Spiralność magnetyczna - Magnetic helicity

Spiralność magnetyczna jest wielkością występującą w kontekście magnetohydrodynamiki . Określa ilościowo topologiczne aspekty linii pola magnetycznego: jak bardzo są one połączone, skręcone, poskręcane i zawęźlone. Gdy rezystywność elektryczna układu wynosi zero, jego całkowita spiralność magnetyczna jest zachowana (jest to idealny niezmiennik kwadratowy ). Kiedy pole magnetyczne zawiera spiralę magnetyczną, ma tendencję do tworzenia struktur o dużej skali z tych o małej skali. Proces ten można nazwać transferem odwrotnym w przestrzeni Fouriera .

Ta druga właściwość sprawia, że ​​spirala magnetyczna jest wyjątkowa: trójwymiarowe przepływy turbulentne mają tendencję do „niszczenia” struktury, w tym sensie, że wiry o dużej skali rozpadają się na coraz mniejsze (proces zwany „kaskadą bezpośredniej energii” , opisany przez Lewisa Fry'a). Richardson i Andriej Nikołajewicz Kołmogorow ). W najmniejszych skalach wiry są rozpraszane w cieple dzięki efektom lepkim . Poprzez rodzaj „odwróconej kaskady spiralności magnetycznej” dzieje się odwrotnie: małe struktury śrubowe (o niezerowej spiralności magnetycznej) prowadzą do powstawania wielkoskalowych pól magnetycznych. Widać to na przykład w warstwie prądu heliosferycznego – dużej strukturze magnetycznej w naszym Układzie Słonecznym.

Spiralność magnetyczna ma duże znaczenie w kilku systemach astrofizycznych, gdzie rezystywność jest zazwyczaj bardzo niska, tak że spiralność magnetyczna jest zachowana z bardzo dobrym przybliżeniem. Na przykład: dynamika spiralności magnetycznej jest ważna w rozbłyskach słonecznych i koronalnych wyrzutach masy . W wietrze słonecznym występuje spirala magnetyczna . Jej konserwacja jest bardzo ważna w procesach dynamo . Odgrywa również rolę w badaniach nad syntezą jądrową , na przykład w eksperymentach z odwróconym zaciskiem polowym .

Definicja matematyczna

Helikatność gładkiego pola wektorowego zdefiniowanego na domenie w przestrzeni 3D jest standardową miarą stopnia, w jakim linie pola zawijają się i zwijają wokół siebie. Definiuje się ją jako całkę objętościową iloczynu skalarnego i jego rotacji :

,

gdzie jest różniczkowym elementem objętości dla całki objętości, całkowanie odbywa się w całej rozpatrywanej dziedzinie.

Jeśli chodzi o spiralność magnetyczną , jest to spiralność wektora potencjału magnetycznego , takiego jak pole magnetyczne :

.

Helicity magnetyczne ma jednostki Wb 2 ( webers do kwadratu) w jednostkach SI i Mx 2 ( maxwells do kwadratu) w jednostkach Gaussa .

Nie należy mylić spiralności magnetycznej z spiralnością pola magnetycznego , z prądem. Wielkość ta nazywana jest „ bieżącą helicity ”. W przeciwieństwie do spiralności magnetycznej, spiralność prądu nie jest idealnym niezmiennikiem (nie jest zachowana nawet wtedy, gdy rezystywność elektryczna wynosi zero).

Ponieważ wektor potencjału magnetycznego nie jest niezmiennikiem cechowania, spirala magnetyczna również nie jest ogólnie niezmiennikiem cechowania. W konsekwencji nie można bezpośrednio zmierzyć spiralności magnetycznej układu fizycznego. W pewnych warunkach i przy pewnych założeniach można jednak zmierzyć aktualną spiralność układu iz niego, gdy spełnione zostaną dalsze warunki i przy dalszych założeniach, wywnioskować spiralność magnetyczną.

Interpretacja topologiczna

Nazwa „helicity” opiera się na fakcie, że trajektoria cząstki płynu w płynie z prędkością i wirowością tworzy helisę w obszarach, w których występuje spirala kinetyczna . Kiedy , helisa jest prawoskrętna, a kiedy lewoskrętna. To zachowanie jest bardzo podobne dla linii pola magnetycznego.

Regiony, w których spiralność magnetyczna nie jest zerowa, mogą również zawierać inne rodzaje struktur magnetycznych, takie jak spiralne linie pola magnetycznego. Spiralność magnetyczna jest w istocie uogólnieniem topologicznej koncepcji powiązania liczby z wielkościami różniczkowymi wymaganymi do opisania pola magnetycznego. Numer połączenia opisuje, jak bardzo linie pola magnetycznego są ze sobą powiązane (zobacz matematyczny dowód tego). Poprzez prosty eksperyment z papierem i nożyczkami można wykazać, że linie pola magnetycznego, które obracają się wokół siebie, można uznać za wzajemnie powiązane (rysunek 5 w ). Zatem obecność spiralności magnetycznej można interpretować jako spiralne linie pola magnetycznego, powiązane struktury magnetyczne, ale także linie pola magnetycznego obracające się wokół siebie.

Przykład struktur helikalnych w DNA . Podobnie wygląda to w przypadku spiralnych linii pola magnetycznego. Topologicznie mówiąc: jednostki Wiją i jednostek skręcie mogą być wymieniane.

Linie pola magnetycznego obracające się wokół siebie mogą przybierać różne kształty. Rozważmy na przykład zestaw obracających się linii pola magnetycznego w bliskim sąsiedztwie, które tworzą tak zwaną " tubę strumienia magnetycznego " (patrz rysunek jako ilustrację).

Skręt ” oznacza, że ​​rurka topnika obraca się wokół własnej osi (liczby z Twist= ). Topologicznie mówiąc jednostki skrętu i z Wiją (czyli obrót rury strumienia oś się - dane z wić = ) można przekształcić w siebie. Można również wykazać, że węzły są również równoważne jednostkom skrętu i/lub wicia.

Podobnie jak w przypadku wielu wielkości w elektromagnetyzmie, spiralność magnetyczna (która opisuje linie pola magnetycznego) jest ściśle powiązana z mechaniczną spiralnością płynu (która opisuje linie przepływu płynu), a ich dynamika jest ze sobą powiązana.

Idealna niezmienność kwadratowa

Pod koniec lat pięćdziesiątych Lodewijk Woltjer i Walter M. Elsässer niezależnie odkryli idealną niezmienność spiralności magnetycznej, czyli jej zachowanie w przypadku zerowej rezystywności. Dowód Woltjera, ważny dla systemu zamkniętego, powtarza się w następujący sposób:

W idealnym MHD ewolucja pola magnetycznego i wektora potencjału magnetycznego w czasie zależy od:

gdzie drugie równanie jest otrzymywane przez "rozwinięcie" pierwszego i jest potencjałem skalarnym podanym przez warunek cechowania (patrz paragraf dotyczący rozważania na temat cechowania ). Dobierając miernik tak, aby potencjał skalarny zanikał ( =0), ewolucja w czasie spirali magnetycznej jest dana wzorem:

.

Pierwsza całka wynosi zero, ponieważ jest prostopadła do iloczynu krzyżowego . Druga całka może być całkowana przez części, dając:

Pierwsza całka jest wykonywana po całej objętości i wynosi zero, ponieważ jak napisano powyżej. Druga całka odpowiada całce powierzchniowej nad granicami układu zamkniętego. Jest to zero, ponieważ ruchy wewnątrz układu zamkniętego nie mogą wpływać na potencjał wektora na zewnątrz, tak że na powierzchni granicznej , ponieważ potencjał wektora magnetycznego jest funkcją ciągłą.

We wszystkich sytuacjach, w których spiralność magnetyczna jest niezmienna cechowania (patrz akapit poniżej), spiralność magnetyczna jest zatem idealnie zachowana bez konieczności wyboru konkretnego miernika .

Spiralność magnetyczna pozostaje zachowana w dobrym przybliżeniu nawet przy małej, ale skończonej rezystywności, w którym to przypadku ponowne połączenie magnetyczne rozprasza energię .

Odwrotna własność przeniesienia

Struktury śrubowe na małą skalę mają tendencję do tworzenia coraz większych struktur magnetycznych. Można to nazwać odwrotnym transferem w przestrzeni Fouriera, w przeciwieństwie do (bezpośredniej) kaskady energii w trójwymiarowych turbulentnych przepływach hydrodynamicznych. Możliwość takiego odwrotnego przeniesienia została po raz pierwszy zaproponowana przez Uriela Frischa i współpracowników i została zweryfikowana w wielu eksperymentach numerycznych. W konsekwencji obecność spiralności magnetycznej jest możliwością wyjaśnienia istnienia i utrzymywania się wielkoskalowych struktur magnetycznych we Wszechświecie.

Argument przemawiający za tym odwrotnym przeniesieniem zaczerpnięty z jest tutaj powtórzony, który opiera się na tzw. „warunku realizowalności” na widmie Fouriera spirali magnetycznej (gdzie jest współczynnik Fouriera na wektorze falowym pola magnetycznego i analogicznie dla gwiazdy oznaczający złożony koniugat ). „Warunek realizowalności” odpowiada zastosowaniu nierówności Cauchy'ego-Schwarza , która daje:

,

z widmem energii magnetycznej. Aby uzyskać tę nierówność, fakt, że (z tym solenoidalne część transformacji Fouriera magnetyczny potencjał wektorowy, prostopadły do wektora falowego w przestrzeni Fouriera) zostały wykorzystane, ponieważ . Współczynnik 2 nie występuje w pracy, ponieważ spiralność magnetyczna jest tam określana alternatywnie jako .

Można zatem wyobrazić sobie sytuację początkową bez pola prędkości i pola magnetycznego występującego tylko na dwóch wektorach falowych i . Zakładamy w pełni śrubowe pole magnetyczne, co oznacza, że ​​nasyca ono warunek realizowalności: i . Zakładając, że wszystkie transfery energii i spiralności magnetycznej są dokonywane na inny wektor falowy, zachowanie spiralności magnetycznej z jednej strony i energii całkowitej (suma energii (m)magnetycznej i (k)inetycznej) daje:

Druga równość energii wynika z faktu, że rozważamy stan początkowy bez energii kinetycznej. Wtedy musimy koniecznie . Rzeczywiście, gdybyśmy mieli , to:

co złamałoby warunek realizowalności. Oznacza to, że . W szczególności, dla , spirala magnetyczna jest przenoszona na mniejszy wektor falowy, co oznacza większe skale.

Uwagi dotyczące miernika

Spiralność magnetyczna jest wielkością zależną od miernika, ponieważ można ją przedefiniować przez dodanie do niej gradientu ( wybór miernika ). Jednak dla doskonale przewodzących granic lub układów okresowych bez netto strumienia magnetycznego, spirala magnetyczna zawarta w całej domenie jest niezmienna cechowania, to znaczy niezależna od wyboru cechowania. Dla objętości o niezerowym strumieniu magnetycznym na ich powierzchniach granicznych zdefiniowano względną spiralność niezmienną cechowania .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki