Logarytm - Logarithm

Wykresy funkcji logarytmicznych z trzema powszechnie stosowanymi podstawami. Punkty specjalne log b b = 1 są oznaczone liniami przerywanymi, a wszystkie krzywe przecinają się w log b  1 = 0 .

W matematyce , logarytm jest funkcja odwrotna do potęgowania . Oznacza to, że logarytm danej liczby  x jest wykładnikiem, do którego inna stała liczba, podstawa  b , musi zostać podniesiona, aby otrzymać liczbę  x . W najprostszym przypadku logarytm zlicza liczbę wystąpień tego samego czynnika w wielokrotnym mnożeniu; np. ponieważ 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , „logarytm o podstawie 10” z 1000 wynosi 3 lub log 10  (1000) = 3 . Logarytm x do podstawy  b jest oznaczany jako log b  ( x ) lub bez nawiasów log b x , lub nawet bez wyraźnej podstawy, log  x , gdy nie ma możliwości pomyłki lub gdy podstawa nie ma znaczenia, tak jak w duża notacja O .

Mówiąc bardziej ogólnie, potęgowanie pozwala na podniesienie dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej jako podstawy do dowolnej potęgi rzeczywistej, zawsze dając wynik dodatni, więc log b ( x ) dla dowolnych dwóch dodatnich liczb rzeczywistych  bx , gdzie  b nie jest równe  1 , jest zawsze unikalna liczba rzeczywista  y . Mówiąc dokładniej, definiująca relacja między potęgowaniem a logarytmem to:

dokładnie jeśli i i i .

Na przykład log 2  64 = 6 , jako 2 6 = 64 .

Logarytm o podstawie 10 (czyli b = 10 ) nazywany jest logarytmem dziesiętnym lub wspólnym i jest powszechnie używany w nauce i inżynierii. Logarytm naturalny ma numer  e (to jest b ≈ 2.718 ) jako zasady; jego zastosowanie jest szeroko rozpowszechnione w matematyce i fizyce ze względu na prostszą całkę i pochodną . Te binarne logarytm zastosowania oparcia 2 (to znaczy b = 2 ) i jest często stosowane w informatyce .

Logarytmy zostały wprowadzone przez Johna Napiera w 1614 roku jako sposób na uproszczenie obliczeń. Zostały szybko zaadoptowane przez nawigatorów, naukowców, inżynierów, geodetów i innych, aby łatwiej wykonywać obliczenia o wysokiej dokładności. Używając tablic logarytmicznych , żmudne wielocyfrowe kroki mnożenia można zastąpić wyszukiwaniem tabel i prostszym dodawaniem. Jest to możliwe dzięki temu, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów czynników:

pod warunkiem, że b , x i y są dodatnie i b 1 . Suwak logarytmiczny , również na podstawie logarytmów, umożliwia szybkie obliczenia bez tabel, ale przy niższej dokładności. Współczesne pojęcie logarytmów pochodzi od Leonharda Eulera , który w XVIII wieku połączył je z funkcją wykładniczą , a także wprowadził literę e jako podstawę logarytmów naturalnych.

Skale logarytmiczne redukują wielkości o szerokim zakresie do małych zakresów. Na przykład decybel (dB) to jednostka używana do wyrażania współczynnika jako logarytmów , głównie dla mocy sygnału i amplitudy (czego częstym przykładem jest ciśnienie akustyczne ). W chemii, pH jest logarytmiczna miara dla zakwaszenia z w wodnym roztworze . Logarytmy są powszechne we wzorach naukowych oraz w pomiarach złożoności algorytmów i obiektów geometrycznych zwanych fraktalami . Pomagają opisywać współczynniki częstotliwości interwałów muzycznych , pojawiają się we wzorach liczących liczby pierwsze lub przybliżające silnia , dostarczają informacji na temat niektórych modeli w psychofizyce i mogą pomóc w rachunkowości sądowej .

W ten sam sposób, w jaki logarytm odwraca potęgowanie , logarytm zespolony jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej, niezależnie od tego, czy jest stosowana do liczb rzeczywistych, czy zespolonych . Innym wariantem jest modularny logarytm dyskretny ; ma zastosowania w kryptografii klucza publicznego .

Motywacja i definicja

Wykres przedstawiający krzywą logarytmiczną, przecinającą oś x w punkcie x= 1 i zbliżającą się do minus nieskończoności wzdłuż osi y.
Wykres podstawy logarytm 2 przecina x -osiowy przy x = 1 i przechodzi przez punkt (2, 1) , (4, 2) oraz (8, 3) , przedstawiających np log 2 (8) = 3 i 2 3 = 8 . Wykres zbliża się arbitralnie do osi y , ale jej nie osiąga .

Dodawanie , mnożenie i potęgowanie to trzy najbardziej podstawowe operacje arytmetyczne. Dodawanie, najprostsze z nich, jest cofane przez odejmowanie: kiedy dodasz 5 do x, aby uzyskać x + 5 , aby odwrócić tę operację, musisz odjąć 5 od x + 5 . Mnożenie, następna najprostsza operacja, jest cofana przez dzielenie : jeśli pomnożysz x przez 5, aby uzyskać 5 x , możesz podzielić 5 x przez 5, aby powrócić do pierwotnego wyrażenia x . Logarytmy unieważniają również podstawową operację arytmetyczną, potęgowanie. Potęgowanie ma miejsce, gdy podnosisz liczbę do określonej potęgi. Na przykład podniesienie 2 do potęgi 3 równa się 8 :

Ogólny przypadek jest taki, kiedy podnosisz liczbę  b do potęgi y, aby otrzymać x :

Podstawą tego wyrażenia jest liczba  b . Podstawą jest liczba podniesiona do określonej potęgi — w powyższym przykładzie podstawą wyrażenia 2 3 = 8 jest 2 . Łatwo jest uczynić bazę tematem wyrażenia: wystarczy wziąć y- ty pierwiastek z obu stron. To daje

Trudniej jest uczynić y tematem wypowiedzi. Logarytmy pozwalają nam to zrobić:

To wyrażenie oznacza, że y jest równe potędze, do której podniósłbyś b , aby otrzymać x . Ta operacja cofa potęgowanie, ponieważ logarytm x wskazuje wykładnik , do którego podstawa została podniesiona.

Potęgowanie

Ten podrozdział zawiera krótki przegląd operacji potęgowania, która ma fundamentalne znaczenie dla zrozumienia logarytmów. Podniesienie b do n- tej potęgi, gdzie n jest liczbą naturalną , odbywa się poprzez pomnożenie n  czynników równych b . N -ty moc b napisano b n , tak że

Potęgowanie może być przedłużony do b Y , gdzie b jest liczbą dodatnią, a wykładnik y jest dowolną liczbą rzeczywistą . Na przykład, b -1 jest odwrotnością od B , to znaczy, 1 / b . Podniesienie b do potęgi  1/2 jest pierwiastkiem kwadratowym z b .

Mówiąc bardziej ogólnie, podniesienie b do potęgi  wymiernej p / q , gdzie p i q są liczbami całkowitymi, jest dane przez

q -ty korzeń b p .

Wreszcie, każda liczba niewymierna ( liczba rzeczywista, która nie jest wymierna) y może być aproksymowana z dowolną precyzją za pomocą liczb wymiernych. Może to być użyte do obliczenia y -tej potęgi b : na przykład i jest coraz lepiej przybliżane przez b 1 , b 1.4 , b 1.41 , b 1.414 , ... . Bardziej szczegółowe wyjaśnienie, jak również formuła b m + n = b m · b n zawarty jest w artykule na hydrodynamicznych .

Definicja

Logarytm dodatniej liczby rzeczywistej X w stosunku do podstawy  B jest wykładnikiem, w którym b musi zostać podniesiona z wytworzeniem X . Innymi słowy, logarytm x do bazy  b jest rozwiązaniem  y równania

Logarytm jest oznaczona „ log b x ” (widoczne jako „logarytmu x do bazy  B ”, „z wyjś- b logarytmu X ” lub „najczęściej w dzienniku, podstawa  B , o x ”).

W równaniu y = log b x , wartość  y jest odpowiedzią na pytanie "Do jakiej potęgi należy podnieść b , aby otrzymać x ?".

Przykłady

  • log 2  16 = 4 , ponieważ 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
  • Logarytmy mogą być również ujemne: ponieważ
  • log 10  150 wynosi w przybliżeniu 2,176, co leży między 2 a 3, podobnie jak 150 leży między 10 2 = 100 a 10 3 = 1000 .
  • Dla każdej podstawy  B , log b b = 1 i log b  1 = 0 , ponieważ b 1 = b a b 0 = 1 , odpowiednio.

Tożsamości logarytmiczne

Kilka ważnych formuł, czasami nazywanych tożsamościami logarytmicznymi lub prawami logarytmicznymi , wiąże ze sobą logarytmy.

Iloczyn, iloraz, potęga i pierwiastek

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów mnożonych liczb; logarytm stosunku dwóch liczb jest różnicą logarytmów. Logarytm p -tej potęgi liczby to p  razy logarytm samej liczby; logarytm p -tego pierwiastka to logarytm liczby podzielonej przez p . W poniższej tabeli wymieniono te tożsamości wraz z przykładami. Każdą z tożsamości można wyprowadzić po podstawieniu definicji logarytmów lub po lewej stronie.

Formuła Przykład
Produkt
Iloraz
Moc
Źródło

Zmiana bazy

Logarytm log b x można obliczyć z logarytmów x i b w odniesieniu do dowolnej podstawy  k przy użyciu następującego wzoru:

Wyprowadzenie współczynnika konwersji między logarytmami o dowolnej podstawie

Zaczynając od określenia tożsamości

możemy zastosować log k do obu stron tego równania, aby uzyskać

.

Rozwiązywanie na plony:

,

pokazując współczynnik konwersji z podanych -wartości na odpowiadające im wartości, które mają być

Typowe kalkulatory naukowe obliczają logarytmy o podstawie 10 i e . Logarytmy w odniesieniu do dowolnej podstawy  b można wyznaczyć za pomocą jednego z tych dwóch logarytmów według poprzedniego wzoru:

Mając liczbę x i jej logarytm y = log b x do nieznanej podstawy  b , podstawa jest dana wzorem:

co można zobaczyć biorąc równanie definiujące do potęgi

Poszczególne bazy

Wykresy logarytmu dla podstaw 0,5, 2 i e

Wśród wszystkich wyborów do bazy, trzy są szczególnie powszechne. Są to b = 10 , b = e ( nieracjonalna stała matematyczna ≈ 2,71828) i b = 2 ( logarytm binarny ). W analizie matematycznej podstawa logarytmu e jest szeroko rozpowszechniona ze względu na właściwości analityczne wyjaśnione poniżej. Z drugiej strony, base-10 logarytmy są łatwe w użyciu dla ręcznych obliczeniach w dziesiętnym systemie liczbowym:

Zatem log 10  ( x ) jest powiązany z liczbą cyfr dziesiętnych dodatniej liczby całkowitej x : liczba cyfr jest najmniejszą liczbą całkowitą ściśle większą niż log 10  ( x ) . Na przykład log 10 (1430) wynosi około 3,15. Kolejna liczba całkowita to 4, co oznacza liczbę cyfr 1430. Zarówno logarytm naturalny, jak i logarytm o podstawie dwa są używane w teorii informacji , co odpowiada używaniu odpowiednio liczb narodowych lub bitów jako podstawowych jednostek informacji. Logarytmy binarne są również używane w informatyce , gdzie system binarny jest wszechobecny; w teorii muzyki , gdzie stosunek wysokości dwóch ( oktawa ) jest wszechobecny, a cent jest logarytmem binarnym (skalowanym do 1200) stosunku między dwoma sąsiednimi, jednakowo temperowanymi dźwiękami w europejskiej muzyce klasycznej ; aw fotografii do pomiaru wartości ekspozycji .

W poniższej tabeli wymieniono typowe notacje logarytmów do tych podstaw oraz pola, w których są używane. Wiele dyscyplin zapisuje log  x zamiast log b x , gdy zamierzoną podstawę można określić z kontekstu. Występuje również zapis b log  x . Kolumna „Notacja ISO” zawiera oznaczenia sugerowane przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ( ISO 80000-2 ). Ponieważ log notacji x został użyty dla wszystkich trzech zasad (lub gdy podstawa jest nieokreślona lub nieistotna), zamierzona podstawa często musi być wywnioskowana na podstawie kontekstu lub dyscypliny. W informatyce log zwykle odnosi się do log 2 , aw matematyce log zwykle odnosi się do log e . W innych kontekstach log często oznacza log 10 .

Podstawa b Nazwa dziennika b x notacja ISO Inne zapisy Używany w
2 logarytm binarny funty x ld x , log x , lg x , log 2 x informatyka , teoria informacji , bioinformatyka , teoria muzyki , fotografia
mi naturalny logarytm W x log x
(w matematyce i wielu językach programowania ), log e x
matematyka, fizyka, chemia,
statystyka , ekonomia , teoria informacji i inżynieria
10 logarytm wspólny dł. x log x , log 10 x
(w inżynierii, biologii, astronomii)
różne dziedziny inżynierii (patrz decybel i patrz poniżej), tablice
logarytmiczne , kalkulatory ręczne , spektroskopia
b logarytm o podstawie b log b x matematyka

Historia

Historia logarytmów w siedemnastowiecznej Europie jest odkrycie nowej funkcji , która rozszerzyła sferę analizy poza zakres metod algebraicznych. Metoda logarytmów została publicznie ogłoszona przez Johna Napiera w 1614 roku w książce zatytułowanej Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Opis cudownej reguły logarytmów ). Przed wynalezieniem Napiera istniały inne techniki o podobnym zakresie, takie jak prostafaereza czy użycie tablic progresji, szeroko rozwinięte przez Josta Bürgi około 1600 roku. greckie, dosłownie oznaczające „ratio-liczba”, od logosu „proporcja, ratio, słowo” + arytmos „liczba”.

Logarytm z liczby jest indeksem tej potęgi dziesiątej, która jest równa liczbie. Mówienie o liczbie, jako wymagającej tak wielu cyfr, jest zgrubną aluzją do wspólnego logarytmu i zostało określone przez Archimedesa jako „porządek liczby”. Pierwszymi prawdziwymi logarytmami były metody heurystyczne przekształcające mnożenie w dodawanie, ułatwiające w ten sposób szybkie obliczenia. Niektóre z tych metod wykorzystywały tabele pochodzące z tożsamości trygonometrycznych. Takie metody nazywane są protezą .

Wynalezienie funkcji znanej obecnie jako logarytm naturalny rozpoczęło się od próby wykonania kwadratury prostokątnej hiperboli przez Grégoire de Saint-Vincent , belgijskiego jezuitę rezydującego w Pradze. Archimedes pisał kwadratury paraboli w III wieku pne, ale w kwadraturze do hiperboli wymykał wszystkie wysiłki, aż Saint-Vincent opublikował swoje wyniki w 1647 roku relacja że logarytm zapewnia między postępie geometrycznym w jego argumentacji i arytmetycznym wartości, poproszony AA de Sarasa do nawiązania połączenia z kwadratury Saint-Vincent i tradycję logarytmów w prosthaphaeresis , co prowadzi do pojęcia „hiperbolicznej logarytmu”, synonim logarytmu naturalnego. Wkrótce nową funkcję docenili Christiaan Huygens i James Gregory . Notacja Log y została przyjęta przez Leibniza w 1675 roku, a w następnym roku połączył ją z całką

Zanim Euler rozwinął swoją nowoczesną koncepcję złożonych logarytmów naturalnych, Roger Cotes uzyskał prawie równoważny wynik, gdy wykazał w 1714 roku, że

.

Tabele logarytmiczne, suwaki logarytmiczne i aplikacje historyczne

Wyjaśnienie logarytmów w Encyclopædia Britannica z 1797 r

Dzięki uproszczeniu trudnych obliczeń, zanim pojawiły się kalkulatory i komputery, logarytmy przyczyniły się do postępu nauki, zwłaszcza astronomii . Były one kluczowe dla postępów w geodezji , nawigacji niebieskiej i innych dziedzinach. Pierre-Simon Laplace nazwał logarytmami

„... [podziwny] sztuczka, która skracając do kilku dni wielomiesięczną pracę, podwaja życie astronoma i oszczędza mu błędów i wstrętu, nieodłącznych od długich obliczeń”.

Jako funkcja f ( x ) = b x jest odwrotnością funkcji log b x , to jest zwane logarytmu . Obecnie ta funkcja jest częściej nazywana funkcją wykładniczą .

Tabele dziennika

Kluczowym narzędziem, które umożliwiło praktyczne wykorzystanie logarytmów, była tablica logarytmów . Pierwszy taki stół został opracowany przez Henry'ego Briggsa w 1617 roku, zaraz po wynalazku Napiera, ale z innowacją polegającą na użyciu 10 jako podstawy. Pierwsza tabela Briggsa zawierała wspólne logarytmy wszystkich liczb całkowitych z zakresu od 1 do 1000, z dokładnością do 14 cyfr. Następnie powstały tabele o coraz większym zakresie. Tabele te zawierały wartości log 10 x dla dowolnej liczby  x w pewnym zakresie, z określoną precyzją. Logarytmy o podstawie 10 były powszechnie używane do obliczeń, stąd nazwa logarytm pospolity, ponieważ liczby różniące się dzielnikami 10 mają logarytmy różniące się liczbami całkowitymi. Wspólny logarytm x można rozdzielić na część całkowitą i część ułamkową , znaną jako cecha charakterystyczna i mantysa . Tabele logarytmów muszą zawierać tylko mantysę, ponieważ charakterystykę można łatwo określić, licząc cyfry od przecinka. Cecha 10 · x to jeden plus cecha x , a ich mantysy są takie same. Zatem przy użyciu trzycyfrowej tablicy logarytmicznej, logarytm 3542 jest aproksymowany przez

Większą dokładność można uzyskać przez interpolację :

Wartość 10 x można określić przez odwrotne wyszukiwanie w tej samej tabeli, ponieważ logarytm jest funkcją monotoniczną .

Obliczenia

Iloczyn i iloraz dwóch liczb dodatnich c i d rutynowo obliczano jako sumę i różnicę ich logarytmów. Iloczyn  cd lub iloraz  c / d pochodzi z wyszukania antylogarytmu sumy lub różnicy za pomocą tej samej tabeli:

oraz

W przypadku obliczeń ręcznych, które wymagają znacznej precyzji, wyszukiwanie dwóch logarytmów, obliczanie ich sumy lub różnicy i wyszukiwanie antylogarytmu jest znacznie szybsze niż wykonywanie mnożenia za pomocą wcześniejszych metod, takich jak prostaphaeresis , która opiera się na tożsamościach trygonometrycznych .

Obliczenia potęg i pierwiastków sprowadza się do mnożenia lub dzielenia i wyszukiwania przez

oraz

Obliczenia trygonometryczne ułatwiły tablice zawierające wspólne logarytmy funkcji trygonometrycznych .

Zasady slajdów

Innym krytycznym zastosowaniem był suwak logarytmiczny , para logarytmicznie podzielonych skal używanych do obliczeń. Nieprzesuwna skala logarytmiczna, reguła Guntera , została wynaleziona wkrótce po wynalezieniu Napiera. William Oughtred ulepszył go, tworząc suwak logarytmiczny — parę skal logarytmicznych, które można przesuwać względem siebie. Liczby są umieszczane na skalach przesuwnych w odległościach proporcjonalnych do różnic między ich logarytmami. Odpowiednie przesunięcie górnej skali sprowadza się do mechanicznego dodawania logarytmów, jak pokazano tutaj:

Suwak: dwa prostokąty z logarytmicznie zaznaczonymi osiami, układ dodawania odległości od 1 do 2 do odległości od 1 do 3, wskazujący iloczyn 6.
Schematyczne przedstawienie suwaka suwakowego. Zaczynając od 2 na dolnej skali, dodaj odległość do 3 na górnej skali, aby osiągnąć iloczyn 6. Suwak działa, ponieważ jest oznaczony tak, że odległość od 1 do x jest proporcjonalna do logarytmu x .

Na przykład dodanie odległości od 1 do 2 na dolnej skali do odległości od 1 do 3 na górnej skali daje iloczyn 6, który jest odczytywany w dolnej części. Suwak był niezbędnym narzędziem obliczeniowym dla inżynierów i naukowców do lat 70., ponieważ umożliwiał, kosztem precyzji, znacznie szybsze obliczenia niż techniki oparte na tabelach.

Właściwości analityczne

Głębsze badanie logarytmów wymaga koncepcji funkcji . Funkcja to reguła, która przy danej liczbie daje inną liczbę. Przykładem jest funkcja tworząca x-tą potęgę b z dowolnej liczby rzeczywistej  x , gdzie podstawa  b jest liczbą stałą. Ta funkcja jest napisana: f ( x ) = b x .

Funkcja logarytmiczna

Aby uzasadnić definicję logarytmów, konieczne jest wykazanie, że równanie

ma rozwiązanie x i że to rozwiązanie jest unikalne, pod warunkiem, że y jest dodatnie, a b jest dodatnie i nierówne 1. Dowód tego faktu wymaga twierdzenia o wartości pośredniej z rachunku elementarnego . Twierdzenie to mówi, że funkcja ciągła, która daje dwie wartości m i n, daje również dowolną wartość, która leży między m i n . Funkcja jest ciągła, jeśli nie „skacze”, to znaczy, jeśli jej wykres można narysować bez podnoszenia pióra.

Właściwość tę można wykazać luku dla funkcji f ( x ) = b x . Ponieważ f przyjmuje dowolnie duże i dowolnie małe wartości dodatnie, dowolna liczba y > 0 leży między f ( x 0 ) i f ( x 1 ) dla odpowiednich x 0 i x 1 . Stąd twierdzenie o wartości pośredniej zapewnia, że ​​równanie f ( x ) = y ma rozwiązanie. Ponadto istnieje tylko jedno rozwiązanie tego równania, ponieważ funkcja  f jest ściśle rosnąca (dla b > 1 ) lub ściśle malejąca (dla 0 < b < 1 ).

Unikalny rozwiązaniem x oznacza logarytm Y do bazy  B , log b y . Funkcja, która przypisuje y jego logarytm, nazywa się funkcją logarytmiczną lub funkcją logarytmiczną (lub po prostu logarytmem ).

Funkcja log b x jest zasadniczo scharakteryzowana wzorem iloczynu

Dokładniej, logarytm dla dowolnej bazy b > 1 jest jedyną funkcją rosnącą f od liczb rzeczywistych dodatnich do liczb rzeczywistych spełniających f ( b ) = 1 i

Funkcja odwrotna

Wykresy dwóch funkcji.
Wykres funkcji logarytmicznej log b  ( x ) (niebieski) uzyskuje się poprzez odbicie wykresu funkcji b x (czerwony) na linii ukośnej ( x = y ).

Wzór na logarytm potęgi mówi w szczególności, że dla dowolnej liczby  x ,

W proza, biorąc X -tej potęgi B , a następnie Base- b logarytm oddaje X . I odwrotnie, mając dodatnią liczbę  y , formuła

mówi, że najpierw logarytm, a następnie wykładnik daje z powrotem y . Zatem dwa możliwe sposoby łączenia (lub składania ) logarytmów i potęgowania zwracają pierwotną liczbę. Dlatego logarytm o podstawie  b jest odwrotnością funkcji z f ( x ) = b x .

Funkcje odwrotne są ściśle związane z funkcjami pierwotnymi. Ich wykresy odpowiadają sobie po wymianie współrzędnych x i y (lub po odbiciu od linii ukośnej x = y ), jak pokazano po prawej: punkt ( t , u = b t ) na wykresie f otrzymuje się punkt ( u , t = log b u ) na wykres logarytmu i vice versa. W konsekwencji log b  ( x ) rozchodzi się do nieskończoności (jest większy niż dowolna podana liczba), jeśli x rośnie do nieskończoności, pod warunkiem, że b jest większe niż jeden. W takim przypadku log b ( x ) jest funkcją rosnącą . Dla b < 1 , log b  ( x ) zamiast tego ma tendencję do minus nieskończoności. Kiedy x zbliża się do zera, log b x idzie do minus nieskończoności dla b > 1 (plus nieskończoność dla b < 1 , odpowiednio).

Pochodna i pierwotna

Wykres funkcji logarytmicznej i prosta dotykająca go w jednym punkcie.
Wykres logarytmu naturalnego (zielony) i jego stycznej przy x = 1,5 (czarny)

Własności analityczne funkcji przechodzą na ich odwrotności. Tak więc, F ( x ) = b x jest ciągła i różniczkowalną funkcją , to jest log b y . Z grubsza, funkcja ciągła jest różniczkowalna, jeśli jej wykres nie ma ostrych „rogów”. Ponadto, jak pochodna z F ( x ) ma wartość ln ( b ) b x od właściwości funkcji wykładniczej The zasada łańcucha oznacza, że pochodna log b x jest przez

Oznacza to, że nachylenie od stycznej dotykania wykres wyjś- b logarytmu w miejscu ( x , log b  ( x )) wynosi 1 / ( x  ln ( b )) .

Pochodna ln( x ) to 1/ x ; oznacza to, że ln ( x ) jest unikalny pierwotna od 1 / x , który ma wartość 0 do x = 1 . To właśnie ta bardzo prosta formuła zmotywowała do zakwalifikowania logarytmu naturalnego jako „naturalnego”; jest to również jeden z głównych powodów znaczenia stałej  e .

Pochodna z uogólnionym argumentem funkcjonalnym f ( x ) to

Iloraz z prawej strony jest nazywany logarytmicznej pochodną o f . Obliczanie f' ( x ) za pomocą pochodnej ln( f ( x )) jest znane jako różniczkowanie logarytmiczne . Pierwotna logarytmu naturalnego ln( x ) to:

Pokrewne wzory , takie jak antypochodne logarytmów do innych zasad, można wyprowadzić z tego równania za pomocą zmiany zasad.

Integralna reprezentacja logarytmu naturalnego

Hiperbola z częścią obszaru pod spodem zacieniowaną na szaro.
Logarytmu naturalnego z T jest zacieniony obszar pod wykresem funkcji f ( x ) = 1 / x (odwrotność x ).

Logarytmu naturalnego z T można określić jako całka :

Ta definicja ma tę zaletę, że nie opiera się na funkcji wykładniczej ani żadnych funkcjach trygonometrycznych; definicja jest w kategoriach całki prostej odwrotności. Jako całka ln( t ) równa się powierzchni między osią x a wykresem funkcji 1/ x , w zakresie od x = 1 do x = t . Wynika to z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i faktu, że pochodna ln( x ) wynosi 1/ x . Z tej definicji można wyprowadzić wzory logarytmów iloczynów i potęg. Na przykład formuła iloczynu ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) jest wyprowadzana jako:

Równość (1) dzieli całkę na dwie części, podczas gdy równość (2) jest zmianą zmiennej ( w = x / t ). Na poniższej ilustracji podział odpowiada podziałowi obszaru na część żółtą i niebieską. Przeskalowanie lewego niebieskiego obszaru w pionie o współczynnik  t i zmniejszenie go o ten sam współczynnik w poziomie nie zmienia jego rozmiaru. Przesuwając go odpowiednio, obszar ponownie pasuje do wykresu funkcji f ( x ) = 1/ x . Dlatego lewy niebieski obszar, który jest całką z f ( x ) od t do tu jest taki sam jak całka od 1 do u . To uzasadnia równość (2) bardziej geometrycznym dowodem.

Hiperbola przedstawiona dwukrotnie.  Obszar pod spodem jest podzielony na różne części.
Wizualny dowód formuły produktu o logarytmie naturalnym

Wzór na potęgę ln( t r ) = r ln( t ) można wyprowadzić w podobny sposób:

Druga równość wykorzystuje zmianę zmiennych ( całkowanie przez podstawienie ), w = x 1/ r .

Suma po odwrotności liczb naturalnych,

nazywa się szeregiem harmonicznym . Jest to ściśle związane z logarytmem naturalnym : ponieważ n dąży do nieskończoności , różnica,

zbiega się (tj. staje się arbitralnie blisko) do liczby znanej jako stała Eulera-Mascheroni γ = 0,5772... . Ta relacja pomaga w analizie wydajności algorytmów, takich jak quicksort .

Transcendencja logarytmu

Liczby rzeczywiste , które nie są algebraiczne, nazywane są transcendentalnymi ; na przykład π i e są takimi liczbami, ale tak nie jest. Prawie wszystkie liczby rzeczywiste są transcendentalne. Logarytm jest przykładem funkcji transcendentalnej . Twierdzenie Gelfonda-Schneidera twierdzi, że logarytmy zwykle przyjmują wartości transcendentalne, tj. „trudne”.

Obliczenie

Klucze logarytmiczne (LOG dla podstawy 10 i LN dla podstawy  e ) w kalkulatorze graficznym TI-83 Plus

W niektórych przypadkach logarytmy są łatwe do obliczenia, na przykład log 10  (1000) = 3 . Ogólnie rzecz biorąc, logarytmy można obliczyć za pomocą szeregów potęgowych lub średniej arytmetyczno-geometrycznej lub pobrać z wcześniej obliczonej tabeli logarytmów, która zapewnia stałą precyzję. Metoda Newtona , iteracyjna metoda przybliżonego rozwiązywania równań, może być również użyta do obliczenia logarytmu, ponieważ jej funkcję odwrotną, czyli funkcję wykładniczą, można obliczyć wydajnie. Korzystając z tabel przeglądowych, metody podobne do CORDIC mogą być używane do obliczania logarytmów przy użyciu tylko operacji dodawania i przesunięć bitowych . Co więcej, algorytm logarytmu binarnego oblicza lb( x ) rekurencyjnie na podstawie powtarzających się kwadratów x , wykorzystując zależność

Seria mocy

Seria Taylora
Animacja przedstawiająca coraz lepsze przybliżenia wykresu logarytmicznego.
Szereg Taylora ln( z ) wyśrodkowany na z = 1 . Animacja pokazuje pierwsze 10 przybliżeń wraz z 99 i 100. Przybliżenia nie zbiegają się poza odległość 1 od środka.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej z spełniającej 0 < z ≤ 2 , obowiązuje następujący wzór:

Jest to skrót do powiedzenia, że ln( z ) można przybliżyć do coraz dokładniejszej wartości za pomocą następujących wyrażeń:

Na przykład przy z = 1,5 trzecie przybliżenie daje 0,4167, czyli około 0,011 więcej niż ln(1,5) = 0,405465 . Ta seria przybliża ln( z ) z dowolną precyzją, pod warunkiem, że liczba sum jest wystarczająco duża. W rachunku podstawowym ln( z ) jest więc granicą tego szeregu. Jest to seria Taylor z logarytmu naturalnego przy Z = 1 . Szereg Taylora ln( z ) zapewnia szczególnie przydatne przybliżenie ln(1 + z ), gdy z jest małe, | z | < 1 , od tego czasu

Na przykład, przy z = 0,1 przybliżenie pierwszego rzędu daje ln(1.1) ≈ 0,1 , co jest mniejsze niż 5% od prawidłowej wartości 0,0953.

Bardziej wydajna seria

Kolejna seria opiera się na funkcji stycznej hiperbolicznej powierzchni :

dla dowolnej liczby rzeczywistej z > 0 . Używając notacji sigma , jest to również napisane jako

Szereg ten można wyprowadzić z powyższego szeregu Taylora. Zbiega się szybciej niż szereg Taylora, zwłaszcza jeśli z jest bliskie 1. Na przykład dla z = 1.5 , pierwsze trzy wyrazy drugiej serii przybliżają się do ln(1.5) z błędem około3 x 10 -6 . Szybką zbieżność dla z bliską 1 można wykorzystać w następujący sposób: biorąc pod uwagę aproksymację o niskiej dokładności y ≈ ln( z ) i stawiając

logarytm z z to:

Im lepsze jest początkowe przybliżenie y , tym A jest bliższe 1, więc jego logarytm można obliczyć efektywnie. A można obliczyć za pomocą szeregu wykładniczego , który szybko się zbiega, pod warunkiem, że y nie jest zbyt duże. Obliczenie logarytmu większego z można zredukować do mniejszych wartości z pisząc z = a · 10 b , tak że ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10) .

Do obliczenia logarytmu liczb całkowitych można użyć ściśle powiązanej metody. Umieszczenie w powyższej serii, wynika, że:

Jeśli znany jest logarytm dużej liczby całkowitej  n , wówczas szereg ten daje szybko zbieżny szereg dla log( n +1) o szybkości zbieżności równej .

Przybliżenie średniej arytmetyczno-geometrycznej

Średnia arytmetyczno-geometryczna daje bardzo dokładne przybliżenia logarytmu naturalnego . Sasaki i Kanada pokazali w 1982 roku, że był szczególnie szybki przy precyzji między 400 a 1000 miejsc po przecinku, podczas gdy metody szeregowe Taylora były zazwyczaj szybsze, gdy potrzebna była mniejsza precyzja. W ich pracy ln( x ) jest przybliżone z dokładnością do 2 p (lub p  precyzyjnych bitów) następującym wzorem (za sprawą Carla Friedricha Gaussa ):

Tutaj M ( x , y ) oznacza średnią arytmetyczną, średnią geometryczną z x i y . Uzyskuje się ją poprzez wielokrotne obliczanie średniej ( x + y )/2 ( średnia arytmetyczna ) i ( średnia geometryczna ) x i y, a następnie niech te dwie liczby staną się kolejnymi x i y . Te dwie liczby szybko zbliżają się do wspólnego limitu, którym jest wartość M( x , y ) . m jest wybrany tak, że

aby zapewnić wymaganą precyzję. Większe m powoduje, że obliczenia M( x , y ) wykonują więcej kroków (początkowe x i y są dalej od siebie, więc zbieżność zajmuje więcej kroków), ale daje większą precyzję. Stałe π i ln(2) można obliczyć za pomocą szybko zbieżnych szeregów.

Algorytm Feynmana

Podczas gdy w Los Alamos National Laboratory pracował nad Projektem Manhattan , Richard Feynman opracował algorytm przetwarzania bitów, który jest podobny do długiego dzielenia i został później użyty w maszynie połączeń . Algorytm wykorzystuje fakt, że każda liczba rzeczywista 1 < x < 2 jest reprezentowana jako iloczyn różnych czynników postaci 1 + 2 k . Algorytm sekwencyjnie buduje ten iloczyn  P : jeśli P · (1 + 2 k ) < x , to zmienia P na P · (1 + 2 k ) . Następnie zwiększa się o jeden niezależnie. Algorytm zatrzymuje się, gdy k jest wystarczająco duże, aby zapewnić pożądaną dokładność. Ponieważ log( x ) jest sumą wyrazów postaci log(1 + 2 k ) odpowiadających tym k, dla których czynnik 1 + 2 k był zawarty w iloczynie  P , log( x ) można obliczyć ze wzoru proste dodawanie, używając tablicy log(1 + 2 k ) dla wszystkich k . Dowolna podstawa może być użyta do tabeli logarytmów.

Aplikacje

Zdjęcie muszli łodzika.
Nautilus wyświetlania spirali logarytmicznej

Logarytmy mają wiele zastosowań w matematyce i poza nią. Niektóre z tych zjawisk są związane z pojęciem niezmienności skali . Na przykład, każda komora skorupy łodzika jest przybliżoną kopią następnej, przeskalowaną przez stały współczynnik. Daje to początek spirali logarytmicznej . Prawo Benforda dotyczące rozkładu cyfr wiodących można również wyjaśnić niezmiennością skali. Logarytmy są również powiązane z samopodobieństwo . Na przykład logarytmy pojawiają się w analizie algorytmów, które rozwiązują problem, dzieląc go na dwa podobne, mniejsze problemy i łatając ich rozwiązania. Wymiary samopodobnych kształtów geometrycznych, czyli kształtów, których części przypominają ogólny obraz, są również oparte na logarytmach. Skale logarytmiczne są przydatne do ilościowego określania względnej zmiany wartości w przeciwieństwie do jej bezwzględnej różnicy. Co więcej, ponieważ funkcja logarytmiczna log( x ) rośnie bardzo powoli dla dużego x , skale logarytmiczne są używane do kompresji danych naukowych na dużą skalę. Logarytmy występować także w licznych wzorach naukowych, takich jak równania Ciołkowskiego rakietowego , w równaniu Fenske , czy równania Nernsta .

Skala logarytmiczna

Wykres wartości jednego znaku w czasie.  Linia pokazująca jej wartość rośnie bardzo szybko, nawet w skali logarytmicznej.
Wykres logarytmiczny przedstawiający wartość jednej złotej marki w papiermarkach podczas niemieckiej hiperinflacji w latach 20. XX wieku

Wielkości naukowe są często wyrażane jako logarytmy innych wielkości przy użyciu skali logarytmicznej . Na przykład decybel jest jednostką miary związaną z wielkościami w skali logarytmicznej . Opiera się na wspólnym logarytmie stosunków —10-krotność wspólnego logarytmu współczynnika mocy lub 20-krotność wspólnego logarytmu współczynnika napięcia . Służy do ilościowego określania strat poziomów napięcia w przesyłaniu sygnałów elektrycznych, do opisu poziomów mocy dźwięków w akustyce oraz absorbancji światła w dziedzinach spektrometrii i optyki . Stosunek sygnału do szumu opisujący ilość niepożądanego szumu w stosunku do (znaczącego) sygnału jest również mierzony w decybelach. W podobnym duchu szczytowy stosunek sygnału do szumu jest powszechnie używany do oceny jakości dźwięku i metod kompresji obrazu przy użyciu logarytmu.

Siłę trzęsienia ziemi mierzy się logarytmem energii emitowanej podczas trzęsienia. Jest to używane w skali wielkości momentu lub skali Richtera . Na przykład trzęsienie ziemi 5,0 uwalnia 32 razy (10 1,5 ) i 6,0 uwalnia 1000 razy (10 3 ) energię 4,0. Jasność pozorna mierzy jasność gwiazd logarytmicznie. W chemii ujemna wartość logarytmu dziesiętnego, kologarytm dziesiętny, jest oznaczona literą p. Na przykład, wartość pH jest cologarithm dziesiętną aktywności w hydroniowych jonów (forma wodorem jonów H+
weź wodę). Aktywność jonów hydroniowych w wodzie obojętnej wynosi 10-7  mol·L- 1 , stąd pH 7. Ocet ma zazwyczaj pH około 3. Różnica 4 odpowiada stosunkowi 10 4 aktywności, czyli , aktywność jonów hydroniowych octu wynosi około 10 -3 mol·L -1 .

Wykresy półlogarytmiczne (log-liniowe) wykorzystują koncepcję skali logarytmicznej do wizualizacji: jedna oś, zazwyczaj pionowa, jest skalowana logarytmicznie. Na przykład wykres po prawej kompresuje stromy wzrost z 1 miliona do 1 biliona do tej samej przestrzeni (na osi pionowej), co wzrost z 1 do 1 miliona. Na takich wykresach funkcje wykładnicze postaci f ( x ) = a · b x pojawiają się jako linie proste o nachyleniu równym logarytmowi b . Wykresy log-log skalują obie osie logarytmicznie, co powoduje, że funkcje postaci f ( x ) = a · x k są przedstawiane jako linie proste o nachyleniu równym wykładnikowi  k . Ma to zastosowanie w wizualizacji i analizie praw mocy .

Psychologia

Logarytmy występują w kilku prawach opisujących ludzką percepcję : prawo Hicka proponuje logarytmiczną relację między czasem, jaki jednostki potrzebują, aby wybrać alternatywę, a liczbą wyborów, które mają. Prawo Fittsa przewiduje, że czas potrzebny do szybkiego przejścia do obszaru docelowego jest funkcją logarytmiczną odległości i wielkości celu. W psychofizyce prawo Webera-Fechnera proponuje logarytmiczny związek między bodźcem a odczuciem, takim jak rzeczywista i postrzegana waga przedmiotu, który nosi dana osoba. (To „prawo” jest jednak mniej realistyczne niż nowsze modele, takie jak prawo mocy Stevensa ).

Badania psychologiczne wykazały, że osoby z niewielkim wykształceniem matematycznym mają tendencję do szacowania wielkości logarytmicznie, to znaczy umieszczają liczbę na nieoznaczonej linii zgodnie z jej logarytmem, tak że 10 jest pozycjonowane tak blisko 100, jak 100 do 1000. do oszacowania liniowego (pozycjonowanie 1000 10 razy dalej) w niektórych okolicznościach, podczas gdy logarytmy są używane, gdy liczby do wykreślenia są trudne do wykreślenia liniowego.

Teoria prawdopodobieństwa i statystyka

Trzy asymetryczne krzywe PDF
Trzy funkcje gęstości prawdopodobieństwa (PDF) zmiennych losowych z rozkładami logarytmiczno-normalnymi. Parametr lokalizacji  μ , który wynosi zero dla wszystkich trzech pokazanych plików PDF, jest średnią logarytmu zmiennej losowej, a nie średnią samej zmiennej.
Wykres słupkowy i nałożony drugi wykres.  Obydwa nieznacznie się różnią, ale oba zmniejszają się w podobny sposób.
Rozkład pierwszych cyfr (w %, czerwone słupki) w populacji 237 krajów świata. Czarne kropki wskazują rozkład przewidziany przez prawo Benforda.

Logarytmy powstają w teorii prawdopodobieństwa : prawo wielkich liczb mówi, że dla uczciwej monety , gdy liczba rzutów monetą wzrasta do nieskończoności, obserwowana proporcja orłów zbliża się do połowy . Wahania tej proporcji o około połowę opisuje prawo iterowanego logarytmu .

Logarytmy występują również w rozkładach logarytmicznych . Gdy logarytm zmiennej losowej ma rozkład normalny , mówi się, że zmienna ma rozkład logarytmiczno-normalny. Rozkłady logarytmiczno-normalne spotykane są w wielu dziedzinach, gdzie zmienna powstaje jako iloczyn wielu niezależnych dodatnich zmiennych losowych, na przykład w badaniu turbulencji.

Logarytmy służą do szacowania maksymalnego prawdopodobieństwa parametrycznych modeli statystycznych . W przypadku takiego modelu funkcja wiarygodności zależy od co najmniej jednego parametru, który należy oszacować. Maksimum funkcji wiarygodności występuje przy tej samej wartości parametru, co maksimum logarytmu wiarygodności („ logarytm wiarygodności ”), ponieważ logarytm jest funkcją rosnącą. Logarytmiczna wiarygodność jest łatwiejsza do maksymalizacji, zwłaszcza dla zwielokrotnionych prawdopodobieństw dla niezależnych zmiennych losowych.

Prawo Benforda opisuje występowanie cyfr w wielu zbiorach danych , np. wysokości budynków. Zgodnie z prawem Benforda prawdopodobieństwo, że pierwsza cyfra dziesiętna elementu w próbce danych to d (od 1 do 9) wynosi log 10  ( d + 1) − log 10  ( d ) , niezależnie od jednostki miary. Tak więc około 30% danych może mieć 1 jako pierwszą cyfrę, 18% zaczyna się od 2 itd. Audytorzy badają odstępstwa od prawa Benforda w celu wykrycia oszukańczej księgowości.

Złożoność obliczeniowa

Analiza algorytmów jest gałęzią informatyki badająca wydajność od algorytmów (programy komputerowe rozwiązaniu określonej problem). Logarytmy są przydatne do opisywania algorytmów, które dzielą problem na mniejsze i łączą rozwiązania podproblemów.

Na przykład, aby znaleźć liczbę na posortowanej liście, algorytm wyszukiwania binarnego sprawdza środkowy wpis i przechodzi do połowy przed lub za środkowym wpisem, jeśli liczba nadal nie została znaleziona. Algorytm ten wymaga średnio log 2  ( N ) porównań, gdzie N jest długością listy. Podobnie algorytm sortowania przez scalanie sortuje nieposortowaną listę, dzieląc ją na połowy i sortując je najpierw przed scaleniem wyników. Algorytmy sortowania przez scalanie zwykle wymagają czasu w przybliżeniu proporcjonalnego do N · log( N ) . Podstawa logarytmu nie jest tutaj określona, ​​ponieważ wynik zmienia się tylko o stały współczynnik, gdy używana jest inna podstawa. W analizie algorytmów w standardowym modelu kosztów ujednoliconych zwykle pomija się czynnik stały .

Mówi się, że funkcja  f ( x ) rośnie logarytmicznie, jeśli f ( x ) jest (dokładnie lub w przybliżeniu) proporcjonalna do logarytmu x . (W biologicznych opisach wzrostu organizmu używa się tego terminu dla funkcji wykładniczej.) Na przykład dowolna liczba naturalna  N może być reprezentowana w postaci binarnej w nie więcej niż log 2 N + 1  bit . Innymi słowy, ilość pamięci potrzebnej do przechowywania N rośnie logarytmicznie z N .

Entropia i chaos

Owalny kształt z trajektoriami dwóch cząstek.
Bilard na owalnym stole bilardowym . Dwie cząstki, zaczynając od środka pod kątem różniącym się o jeden stopień, poruszają się chaotycznie rozbieżnymi ścieżkami z powodu odbić na granicy.

Entropia jest ogólnie miarą nieporządku jakiegoś systemu. W termodynamice statystycznej entropia  S pewnego układu fizycznego jest zdefiniowana jako

Suma obejmuje wszystkie możliwe stany  i rozpatrywanego układu, takie jak położenie cząstek gazu w pojemniku. Co więcej, p i jest prawdopodobieństwem osiągnięcia stanu  i, a k jest stałą Boltzmanna . Podobnie entropia w teorii informacji mierzy ilość informacji. Jeżeli odbiorca wiadomości może oczekiwać dowolnej z N możliwych wiadomości z równym prawdopodobieństwem, wówczas ilość informacji przenoszonych przez dowolną taką wiadomość jest określana ilościowo jako log 2 N bitów.

Wykładniki Lapunowa używają logarytmów do oceny stopnia chaotyczności układu dynamicznego . Na przykład dla cząstki poruszającej się na owalnym stole bilardowym, nawet niewielkie zmiany warunków początkowych skutkują bardzo różnymi drogami cząstki. Takie układy są chaotyczne w sposób deterministyczny , ponieważ małe błędy pomiarowe stanu początkowego w przewidywalny sposób prowadzą do bardzo różnych stanów końcowych. Przynajmniej jeden wykładnik Lapunowa systemu deterministycznie chaotycznego jest pozytywny.

Fraktale

Części trójkąta są usuwane w sposób iteracyjny.
Trójkąt Sierpińskiego (po prawej) konstruuje się poprzez wielokrotne zastępowanie trójkątów równobocznych trzema mniejszymi.

Logarytmy występują w definicjach wymiaru z fraktalami . Fraktale to obiekty geometryczne, które są samopodobne : małe części odtwarzają, przynajmniej z grubsza, całą globalną strukturę. Sierpiński trójkąt (ilustracja) jest pokryta trzema kopiami siebie, z których każda posiada boki połowy pierwotnej długości. To sprawia, że wymiar Hausdorffa tej struktury ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Kolejne logarytmiczne pojęcie wymiaru uzyskuje się, licząc liczbę pudełek potrzebnych do pokrycia danego fraktala.

Muzyka

Cztery różne oktawy pokazane w skali liniowej.
Cztery różne oktawy pokazane w skali logarytmicznej.
Cztery różne oktawy pokazane w skali liniowej, a następnie pokazane w skali logarytmicznej (jak ucho je słyszy).

Logarytmy są związane z tonami muzycznymi i interwałami . W jednakowym temperamencie stosunek częstotliwości zależy tylko od interwału między dwoma tonami, a nie od konkretnej częstotliwości lub wysokości poszczególnych tonów. Na przykład nuta  A ma częstotliwość 440  Hz, a B-flat ma częstotliwość 466 Hz. Odstęp między A i B-dur jest półtonem , podobnie jak między B-flat a B (częstotliwość 493 Hz). W związku z tym wskaźniki częstotliwości są zgodne:

Dlatego logarytmy może być wykorzystane do opisania przedziały: przedział mierzy półtonów biorąc Base- 2 1/12 logarytmu częstotliwości stosunku, natomiast Base- 2 1/1200 logarytm współczynnika częstotliwości wyraża interwał w centów , setne części półtonu. Ten ostatni służy do dokładniejszego kodowania, ponieważ jest potrzebny w przypadku nierównych temperamentów.

Interwał
(dwa dźwięki są odtwarzane w tym samym czasie)
Odtwarzanie 1/12 tonów O tym dźwięku  Gra półtonowaO tym dźwięku Tylko główna trzecia graO tym dźwięku Główna trzecia sztukaO tym dźwięku Gra trytonowaO tym dźwięku Gra oktawowaO tym dźwięku
Stosunek częstotliwości r
Odpowiadająca liczba półtonów
Odpowiadająca liczba centów

Teoria liczb

Logarytmy naturalne są ściśle powiązane z liczeniem liczb pierwszych (2, 3, 5, 7, 11, ...), ważnym tematem teorii liczb . Dla dowolnej liczby całkowitej  x , ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych x oznaczamy π ( x ) . Liczba pierwsza twierdzenie stwierdza, że gatunku ( x ) jest w przybliżeniu podany przez

w tym sensie, że stosunek π ( x ) do tego ułamka zbliża się do 1, gdy x dąży do nieskończoności. W konsekwencji prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba od 1 do x jest liczbą pierwszą, jest odwrotnie proporcjonalne do liczby cyfr dziesiętnych x . Znacznie lepsze oszacowanie π ( x ) jest podane przez offsetową logarytmiczną funkcję całkową Li( x ) , zdefiniowaną przez

Riemanna hipoteza jedną z najstarszych otwartych matematycznych hipotez może być wyrażone w porównaniu gatunku ( x ) , a Li ( x ) . Twierdzenie Erdősa-Kac'a opisujące liczbę odrębnych czynników pierwszych obejmuje również logarytm naturalny .

Logarytm n silnia , n ! = 1 · 2 · ... · n , jest podane przez

Można to wykorzystać do uzyskania wzoru Stirlinga , aproksymacji n ! dla dużych n .

Uogólnienia

Logarytm zespolony

Ilustracja postaci biegunowej: punkt jest opisany strzałką lub równoważnie długością i kątem do osi x.
Postać biegunowa z = x + iy . Zarówno φ jak i φ' są argumentami z .

Wszystkie liczby zespolone a, które rozwiązują równanie

nazywamy logarytmami zespolonymi z z , gdy z jest (uważane za) liczbą zespoloną. Liczba zespolona jest powszechnie reprezentowana jako z = x + iy , gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, a i jest jednostką urojoną , której kwadrat wynosi -1. Taką liczbę można wizualizować za pomocą punktu na płaszczyźnie zespolonej , jak pokazano po prawej stronie. Postać biegunowa koduje niezerową liczbę zespoloną  z przez jej wartość bezwzględną , czyli (dodatnią, rzeczywistą) odległość  r od początku , oraz kąt pomiędzy osią rzeczywistą ( x ) Re i prostą przechodzącą przez oba te punkty oraz z . Kąt ten nazywany jest argumentem z Z .  

Wartość bezwzględna r z z jest dana przez

Korzystając z geometrycznej interpretacji sinusa i cosinusa oraz ich okresowości w 2 π , dowolną liczbę zespoloną  z można oznaczyć jako

dla dowolnej liczby całkowitej  k . Najwyraźniej argument z nie jest jednoznacznie określony: zarówno φ, jak i φ' = φ + 2 k π są poprawnymi argumentami z dla wszystkich liczb całkowitych  k , ponieważ dodanie 2 k π  radianów lub k ⋅360° do φ odpowiada "zawijaniu" wokół początek w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o k  obrotów . Wynikowa liczba zespolona jest zawsze z , jak pokazano po prawej stronie dla k = 1 . Można wybrać dokładnie jeden z możliwych argumentów z jako tzw. argument główny , oznaczany jako Arg( z ) , przez duże  A , wymagając, aby φ należała do jednego, dogodnie wybranego zwrotu, np. π < φπ lub 0 ≤ φ < 2 π . Te regiony, w których argument z jest jednoznacznie określony, nazywane są gałęziami funkcji argumentu.

Wykres gęstości.  W środku znajduje się czarny punkt, na osi ujemnej odcień ostro podskakuje, a w przeciwnym razie płynnie ewoluuje.
Główna gałąź (- π , π ) logarytmu zespolonego, Log( z ) . Czarny punkt przy z = 1 odpowiada wartości bezwzględnej zero, a jaśniejsze, bardziej nasycone kolory odnoszą się do większych wartości bezwzględnych. Odcień koloru koduje argument Log ( oo ) .

Wzór Eulera łączy funkcje trygonometryczne sinus i cosinus ze złożonym wykładniczym :

Korzystając z tego wzoru i ponownie z okresowości, zachowane są następujące tożsamości:

gdzie ln( r ) jest unikalnym rzeczywistym logarytmem naturalnym, a k oznacza złożony logarytm z , a k jest dowolną liczbą całkowitą. Dlatego, kompleks logarytmy Z , które są wszystkie te skomplikowane wartości k , dla których k -tego  moc e równa Z , są nieskończenie wiele wartości

dla dowolnych liczb całkowitych  k .

Biorąc K tak, że φ + 2 K π jest w określonym odstępie na głównych argumentów, a następnie K nazywany jest głównym wartość logarytmu oznaczoną log ( Ż ) , dzięki dużej litery  L . Głównym argumentem dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej  x jest 0; stąd Log( x ) jest liczbą rzeczywistą i równa się logarytmowi rzeczywistemu (naturalnemu). Jednakże powyższe wzory na logarytmy produktów i uprawnień czy nie uogólniać do podstawowej wartości złożonego logarytmu.

Ilustracja po prawej przedstawia Log( z ) , ograniczając argumenty z do przedziału (−π, π] . W ten sposób odpowiednia gałąź złożonego logarytmu ma nieciągłości wzdłuż ujemnej rzeczywistej  osi x , co można zobaczyć na skok w odcieniu tam.Nieciągłość ta wynika z przeskoku do drugiej granicy w tej samej gałęzi, podczas jej przekraczania, czyli nie zmiany na odpowiadającą jej wartość k gałęzi stale sąsiedniej.Taki locus nazywamy cięciem gałęzi . Porzucenie ograniczeń zakresu na argument powoduje, że relacje „argument z z ”, aw konsekwencji „logarytm z z ”, są funkcjami wielowartościowymi .

Odwrotności innych funkcji wykładniczych

Potęgowanie występuje w wielu dziedzinach matematyki, a jego funkcję odwrotną często nazywa się logarytmem. Na przykład logarytm macierzy jest (wielowartościową) funkcją odwrotną macierzy wykładniczej . Innym przykładem jest logarytm p- adyczny , odwrotna funkcja wykładnika p- adycznego . Oba są zdefiniowane przez szereg Taylora analogicznie do przypadku rzeczywistego. W kontekście geometrii różniczkowej The wykładniczy mapa odwzorowuje przestrzeń styczną w punkcie z kolektora do sąsiedztwie tego punktu. Jego odwrotność jest również nazywana mapą logarytmiczną (lub logarytmiczną).

W kontekście grup skończonych potęgowanie jest podawane przez wielokrotne mnożenie jednego elementu grupy  b przez sam siebie. Logarytm dyskretny oznacza liczbę  n rozwiązywanie równania

gdzie x jest elementem grupy. Przeprowadzanie potęgowania można przeprowadzić wydajnie, ale uważa się, że logarytm dyskretny jest bardzo trudny do obliczenia w niektórych grupach. Ta asymetria ma ważne zastosowania w kryptografii klucza publicznego , na przykład w wymianie kluczy Diffie-Hellmana , procedurze umożliwiającej bezpieczną wymianę kluczy kryptograficznych przez niezabezpieczone kanały informacyjne. Logarytm Zecha jest powiązany z logarytmem dyskretnym w multiplikatywnej grupie niezerowych elementów ciała skończonego .

Dalsze funkcje odwrotne podobne do logarytmów  obejmują logarytm podwójny ln(ln( x )) , super- lub hiper-4-logarytm (niewielka odmiana nazywana w informatyce logarytmem iterowanym ), funkcja W Lamberta i logit . Są to funkcje odwrotne odpowiednio podwójnej funkcji wykładniczej , tetracji , f ( w ) = we w i funkcji logistycznej .

Pojęcia pokrewne

Z punktu widzenia teorii grup identyczność log( cd ) = log( c ) + log( d ) wyraża izomorfizm grupowy między dodatnimi liczbami rzeczywistymi przy mnożeniu a liczbami rzeczywistymi przy dodawaniu. Funkcje logarytmiczne są jedynymi ciągłymi izomorfizmami między tymi grupami. Za pomocą tego izomorfizmu miara Haara ( miara Lebesgue'adx na liczbach rzeczywistych odpowiada mierze Haara  dx / x na liczbach rzeczywistych dodatnich. Nieujemne liczby rzeczywiste mają nie tylko mnożenie, ale także dodawanie i tworzą półpierścień , zwany półpierścieniem prawdopodobieństwa ; jest to w rzeczywistości półpole . Logarytm następnie wykonuje mnożenie do dodawania (mnożenie logarytmiczne) i dodaje do dodawania logarytmów ( LogSumExp ), dając izomorfizm półpierścieni między półpierścieniem prawdopodobieństwa i półpierścieniem logarytmicznym .

Logarytmiczne jednoformy  df / f występują w analizie zespolonej i geometrii algebraicznej jako formy różniczkowe z biegunami logarytmicznymi .

Polilogarytm jest określona przez funkcję

Jest to związane z logarytmem naturalnym przez Li 1  ( z ) = −ln(1 − z ) . Co więcej, Li s  (1) równa się funkcji zeta Riemanna ζ( s ) .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki