obie strony mają równą liczbę żołnierzy, wygra strona o większej sile ognia;
• Jeśli A > B i α > β , wygra Czerwony, natomiast jeśli A < B i α < β , wygra Niebieski;
• Jeśli A > B ale α < β lub A < B ale α > β , wygrana strona będzie zależeć od tego , czy stosunek β / α jest większy czy mniejszy od kwadratu stosunku A / B . Tak więc, jeśli liczby i siła ognia nie są równe w przeciwnych kierunkach, do zwycięstwa wymagana jest przewaga siły ognia równa kwadratowi niższości liczby; lub, ujmując to inaczej, skuteczność armii rośnie do kwadratu liczby jej członków, ale tylko liniowo wraz z ich zdolnościami bojowymi.

Pierwsze trzy z tych wniosków są oczywiste. Ostatnim z nich jest pochodzenie nazwy „prawo kwadratu”.

Związek z modelem walki salwą

Równania Lanchestera są powiązane z nowszymi równaniami modelu walki salwą , z dwiema głównymi różnicami.

Po pierwsze, oryginalne równania Lanchestera tworzą model czasu ciągłego, podczas gdy podstawowe równania salwy tworzą model czasu dyskretnego. Podczas strzelaniny pociski lub pociski są zwykle wystrzeliwane w dużych ilościach. Każda runda ma stosunkowo niską szansę trafienia w cel i zadaje stosunkowo niewielkie obrażenia. Dlatego równania Lanchestera modelują ostrzał jako strumień siły ognia, który z czasem stale osłabia siły wroga.

Dla porównania, pociski manewrujące są zazwyczaj wystrzeliwane w stosunkowo niewielkich ilościach. Każdy z nich ma duże prawdopodobieństwo trafienia w cel i nosi stosunkowo potężną głowicę. Dlatego bardziej sensowne jest modelowanie ich jako dyskretnego impulsu (lub salwy) siły ognia w dyskretnym modelu czasu.

Po drugie, równania Lanchestera obejmują tylko ofensywną siłę ognia, podczas gdy równania salwy obejmują także defensywną siłę ognia. Biorąc pod uwagę ich mały rozmiar i dużą liczbę, przechwytywanie pocisków i pocisków w walce z bronią jest niepraktyczne. Dla porównania, pociski manewrujące mogą zostać przechwycone (zestrzelone) przez pociski ziemia-powietrze i działa przeciwlotnicze. Dlatego ważne jest, aby włączyć taką aktywną obronę do modelu walki rakietowej.

Prawo Lanchestera w użyciu

Prawa Lanchestera zostały wykorzystane do modelowania historycznych bitew do celów badawczych. Przykłady obejmują szarżę piechoty konfederackiej Picketta przeciwko piechocie Unii podczas bitwy pod Gettysburgiem w 1863 r. oraz bitwę o Anglię w 1940 r. pomiędzy brytyjskimi i niemieckimi siłami powietrznymi.

We współczesnej wojnie, aby wziąć pod uwagę, że do pewnego stopnia często stosuje się zarówno liniowe, jak i kwadratowe, stosuje się wykładnik 1,5.

Próbowano zastosować prawa Lanchestera do konfliktów między grupami zwierząt. Przykłady obejmują testy z szympansami i mrówkami ognistymi . Aplikacja szympansa była stosunkowo udana; zgłoszenie mrówek przeciwpożarowych nie potwierdziło, że prawo kwadratowe miało zastosowanie.

Zobacz też

• Wojna na wyczerpanie
• Wojna manewrowa
• Lewis Fry Richardson
• Model walki salwą
• Równania Lotki-Volterry podobny model matematyczny dynamiki drapieżnik-ofiara
• Petrie mnożnik podobny model matematyczny dla seksizmu

Źródła

• Dupuy, pułkownik TN (1979). Liczby, przepowiednie i wojna . MacDonald i Jane.
• Lanchester, Fryderyk W. (1916). Samoloty w wojnie .

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• [1] , tłumaczenie oryginalnej pracy Osipova opublikowanej przez Departament Obrony Stanów Zjednoczonych .
• „Kicking Butt By the Numbers: Lanchester's Laws” , felieton w Notatniku projektanta autorstwa Ernesta Adamsa w webzinie Gamasutra
• Lanchester Equations and Scoring Systems , dodatek do „Aggregation, Disaggregation, and the 3:1 Rule in Ground Combat” Paula K. Davisa, publikacja Rand Corporation MR-638-AF/A/OSD
• Modele bojowe Lanchester , „Mathematics Today”, 2006, t. 42/5, s. 170–173.
• Prawo N-kwadrat: badanie jednej z teorii matematycznych stojących za pancernikiem Dreadnought autorstwa Josepha Czarneckiego w Naval Weapons of the World