Siła napięcia magnetycznego - Magnetic tension force

Siła napięcia magnetycznego to siła przywracająca ( jednostka SI : Pa · m- ¹ ), która działa na prostowanie zakrzywionych linii pola magnetycznego . To równa się:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ prawej) \ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}} \ ({\ tekst {SI}}) \ qquad {\frac {(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B} }{4\pi }}\,({\text{cgs}})}$

Jest to analogiczne do gumek i ich siły przywracającej. Siła skierowana jest przeciwpromieniowo. Chociaż napięcie magnetyczne jest określane jako siła, w rzeczywistości jest to gradient ciśnienia (Pa⋅m ⁻¹ ), który jest również gęstością siły (N⋅m ⁻³ ).

Ciśnienie magnetyczne jest gęstość energii pola magnetycznego, które można przedstawić jako zwiększenie jak linie pola magnetycznego zbiegają się w danej objętości przestrzeni. W przeciwieństwie do tego, siła napięcia magnetycznego zależy od tego, jak bardzo ciśnienie magnetyczne zmienia się wraz z odległością. Siły napięcia magnetycznego zależą również od gęstości prądu wektora i ich oddziaływania z polem magnetycznym . Wykreślenie napięcia magnetycznego wzdłuż sąsiednich linii pola może dać obraz ich rozbieżności i zbieżności względem siebie, jak również gęstości prądu . ${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$

Zastosowanie w fizyce plazmy

Napięcie magnetyczne jest szczególnie ważne w fizyce plazmy i magnetohydrodynamice , gdzie kontroluje dynamikę niektórych układów i kształt namagnesowanych struktur. W magnetohydrodynamice siła napięcia magnetycznego może być wyprowadzona z równania pędu fizyki plazmy:

${\ Displaystyle \ rho \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ prawo) \ mathbf {V} = \ mathbf {J} \ razy \ mathbf { B} -\nabla p}$.

Pierwszy człon po prawej stronie powyższego równania reprezentuje siły elektromagnetyczne, a drugi człon reprezentuje siły gradientu ciśnienia. Korzystanie z relacji i tożsamości wektora ${\ Displaystyle \ mu _ {0} \ mathbf {J} = \ nabla \ razy \ mathbf {B}}$

${\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ) = (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla) \ mathbf {b} + (\ mathbf {b} \ cdot \ nabla) \ mathbf {a} +\mathbf {a} \times (\nabla \times \mathbf {b} )+\mathbf {b} \times (\nabla \times \mathbf {a} ),}$

otrzymujemy następujące równanie:

${\ Displaystyle \ rho \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ po prawej) \ mathbf {V} = - \ nabla \ po lewej ({\ Frac { B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)+{(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B} \over \mu _{0}}-\nabla p .}$

Pierwszy i ostatni wyraz gradientu są związane z całkowitym ciśnieniem, które jest sumą ciśnień magnetycznych i termicznych; . Drugi termin reprezentuje napięcie magnetyczne. ${\ Displaystyle p + B ^ {2}/2 \ mu _ {0}}$

Możemy oddzielić siłę ze względu na zmiany wielkości i jej kierunku, pisząc za pomocą i wektor jednostkowy. Niektóre tożsamości wektorowe dają ${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {b}}$${\ Displaystyle B = | \ mathbf {B} |}$${\displaystyle \mathbf {b}}$

${\ Displaystyle - \ nabla \ lewo ({\ Frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}} \ prawej) + {(\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} \over \mu _{0}}=-(1-\mathbf {b} \mathbf {b} )\cdot \nabla \left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0} }}\right)+\left({\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)(\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {b} }$

Pierwszym wyrazem jest „ciśnienie magnetyczne” spowodowane wyłącznie zmianami w kierunkach prostopadłych do , podczas gdy drugim wyrazem jest „napięcie” spowodowane wyłącznie zmianami kierunku (lub krzywizną linii pola magnetycznego). ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$

Bardziej rygorystycznym sposobem patrzenia na to jest tensor stresu Maxwella . Siła Lorentza prawo

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B})}$

podaje siłę na jednostkę objętości:

${\ Displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ razy \ mathbf {B}}$

To, po pewnej algebrze i użyciu równań Maxwella do zastąpienia prądu, prowadzi do:

${\ Displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ lewo [(\ nabla \ cdot \ mathbf {e}) \ mathbf {e} + (\ mathbf {e} \ cdot \ nabla) \ mathbf {e } \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}\nabla \left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0} }}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$

Ten wynik można przepisać bardziej zwięźle, wprowadzając tensor naprężeń Maxwella ,

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} \ równoważnik \ epsilon _ {0} \ lewo (E_ {i} E_ {j} - {\ Frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\prawo).}$

Wszystko jednak ostatni termin z powyższym wyrażeniu dla gęstości siły, mogą być zapisywane jako rozbieżności w tensora Maxwella : ${\displaystyle \mathbf {f}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {f} + \ epsilon _ {0} \ mu _ {0}{\ Frac {\ częściowy \ mathbf {S}} {\ częściowy t}} \, = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma } }$,

co daje gęstość siłę elektromagnetyczną w zakresie Maxwell tensora naprężeń , oraz na wektor Poyntinga , . Teraz napięcie magnetyczne jest domyślnie zawarte w środku . Implikacją powyższej relacji jest zachowanie pędu. Tutaj jest gęstość strumienia pędu i odgrywa podobną rolę w twierdzenie poyntinga . ${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ razy \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}$${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S}}$

Zobacz też

• Ciśnienie magnetyczne
• Lista artykułów dotyczących plazmy (fizyki)
• Tensor naprężeń Maxwella

Bibliografia