Turbulencja magnetohydrodynamiczna - Magnetohydrodynamic turbulence

Turbulencja magnetohydrodynamiczna dotyczy chaotycznych reżimów przepływu magnetofluidu przy dużej liczbie Reynoldsa . Magnetohydrodynamika (MHD) zajmuje się tym, co jest quasi-obojętnym płynem o bardzo wysokiej przewodności . Aproksymacja płynów oznacza, że uwaga skupia się na makroskalach długości i czasu, które są znacznie większe niż odpowiednio długość i czas zderzenia.

Nieściśliwe równania MHD

Nieściśliwe równania MHD to

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {u}} {\ częściowy t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & = - \ nabla p + \ mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\częściowy \mathbf {B} }{\częściowy t}}+ \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\ nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{wyrównany}}}

gdzie u , B , p reprezentują pola prędkości, magnetyczne i ciśnienia całkowitego (termiczne+magnetyczne) oraz reprezentują lepkość kinematyczną i dyfuzyjność magnetyczną . Trzecie równanie to warunek nieściśliwości . W powyższym równaniu pole magnetyczne jest w jednostkach Alfvéna (tak samo jak jednostki prędkości). $\nu$ $\eta$

Całkowite pole magnetyczne można podzielić na dwie części: (średnia + fluktuacje). ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {B_ {0}} + \ mathbf {b}}$

Powyższe równania w kategoriach zmiennych Elsässer ( ) to ${\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {\ pm} = \ mathbf {u} \ pm \ mathbf {b}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathbf {z} ^ {\ pm}}} {\ częściowy t}} \ mp \ lewo (\ mathbf {B} _ {0} \ cdot {\ mathbf {\ nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf { z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}

gdzie . Między fluktuacjami Alfvénic zachodzą interakcje nieliniowe . ${\ Displaystyle \ nu _ {\ pm } = {\ Frac {1} {2}} (\ nu \ pm \ eta)}$ $z^{\mp}$

Ważnymi parametrami bezwymiarowymi dla MHD są

{\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {lcl} {\ tekst {liczba Reynoldsa}} Re&= i UL/\nu \\{\ tekst {magnetyczna liczba Reynoldsa}} Re_ {M}&=&UL/\eta \\{ \text{Magnetyczna liczba Prandtla }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}}

Liczba magnetyczny Prandtla jest ważną właściwością płynu. Ciekłe metale mają małe magnetyczne liczby Prandtla, na przykład ciekły sód ma około . Ale plazmy mają duże . $P_{M}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {-5}}$ $P_{M}$

Liczba Reynoldsa to stosunek nieliniowego członu równania Naviera-Stokesa do członu lepkiego. Natomiast magnetyczna liczba Reynoldsa jest stosunkiem członu nieliniowego do członu dyfuzyjnego równania indukcji. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u}}$

W wielu praktycznych sytuacjach liczba Reynoldsa przepływu jest dość duża. Dla takich przepływów zazwyczaj prędkość i pola magnetyczne są losowe. Takie przepływy mają wykazywać turbulencje MHD. Zwróć uwagę, że turbulencje MHD nie muszą być duże. odgrywa ważną rolę w problemie dynamo (generacji pola magnetycznego). ${\ Displaystyle Re}$ ${\ Displaystyle Re_ {M}}$ ${\ Displaystyle Re_ {M}}$

Średnie pole magnetyczne odgrywa ważną rolę w turbulencji MHD, na przykład może sprawić, że turbulencja będzie anizotropowa; tłumić turbulencje poprzez zmniejszenie kaskady energetycznej itp. Wcześniejsze modele turbulencji MHD zakładały izotropię turbulencji, podczas gdy późniejsze modele badały aspekty anizotropowe. W poniższych dyskusjach podsumuję te modele. Więcej dyskusji na temat turbulencji MHD można znaleźć w Biskamp, Verma. i Galtiera.

Modele izotropowe

Iroshnikov i Kraichnan sformułowali pierwszą fenomenologiczną teorię turbulencji MHD. Argumentowali oni, że w obecności silnego pola magnetycznego średniej, a zestawy fal podróżować w przeciwnych kierunkach z prędkością fazową i słabo oddziałują. Odpowiednia skala czasu to czas Alfvena . W rezultacie widma energetyczne są ${\ Displaystyle z ^ {+}}$ ${\ Displaystyle z ^ {-}}$ $B_{0}$ ${\ Displaystyle (B_ {0}k) ^ {-1}}$

{\ Displaystyle E ^ {u} (k) \ w przybliżeniu E ^ {b} (k) \ w przybliżeniu A (\ Pi V_ {A}) ^ {1/2} k ^ {-3/2}.}

gdzie jest stopa kaskady energii. ${\ Displaystyle \ Pi}$

Później Dobrowolny i in. wyprowadzili następujące uogólnione wzory na kaskadowe współczynniki zmiennych: ${\ Displaystyle z ^ {\ pm}}$

{\ Displaystyle \ Pi ^ {+} \ w przybliżeniu \ Pi ^ {-} \ w przybliżeniu \ tau _ {k} ^ {\ pm} E ^ {+} (k) E ^ {-} (k) k ^ {4 }\ok E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}}

gdzie są skale czasu interakcji zmiennych. ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ pm}}$ ${\ Displaystyle z ^ {\ pm}}$

Fenomenologia Irosznikowa i Kraichnana podąża za wyborem . ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ pm} \ około 1 / (kV_ {A})}$

Marsch wybrał nieliniową skalę czasu jako skalę czasu interakcji dla wirów i wyprowadził widmo energii podobne do Kołmogorowa dla zmiennych Elsassera: ${\ Displaystyle T_ {NL} ^ {\ pm} \ około (kz_ {k} ^ {\ mp}) ^ {-1}}$

{\ Displaystyle E ^ {\ pm} (k) = K ^ {\ pm} (\ Pi ^ {\ pm}) ^ {4/3} (\ Pi ^ {\ mp}) ^ {-2/3} k^{-5/3}}

gdzie i są szybkościami kaskady energetycznej i odpowiednio, i są stałymi. ${\ Displaystyle \ Pi ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ Pi ^ {-}}$ ${\ Displaystyle z ^ {+}}$ ${\ Displaystyle z ^ {-}}$ ${\ Displaystyle K ^ {\ pm}}$

Matthaeus i Zhou próbowali połączyć powyższe dwie skale czasowe, postulując, aby czas interakcji był średnią harmoniczną czasu Alfvena i czasu nieliniowego.

Główną różnicą między dwiema konkurującymi fenomenologiami (−3/2 i −5/3) są wybrane skale czasowe dla czasu interakcji. Główne założenie, że fenomenologia Irosznikowa i Kraichnana powinna działać dla silnego średniego pola magnetycznego, podczas gdy fenomenologia Marsha powinna działać, gdy fluktuacje zdominują średnie pole magnetyczne (silne turbulencje).

Jednak, jak omówimy poniżej, obserwacje wiatru słonecznego i symulacje numeryczne mają tendencję do faworyzowania widma energii −5/3, nawet gdy średnie pole magnetyczne jest silniejsze w porównaniu z fluktuacjami. Ten problem został rozwiązany przez firmę Verma przy użyciu analizy grup renormalizacji , pokazując, że na fluktuacje Alfvénic wpływa zależne od skali „lokalne średnie pole magnetyczne”. Lokalne średnie pole magnetyczne jest skalowane jako , którego podstawienie w równaniu Dobrowolnego daje widmo energii Kołmogorowa dla turbulencji MHD. ${\ Displaystyle k ^ {-1/3}}$

Przeprowadzono również analizę grup renormalizacji w celu obliczenia zrenormalizowanej lepkości i rezystywności. Wykazano, że te wielkości dyfuzyjne skalują się w ten sposób, że ponownie dają widma energii zgodne z modelem Kołmogorowa dla turbulencji MHD. Powyższe obliczenia grupy renormalizacji zostały przeprowadzone zarówno dla zerowej, jak i niezerowej helicity krzyżowej. ${\ Displaystyle k ^ {-4/3}}$ ${\ Displaystyle k ^ {-5/3}}$

Powyższe fenomenologie zakładają turbulencję izotropową, która nie ma miejsca w obecności średniego pola magnetycznego. Średnie pole magnetyczne zazwyczaj tłumi kaskadę energii wzdłuż kierunku średniego pola magnetycznego.

Modele anizotropowe

Średnie pole magnetyczne sprawia, że turbulencje są anizotropowe. Ten aspekt był badany w ostatnich dwóch dekadach. W limicie Galtier i in. pokazał za pomocą równań kinetycznych, które ${\ Displaystyle \ delta Z ^ {\ pm} \ ll B_ {0}}$

{\ Displaystyle E (k) \ SIM (\ Pi B_ {0}) ^ {1/2} k_ {\ równoległy} ^ {1/2} k_ {\ sprawca} ^ {-2}}

gdzie i są składowymi liczby falowej równoległymi i prostopadłymi do średniego pola magnetycznego. Powyższa granica nazywana jest granicą słabych turbulencji . $k_{\równoległy}$ ${\ Displaystyle k_ {\ sprawca}}$

W warunkach silnej granicy turbulencji Goldereich i Sridhar twierdzą, że („krytyczny stan równowagi”), co oznacza, że ${\ Displaystyle \ delta Z ^ {\ pm} \ Sim B_ {0}}$ ${\ Displaystyle k_ {\ sprawca} z_ {k_ {\ sprawca}} \ sim k_ {\ równoległy} B_ {0}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} E (k) i \ propto k_ {\ sprawca} ^ {-5/3}; \ \ [5 pkt] k_ {\ równoległy} i \ propto k_ {\ sprawca} ^ {2 /3}\end{wyrównany}}}

Powyższa anizotropowa fenomenologia turbulencji została rozszerzona dla MHD o dużej helicity krzyżowej.

Obserwacje wiatru słonecznego

Plazma wiatru słonecznego jest w stanie turbulentnym. Naukowcy obliczyli widma energetyczne plazmy wiatru słonecznego na podstawie danych zebranych ze statku kosmicznego. Widma energii kinetycznej i magnetycznej, jak również są bliższe porównaniu do , faworyzując w ten sposób fenomenologię Kołmogorowa dla turbulencji MHD. Fluktuacje międzyplanetarnej i międzygwiazdowej gęstości elektronowej zapewniają również okno do badania turbulencji MHD. ${\ Displaystyle E ^ {\ pm}}$ ${\ Displaystyle k ^ {-5/3}}$ ${\ Displaystyle k ^ {-3/2}}$

Symulacje numeryczne

Omówione powyżej modele teoretyczne są testowane przy użyciu bezpośredniej symulacji numerycznej o wysokiej rozdzielczości (DNS). Liczba ostatnich symulacji wskazuje, że indeksy spektralne są bliższe 5/3. Są inne, które podają indeksy spektralne w pobliżu 3/2. Reżim prawa energetycznego trwa zwykle mniej niż dekadę. Ponieważ 5/3 i 3/2 są dość zbliżone liczbowo, dość trudno jest ustalić poprawność modeli turbulencji MHD na podstawie widm energii.

Strumienie energii mogą być bardziej niezawodnymi wielkościami do walidacji modeli turbulencji MHD. Gdy (płyn o wysokiej helicity krzyżowej lub niezrównoważony MHD) przewidywania strumienia energii w modelu Kraichnana i Irosznikowa są bardzo różne od modelu Kołmogorowa. Za pomocą DNS wykazano, że strumienie obliczone z symulacji numerycznych są lepiej zgodne z modelem Kołmogorowa w porównaniu z modelem Kraichnana i Irosznikowa. ${\ Displaystyle \ Pi ^ {\ pm}}$ ${\ Displaystyle E ^ {+} (k) \ gg E ^ {-} (k)}$ ${\ Displaystyle \ Pi ^ {\ pm}}$

Anizotropowe aspekty turbulencji MHD zostały również zbadane za pomocą symulacji numerycznych. Przewidywania Goldreicha i Sridhara ( ) zostały zweryfikowane w wielu symulacjach. ${\ Displaystyle k_ {| |} \ sim k_ {\ sprawca} ^ {2/3}}$

Transfer energii

Przenoszenie energii między różnymi skalami między prędkością a polem magnetycznym jest ważnym problemem w turbulencji MHD. Wielkości te zostały obliczone zarówno teoretycznie, jak i liczbowo. Obliczenia te pokazują znaczny transfer energii z pola prędkości o dużej skali do pola magnetycznego o dużej skali. Ponadto kaskada energii magnetycznej jest zazwyczaj skierowana do przodu. Wyniki te mają decydujący wpływ na problem z dynamem.

Istnieje wiele otwartych wyzwań w tej dziedzinie, które, miejmy nadzieję, zostaną rozwiązane w niedalekiej przyszłości za pomocą symulacji numerycznych, modelowania teoretycznego, eksperymentów i obserwacji (np. wiatru słonecznego).

Languages

In other projects