Odcinek - Line segment

Geometryczna definicja zamkniętego odcinka linii: przecięcie wszystkich punktów na lub na prawo od A ze wszystkimi punktami na lub na lewo od B
obraz historyczny – utwórz odcinek (1699)

W geometrii , A odcinek jest częścią linii , która jest ograniczona przez dwa odrębne końcowych punktów , i zawiera w każdym punkcie na linii, która jest między jego końcowymi. Odcinek zamknięty obejmuje oba punkty końcowe, podczas gdy otwartego odcinka linii wyklucza oba punkty końcowe; odcinek półotwarty zawiera dokładnie jeden z punktów końcowych. W geometrii segment linii jest często oznaczany linią nad symbolami dwóch punktów końcowych (takich jak ).

Przykładami odcinków linii są boki trójkąta lub kwadratu. Mówiąc ogólniej, gdy oba punkty końcowe segmentu są wierzchołkami wielokąta lub wielościanu , segment linii jest albo krawędzią (tego wielokąta lub wielościanu), jeśli są sąsiadującymi wierzchołkami, albo przekątną . Gdy oba punkty końcowe leżą na krzywej (takiej jak okrąg ), odcinek linii nazywany jest cięciwą (tej krzywej).

W rzeczywistych lub złożonych przestrzeniach wektorowych

Jeżeli V jest przestrzeń wektor na lub i L jest podgrupa o V , a L jest odcinek jeśli L mogą być programowane w

dla niektórych wektorów . W takim przypadku wektory u i u + v nazywane są punktami końcowymi L .

Czasami trzeba rozróżnić „otwarte” i „zamknięte” odcinki linii. W takim przypadku zdefiniowano by zamknięty segment liniowy jak powyżej, a otwarty segment liniowy jako podzbiór L, który można sparametryzować jako

dla niektórych wektorów .

Odcinek linii jest równoważnie wypukłym kadłubem dwóch punktów. Odcinek linii można zatem wyrazić jako wypukłą kombinację dwóch punktów końcowych odcinka.

W geometrii można zdefiniować punkt B tak, aby znajdował się pomiędzy dwoma innymi punktami A i C , jeśli odległość AB dodana do odległości BC jest równa odległości AC . Tak więc, w segment linii z punktami końcowymi = ( a x , Y ) i C = ( C x , C Y ) jest następujący zbiór punktów:

Nieruchomości

W dowodach

W aksjomatycznym ujęciu geometrii zakłada się, że pojęcie wzajemności albo spełnia pewną liczbę aksjomatów, albo jest zdefiniowane w kategoriach izometrii prostej (używanej jako układ współrzędnych).

Segmenty odgrywają ważną rolę w innych teoriach. Na przykład zbiór jest wypukły, jeśli segment, który łączy dowolne dwa punkty zbioru, jest zawarty w zbiorze. Jest to ważne, ponieważ przekształca niektóre analizy zbiorów wypukłych na analizę odcinka. Dodanie segmentu postulat może być używany do dodawania przystający segment lub segmenty o równych długościach, a tym samym zastąpić inne segmenty do innego rachunku, aby segmenty przystające.

Jak zdegenerowana elipsa

Segment linia może być postrzegana jako zdegenerowanego przypadku wystąpienia elipsy , w którym oś semiminor wychodzi na zero, ognisk Przejdź do punktów końcowych, a mimośród idzie do jednego. Standardową definicją elipsy jest zbiór punktów, dla których suma odległości punktu do dwóch ognisk jest stała; jeśli ta stała jest równa odległości między ogniskami, wynikiem jest odcinek linii. Pełna orbita tej elipsy przecina odcinek linii dwukrotnie. Jako zdegenerowana orbita jest to promieniowa trajektoria eliptyczna .

W innych kształtach geometrycznych

Oprócz wyświetlania, jak krawędzie i przekątne z wielokątów i wielościanów , odcinki znajdują się również w wielu innych miejscach, w porównaniu do innych kształtów geometrycznych .

Trójkąty

Niektóre bardzo często uważane za segmenty w trójkącie obejmuje trzy wysokościach (każda prostopadle podłączenia stronę lub jej przedłużenie do przeciwległego wierzchołka ), trzy środkowe (każde podłączenie bocznej za środkowy do przeciwległego wierzchołka), gdy prostopadłe rzeczownik z boków ( prostopadłe łączące punkt środkowy boku z jednym z pozostałych boków) oraz wewnętrzne dwusieczne kąta (każda łącząca wierzchołek z przeciwną stroną). W każdym przypadku istnieją różne równości odnoszące się do długości tych segmentów z innymi (omówione w artykułach dotyczących różnych typów segmentów), a także różne nierówności .

Pozostałe segmenty to w trójkącie obejmują te łączące różne centra trójkąt siebie, przede incenter , w circumcenter , w środku dziewięciu punktów , z ciężkości i orthocenter .

Czworoboki

Ponadto na boki i przekątne czworoboku , pewne ważne segmenty są dwa bimedians (łącząca punkty środkowe obu stronach) oraz cztery maltitudes (każdy prostopadle łączenie jednej strony w punkcie środkowym boku przeciwnym).

Okręgi i elipsy

Każdy odcinek linii prostej łączący dwa punkty na okręgu lub elipsie nazywany jest cięciwą . Dowolny akord w kręgu, który nie ma już akord nazywa się średnicy , a każdy odcinek łączący okręgu w centrum (punkt środkowy o średnicy) do punktu na okręgu nazywa się promień .

W elipsie najdłuższy cięciw, który jest jednocześnie najdłuższą średnicą , nazywa się główną osią , a odcinek od środka osi głównej (środka elipsy) do dowolnego punktu końcowego osi głównej nazywa się półosią wielką . Podobnie najkrótsza średnica elipsy nazywana jest osią mniejszą , a odcinek od jej punktu środkowego (środka elipsy) do jednego z jej punktów końcowych jest nazywany osią małą . Cięciwy elipsy, które są prostopadłe do głównej osi i przechodzą przez jedno z jej ognisk, nazywane są latera recta elipsy. Segment interfocal łączy dwa ogniska.

Skierowany segment linii

Kiedy segment linii otrzymuje orientację (kierunek), nazywany jest skierowanym segmentem linii . Sugeruje translację lub przemieszczenie (być może spowodowane siłą ). Wielkość i kierunek wskazują na potencjalną zmianę. Wydłużenie skierowanego odcinka linii w pół nieskończoność daje promień i nieskończenie w obu kierunkach tworzy skierowaną linię . Ta sugestia została wchłonięta do fizyki matematycznej dzięki koncepcji wektora euklidesowego . Zbiór wszystkich skierowanych odcinków linii jest zwykle redukowany przez uczynienie „równoważnym” dowolnej parze o tej samej długości i orientacji. To zastosowanie relacji równoważności pochodzi z wprowadzenia przez Giusto Bellavitisa koncepcji równoważności skierowanych odcinków linii w 1835 roku.

Uogólnienia

Analogicznie do odcinków linii prostych powyżej, można również zdefiniować łuki jako odcinki krzywej .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • David Hilbert Podstawy geometrii . Wydawnictwo Sądu Otwartego 1950, s. 4

Zewnętrzne linki

Ten artykuł zawiera materiał z segmentu Line na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .