Linearyzacja - Linearization
W matematyce , linearyzacja jest znalezienie liniowe przybliżenie do funkcji w danym punkcie. Liniowe przybliżenie funkcji jest rozwinięciem Taylora pierwszego rzędu wokół punktu zainteresowania. W badaniu systemach dynamicznych , linearyzacji jest sposób oceny lokalnej stabilności danego punktu równowagi z układu z nieliniowych równań różniczkowych lub dyskretnych układów dynamicznych . Metoda ta jest stosowana w takich dziedzinach jak inżynieria , fizyka , ekonomia i ekologia .
Linearyzacja funkcji
Linearyzacja funkcji to linie — zwykle linie, które można wykorzystać do obliczeń. Linearyzacja jest skuteczną metodą przybliżania danych wyjściowych funkcji w dowolnym na podstawie wartości i nachylenia funkcji w , biorąc pod uwagę, że jest ona różniczkowalna na (lub ) i jest bliska . W skrócie, linearyzacja aproksymuje wyjście funkcji w pobliżu .
Na przykład . Jakie byłoby jednak dobre przybliżenie ?
Dla dowolnej danej funkcji , może być aproksymowana, jeśli znajduje się w pobliżu znanego punktu różniczkowalnego. Najbardziej podstawowym wymaganiem jest to , gdzie jest linearyzacja at . Tworzą punkt pochyłości równania stanowi równanie linii, biorąc pod uwagę punkt , a nachylenie . Ogólna postać tego równania to: .
Korzystając z punktu , staje się . Ponieważ funkcje różniczkowalne są lokalnie liniowy , najlepszy stok zastąpił w byłoby nachylenie linii stycznej do co .
Chociaż pojęcie lokalnego liniowości dotyczy najwięcej punktów dowolnie blisko do tych, stosunkowo blisko praca stosunkowo dobrze dla przybliżenia liniowego. Nachylenie powinno być najdokładniej nachyleniem linii stycznej w punkcie .
Wizualnie załączony diagram pokazuje linię styczną w . W , gdzie jest dowolna mała wartość dodatnia lub ujemna, jest bardzo zbliżona do wartości stycznej w punkcie .
Ostateczne równanie linearyzacji funkcji w to:
Dla , . Pochodną o to , i nachylenie co jest .
Przykład
Aby znaleźć , możemy wykorzystać fakt, że . Linearyzacja at jest , ponieważ funkcja definiuje nachylenie funkcji at . Zastępując w , linearyzacja na 4 jest . W tym przypadku tak jest w przybliżeniu . Prawdziwa wartość jest bliska 2000024998, więc przybliżenie linearyzacji ma błąd względny mniejszy niż 1 milionowa część procenta.
Linearyzacja funkcji wielu zmiennych
Równanie linearyzacji funkcji w punkcie to:
Ogólne równanie linearyzacji funkcji wielu zmiennych w punkcie to:
gdzie jest wektorem zmiennych i jest interesującym punktem linearyzacji .
Zastosowania linearyzacji
Linearyzacja umożliwia wykorzystanie narzędzi do badania układów liniowych do analizy zachowania funkcji nieliniowej w pobliżu danego punktu. Linearyzacja funkcji jest wyrazem pierwszego rzędu jej rozwinięcia Taylora wokół punktu zainteresowania. Dla układu określonego równaniem
- ,
zlinearyzowany system można zapisać jako
gdzie jest ciekawe i jest Jacobiego z oceniany na .
Analiza stabilności
W stabilności analizy autonomicznych , można użyć wartości własnych o jakobian matrycy oceniano w hiperbolicznej punktu równowagi w celu określenia charakteru tej równowagi. To jest treść twierdzenia o linearyzacji . W przypadku systemów zmiennych w czasie linearyzacja wymaga dodatkowego uzasadnienia.
Mikroekonomia
W mikroekonomii , reguły decyzyjne mogą być zbliżone pod podejścia do przestrzeni stanu linearyzacji. Zgodnie z tym podejściem, gdy równania Eulera tego problemu narzędzie maksymalizacji jest linearyzowany wokół nieruchomego stanu ustalonego. Znalezione zostaje wówczas unikalne rozwiązanie powstałego układu równań dynamicznych.
Optymalizacja
W optymalizacji matematycznej funkcje kosztów i nieliniowe składniki mogą być linearyzowane w celu zastosowania metody rozwiązywania liniowego, takiej jak algorytm Simplex . Zoptymalizowany wynik jest osiągany znacznie efektywniej i jest deterministyczny jako globalne optimum .
Multifizyka
W systemach wielofizycznych — systemach obejmujących wiele pól fizycznych, które oddziałują ze sobą — można przeprowadzić linearyzację w odniesieniu do każdego z pól fizycznych. Ta linearyzacja układu w odniesieniu do każdego z pól skutkuje zlinearyzowanym układem równań monolitycznych, który można rozwiązać za pomocą monolitycznych iteracyjnych procedur rozwiązywania, takich jak metoda Newtona-Raphsona . Przykładami tego są systemy skanerów MRI , w wyniku których powstaje system pól elektromagnetycznych, mechanicznych i akustycznych.
Zobacz też
- Stabilność liniowa
- Styczna macierz sztywności
- Pochodne stabilności
- Twierdzenie o linearyzacji
- Przybliżenie Taylora
- Równanie funkcjonalne (funkcja L)