Dipol magnetyczny - Magnetic dipole

Pole magnetyczne spowodowane naturalnymi dipolami magnetycznymi (u góry po lewej), monopolami magnetycznymi (u góry po prawej), prądem elektrycznym w pętli kołowej (po lewej u dołu) lub w elektromagnesie (po prawej u dołu). Wszystkie generują ten sam profil pola, gdy rozmieszczenie jest nieskończenie małe.

Dipol magnetyczny jest granica albo zamkniętą pętlę prądu elektrycznego lub pary biegunów, jak rozmiar źródła zmniejsza się do zera, utrzymując moment magnetyczny stałej. Jest to magnetyczny odpowiednik dipola elektrycznego , ale analogia nie jest idealna. W szczególności w przyrodzie nigdy nie zaobserwowano prawdziwego monopolu magnetycznego , magnetycznego analogu ładunku elektrycznego . Jednak kwazicząstki z monopolem magnetycznym zaobserwowano jako wyłaniające się właściwości niektórych układów materii skondensowanej. Ponadto jedna postać moment dipolowy magnetycznego jest związany z podstawowym kwantowej właściciela do wirowania z cząstek elementarnych .

Ponieważ monopole magnetyczne nie istnieją, pole magnetyczne w dużej odległości od dowolnego statycznego źródła magnetycznego wygląda jak pole dipola o tym samym momencie dipolowym. W przypadku źródeł wyższego rzędu (np. kwadrupoli ) bez momentu dipolowego ich pole zanika w odległości do zera szybciej niż pole dipolowe.

Zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane przez magnetyczny moment dipolowy

Elektrostatyczny odpowiednik momentu magnetycznego: dwa przeciwstawne ładunki oddzielone skończoną odległością. Każda strzałka reprezentuje kierunek wektora pola w tym punkcie.

Pole magnetyczne pętli prądowej. Pierścień reprezentuje bieżącą pętlę, która przechodzi na stronę w punkcie x i wychodzi w punkcie.

W fizyce klasycznej pole magnetyczne dipola jest obliczane jako granica pętli prądowej lub pary ładunków, gdy źródło kurczy się do punktu, przy jednoczesnym zachowaniu stałego momentu magnetycznego m . Dla pętli prądowej ten limit najłatwiej wyprowadzić z potencjału wektora :

${\displaystyle {\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu_{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf { m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\ mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

gdzie μ ₀ jest stałą przepuszczalności próżni, a 4 π r ² jest powierzchnią kuli o promieniu r . Indukcja magnetyczna (siła pola B) wynosi zatem

${\ Displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {R}}) = \ nabla \ razy {\ mathbf {A}} = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ lewo [ {\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3} }}\Prawidłowy].}$

Alternatywnie można najpierw uzyskać potencjał skalarny z granicy bieguna magnetycznego,

${\ Displaystyle \ psi ({\ mathbf {R} }) = {\ Frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {R}} {4 \ pi r ^ {3}}}}$

i stąd siła pola magnetycznego (lub siła pola H) wynosi

${\ Displaystyle {\ mathbf {H} } ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [{\ Frac {3 \ mathbf {\ kapelusz {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\kapelusz {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B } }{\mu _{0}}}.}$

Siła pola magnetycznego jest symetryczna przy obrotach wokół osi momentu magnetycznego. We współrzędnych sferycznych, z i z momentem magnetycznym wyrównanym z osią z, siła pola może być łatwiej wyrażona jako ${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {z}} = \ mathbf {\ kapelusz {r}} \ bo \ theta - {\ pogrubiony symbol {\ kapelusz {\ theta}}} \ grzech \ teta}$

${\ Displaystyle \ mathbf {H} ({\ mathbf {R}}) = {\ Frac {| \ mathbf {m} | {4 \ pi r ^ {3}}} \ lewo (2 \ cos \ theta \ ,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Wewnętrzne pole magnetyczne dipola

Dwa modele dipola (pętla prądowa i bieguny magnetyczne) dają takie same przewidywania dla pola magnetycznego daleko od źródła. Jednak wewnątrz regionu źródłowego podają różne prognozy. Pole magnetyczne między biegunami jest przeciwne do momentu magnetycznego (który wskazuje od ładunku ujemnego do dodatniego), podczas gdy wewnątrz pętli prądowej jest w tym samym kierunku (patrz rysunek po prawej). Oczywiście granice tych pól muszą być różne, ponieważ źródła zmniejszają się do zera. To rozróżnienie ma znaczenie tylko wtedy, gdy granica dipola jest używana do obliczania pól wewnątrz materiału magnetycznego.

Jeśli dipol magnetyczny jest tworzony przez zmniejszanie pętli prądowej, ale utrzymując stały iloczyn prądu i powierzchni, pole ograniczające jest

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {R} ) = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ lewo [{\ Frac {3 \ mathbf {\ kapelusz {R}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3 }}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\prawo],}$

gdzie δ ( r ) jest funkcją delta Diraca w trzech wymiarach. W przeciwieństwie do wyrażeń z poprzedniej sekcji, ta granica jest poprawna dla wewnętrznego pola dipola.

Jeśli dipol magnetyczny jest tworzony przez połączenie „biegunu północnego” i „bieguna południowego”, zbliżając je do siebie, ale utrzymując stały iloczyn ładunku bieguna magnetycznego i odległości, pole ograniczające jest

${\ Displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {R} ) = {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [{\ Frac {3 \ mathbf {\ kapelusz {R}} (\ mathbf {\ kapelusz {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf { m} \delta (\mathbf {r} )\prawo].}$

Pola te są powiązane przez B = μ ₀ ( H + M ) , gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {R}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {R})}$

jest namagnesowanie .

Siły między dwoma dipolami magnetycznymi

Siła F wywierana przez jeden moment dipolowy m ₁ w innym m ₂ oddzielone przestrzennie od wektora R może być obliczona za pomocą:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ po lewej (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {B} _ {1} \ po prawej)}$

lub

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {R} \ mathbf {m} _ {1} \ mathbf {m} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ {0}} {4 \pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2} \cdot \mathbf {m} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac { 5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {o } \Prawidłowy],}$

gdzie r jest odległością między dipolami. Siła działająca na m ₁ następuje w kierunku przeciwnym.

Moment obrotowy można uzyskać ze wzoru

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {m}_{2}\razy \mathbf {B}_{1}.}$

Pola dipolarne ze źródeł skończonych

Magnetyczny potencjał skalarny ψ wytwarzane przez skończoną źródła, lecz na zewnątrz niego, mogą być reprezentowane przez wielobiegunowego ekspansji . Każdy człon w ekspansji jest związany z charakterystycznym momentem i potencjałem o charakterystycznym tempie spadku wraz z odległością r od źródła. Momenty monopolowe mają tempo spadku 1/ r , momenty dipolowe mają tempo 1/ r ² , momenty kwadrupolowe mają tempo 1/ r ³ i tak dalej. Im wyższa kolejność, tym szybciej spada potencjał. Ponieważ terminem najniższego rzędu obserwowanym w źródłach magnetycznych jest termin dipolarny, dominuje on na dużych odległościach. Dlatego na dużych odległościach każde źródło magnetyczne wygląda jak dipol o tym samym momencie magnetycznym .

Uwagi

Bibliografia