Integracja Lebesgue – Stieltjes - Lebesgue–Stieltjes integration

W analizie teorii miar i powiązanych gałęziach matematyki , integracja Lebesgue'a-Stieltjesa uogólnia całkowanie Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a , zachowując wiele zalet tego pierwszego w bardziej ogólnym ujęciu teorii miary. Całka Lebesgue'a – Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue'a w odniesieniu do miary znanej jako miara Lebesgue'a – Stieltjesa, która może być związana z dowolną funkcją wariacji ograniczonej na prostej rzeczywistej. Miara Lebesgue'a – Stieltjesa jest zwykłą miarą borela i odwrotnie, każda zwykła miara borela na linii rzeczywistej jest tego rodzaju.

Całki Lebesgue'a-Stieltjesa , nazwane od Henri Leona Lebesgue'a i Thomasa Joannesa Stieltjesa , są również znane jako całki Lebesgue'a-Radona lub po prostu całki Radona , od Johanna Radona , któremu wiele z teorii należy się. Znajdują powszechne zastosowanie w prawdopodobieństwie i procesach stochastycznych , a także w niektórych gałęziach analizy, w tym w teorii potencjału .

Definicja

Całka Lebesgue'a – Stieltjesa

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

jest zdefiniowany, gdy jest borelem - mierzalny i ograniczony i ma ograniczoną zmienność w $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ i prawostronny, lub gdy $f$ jest nieujemne, a $g$ jest monotoniczne i prawostronne . Na początek załóżmy, że $f$ jest nieujemne, a $g$ jest monotoniczne, nie malejące i ciągłe w prawo. Zdefiniuj $w$ $(($ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ i $w$ $({$ $a$ $}) = 0$ (Alternatywnie, konstrukcja działa dla $g$ left-continuous, $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ i $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ ). ${\ Displaystyle f: \ lewo [a, b \ w prawo] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle g: \ lewo [a, b \ w prawo] \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Przez przedłużenie twierdzenia Carathéodory jest , tam jest wyjątkowym środkiem Borel $μ g$ na $[a, b]$ , który zgadza się z $wag$ w każdym przedziale $I$ . Miarą $μ g$ wynika z zewnętrznego środka (w rzeczywistości metryczne zewnętrzna ) podaje

{\ Displaystyle \ mu _ {g} (E) = \ inf \ lewo \ {\ suma _ {i} \ mu _ {g} (ja_ {i}) \: \ E \ podzbiór \ bigcup _ {i} ja_ {i} \ right \}}

infimum przejęła wszystkie okrywy $E$ przez przeliczalnie wielu semiopen odstępach czasu. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue'a-Stieltjesa związaną z $g$ .

Całka Lebesgue'a – Stieltjesa

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

określa się jako całkę Lebesgue'a z $F$ w stosunku do tego środka $jj,$ $g$ w zwykły sposób. Jeśli $g$ nie rośnie, zdefiniuj

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x): = - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, d (-g) (x) ,}

ta ostatnia całka jest zdefiniowana przez poprzednią konstrukcję.

Jeśli $g$ ma zmienność ograniczoną, a $f$ jest ograniczone, to można pisać

{\ Displaystyle dg (x) = dg_ {1} (x) -dg_ {2} (x)}

gdzie $g 1 (x) = V x a g$ jest całkowita zmiana z $g$ w przedziale $[ , x]$ i $g 2 (x) = g 1 (x) - g (x)$ . Zarówno $g 1, jak$ i $g 2$ są monotoniczne i nie maleją. Teraz całka Lebesgue'a-Stieltjesa względem $g$ jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg_ {1} (x) - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg_ {2} (x),}

gdzie dwie ostatnie całki są dobrze określone przez poprzednią konstrukcję.

Całka Daniell

Alternatywne podejście ( Hewitt i Stromberg 1965 ) polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue'a – Stieltjesa jako całki Daniella, która rozszerza zwykłą całkę Riemanna – Stieltjesa. Niech $g$ będzie nie malejącą prawostronną funkcją na $[a, b]$ i zdefiniuj $I (f)$ jako całkę Riemanna-Stieltjesa

{\ Displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

dla wszystkich funkcji ciągłych $f$ . Funkcjonalny $mi$ określa środek Radona na $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Funkcję tę można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych przez ustawienie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ overline {I}} (h) & = \ sup \ lewo \ {ja (f) \: \ f \ w C [a, b], 0 \ równoważnik f \ równoważnik h \ right \} \\ {\ overline {\ overline {I}}} (h) & = \ inf \ left \ {I (f) \: \ f \ in C [a, b], h \ leq f \ right \}. \ end {aligned}}}

W przypadku mierzalnych funkcji Borela mamy

{\ Displaystyle {\ overline {I}} (h) = {\ overline {\ overline {I}}} (h),}

a każda strona tożsamości definiuje następnie całkę Lebesgue'a-Stieltjesa z $h$ . Zewnętrzna ŚRODEK $jj, g$ jest zdefiniowana przez

{\ displaystyle \ mu _ {g} (A) = {\ overline {\ overline {I}}} (\ chi _ {A})}

gdzie $χ$ jest funkcją wskaźnik od $A$ .

Integratory zmienności ograniczonej są obsługiwane jak powyżej, rozkładając je na zmiany dodatnie i ujemne.

Przykład

Załóżmy, że $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ jest prostowalną krzywą w płaszczyźnie, a $ρ$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty)$ jest mierzalna metodą Borela. Następnie możemy zdefiniować długość $γ$ w odniesieniu do metryki euklidesowej ważonej przez ρ

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ rho (\ gamma (t)) \, d \ ell (t),}

gdzie jest długością ograniczenia $γ$ do $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ . Nazywa się to czasami $ρ-$ długością $γ$ . Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach: na przykład w błotnistym terenie prędkość, z jaką osoba może się poruszać, może zależeć od głębokości błota. Jeśli $ρ$ $($ $z$ $)$ oznacza odwrotność prędkości chodzenia przy z lub w pobliżu $z$ , wówczas długość $ρ$ $γ$ jest czasem potrzebnym do przejścia $γ$ . Pojęcie długości ekstremalnej wykorzystuje to pojęcie długości krzywych $ρ$ i jest przydatne w badaniu odwzorowań konformalnych . ${\ Displaystyle \ ell (t)}$

Integracja przez części

Funkcja $F$ mówi się, że „normalne” w punkcie $A$ , jeśli nie ogranicza prawa i lewa $f$ $($ $a$ $+)$ i $f$ $($ $a$ $-)$ istnieją, a także funkcji zajmuje co $do$ wartości średniej

{\ displaystyle f (a) = {\ frac {f (a -) + f (a +)} {2}}.}

Biorąc pod uwagę dwie funkcje $U$ i $V$ skończonej zmienności, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z $U$ lub $V$ jest ciągła lub $U$ i $V$ są regularne, to wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue'a-Stieltjesa zachodzi:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} U \, dV + \ int _ {a} ^ {b} V \, dU = U (b +) V (b +) - U (a-) V (a- ), \ qquad - \ infty <a <b <\ infty.}

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue'a – Stieltjesa są powiązane z prawostronnymi wersjami funkcji $U$ i $V$ ; to znaczy do i podobnie Ograniczony przedział $($ $a$ $,$ $b$ $)$ można zastąpić przedziałem nieograniczonym $(-\infty,$ $b$ $)$ , $($ $a$ $, \infty)$ lub $(-\infty, \infty)$ pod warunkiem, że $U$ i $V$ mają skończoną zmienność ten nieograniczony przedział. Można również używać funkcji o wartościach zespolonych. ${\ Displaystyle {\ tilde {U}} (x) = \ lim _ {t \ do x +} U (t)}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {V}} (x).}$

Alternatywny wynik, mający istotne znaczenie w teorii rachunku stochastycznego, jest następujący. Biorąc pod uwagę dwie funkcje $U$ i $V$ skończonej zmienności, które są prawostronne i mają lewe granice (są to funkcje càdlàg ), a następnie

{\ Displaystyle U (t) V (t) = U (0) V (0) + \ int _ {(0, t]} U (s -) \, dV (s) + \ int _ {(0, t]} V (s -) \, dU (s) + \ sum _ {u \ in (0, t]} \ Delta U_ {u} \ Delta V_ {u},}

gdzie $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Wynik ten może być postrzegany jako prekursor lematu Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii integracji stochastycznej. Ostateczny termin jest $Δ U (t) Δ V (t) = d [U, V],$ który powstaje kwadratowa kowariancja z $U$ i $V$ . (Wcześniejszy wynik można wtedy postrzegać jako wynik odnoszący się do całki Stratonowicza ).

Pojęcia pokrewne

Integracja Lebesgue'a

Gdy $g (x) = x$ dla wszystkich rzeczywistych $x$ , to $μ g$ jest miarą Lebesgue'a , a całka Lebesgue'a-Stieltjesa z $f$ względem $g$ jest równoważna całce Lebesgue'a z $f$ .

Całkowanie Riemanna-Stieltjesa i teoria prawdopodobieństwa

Gdzie $f$ jest ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a $v$ jest nie malejącą funkcją rzeczywistą, całka Lebesgue'a-Stieltjesa jest równoważna całce Riemanna-Stieltjesa , w którym to przypadku często piszemy

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dv (x)}

dla całki Lebesgue'a-Stieltjesa, pozwalając, aby miara $μ v$ pozostała domniemana. Jest to szczególnie powszechne w teorii prawdopodobieństwa, gdy $v$ jest skumulowaną funkcją dystrybucji zmiennej losowej o wartości rzeczywistej $X$ , w którym to przypadku

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dv (x) = \ mathrm {E} [f (X)].}

(Zobacz artykuł na temat integracji Riemanna-Stieltjesa, aby uzyskać więcej informacji na temat postępowania w takich przypadkach).

Uwagi

Bibliografia

Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt Edwin; Stromberg, Karl (1965), Analiza rzeczywista i abstrakcyjna , Springer-Verlag .
Saks, Stanislaw (1937) Teoria całki.
Shilov, GE i Gurevich, BL, 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, tłum. Publikacje Dover. ISBN 0-486-63519-8 .

Languages

In other projects